专题04 与平行有关的证明问题9种常见考法归类（核心题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题04 与平行有关的证明问题9种常见考法归类 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 利用三角形的中位线证明线面平行 1.核心逻辑 三角形中位线平行第三边；棱柱、棱锥中，取中点，连接得到中位线，得到线线平行，再用线面平行判定定理证线面平行。 常搭配：棱柱对角面交点为中点。 2.解题步骤 ①找到相关线段中点，连接构造三角形中位线； ②得到中位线∥三角形第三边； ③说明：中位线⊄平面，第三边⊂平面； ④由判定定理得到线面平行。 3.易错提醒 遗漏条件“直线不在平面内”；不会找隐藏中点（平行四边形对角线交点）。 1．（2026高一·浙江丽水·期中）如图，在直三棱柱中，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积． 2．（26-27高二·广东深圳·阶段检测）如图，在三棱柱中，，，为中点，四边形为正方形. (1)求证：平面； (2)若，求： （i）直线到平面的距离； （ii）直线与平面所成角的正弦值. 3．（26-27高三·上海浦东新·阶段检测）如图，在三棱柱中，平面，，，为的中点且三棱柱的高为1. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； 4．（26-27高三·河南·阶段检测）如图，在四棱柱中，，，，分别是，，的中点． (1)证明：平面． (2)若底面，设平面与平面的夹角为，求． 5．（26-27高三·陕西商洛·阶段检测）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，其中，是棱的中点． (1)求证：平面； (2)平面与平面有可能垂直吗，若有可能，求出的长；若没有可能，说明理由． 题型02 构造平行四边形证明线面平行 1.核心逻辑 通过作辅助线，证明四边形一组对边平行且相等，得到平行四边形，得到线线平行，进而证线面平行。 2.解题步骤 ①取点作辅助线，证明一组对边平行； ②再证明这组对边长度相等； ③得到平行四边形，得到目标线线平行； ④写明线面位置关系（外、内），用判定定理证线面平行。 3.易错提醒 只证平行，不证相等，直接判定平行四边形；忽略直线在平面外条件。 6．（26-27高二·陕西汉中·阶段检测）四棱锥中，平面，，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为45°，如果存在，求出与平面所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由． 7．（26-27高二·上海·阶段检测）如图，点是矩形所在平面外的一点，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)若是等边三角形，求异面直线与所成的角的大小． 8．（26-27高二·湖南·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)设点在线段上，且，判断直线是否在平面内，并说明理由． 9．（26-27高二·四川·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到面的距离； (3)求二面角的余弦值. 10．（26-27高三·安徽马鞍山·阶段检测）如图，在四面体中，，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积的最大值． 11．（2026高一·甘肃天水·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面为的中点，为的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 题型03 利用对应线段成比例证明线面平行 1.核心逻辑 同一平面内，线段成比例 ⇒ 线线平行；棱上的点满足，则；利用比例得到线线平行，再证线面平行。 2.解题步骤 ①连接相关线段，找到分点，写出线段比例； ②利用三角形相似得到两条直线平行； ③确认直线一个在平面外，一条在平面内； ④证得线面平行。 3.易错提醒 比例线段不在同一个平面，错误推出平行；忽略直线不在平面内。 12．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点，分别在线段和上，．求证：平面； 13．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，是边长为4的等边三角形，且点分别为线段与的中点.将沿折叠后使点与点重合，得到四棱锥.设点为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求四棱锥与三棱锥的体积之比. 14．（2026高二·贵州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. (1)证明：与共面； (2)证明：平面. 15．（26-27高二·湖北·阶段检测）如图，在四棱锥中，侧棱平面，底面四边形是矩形，，点，分别为棱，上靠近点的三等分点，点在棱上，． (1)求证：直线平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，求平面与平面所成的夹角的余弦值． 题型04 利用线面平行的性质证明线面平行 1.核心逻辑 线面平行性质定理：如果一条直线平行一个平面，过这条直线的平面与该平面相交，则这条直线平行于交线。 >用途：已知线面平行，用来推导线线平行；经常出现在：已经有平面，作截面找交线的题型。 2.解题步骤 ①已知，过直线作辅助平面； ②找出平面与的交线； ③得到； ④再结合判定定理继续证明其它平行关系。 3.易错提醒 直接认为直线平行平面内任意直线；忘记必须作辅助平面，得到交线才可以平行。 16．（2026高一·甘肃兰州·阶段检测）如图，点C是以为直径的圆O上异于的点，P为平面外一点，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线l． (1)求证：直线平面； (2)求证：直线平面． 17．（2026高一·全国·课后作业）如图所示，四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在线段上取一点（不取端点），过和作平面交平面于．求证：平面． 18．（26-27高二·陕西·开学考试）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若是线段上一动点，点是线段的中点，是否有平面？证明你的结论． 19．（山东青岛市2026-2027学年高三期初调研检测数学试题）如图，是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线平面，点E，F分别是，的中点．记平面与平面的交线为l． (1)证明：平面 (2)设直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足．记直线与平面所成的角、异面直线与所成的角、平面和平面的夹角分别为θ、α与β．证明：． 题型05 通过面面平行证线面平行 1.核心逻辑 面面平行性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线平行于另一个平面。 思路：先证面面平行，再说明直线落在其中一个平面内，直接得到线面平行。 2.解题步骤 ①在其中一个平面内，找两条相交直线； ②分别证明这两条相交直线都平行第二个平面； ③得到面面平行； ④说明目标直线⊂其中一个平面，推出直线∥另一平面。 3.易错提醒 用两条平行直线去证面面平行（必须相交）；漏掉直线属于平面的条件。 20．（26-27高二·四川成都·阶段检测）如图所示，七面体中的三个面都是平行四边形，其余四个面都是三角形． (1)求证：平面； (2)若，，平面平面． （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由． 21．（2026高一·河北衡水·阶段检测）如图，在三棱台中，底面，与都是等腰直角三角形，，，，、分别为、的中点. (1)求的值； (2)证明：平面； (3)求异面直线与夹角的余弦值. 22．（26-27高三·云南玉溪·阶段检测）如图所示，四边形是菱形，为等边三角形，且，，. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 23．（26-27高三·重庆·开学考试）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ， 分别为 ， 的中点. (1)证明: 平面 . (2)已知 平面 . ①证明: . ②求直线 与平面 所成角的正弦值. 24．（2026高一·天津滨海新区·期末）如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，为正三角形．侧面底面，，、分别为棱、的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 题型06 线面平行的探索性问题 1.核心逻辑 探索：棱上是否存在点，使得线面平行。 两种思路： ①几何分析法：逆向假设存在，反推点的位置（利用中位线、成比例）； ②向量参数法：设参数表示动点位置，利用方向向量⊥平面法向量，解方程求参数。 2.解题步骤 ①假设点存在，设出分点比例； ②几何：构造中位线/平行四边形/比例线段，反求； 向量：建系，动点用表达；直线方向向量·平面法向量，解； ③检验点是否在线段棱上，不是延长线； ④再正向书写完整证明。 3.易错提醒 解出参数，不检验点是否在线段上；直接写结论不做正向证明。 25．（26-27高二·安徽阜阳·开学考试）如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面底面，分别为棱上的点，且，.    (1)若，证明：. (2)在（1）的条件下，若，且是边长为的等边三角形，求二面角的正切值. (3)在棱上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 26．（2026高一·陕西西安·期末）如图，在多面体中，、、、在同一平面内，，，四边形是边长为的正方形，平面平面. (1)求四棱锥外接球的体积. (2)已知在线段上. ①若为线段的中点，求异面直线与所成角的余弦值； ②若，问边上是否存在点，使得平面？若存在，求出二面角的正切值；若不存在，请说明理由. 27．（2026高一·山东泰安·期末）如图所示，在矩形中，，为的中点，以为折痕，把折起到的位置，使平面平面. (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； (3)在棱上是否存在一点，使得∥平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 28．（2026高一·北京·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，G为中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．    29．（2026高一·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. (1)求证：点，，，四点共面 (2)求证：平面平面. (3)在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型07 几何法证面面平行 1.核心逻辑 面面平行判定定理：一个平面内有两条相交直线，都平行于另一个平面，则两平面平行。 重点：两条直线必须相交！ 推论：两组相交直线分别对应平行，则两平面平行。 2.解题步骤 ①在其中一个平面，选出两条相交直线； ②分别证明两条相交直线平行于另一个平面； ③写明两直线相交； ④得出面面平行。 3.易错提醒 选取两条互相平行的直线去证明面面平行；漏掉“相交”条件。 30．（26-27高二·北京海淀·阶段检测）已知四棱锥，底面为正方形，E、F、G分别是、、的中点．设平面与平面的交线为l，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)求证：； (3)若，求证：平面平面． 31．（26-27高三·河北廊坊·开学考试）在如图（1）所示的平面图形中，四边形是直角梯形，，，，，和是两个正三角形．分别沿，将两个正三角形折起，使得平面和平面都与平面垂直，连接，，，得到如图（2）所示的几何体． (1)证明：平面平面． (2)求点D到平面的距离． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 32．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，是斜边的等腰直角三角形，正三角形所在平面与三角形所在平面垂直，梯形中，，且梯形所在平面与三角形所在平面垂直．求证：平面平面； 33．（2026高二·福建漳州·期末）在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 34．（2026高一·河北·期末）如图，四棱锥的底面是以为中心的矩形，，，侧棱底面，且，点为棱的中点，点为棱的中点． (1)求证：平面平面； (2)点是线段上的动点（不与端点重合），若二面角的大小为，若，求的值． 题型08 面面平行的的探索性问题 1.核心逻辑 判断是否存在点，使得两个平面平行。逆向思考：需要一个平面内两条相交直线分别平行另一个平面，设参数，求解比例。 2.解题步骤 ①设动点参数； ②找到两个平面内两组相交直线； ③令两组直线分别平行，求解参数； ④验证参数对应点在线段棱上； ⑤正向书写证明。 3.易错提醒 只证一组线线平行就直接得到面面平行；不验证点在线段上。 35．（2026高一·重庆·阶段检测）如图，正四棱锥中，为侧棱的中点，为线段的中点． (1)证明：平面； (2)若平面平面，证明：； (3)侧棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 36．（2026高一·吉林·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由． 37．（2026高一·北京西城·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，底面为矩形，，；点在线段上，且. (1)设平面平面，证明：； (2)证明：； (3)线段CA和线段CD上是否分别存在点M和点N，使平面平面PBC？若存在，写出CM和CN的长，并证明；若不存在，请说明理由. 38．（2026高一·福建三明·期中）如图，正三棱柱中，分别是棱的中点. (1)判断直线与直线，直线与平面的位置关系；（判断即可，不必说明理由） (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 39．（2026高一·福建莆田·期中）如图，在正四棱柱中，分别为的中点. (1)求证:平面； (2)棱(含端点)上是否存在点，使得平面平面?若存在求出点，若不存在说明理由. 题型09 空间坐标法证明平行相关问题 1.核心逻辑 建空间直角坐标系，向量判定： (1) 线线平行：两直线方向向量共线； (2) 线面平行：直线方向向量与平面法向量垂直，，并且直线不在平面内； (3) 面面平行：两个平面法向量互相平行。 2.解题步骤 ①建立合适空间直角坐标系，写出全部关键点坐标； ②求直线方向向量，求平面法向量； ③线线平行：验证方向向量成倍数； ④线面平行：验证方向向量·法向量，检验直线不在平面； ⑤面面平行：两个平面法向量共线； 3.易错提醒 向量垂直就直接判定线面平行，漏掉直线不在平面内；建系坐标写错。 40．（26-27高三·四川巴中·阶段检测）如图，四棱锥中，底面，，，． (1)证明：平面； (2)若，求二面角的余弦值. 41．（26-27高二·贵州贵阳·阶段检测）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，.是的中点，是的中点. (1)求证平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 42．（2026高一·山东枣庄·期中）如图､在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，且，点为的中点. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 43．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面为的中点，为菱形，，，分别是线段，上的动点，且满足. (1)求证：平面； (2)求的值，使得二面角的平面角的正切值为. 44．（2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 45．（2026高二·海南海口·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，，，点在线段上，且，、、分别为，，的中点.    (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在一点？使得点到平面的距离为，若存在，请说明点的位置. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 与平行有关的证明问题9种常见考法归类 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 利用三角形的中位线证明线面平行 1.核心逻辑 三角形中位线平行第三边；棱柱、棱锥中，取中点，连接得到中位线，得到线线平行，再用线面平行判定定理证线面平行。 常搭配：棱柱对角面交点为中点。 2.解题步骤 ①找到相关线段中点，连接构造三角形中位线； ②得到中位线∥三角形第三边； ③说明：中位线⊄平面，第三边⊂平面； ④由判定定理得到线面平行。 3.易错提醒 遗漏条件“直线不在平面内”；不会找隐藏中点（平行四边形对角线交点）。 1．（2026高一·浙江丽水·期中）如图，在直三棱柱中，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1) 连接，设，连接， 在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点， 又因为为的中点，则， 又因为平面，平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）连接，设与的交点为，连接，结合中位线性质和线面平行的判定定理证明； （2）根据直三棱柱性质可知，三棱锥的高为，再利用，结合棱锥体积公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）由直三棱柱可知，三棱锥的高为，， 在中，，为的中点，由（1）知， 所以． 因此． 2．（26-27高二·广东深圳·阶段检测）如图，在三棱柱中，，，为中点，四边形为正方形. (1)求证：平面； (2)若，求： （i）直线到平面的距离； （ii）直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明：连接交于，连接， 则为中点，又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面. (2)（i）.（ii）. 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）（i）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合平面，根据点到平面距离公式的向量求法求解即可. （ii）根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）（i）因为，，且，平面， 所以面. 又面，所以，所以两两垂直. 以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以. 由（1）知，平面，所以点到平面的距离即为直线到平面的距离， 点到平面的距离. 所以直线到平面的距离为. （ii），面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 则. 即直线与平面所成角的正弦值为. 3．（26-27高三·上海浦东新·阶段检测）如图，在三棱柱中，平面，，，为的中点且三棱柱的高为1. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； 【答案】(1)如图，连接交于点， 由题可得：四边形是矩形，所以为的中点，又因为为中点，所以，且平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）连接交于点，通过中位线得到，结合线面平行的判定定理可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）如图所示：以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，， 可得，， 由题可得：平面，所以为平面的法向量， 设平面的法向量为， ，即， 取，则，，得， 记二面角为，由题可得为钝角， . 4．（26-27高三·河南·阶段检测）如图，在四棱柱中，，，，分别是，，的中点． (1)证明：平面． (2)若底面，设平面与平面的夹角为，求． 【答案】(1)证明：连接．是四棱柱，，， ∴四边形是平行四边形，． 分别是，的中点，， ． 平面，平面， 平面． (2) 【分析】（1）由线面平行的判定及四棱柱的性质即可证明； （2）法一：建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式及二倍角公式即可求解；法二：由面面夹角的定义及二倍角公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）法一：因为底面，，平面， 所以，， 设，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，． 设平面的法向量为， 则 取，则，，是平面的一个法向量． 易得平面的一个法向量为， ． 故． 法二：如图，过点作，垂足为．过点作，垂足为，连接，，． 由题得， 平面，平面． 平面，． ，，平面， ，∴平面与平面的夹角为． 设，易得，，，得． 在中，由，得， 得，． 故． 5．（26-27高三·陕西商洛·阶段检测）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，其中，是棱的中点． (1)求证：平面； (2)平面与平面有可能垂直吗，若有可能，求出的长；若没有可能，说明理由． 【答案】(1)连接交于点，连接， 因为，分别为，的中点，所以， 又平面，平面，则平面． (2)有可能， 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明. （2）建系，求出各个点的坐标，再分别求出平面与平面的法向量，根据两个平面垂直时法向量的关系列出方程就可求解. 【详解】（1）略 （2）假设当时，平面平面， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 即， 令，得， 设平面的法向量为，则， 即，令，得， 当平面与平面垂直时，有，解得． 故当时，平面平面． 题型02 构造平行四边形证明线面平行 1.核心逻辑 通过作辅助线，证明四边形一组对边平行且相等，得到平行四边形，得到线线平行，进而证线面平行。 2.解题步骤 ①取点作辅助线，证明一组对边平行； ②再证明这组对边长度相等； ③得到平行四边形，得到目标线线平行； ④写明线面位置关系（外、内），用判定定理证线面平行。 3.易错提醒 只证平行，不证相等，直接判定平行四边形；忽略直线在平面外条件。 6．（26-27高二·陕西汉中·阶段检测）四棱锥中，平面，，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为45°，如果存在，求出与平面所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)取中点，连接， 则， 又，所以且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面. (2)存在点，满足要求，且与平面所成角的正弦值为. 【分析】（1）取中点，连接，由平行的传递性可得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，令，利用空间向量法求解面面角建立关于的方程，解出，再次利用空间向量法求解线面角即可. 【详解】（1）略 （2）由已知得，，，， 所以，所以， 又平面，平面， ， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则. 假设存在点，满足要求，令， 又，所以， 所以，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以平面的法向量为， 显然平面的一个法向量为， 若平面与平面的夹角为45°， 则， 即，解得，所以， 所以， 记与平面所成角为， . 所以存在点，满足要求，且与平面所成角的正弦值为. 7．（26-27高二·上海·阶段检测）如图，点是矩形所在平面外的一点，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)若是等边三角形，求异面直线与所成的角的大小． 【答案】(1)设的中点为，连接，， 因为，分别为，的中点，则，且， 又因为是的中点，为矩形，则，且， 可得，且，可知为平行四边形，则， 且平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）作辅助线，可证为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）分析可知异面直线与所成的角为（或的补角），进而可得结果. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知：，且， 可知异面直线与所成的角为（或的补角）， 又因为是等边三角形，为的中点，则， 所以异面直线与所成的角的大小为. 8．（26-27高二·湖南·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)设点在线段上，且，判断直线是否在平面内，并说明理由． 【答案】(1)如图所示，作出符合题意的图形， 取的中点，连接，． 因为为的中点，所以且．     又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，故．     又平面，平面， 所以平面． (2) (3)由（2）可知，，，， ，平面的一个法向量为．     因为， 所以直线不在平面内． 【分析】（1）取的中点，连接，，先证明，然后证明平面. （2）以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法计算两平面的夹角的余弦值. （3）若直线在平面内，则会与平面的法向量垂直，所以只需验证与平面的法向量是否垂直即可. 【详解】（1）略. （2）取的中点，的中点，连接，． 易得，而平面，则平面．     因为，所以，且．     所以，，两两互相垂直．以为坐标原点， 直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，， 所以，．     设平面的法向量为， 则令，得，， 所以平面的一个法向量为．     易知是平面的一个法向量．     因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）略. 9．（26-27高二·四川·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到面的距离； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)取中点，连接，. 因为为的中点，为中点，所以且， 又，，，， 所以有且.所以四边形为平行四边形. 则，又平面，平面，所以平面． (2) (3) 【分析】（1）取中点，连接，.可证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为和向量，结合向量的距离公式即可求解； （3）由（2）得到平面的一个法向量为，再由平面，得到平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）在中，由，得，所以. 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面. 又因为，，所以，则. 如图以A为原点，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则. 因为为的中点，所以，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设点到平面的距离为，可得， 所以点到平面的距离为. （3）由（2）中的空间直角坐标系，可得平面的一个法向量为， 又由（2）知平面，所以平面的一个法向量为. 设二面角的平面角的大小为，由图可知二面角为锐二面角. 则， 所以二面角的余弦值为. 10．（26-27高三·安徽马鞍山·阶段检测）如图，在四面体中，，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积的最大值． 【答案】(1)作交于，作交于， 平面，平面，，， ，，； 又，，， 则四边形为平行四边形，， 且平面，平面，平面． (2) 【分析】（1）作交于，作交于，由题意可证四边形为平行四边形，进而可证结论； （2）由题意可得，设到平面的距离为，到平面的距离为，可得，利用三棱锥的体积公式可得，可求最大值. 【详解】（1）略. （2）由题意可得， 设到平面的距离为，到平面的距离为，，， ， 又， ， 当且仅当时，三棱锥的体积取得最大值，最大值为． 11．（2026高一·甘肃天水·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面为的中点，为的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明：取中点，连接、. 因为中点，为中点，故为中位线，得且. 又底面是正方形，为中点，故且. 所以且，所以四边形为平行四边形，故. 又平面平面，故平面. (2) 【分析】（1）要证明线面平行，需证明该线段与平面内的一条线段平行即可，即证明. （2）作出辅助线，确定异面直线所成的角，然后根据边角关系求出其余弦值. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接为的中位线，所以. 故异面直线与所成角等于与所成角，即. 在正方形中，且底面，故为直角三角形， 为中点，得. 由（1）知.为的斜边，， 故，所以. 又，所以. 在中，，由余弦定理得 所以异面直线与所成角的余弦值为. 题型03 利用对应线段成比例证明线面平行 1.核心逻辑 同一平面内，线段成比例 ⇒ 线线平行；棱上的点满足，则；利用比例得到线线平行，再证线面平行。 2.解题步骤 ①连接相关线段，找到分点，写出线段比例； ②利用三角形相似得到两条直线平行； ③确认直线一个在平面外，一条在平面内； ④证得线面平行。 3.易错提醒 比例线段不在同一个平面，错误推出平行；忽略直线不在平面内。 12．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点，分别在线段和上，．求证：平面； 【答案】 证明：连接，交于点，连接， 因为，，所以，， 因为，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面． 【分析】连接，交于点，证出，即可根据线面平行的判定定理证出平面． 【详解】略 13．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，是边长为4的等边三角形，且点分别为线段与的中点.将沿折叠后使点与点重合，得到四棱锥.设点为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求四棱锥与三棱锥的体积之比. 【答案】(1)证明：如图，连接交于点，连接. 由题可知，且. 则易有与相似，且相似比为，也即. 又，则，故. 且平面，平面，故平面. (2) 【分析】(1)连接交于点，连接.然后利用三角形相似的性质，得到，进而利用线面平行的判定定理证明； （2）利用棱锥的体积公式求比值. 【详解】（1）略 （2）解：设四棱锥的体积为，高为，四边形的面积为. 三棱锥的体积为，高为，三角形的面积为，与之间的距离为. 由题有. 又，故，即， 则， 即四棱锥与三棱锥的体积之比为. 14．（2026高二·贵州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. (1)证明：与共面； (2)证明：平面. 【答案】(1) 在四棱锥中，由四边形是平行四边形，得，而，则， 由分别是线段上一点，且，得， 因此，即共面，所以与共面. (2) 连接并延长交于，由是的重心，且，得， 即，在上取点，使得，连接， 由，得，且，又， 因此，且，四边形是平行四边形， 则，而平面，平面， 所以平面. 【分析】（1）根据给定条件，利用平行公理及平面的基本事实推理得证. （2）利用线面平行的判定，结合平行四边形判定性质推理得证. 【详解】（1）略 （2）略 15．（26-27高二·湖北·阶段检测）如图，在四棱锥中，侧棱平面，底面四边形是矩形，，点，分别为棱，上靠近点的三等分点，点在棱上，． (1)求证：直线平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，求平面与平面所成的夹角的余弦值． 【答案】(1)方法一：因为，分别为棱，的三等分点， 所以，连接，，交于点， 连接，，则， 因为，所以，且， 所以，因此. 又在中，，，所以. 又因为平面，平面，且， 所以平面． 方法二：以为原点，、、所在直线为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则：，，，，，， 所以，，． 记为平面的一个法向量， 则，令，则，. 因为，所以， 又平面，所以平面. (2) (3)． 【分析】（1）解法一：先由线段成比例得，进而得及，再由线段成比例得，由线面平行的判定定理可得；解法二：建立空间直角坐标系，并求平面的法向量，再用向量的方法证明线面平行可得； （2）直接用向量的方法计算线面角的正弦可得； （3）直接用向量的方法计算面面角的余弦可得. 【详解】（1）略 （2）因为，所以，，，， 记为平面的一个法向量， 则，， 令，则，． 记直线与平面所成角为， 由，，， 则． 因此，直线与平面所成角的正弦值为 （3）由(1)(2)知，为平面的一个法向量，，， 记为平面的一个法向量， 则，令，则，， 记平面与平面所成角为， 则． 因此，平面与平面所成夹角的余弦值为. 题型04 利用线面平行的性质证明线面平行 1.核心逻辑 线面平行性质定理：如果一条直线平行一个平面，过这条直线的平面与该平面相交，则这条直线平行于交线。 >用途：已知线面平行，用来推导线线平行；经常出现在：已经有平面，作截面找交线的题型。 2.解题步骤 ①已知，过直线作辅助平面； ②找出平面与的交线； ③得到； ④再结合判定定理继续证明其它平行关系。 3.易错提醒 直接认为直线平行平面内任意直线；忘记必须作辅助平面，得到交线才可以平行。 16．（2026高一·甘肃兰州·阶段检测）如图，点C是以为直径的圆O上异于的点，P为平面外一点，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线l． (1)求证：直线平面； (2)求证：直线平面． 【答案】(1)证明;因为分别是的中点，所以， 平面，平面，所以直线平面； (2)证明：由（1）知，直线平面，平面， 平面与平面的交线为直线l，所以， 平面，平面，所以直线平面. 【分析】（1）由题意证得，再由线面平行的判定定理即可证明直线平面； （2）由（1）知，直线平面，由线面平行的性质定理证得，再由线面平行的判定定理即可知证明直线平面； 【详解】（1）略； （2）略. 17．（2026高一·全国·课后作业）如图所示，四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在线段上取一点（不取端点），过和作平面交平面于．求证：平面． 【答案】证明:如图所示，连接交于点，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴是的中点． 又是的中点，∴． 而平面，平面， ∴平面． 又平面，平面平面， ∴． 又平面，平面， ∴平面． 【分析】作出辅助线，由中位线得到，得到线面平行，由线面平行的性质得到线线平行，从而平面． 【详解】略. 18．（26-27高二·陕西·开学考试）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若是线段上一动点，点是线段的中点，是否有平面？证明你的结论． 【答案】(1)证明：因为在梯形中，， 又面，面， ∴面，因为面，面面，所以， 因为平面，平面，所以平面； (2)为中点时，平面． 证明：连接，，因为，分别为，的中点， 所以，因为平面，平面， 所以平面， 取的中点，连接，， 则，则，且， 所以四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面， 所以平面，，、平面， 所以平面平面， 因为是上的动点，平面，所以平面. 【分析】（1）根据线面平行的判定定理可得面，再结合线面平行的性质定理可得，从而可证平面； （2）根据线面平行的判定定理可证当为中点时，平面. 【详解】（1）略 （2）为中点时，平面，证明略. 19．（山东青岛市2026-2027学年高三期初调研检测数学试题）如图，是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线平面，点E，F分别是，的中点．记平面与平面的交线为l． (1)证明：平面 (2)设直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足．记直线与平面所成的角、异面直线与所成的角、平面和平面的夹角分别为θ、α与β．证明：． 【答案】(1) (2) 根据圆的知识可知四边形为矩形，由(1)知, 平面 平面与平面所成二面角的平面角 (线与线所成的角为), , (直线与平面所成的角为), . 【分析】（1）通过,反复应用线面平行的性质定理与判定定理 （2）通过平面,既解决了异面直线与所成的角正弦值,也解决了平面和平面的夹角正弦值． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了小问1学生对于线线平行线面平行的转化关系;小问2很好的考查了异面直线成角、线面角、二面角的解决策略,学生要想顺利解决这题,必须有扎实的基本功. 题型05 通过面面平行证线面平行 1.核心逻辑 面面平行性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线平行于另一个平面。 思路：先证面面平行，再说明直线落在其中一个平面内，直接得到线面平行。 2.解题步骤 ①在其中一个平面内，找两条相交直线； ②分别证明这两条相交直线都平行第二个平面； ③得到面面平行； ④说明目标直线⊂其中一个平面，推出直线∥另一平面。 3.易错提醒 用两条平行直线去证面面平行（必须相交）；漏掉直线属于平面的条件。 20．（26-27高二·四川成都·阶段检测）如图所示，七面体中的三个面都是平行四边形，其余四个面都是三角形． (1)求证：平面； (2)若，，平面平面． （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：因为四边形与四边形均为平行四边形， 所以，， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 因为，平面，平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面； (2)（i）；（ii）存在，的值为． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得线线平行，进而根据线面平行的判定以及面面平行的判定，即可根据面面平行的性质求证， （2）（i）（ii）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，进而根据向量的夹角公式求解， 【详解】（1）略 （2）（i）连接，根据且，所以四边形是平行四边形， 则．所以是正三角形，则是菱形且， 取的中点，连接，则，设，则， ，所以， 所以，故， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因此以为原点，，，为轴，轴，轴如图建系， 则，，，，， 由与，可知，所以四边形为平行四边形， 则，，， 设平面的法向量，则，即， 取，得，，则， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． （ii）设， 设平面的法向量，则，即， 取，得，， 则， 设平面与平面所成角为， ， 解得或（舍）， 所以存在使得平面与平面夹角的余弦值为，此时的值为． 21．（2026高一·河北衡水·阶段检测）如图，在三棱台中，底面，与都是等腰直角三角形，，，，、分别为、的中点. (1)求的值； (2)证明：平面； (3)求异面直线与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2)设的中点为，连接，， 因为为的中位线，所以. 又平面，平面，所以平面. 因为为梯形的中位线，所以. 又平面，平面，所以平面. 因为，平面，平面，所以平面平面. 因为平面，所以平面. (3) 【分析】（1）根据棱台、棱锥的体积公式求解即可. （2）根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理及面面平行的性质证明即可. （3）根据异面直线的定义，结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）由题意得，，高， 则由棱台的体积公式得：， ， 所以， 所以. （2）略 （3）取的中点，的中点，连接、、、、， 因为，，，是中点， 所以四边形是平行四边形，所以. 又因为是中点，是中点，所以，所以， 则即为异面直线与的夹角. 又因为底面，与都是等腰直角三角形，，， 所以，，， 所以，， 在中，由余弦定理得，， 所以异面直线与夹角的余弦值为. 22．（26-27高三·云南玉溪·阶段检测）如图所示，四边形是菱形，为等边三角形，且，，. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)【证明】证法一：如图所示，取棱上一点，使得， 连接，因为，所以，所以，且， 又因为四边形为菱形，且，所以且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 证法二：如图所示，取棱上一点，使得，连接， 因为，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，所以， 因为四边形为菱形，所以，， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面. 证法三：如图所示，取的中点，连接，作，垂足为， 在菱形中，，，所以是等边三角形，所以， 因为，，且平面，所以平面， 在中，，可得， 由余弦定理得，可得， 所以，即， 因为且，所以， 又因为平面，所以， 因为，，且平面，所以平面， 所以平面，又因为平面，所以，， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得, 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 又由， 所以, 因为平面，所以平面. (2). 【分析】（1）证法一：取棱AE上一点H，使得，证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； 证法二：取棱上一点，使得，分别证得平面和平面，得到平面平面，进而证得平面； 证法三：取的中点，证得平面和平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为和，结合,进而证得平面； （2）由（1）中的坐标系，求得平面的法向量为和向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：，且， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成的角为，则 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 23．（26-27高三·重庆·开学考试）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ， 分别为 ， 的中点. (1)证明: 平面 . (2)已知 平面 . ①证明: . ②求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】(1)取中点，连接， 因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 同理平面， 又平面，， 所以平面平面， 因为平面，所以平面. (2)①因为 平面 ，平面，所以 ， 因为底面 为正方形，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，平面， 所以 平面， 因为 平面，所以； ② 【分析】（1）取中点，通过证明平面平面可得结果； （2）①通过证明线面垂直即可证得线线垂直； ②求出直线方向向量与平面法向量，再由线面角的向量求法即可得解. 【详解】（1）略 （2）①略 ②由①得 ，结合为的中点，则， 分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系，不妨设， 则, ， 设平面法向量为， 则，令，则， 设直线与平面所成角为，则. 24．（2026高一·天津滨海新区·期末）如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，为正三角形．侧面底面，，、分别为棱、的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 【答案】(1)取中点，连接、， 因为为棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又底面为菱形，为棱的中点，为的中点， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且， 所以平面平面， 又平面，所以平面； (2)因为为正三角形，为棱的中点，所以， 又四边形是菱形，，所以为正三角形， 又为棱的中点，所以， 又平面，平面，且， 所以平面， 又由（1）得平面平面，所以平面， 又平面，所以， 又四边形是菱形，，所以， 又为正三角形，四边形是菱形，所以， 又为的中点，所以， 又平面，平面，且， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 【分析】（1）取中点，连接、，根据面面平行的判定定理，可证得平面平面，再根据面面平行的性质，即可证明平面； （2）由题意，先证得，，根据线面垂直的判定定理，可得平面，再根据面面垂直的判定定理，即可证明平面平面. 【详解】（1）略； （2）略. 题型06 线面平行的探索性问题 1.核心逻辑 探索：棱上是否存在点，使得线面平行。 两种思路： ①几何分析法：逆向假设存在，反推点的位置（利用中位线、成比例）； ②向量参数法：设参数表示动点位置，利用方向向量⊥平面法向量，解方程求参数。 2.解题步骤 ①假设点存在，设出分点比例； ②几何：构造中位线/平行四边形/比例线段，反求； 向量：建系，动点用表达；直线方向向量·平面法向量，解； ③检验点是否在线段棱上，不是延长线； ④再正向书写完整证明。 3.易错提醒 解出参数，不检验点是否在线段上；直接写结论不做正向证明。 25．（26-27高二·安徽阜阳·开学考试）如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面底面，分别为棱上的点，且，.    (1)若，证明：. (2)在（1）的条件下，若，且是边长为的等边三角形，求二面角的正切值. (3)在棱上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)如图，过点作，交于点，则与相交，设， 因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面， 又因为平面，所以，又，，平面，所以平面， 又因为平面，所以. (2) (3)存在， 【分析】（1）过点作，交于点，得到线面垂直，再根据已知条件证明线面垂直即可证明； （2）通过寻找二面角的平面角，利用几何法计算即可； （3）利用线面平行的判定定理，通过构造平面内的平行线来寻找点，连接，，连接，得到即可. 【详解】（1）略. （2）由于是边长为的等边三角形，， 则是的中点，过点作，交于点， 由（1）可知，平面，平面，所以， 为的中点，为的中点，所以，， 所以，，平面，平面， 又平面，，所以为二面角的平面角， ，所以，， ，即， 又，， 即二面角的正切值为. （3）存在点，当时，平面， 连接，设，连接，所以，，所以， 又，所以，即， 又平面，平面，所以平面. 26．（2026高一·陕西西安·期末）如图，在多面体中，、、、在同一平面内，，，四边形是边长为的正方形，平面平面. (1)求四棱锥外接球的体积. (2)已知在线段上. ①若为线段的中点，求异面直线与所成角的余弦值； ②若，问边上是否存在点，使得平面？若存在，求出二面角的正切值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②存在，且二面角的正切值为. 【分析】（1）推导出平面，平面，推导出，将四棱锥补成正方体，结合正方体的几何性质求出外接球半径，再结合球体体积公式求解即可； （2）①延长至点，使得为的中点，连接、，推导出，则异面直线与所成角为或其补角，求出各边边长，结合余弦定理求解即可； ②在平面内，过点作交于点，利用线面平行的判定定理可证得平面，过点作交于点，过点在平面内作，垂足为点，连接，利用二面角的定义可知二面角的平面角为，求出、的长，即可得解. 【详解】（1）因为四边形是边长为的正方形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 因为平面，所以，则， 又因为，，所以，故， 将四棱锥补成正方体，如下图所示： 所以四棱锥的外接球的直径为，解得， 故四棱锥外接球的体积为. （2）①延长至点，使得为的中点，连接、， 因为为的中点，为的中点，所以， 所以， 又因为，即，故四边形为平行四边形， 则，且， 故异面直线与所成角为或其补角， 因为，且，， 由勾股定理可得， 因为平面，平面，所以， 由勾股定理可得， 由余弦定理可得， 所以异面直线异面直线与所成角的余弦值为. ②在平面内，过点作交于点，接下来证明平面， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，所以， 过点作交于点，过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为平面，，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 故二面角的平面角为， 因为，，，所以， 易知为锐角，故， 因为，即， 即，解得， 由余弦定理可得， 由余弦定理可得， 所以， 因为，所以，所以， ，故， 因为，，故， 因为平面，平面，所以， 故为等腰直角三角形，且，故二面角的正切值为. 27．（2026高一·山东泰安·期末）如图所示，在矩形中，，为的中点，以为折痕，把折起到的位置，使平面平面. (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； (3)在棱上是否存在一点，使得∥平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明：根据题意可知，在矩形中，和为等腰直角三角形，所以∠DEA＝∠CEB＝45°，所以∠AEB＝90°，即BE⊥AE. 因为平面D'AE⊥平面ABCE，且平面平面ABCE＝AE， 平面ABCE，所以BE⊥平面D'AE. 因为平面D'AE，所以AD'⊥BE. (2) (3)存在，EP＝ED'. 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理，证明BE⊥平面D'AE，即可证出AD'⊥BE； （2）由面面垂直的性质定理可知，线面垂直，从而证明D'F⊥平面ABCE，即D'F为面ABCE上的高，再利用锥体的体积公式求解即可； （3）假设存在点，利用线面平行的性质定理，即可求出点的位置. 【详解】（1）略 （2）如图所示，取AE的中点F，连接D'F，则D'F⊥AE， 且， 因为平面D'AE⊥平面ABCE，且平面平面ABCE＝AE，D'F⊂平面D'AE， 所以D'F⊥平面ABCE， 所以VD'-ABCE＝S四边形ABCE·D'F＝××（1＋2）×1×＝. （3）存在. 连接AC交BE于点Q，假设在D'E上存在点P，使得D'B∥平面PAC，连接PQ， 因为平面D'BE，平面平面PAC＝PQ，所以D'B∥PQ， 所以在△EBD'中，， 因为△CEQ∽△ABQ，所以， 所以，即EP＝ED'， 所以在棱ED'上存在一点P，使得D'B∥平面PAC，且EP＝ED'. 28．（2026高一·北京·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，G为中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为为中点，，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． (2) (3)存在， 【分析】（1）利用等腰三角形性质可得，再由面面垂直性质定理可得结论； （2）利用等体积法结合锥体体积公式求解即可； （3）利用面面平行判定定理可证明平面平面，再由其性质可证明当时，满足题意. 【详解】（1）略 （2）在直角三角形中， ∵， ∴， ∴． 又三角形的面积， 由（1）知，平面，所以三棱锥的高为， 设点到平面的距离为, 由，，而， 则， 所以,则，即， 则， 由，得， 则， 即点到平面的距离为. （3）过点作交于点，则； 过点作交于点，连接，则；如下图所示：    因为平面，平面， 所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面平面． 因为平面，所以平面． 所以在上存在点，使得平面，且． 29．（2026高一·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. (1)求证：点，，，四点共面 (2)求证：平面平面. (3)在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，. 【分析】（1）易得，进而可得，再由平面公理即可证明； （2）先利用线线平行证明线面平行，再根据线面平行证明面面平行即可； （3）取中点，连接，，，利用中位线定理，结合平行四边形性质证明四边形是平行四边形，即证，再根据线面平行的判定定理即证结果. 【详解】（1）证明：，分别为，的中点，， 底面是平行四边形，. ，所以点，，，四点共面. （2）由（1）知，因为平面，平面，平面. ，分别为，的中点，， 因为平面，平面，平面. 又，，平面，所以平面平面. （3）线段上存在一点，使得平面，且. 证明如下：取的中点，连接，，， 因为，，分别是，，的中点，，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面，此时． 题型07 几何法证面面平行 1.核心逻辑 面面平行判定定理：一个平面内有两条相交直线，都平行于另一个平面，则两平面平行。 重点：两条直线必须相交！ 推论：两组相交直线分别对应平行，则两平面平行。 2.解题步骤 ①在其中一个平面，选出两条相交直线； ②分别证明两条相交直线平行于另一个平面； ③写明两直线相交； ④得出面面平行。 3.易错提醒 选取两条互相平行的直线去证明面面平行；漏掉“相交”条件。 30．（26-27高二·北京海淀·阶段检测）已知四棱锥，底面为正方形，E、F、G分别是、、的中点．设平面与平面的交线为l，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)求证：； (3)若，求证：平面平面． 【答案】(1)分别为中点，是中位线， ， 底面是正方形，，， 平面，平面，平面， 分别为中点，是的中位线， ， 平面，平面，平面， ，平面， 平面平面. (2)底面为正方形， ， 平面，平面，平面， 又平面，平面平面， 故. (3)取连接，取的中点，连接， ，， 底面是正方形，， 又，平面,平面. 平面，. 底面为正方形，， 又平面平面，平面平面，平面， 由面面垂直的性质定理得：平面. 平面,, ，平面， 由线面垂直的判定定理：平面， 又平面，故平面平面. 【分析】利用三角形中位线得到两组相交直线分别平行于平面内的直线，由面面平行判定定理证平面平面； 由正方形性质得，推出平行平面，再根据线面平行的性质定理证； 取连接，取的中点，连接，由，，底面是正方形，结合面面垂直条件，证明平面，可得平面平面. 【详解】（1）略. （2）略. （3）略. 31．（26-27高三·河北廊坊·开学考试）在如图（1）所示的平面图形中，四边形是直角梯形，，，，，和是两个正三角形．分别沿，将两个正三角形折起，使得平面和平面都与平面垂直，连接，，，得到如图（2）所示的几何体． (1)证明：平面平面． (2)求点D到平面的距离． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)设，的中点分别为M，N，连接，， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，平面，所以．     又，且，是平面内的两条相交线， ，是平面内的两条相交线，所以平面平面． (2) (3) 【分析】（1）利用面面平行判定定理的推论由，证明面面平行即可; （2）将点D到平面的距离看作三棱锥的高，利用等体积法求解即可; （3）设平面与平面夹角为，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过求解. 【详解】（1）略 （2）连接，可得，又， 所以平面，则，     在中，， 所以，    设点D到平面的距离为h，则． 易知平面，所以是三棱锥的高， 所以， 由，得，所以， 所以点D到平面的距离为． （3）如图，以M为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 可得，可取，，   所以．设平面的法向量为， 则，即，可得，可取，， 所以．    设平面与平面所成的角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 32．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，是斜边的等腰直角三角形，正三角形所在平面与三角形所在平面垂直，梯形中，，且梯形所在平面与三角形所在平面垂直．求证：平面平面； 【答案】方法一： 因为平面平面，所以平面. 因为是斜边的等腰直角三角形，所以． 如图1，取AC的中点，连接PE． 因为是正三角形，且，所以，且， 又平面平面ABC，平面平面， 所以平面. 因为，平面平面BCMN，平面平面，平面BCMN， 所以平面，所以． 如图2，连接BE，因为， 所以四边形PEBN为平行四边形，因此． 因为平面平面， 所以平面， 又平面平面PMN， 所以平面平面. 方法二： 如图3，取BC的中点，连接MF． 因为，所以，又，所以， 又，所以四边形BFMN是平行四边形， 所以， 因为，所以， 连接EF，因为平面平面，平面平面，平面BCMN， 所以平面， 因为是正三角形，且，所以，且， 又平面平面ABC，平面平面， 所以平面. 所以， 因此四边形MPEF是平行四边形，． 因为平面平面ABC，所以平面， 又平面平面平面， 所以平面平面. 【分析】根据线面平行的判定定理证明平面，根据三角形的性质及面面垂直的性质判断平面，平面，进而．方法一，连接BE，构造平行四边形PEBN得到，根据面面平行的判定定理证明平面平面；方法二取BC的中点，连接MF，构造平行四边形MPEF得到，根据面面平行的判定定理证明平面平面 【详解】略 33．（2026高二·福建漳州·期末）在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)如图： 在矩形中，分别为的中点，连接，则， 平面，平面，所以平面. 在与中，因为，，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为平面，且，所以平面平面． (2) 【分析】（1）根据面面平行的判定定理进行证明. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦. 【详解】（1）略 （2）以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向， 过点和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因， 则，即. 令，则， 设平面的法向量为， 所以， 所以所求二面角的余弦值为． 34．（2026高一·河北·期末）如图，四棱锥的底面是以为中心的矩形，，，侧棱底面，且，点为棱的中点，点为棱的中点． (1)求证：平面平面； (2)点是线段上的动点（不与端点重合），若二面角的大小为，若，求的值． 【答案】(1)因为点，分别为，的中点，则， 且平面，平面，所以平面， 在矩形中，为中心，则为的中点， 因为为的中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又因为，，平面，所以平面平面． (2) 【分析】（1）可证平面，平面，结合面面平行的判定定理分析证明； （2）利用三垂线法作二面角的平面角，可知为二面角的平面角，分和两种情况，结合几何性质运算求解即可. 【详解】（1）略 （2）如图，连接，过点作于点． 因为底面，点在线段上，所以底面． 在底面内过点作于点，连接． 因为，，， 所以平面，由平面可得， 故为二面角的平面角，即． 设，，则， 因为，则， 在矩形中，，，则，， 点到的距离， 因为，， 当时，点在线段上， 由相似三角形可得， 在中，， 由得，解得； 若，则点落在线段上，二面角为钝角，与矛盾； 故，即的值为． 题型08 面面平行的的探索性问题 1.核心逻辑 判断是否存在点，使得两个平面平行。逆向思考：需要一个平面内两条相交直线分别平行另一个平面，设参数，求解比例。 2.解题步骤 ①设动点参数； ②找到两个平面内两组相交直线； ③令两组直线分别平行，求解参数； ④验证参数对应点在线段棱上； ⑤正向书写证明。 3.易错提醒 只证一组线线平行就直接得到面面平行；不验证点在线段上。 35．（2026高一·重庆·阶段检测）如图，正四棱锥中，为侧棱的中点，为线段的中点． (1)证明：平面； (2)若平面平面，证明：； (3)侧棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)在正四棱锥中，连接，连接， 则是线段的中点，而为线段的中点，因此， 又平面，平面，所以平面. (2)在正四棱锥中，，平面，平面， 则平面，而平面平面，平面，所以. (3)在侧棱上存在一点，使得平面平面，满足. 【分析】（1）利用线面平行的判定推理得证. （2）利用线面平行的判定性质推理得证. （3）过作交于，利用面面平行的判定，结合平行线分线段成比例定理推理即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）在侧棱上存在一点，使得平面平面，满足. 理由如下：在正四棱锥中，为侧棱的中点，为线段的中点， 则，过作交于，连接， 又平面，平面，因此平面， 由（1）知平面，又平面 则平面平面，且， 所以在侧棱上存在一点，使得平面平面，满足. 36．（2026高一·吉林·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，当点是的中点时满足题意，证明见解析． 【分析】(1)根据线面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，进行证明； (2)根据中位线和平行四边形中的平行性质，利用线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，通过线线平行，证明线面平行； (3)根据面面平行的判定定理，找动直线与面内直线平行时的位置，进行证明判断即可． 【详解】（1）证明：平面，且平面； 又因为平面平面，根据线面平行的性质可得，； （2） 证明：取PA的中点G，连接EG，BG； 因为E，G，为PD，PA中点，所以，且； 又因为，，所以，且； 所以为平行四边形；所以； 又因为平面，平面， 所以平面； （3） 在上存在的中点使得平面平面，证明如下： 取的中点，连接CF，EF； 因为E，F，为PD，AD中点，所以； 又因为平面，平面， 所以平面； 又因为平面，且，平面； 所以平面平面； 在上存在点使得平面平面． 37．（2026高一·北京西城·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，底面为矩形，，；点在线段上，且. (1)设平面平面，证明：； (2)证明：； (3)线段CA和线段CD上是否分别存在点M和点N，使平面平面PBC？若存在，写出CM和CN的长，并证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. (2) 因为平面平面，平面平面， 平面，且，所以平面. 又平面，所以. 又底面为矩形，所以. 平面，，所以平面. 平面，所以. 在中，，，， 所以，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. (3) 如图： 过作，交于点，过作交于点. 因为，平面，平面，所以平面. 同理平面. 又平面，，所以平面平面. 此时：， 因为，. 所以， 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证明线线平行. （2）通过证明线面垂直：平面，可证线线垂直. （3）根据面面平行的判定定理作出平行平面，再结合平行线分线段成比例定理求相应线段的长. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 38．（2026高一·福建三明·期中）如图，正三棱柱中，分别是棱的中点. (1)判断直线与直线，直线与平面的位置关系；（判断即可，不必说明理由） (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)直线与直线是异面直线，直线与平面相交 (2) 取的中点为，连接 ∵是棱的中点， ∴且 ∵点是棱的中点，                                                                                                                ∴且                                                                                                                  ∴且 ∴四边形是平行四边形 ∴. 且平面，平面， 所以平面. (3) 当点为棱的中点时，平面平面，                                                                证明：∵分别是棱的中点， ∴，∵ ，∴ ， ∵平面，平面，∴平面， ∵分别是棱的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵，平面， ∴平面平面. 【分析】（1）由空间中的线面位置关系，即可判断； （2）取的中点为，连接，即可证明为平行四边形，再由线面平行的判定定理，即可证明； （3）根据题意，由线面平行的判定定理分别证明平面，平面，再由面面平行的判定定理，即可证明. 【详解】（1）直线与直线是异面直线；直线与平面相交. 理由如下：因平面,平面, 平面, 故直线与直线是异面直线； 又因平面，因点是的中点，, 故相交，设交点为,则点平面， 又点平面，故直线与平面相交. （2）略 （3）略 39．（2026高一·福建莆田·期中）如图，在正四棱柱中，分别为的中点. (1)求证:平面； (2)棱(含端点)上是否存在点，使得平面平面?若存在求出点，若不存在说明理由. 【答案】(1)证明：由分别为线段的中点可得， 所以四点共面， 取线段的中点，连接， 因为分别为线段的中点， 所以，且， 又根据正四棱柱的性质可得，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又面，面， 所以平面； (2)存在，点为点 【分析】（1）取线段的中点，连接，通过证明可得线面平行； （2）通过证明面面可得点的位置. 【详解】（1）略 （2）连接， 由分别为线段的中点可得，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又又面，面， 所以平面，同理平面， 又，且面， 所以平面平面， 故棱(含端点)上存在点，使得平面平面，此时点即为点. 题型09 空间坐标法证明平行相关问题 1.核心逻辑 建空间直角坐标系，向量判定： (1) 线线平行：两直线方向向量共线； (2) 线面平行：直线方向向量与平面法向量垂直，，并且直线不在平面内； (3) 面面平行：两个平面法向量互相平行。 2.解题步骤 ①建立合适空间直角坐标系，写出全部关键点坐标； ②求直线方向向量，求平面法向量； ③线线平行：验证方向向量成倍数； ④线面平行：验证方向向量·法向量，检验直线不在平面； ⑤面面平行：两个平面法向量共线； 3.易错提醒 向量垂直就直接判定线面平行，漏掉直线不在平面内；建系坐标写错。 40．（26-27高三·四川巴中·阶段检测）如图，四棱锥中，底面，，，． (1)证明：平面； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)方法一：因为平面，而平面，所以， 又平面，所以平面， 而平面，所以． 因为，所以，所以， 又平面平面，所以平面. 方法二：以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设 设平面的法向量，由得． 取，得平面的一个法向量. （也可直接用AD的一个方向向量为去证明） 所以，即 又平面，所以平面． (2) 【分析】（1）根据一个平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行找到线线平行，利用线面平行的判定定理证明线面平行即可；或利用空间直角坐标系，根据直线的方向向量与平面的法向量垂直证明线面平行； （2）利用空间直角坐标系，根据二面角的平面角与法向量之间的关系求角即可． 【详解】（1）略 （2）方法一：以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， ，因为，则 设平面的法向量，由得 取，得平面的一个法向量. 设平面的法向量，由得． 取，得平面的一个法向量． 所以； 因为二面角为锐角． 所以二面角的余弦值为． 方法二：如图所示，过点D作于，再过点作于，连接，因为平面，且平面，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面，所以平面， 所以即为二面角的平面角， 因为，则， 而为等腰直角三角形，所以， ，则． 所以，二面角的余弦值为． 41．（26-27高二·贵州贵阳·阶段检测）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，.是的中点，是的中点. (1)求证平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1) 因为 平面 ABCD，，所以以 为原点，分别以 、、 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系. 由 ，，且 ，得各点坐标： 由 为 的中点， 为 的中点，得     因为     故 与这两个向量共面；又 平面 ， 因此 平面 . (2) (3) 【分析】(1)由 底面且 ，三条棱两两垂直，适合建系；把待证直线的方向向量表示为平面内两个不共线向量的线性组合，由共面条件证线面平行； (2)分别求两平面的法向量，用法向量夹角公式求二面角的余弦； (3)用“平面内一点与该点连成的向量在法向量上的投影绝对值”求点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）设平面 的法向量为 ，由 ，， 即： ，取 则 设平面 的法向量为 .在该平面内取 ，， 即： ，取 则 设两平面所成二面角为 ，则 （3）平面 过点 ，其法向量为 ，又 ，故点 到平面 的距离 【点睛】三线两两垂直时建系是通法：线面平行看“方向向量能否被平面内两向量线性表示”，二面角与线面角、点面距离都归结为法向量的夹角与投影. 42．（2026高一·山东枣庄·期中）如图､在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，且，点为的中点. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) 因为，为平行四边形，， 由余弦定理可得：， ，则，底面， 又平面平面，可得. 故以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图示的空间直角坐标系， 则， 的中点， 设平面的一个法向量， 则， 取，则，故. 又，故. 所以平面. (2) 【分析】（1）根据题目条件，以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量乘积为，即可求证平面； （2）利用点到平面的距离公式即可求出点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，平面的一个法向量， 则点与平面的距离. 43．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面为的中点，为菱形，，，分别是线段，上的动点，且满足. (1)求证：平面； (2)求的值，使得二面角的平面角的正切值为. 【答案】(1) 如图，以点为原点建立空间直角坐标系，其中为的中点. AI不妨设，则， ， 设，，，，， 由，得，， 同理得，， 设平面的法向量，则，，得 可取，于是，故. 又因为平面，即平面. (2) 【分析】（1）结合题干建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，进而可证明和法向量的数量积为即可.题干列式求解即可. （2）利用（1）求出的点的坐标，再求出平面和平面的法向量，利用已知条件列式即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得， 设平面的法向量，则，， 可取，又为平面的法向量, ，，， 化简得，解得或（舍去），故. 44．（2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在. 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量平行即可证明面面平行； （2），当垂直与平面的法向量时平面，求的值即可. 【详解】（1）因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为，所以平面平面. （2）设线段上存在点使得平面， 由（1）得，，平面的法向量， 所以， 由解得， 即为线段中点时，平面. 45．（2026高二·海南海口·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，，，点在线段上，且，、、分别为，，的中点.    (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在一点？使得点到平面的距离为，若存在，请说明点的位置. 【答案】(1) 在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    (2)存在，为靠近的三等分点，或与重合. 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）设，，进而得到，结合（1）中，利用点到平面的距离公式列方程求参数，即可得. 【详解】（1）略 （2）假设存在点到平面的距离为，且，， 所以，则， 由（1）知，是平面的一个法向量， 所以点到平面的距离， 所以，可得或， 所以，当为靠近的三等分点或与重合时，满足要求. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $