精品解析：贵州遵义市第二中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

2026年秋季学期高二年级10月阶段检测 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必在试卷、答题卡规定的地方填涂自己的准考证号、姓名. 2.考生作答时，将答案写在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整，字迹清楚. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则在复平面内，z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】由， 可得. 所以复数的实部为，虚部为. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，该点位于第二象限. 2. 已知命题p：，，，p的否定是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【详解】已知命题：，，. 该命题中含有存在量词“”和全称量词“”.根据含有一个量词的命题的否定法则： 首先将存在量词改为全称量词，全称量词改为存在量词，即“”改为“”，“”改为“”； 其次，将结论进行否定，即“”改为“”. 所以，命题的否定是：，，. 3. 在 中，角所对的边分别为 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，又， 所以，又，所以. 4. 已知圆台的上、下底面圆周都在半径为2的球面上，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知圆台下底面为球的大圆，其圆心即为球心。根据球的截面性质可求出球心到上底面的距离，该距离即为圆台的高，再根据圆台的体积公式计算即可. 【详解】因为圆台下底面半径和球的半径均为2，所以圆台的下底面过球心， 下图为圆台外接球的轴截面，如图所示， 设球心为，圆台上底面圆心为，上底面半径为， 圆台下底面半径和球的半径为，圆台的高. 则由球的截面性质可知， 所以圆台的体积为. 故选：A 5. 已知，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，，可得， ．而向量在向量上的投影向量为， 因， 故在上的投影向量为． 6. 如图，利用斜二测画法画出的四边形ABCD 的直观图为等腰梯形，已知 ，则四边形ABCD的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法画出原四边形ABCD求解即可. 【详解】如图，根据斜二测画法画性质可得，作于，于， 则三角形、为两个全等的等腰直角三角形，故. 则. 画出原四边形ABCD，可知 且 ，则四边形 ABCD 为直角梯形，其面积为 故选：D 7. 用平行于底面的平面截高为3的正四棱锥，该棱锥底面边长为6，截面面积为4，则截去一个小四棱锥后剩下几何体的侧面积为（ ） A. 32 B. 72 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】用平行于底面的平面截高为3的正四棱锥，该棱锥底面边长为6，截面面积为4， 正四棱锥下底面为正方形，用平行于底面的平面截出的截面为正方形，剩下的几何体为正四棱台． 可得上截面的边长为2，侧面为四个全等的等腰梯形， 如图，, ,,, 侧面高为， 则棱台侧面积为. 8. 如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量加法法则得到，通过两边平方结合向量数量积的定义及运算律建立方程求解即可. 【详解】由向量加法法则可得， 所以. 因为，，且，是棱上的两点，所以，，即，. 又二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为. 因为，，， 所以，即， 整理得，解得. 因为线段长度为正，所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 已知，若，则 D. 与夹角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示可判断A错误，利用模长的坐标公式可得B正确，再由向量平行的坐标表示可判断C正确，利用夹角的坐标公式计算可知D错误. 【详解】对于A，易知，所以不垂直，即A错误； 对于B，，可得，可得B正确； 对于C，由且可得，解得，即C正确； 对于D，设与的夹角为，所以，可得D错误. 故选：BC 10. 设直线是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据线面垂直、线面平行、面面垂直、面面平行的性质与判定依次判断选项正误即可. 【详解】对于A，若，则位置关系不确定；当恰为如图所示情况时，则，选项A不正确. 对于B，若，则中存在直线c与m平行，，则，又，选项B正确； 对于C，若，如图所示，则相交，选项C不正确； 对于D，若，选项D正确. 11. 如图，在矩形中，，，为的中点．现分别沿，将，翻折，使点，重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则下列结论正确的有（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 三棱锥外接球的表面积是 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，由题意平面，可得为底面上的高，然后计算的面积，利用求解即可；选项B，利用向量夹角公式，再结合在中由余弦定理计算，利用向量的数量积以及线性运算进行转化，最终得到直线与直线所成角的余弦值为；选项C，利用等体积法，求出点A到平面的距离，然后利用线面角的定义得到直线与平面所成角的正弦值为；D选项，先求出的外接圆半径，然后构造直角三角形得到，解得外接球半径，再利用球的表面积公式求解即可. 【详解】由题意可得， 又因为平面， 所以平面，所以为底面上的高， 选项A，因为由翻折得到，所以， 在中，，边上的高为， 所以，A正确； 选项B，在中，， 可得 ， 所以直线与直线所成角的余弦值为，B正确； 选项C，由题意得，设点A到平面PBC的距离为， 由，可得, 所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为，C错误； 选项D，由选项B知，， 所以，所以的外接圆半径； 设三棱锥的外接球半径为， 因为平面，所以，解得。 所以外接球表面积是，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为，则该圆锥母线的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】圆锥的侧面展开图的弧长为该圆锥的底面圆的周长，据此根据圆的周长公式求出的长，再利用勾股定理可求出的长． 【详解】设，因为圆锥的侧面展开图的弧长为，则该圆锥的底面圆的周长为， 所以，解得，所以， 又，在中，由勾股定理得． 13. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______． 【答案】2 【解析】 【详解】由余弦定理知：，则： ， 由余弦定理得：， 即，解得或（舍）， ． 14. 如图，在棱长为3的正四面体中，M是棱上一点，且，过点M作平面，，且平面分别交，，于点N，G，H.若四边形的周长为7，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先得到四边形为等腰梯形或平行四边形，结合余弦定理可得方程，求出答案 【详解】因为，平面，平面平面， 所以，同理可得，故，， 又，，所以≌，所以， 又可能相等，也可能不等，所以四边形为等腰梯形或平行四边形， 因为，所以， 设，则， 在中，由余弦定理得， 故四边形的周长为， 所以，解得， 故 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知中，，，，延长至点，连接． （1）求的长； （2）若，求的面积． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理求； （2）在中，利用余弦定理求，再根据三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得：， 又，，． 所以． 【小问2详解】 在中，由余弦定理得：， 代入得， （负数舍）， 故的面积为． 16. 如图，正四棱锥中，，点在侧棱上且． （1）记平面平面，证明：； （2）若点在侧棱上且，求证：平面． 【答案】（1）证明：在正四棱锥中，，平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以. （2）证明：连接交于，连接，则为中点， 取中点，又，则， 连接，在中，有， 由平面PAC，平面PAC，得平面PAC， 而，则， 所以，平面，平面，则平面， 又，平面，因此平面平面， 又平面，所以平面． 【解析】 【分析】（1）证明平面，再根据线面平行的性质即可得证. （2）连接交于，连接，取中点，连接，证明平面平面，再根据面面平行的性质即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知，求的面积； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可； （2）由同角三角函数关系求得，分类讨论，利用正弦定理及三角恒等变换得周长的表达式，然后利用三角函数性质求解即可． 【小问1详解】 由题意得， 则， 即，由余弦定理得，整理得，则， 又，则，， 则； 【小问2详解】 由正弦定理得：， 则， 因为，所以， ①当时， 周长 . 当且仅当，时， 取最大值， 即的周长取最大值：． ②当时， 周长 . 当且仅当，时， 取最大值， 即的周长最大值为：． 综上可得：的周长取最大值：． 18. 如图，在三棱锥中，平面平面， ，M为BC的中点． （1）求证：平面PBC； （2）求点M到平面PAB的距离； （3）求直线AM与平面PAB所成角的正弦值． 【答案】（1）因为平面平面PBC， 平面平面平面PBC， 所以平面， 又因为平面PAC，所以． 因为，所以，所以， 又，且平面， 所以平面PBC． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质，由平面平面PBC得到线面垂直平面，再得到线线垂直，结合，再利用线面垂直判定定理得到平面即可. （2）利用等体积法得到点M到平面PAB的距离即可；（3）根据线面角的定义，结合M到平面PAB的距离计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）及已知可得． 设点到平面的距离为d，则点到平面的距离为． 因为平面，所以． 在中，，所以， 因为平面，所以． 由，解得． 【小问3详解】 由，可得， 设直线与平面所成的角为θ，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 19. 在直角梯形中，，，（如图1）．把沿翻折，使得二面角的平面角为（如图2），、分别是和的中点． （1）证明：平面平面； （2）若是线段的中点，动点在三棱锥表面上运动，并且总保持，求动点的轨迹的长度（可用表示），适当说明理由，无需证明； （3）若、分别为线段与上一点，使得（如图3），令与，与所成的角分别为和，且和，求的取值范围． 【答案】（1）因为，且点是的中点，所以， 因为是等腰直角三角形，，所以， 因为，， 所以， 所以，得， 因为点分别是的中点，所以，即， ，且平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用垂直关系和平行关系，转化为证明平面即可； （2）由（1）得平面，进而根据面面平行可得平面，即可确定点F的轨迹为三角形，结合余弦定理即可求解长度； （3）根据比例关系可得线线平行，即可由线线角的定义得到，结合线面垂直得线线垂直可得，利用消元法转化为三角函数，利用三角函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 由（1）知平面，分别取的中点为，连接, 则,平面,平面，所以平面， 同理平面，由于平面， 所以平面平面， 所以平面，因此点在平面上运动，故点F的轨迹为三角形， 由，，所以即为二面角的平面角，所以， 因为， ， 因此， 所以点F的轨迹长度为． 【小问3详解】 在线段上取点使得 由于平面，平面，， 因为，，， 所以，，从而有， 因为和 ，所以 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期高二年级10月阶段检测 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必在试卷、答题卡规定的地方填涂自己的准考证号、姓名. 2.考生作答时，将答案写在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整，字迹清楚. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则在复平面内，z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知命题p：，，，p的否定是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 在 中，角所对的边分别为 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 4. 已知圆台的上、下底面圆周都在半径为2的球面上，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，利用斜二测画法画出的四边形ABCD 的直观图为等腰梯形，已知 ，则四边形ABCD的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 用平行于底面的平面截高为3的正四棱锥，该棱锥底面边长为6，截面面积为4，则截去一个小四棱锥后剩下几何体的侧面积为（ ） A. 32 B. 72 C. D. 8. 如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 已知，若，则 D. 与夹角的余弦值为 10. 设直线是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，在矩形中，，，为的中点．现分别沿，将，翻折，使点，重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则下列结论正确的有（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 三棱锥外接球的表面积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为，则该圆锥母线的长为______． 13. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______． 14. 如图，在棱长为3的正四面体中，M是棱上一点，且，过点M作平面，，且平面分别交，，于点N，G，H.若四边形的周长为7，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知中，，，，延长至点，连接． （1）求的长； （2）若，求的面积． 16. 如图，正四棱锥中，，点在侧棱上且． （1）记平面平面，证明：； （2）若点在侧棱上且，求证：平面． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知，求的面积； （2）若，求周长的最大值． 18. 如图，在三棱锥中，平面平面， ，M为BC的中点． （1）求证：平面PBC； （2）求点M到平面PAB的距离； （3）求直线AM与平面PAB所成角的正弦值． 19. 在直角梯形中，，，（如图1）．把沿翻折，使得二面角的平面角为（如图2），、分别是和的中点． （1）证明：平面平面； （2）若是线段的中点，动点在三棱锥表面上运动，并且总保持，求动点的轨迹的长度（可用表示），适当说明理由，无需证明； （3）若、分别为线段与上一点，使得（如图3），令与，与所成的角分别为和，且和，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $