精品解析：贵州省遵义市第二十一中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

遵义市第二十一中学2026年秋季学期第一次学业监测 高二数学 命题人：陈成 审题人：徐家祥 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名、班级、考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码. 2．客观题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；主观题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题，在规定区域以外的答题不给分，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】 解得. 2. 若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（ ） A. 异面或平行 B. 异面或相交 C. 异面 D. 相交、平行或异面 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线的位置关系，结合已知条件，即可容易判断. 【详解】a和b是异面直线，b和c是异面直线， 根据异面直线的定义可得： 可以是异面直线，如下所示： 也可以相交 也可以平行 故选：. 【点睛】本题考查空间中直线之间的位置关系，属简单题. 3. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】先利用正弦定理边化角，再利用两角差的正弦公式得到，最后结合正弦函数的性质得到，判断三角形形状即可. 【详解】在中，因为， 所以结合正弦定理可得， 则，可得， 由两角差的正弦公式得， 因为，，所以， 可得，解得， 即的形状是等腰三角形，故A正确. 故选：A 4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用对数运算将化为，结合对数函数单调性得，再判断，可知最小，最终得到． 【详解】，， 因为，所以， 即， 又， 所以，即． 5. 函数的图象大致是（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得函数的定义域为. ， 且， 为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故排除D； 又且时，，故排除C； 当时，，故A不正确，B正确. 6. 已知单位圆上一点，现将点绕圆心逆时针旋转到点，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角函数定义及和角的余弦公式计算即得. 【详解】令坐标原点为，以射线为终边的角为，则以射线为终边的角为， 则，， 所以点的横坐标为. 故选：C 7. 已知平面平面，是、外一点，过点的直线与、分别交于点、，过点的直线与、分别交于点、，且，，，则的长为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知直线和确定一个平面，对点位置分类讨论，根据面面平行的性质定理，可得线线平行，运用平行线段的比例关系，即可求解. 【详解】∵， ∴直线和可确定一个平面， 则平面，平面. 又，∴； 当点位于平面，同侧时，如图（1）， 则，∴，∴. 当点位于平面，之间时，如图（2）， 则，， ∴，∴. 故或. 故选：B. 【点睛】本题考查面面平行的性质，要注意分类讨论，属于中档题. 8. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，若该圆台内部存在一个与上下底面和侧面都相切的球，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】圆台有内切球， 母线长， 求圆台的高， 圆台的体积公式， 代入，，， 即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则（ ） A. B. C. D. ，则 【答案】BD 【解析】 【详解】因为，所以，故A错误， 因为，所以，故B正确， 因为，，所以，故C错误， 因为，所以，故D正确. 10. 若正实数a，b满足，则（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为1 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，，当且仅当时取等，故ab的最大值为，A正确； 对于B，，因为，所以， 当且仅当时取等，故的最小值为，B正确； 对于C，，因为，所以， 当且仅当即时取等，故的最小值为9，C错误； 对于D，由得，则， 由得，所以当时有最小值1，D正确. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（    ） A. 存在点，使得平面， B. 过点三点的平面截正方体所得截面的面积最大为5 C. 当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值，且定值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，证得平面和平面，得到平面平面，可判定A正确；得到过点的截面为平行四边形，结合，可判定B不正确；证得平面，得到点和 到平面的距离相等，结合，可判定C正确；将等腰直角展开到与矩形在同一个平面内，在中，利用余弦定理，可判定D正确. 【详解】对于A，如图（1）所示，分别连接， 在正方体中，可得， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面， 因为，且平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面，所以A正确； 对于B，如图（2）所示，过点在平面内，作， 交分别为，则过点的截面为平行四边形， 设，其中，可得，， 当时，即点与重合时，，此时， 所以； 当时，可得且， 所以， 综上可得，截面平行四边形的面积，所以B不正确； 对于C，如图（3）所示，因为，且平面，平面， 所以平面， 又因为，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以， 所以三棱锥的体积为定值，且定值为，所以C正确； 对于D，如图（4）所示，将等腰直角展开到与矩形在同一个平面内， 此时点为点，则满足， 当且仅当三点共线时，取得等号， 在中，， 则 ， 所以的最小值为，所以D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _________． 【答案】### 【解析】 【分析】先用诱导公式，对化简，再进行求值即可. 【详解】由题意，. 13. 如图，一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形，其中，，则原梯形中长度为__________. 【答案】 【解析】 【分析】过点作，构造直角三角形，利用勾股定理求出的长，再根据斜二测画法的规则还原原长即可. 【详解】 过点作，垂足为， 因为，，四边形为等腰梯形， 所以，所以， 所以原梯形中的长度为. 14. 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则____________；为线段上的动点，为中点，则的最小值为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用平面向量的基本定理，求得，求得的值，再由，且，设，得到和，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为，即，则， 又因为，可得，，所以； 因为正方形的边长为1，可得，且， 又因为为线段上的动点，设，且， 则， 因为为中点，则， 可得 又因为，所以当时，取到最小值． 故答案为：；． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求角B； （2）若，，求边c和的面积. 【答案】（1） （2），面积 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理代入计算，即可求解； （2）根据题意，由条件可得，再由正弦定理和三角形面积公式代入计算，即可求解. 【小问1详解】 已知，由余弦定理得：， 所以， 化简可得：. 又，故 【小问2详解】 ， 由正弦定理，代入，，： 所以. 因为， 所以. 16. 如图，空间四边形中，，分别是，的中点，，分别在，上，且. （1）求证：，，，四点共面； （2）设与交于点，求证：，，三点共线. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理，以及由比例式可证，进而可得，可得结论； （2）证明平面，平面，利用基本事实，即可证得结论. 【小问1详解】 ，分别为，的中点，. 在中，，，. ，，，四点共面. 【小问2详解】 ，，平面，平面. 同理平面. 为平面与平面的公共点. 又平面平面， ，，，三点共线. 17. 函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调性及值域； 【答案】（1） （2） 当时，单调递减，当时，函数单调递增， 值域为. 【解析】 【分析】（1）先由图象和周期公式得，，进而由结合余弦函数进行求解； （2）先由平移变换求出函数的解析式，结合余弦型函数的单调性和最值性质进行求解即可. 【小问1详解】 由函数的部分图象可知， 设该函数的最小正周期为， 所以有， 所以，因为， 所以， 即函数， 又，所以， 解得，因为，所以令，可得， 所以. 【小问2详解】 函数的图象先向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象， 所以， 令， 因为， 所以当时，函数单调递减， ， 所以当时，单调递减， 当时，函数单调递增， ， 所以当时，单调递增， ， ， 所以， 综上所述：当时，单调递减，当时，函数单调递增，值域为. 18. 如图，四棱锥中，底面为梯形，，，，点在棱上． （1）当为的中点时，求证：平面； （2）若平面，探索平面的哪条线与平行，作出此线，并求的值． 【答案】（1）取中点，连接，为的中点，为的中点， ，，又因为，所以， 所以是平行四边形， 所以，平面，平面，所以平面； （2）， 证明如下： 连接交于，连接， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 则，可得， 又因为，可知，则， 因此. 【解析】 【分析】（1）由已知结合线面平行的判定定理可得出结论； （2）连接交于，连接，由线面平行的性质定理可得出，利用计算出的值，进而可求得的值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ，证明略；. 19. 对于函数，若存在实数m，使得为R上的奇函数，则称是位差值为m的“位差奇函数”. （1）判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由； （2）若是位差值为的位差奇函数，求的值； （3）若对于任意，都不是位差值为m的位差奇函数，求实数t的取值范围. 【答案】(1) 对于任意有为位差奇函数, 不存在有为位差奇函数.(2) ;(3) 【解析】 【分析】(1)根据题意计算与,判断为奇函数的条件即可. (2)根据是位差值为的位差奇函数可得为R上的奇函数计算的值即可. (3)计算为奇函数时满足的关系,再根据对于任意都不是位差值为m的位差奇函数求解恒不成立问题即可. 【详解】(1)由,所以为奇函数. 故对于任意有为位差奇函数. 又,设. 此时,若为奇函数则恒成立.与假设矛盾,故不存在有为位差奇函数. (2) 由是位差值为的位差奇函数可得,为R上的奇函数.即为奇函数. 即,. (3)设 .由题意对任意的均不恒成立. 此时 即对任意的不恒成立. 故在无解.又,故. 故 【点睛】本题主要考查了函数的新定义问题,需要根据题意求所给的位差函数的表达式分析即可.属于中等题型. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市第二十一中学2026年秋季学期第一次学业监测 高二数学 命题人：陈成 审题人：徐家祥 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名、班级、考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码. 2．客观题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；主观题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题，在规定区域以外的答题不给分，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（ ） A. 异面或平行 B. 异面或相交 C. 异面 D. 相交、平行或异面 3. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致是（       ） A. B. C. D. 6. 已知单位圆上一点，现将点绕圆心逆时针旋转到点，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面平面，是、外一点，过点的直线与、分别交于点、，过点的直线与、分别交于点、，且，，，则的长为（ ） A. B. 或 C. D. 8. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，若该圆台内部存在一个与上下底面和侧面都相切的球，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则（ ） A. B. C. D. ，则 10. 若正实数a，b满足，则（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为1 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（    ） A. 存在点，使得平面， B. 过点三点的平面截正方体所得截面的面积最大为5 C. 当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值，且定值为 D. 的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _________． 13. 如图，一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形，其中，，则原梯形中长度为__________. 14. 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则____________；为线段上的动点，为中点，则的最小值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求角B； （2）若，，求边c和的面积. 16. 如图，空间四边形中，，分别是，的中点，，分别在，上，且. （1）求证：，，，四点共面； （2）设与交于点，求证：，，三点共线. 17. 函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调性及值域； 18. 如图，四棱锥中，底面为梯形，，，，点在棱上． （1）当为的中点时，求证：平面； （2）若平面，探索平面的哪条线与平行，作出此线，并求的值． 19. 对于函数，若存在实数m，使得为R上的奇函数，则称是位差值为m的“位差奇函数”. （1）判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由； （2）若是位差值为的位差奇函数，求的值； （3）若对于任意，都不是位差值为m的位差奇函数，求实数t的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $