专题04 数列与几何应用题7种常见考法归类（核心题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题04 数列与几何应用题7种常见考法归类 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 叠罗汉类型与等差数列 1.核心逻辑 层层堆叠，每一层/每一环数量均匀增加/减少，构成等差数列；常见天坛圜丘塔、宝塔台阶、塔群。 多层嵌套等差数列：上层、中层、下层各自为同公差等差数列，利用等差数列性质：若等差，则，，仍成等差数列。 2.解题步骤 ①读题，提取首项，公差； ②分清每层的项数，写出通项与前项和； ③多层嵌套，利用片段和的等差性质快速列式； ④解方程求环数、层数、总数量。 3.易错提醒 分不清“环数”和“石板块数”；多层嵌套直接分别硬算，不会用片段和性质；审题忽略不含天心石这类限制条件。 1．（2026高二·全国·专题练习）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（   ） A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块 【答案】C 【详解】解法一：设每一层有n环，由题意可知，从内到外每环上扇面形石板数之间构成等差数列，上层中心的首项为，且公差，由等差数列的性质可得，，成等差数列，且，则，则，则三层共有扇面形石板块， 解法二：设每一层有n环，由题意可知，从内到外每环上扇面形石板数之间构成等差数列，上层中心的首项为，且公差，故，，根据等差数列性质， 故故选C． 2．（2026高二·全国·专题练习）广丰永和塔的前身为南潭古塔，建于明万历年间，清道光二十五年（1845）重修．砖石结构，塔高九层，沿塔内石阶可层层攀登而上．塔身立于悬崖陡坡上，下临丰溪河，气势峭拔．上个世界九十年代末，此塔重修，并更名为“永和塔”．每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境．某游客从塔底层（一层）进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，问这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周止共需几步？（   ） A．352 B．387 C．332 D．368 【答案】C 【详解】设从第n层到第层所走的台阶数为，绕第层一周所走的步数为，由已知可得，，，， ，，所以数列为首项为26，公差为的等差数列，故，，数列为公差为的等差数列，故，， 设数列，的前n项和分别为，，所以，， 这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周止共需332步，故选C． 3．（26-27高三·江苏泰州·开学考试）北京天坛圜丘坛分为上、中、下三层.上层中心为天心石，环绕天心石的第一环有9块扇面形石板，以后每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，且每层内部各环也依次增加9块.每层环数相同，且下层石板总数比中层多729块.则每层的环数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列通项公式与等差数列前项和公式及性质分析求解即可. 【详解】设每层共有环，各环石板数构成等差数列， 其中首项为，公差， 所以每环石板数为：， 由题意可得：上、中、下三层的石板总数分别为：， 又下层石板总数比中层多729块，所以， 即， 化简得：，解得：. 4．（2026高二·陕西渭南·期末）宁夏青铜峡一百零八塔，始建于西夏．塔群依山而建，共12行，总数恰为108座，自上而下每行的塔数构成数列，已知的前4项和，从第5项到第12项构成等差数列，，则（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】先利用等差数列求和公式，得到与的关系，再求的值． 【详解】因为数列从第5项开始是等差数列， 所以， ． 5．（2026高二·江西赣州·阶段检测）某器形制呈“三层九枝，枝栖神鸟”.今制仿器，首层凡四，次层增三，每进一层，益数恒三，循序而增，乃成等差之序.意思是该仿制器物第1层的构件有4个，从第2层起每层的构件比前一层多3个.若按古制取前若干层构件总数恰好为116，则该层数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】由题意可知该器各层的构件数成等差数列，其中，公差， 则其前项和， 整理可得，即， 解得或（舍去），所以该层数为8. 题型02 二次曲线内接连续等腰（等边）三角形 1.核心逻辑 在抛物线等曲线上生成一连串等腰、正三角形； 设第个三角形边长，记（前面所有边长之和），得到顶点横坐标，把顶点坐标代入曲线方程，得到与递推关系，作差得到为等差数列。 2.解题步骤 ①利用几何性质写出顶点坐标（中点、横坐标、纵坐标）； ②将点代入曲线方程，得到含等式； ③换为，两式作差，消去，得到递推； ④判断是等差，写出通项，再求边长、面积。 3.易错提醒 顶点横坐标写错，忘记累加前面三角形的边长；作差时忽略，忘记检验。 6．（2026高二·全国·专题练习）如图所示，曲线上的点与x轴正半轴上的点及原点O构成一系列正三角形（设为O），记，则数列的通项公式_____________． 【答案】 【详解】由条件可得为正三角形．且边长为，所以，在曲线上，代入中，得，因为，所以，根据题意得点，代入曲线并整理，得，当，时，， 即，因为，所以，当时，，解得（负值舍去），满足．所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以．故答案为． 7．【多选】（2026高二·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知函数的图象为曲线C，点，，，…在C上，点，，，…在x轴上，且，，，…分别是以，，，…为直角顶点的等腰直角三角形．记点，的横坐标分别为，，则（   ） A． B． C．为等差数列 D． 【答案】BCD 【详解】由题意得，，所以，，直线，联立，得，所以，所以，所以，所以，所以，所以为公差4的等差数列，所以，所以，所以，故BC正确； 因为，所以，故A错误； ，所以， 所以，故D正确．故选BCD． 8．【多选】（2026高二·江苏南京·期中）如图，曲线（）上的点与轴非负半轴上的点，（）构成一系列斜边在轴上的等腰直角三角形，记为，，…，（为坐标原点）.设的斜边长为，点，的面积为，，则（   ）    A．数列的通项公式 B．数列的通项公式 C． D． 【答案】ACD 【分析】由等腰直角三角形的性质可知，点在斜边的中垂线上，且到轴的距离等于斜边长的一半,再结合点在曲线 上，可以建立 与相邻两个横坐标之间的关系，从而求出，最后逐项判断各选项. 【详解】设 因为是斜边在轴上的等腰直角三角形，所以： 为斜边，故 点在斜边的中垂线上，因此 直角顶点到底边轴的距离等于斜边长的一半，因此 又因为在曲线 上，所以 于是有再由 ，得 即所以 同理，对下一项有 故 整理得 即 由于，所以 故数列 为等差数列. 当时，，于是 解得因此所以A正确. 再由得 故B中的 错误，所以B错误. 又因为等腰直角三角形的面积为 代入，得 于是所以C正确. 再看 D：， 当 时， 所以 从而所以D正确. 9．（2026高三·贵州黔南·期末）如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角形（与坐标原点重合）的边长为，则第个正三角形的面积为______．（用含的代数式表示）    【答案】 【分析】由已知可得点在曲线上，代入曲线方程可求，令为数列的前项和，可得点在曲线上，代入曲线方程，，根据关系证明数列为等差数列，由此可求，结合面积公式求结论. 【详解】依题意，为正三角形，且，    点在曲线上，即， 整理得，解得． 令为数列的前项和，是正三角形， 点， 于是点在曲线上， 则，即. 当时，，两式相减， 得， 整理得，又， 则，而满足上式， 因此， 即数列是首项，公差的等差数列， 所以， 则第个正三角形的面积为． 故答案为：. 10．【多选】（2026·四川广元·模拟预测）如图，有一系列正三角形，设第个正三角形的边长为，其中，在曲线上，为坐标原点，在轴上.记为数列的前项和，则（    ） A． B．对任意的， C．数列的前项和为 D． 【答案】ACD 【分析】选项A：结合正三角形的性质求出坐标，代入曲线求解即可；选项B：结合正三角形的性质求出坐标，代入曲线得到，根据与的关系求出，进一步判断即可；选项C：由B求出，进而求出，结合裂项相消法求和即可；选项D：由解析式代入求解即可. 【详解】选项A：由题意易知，，则，即，解得，故A正确. 选项B：易知，即， 则，即，则， 所以， 即， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以. 因为，故B错误. 选项C：，则， 所以数列的前项和为，故C正确. 选项D：，故D正确. 题型03 面积构造等比 1.核心逻辑 连接各边中点，反复迭代生成一系列相似图形；边长、周长、面积构成等比数列。 相似比：边长、周长公比为；面积公比为；无穷图形用无穷等比求和公式。 2.解题步骤 ①由几何（勾股、相似）求出相邻图形边长之比； ②分别写出边长、周长、面积的首项、公比； ③有限项：普通等比求和；无穷多项：用无穷等比各项和； ④解不等式：第几项之后面积小于某个给定值，取对数求解。 3.易错提醒 面积公比错写成和边长公比一样；无穷求和不检验；迭代序号搞错第1、第2个图形。 11．（4.3 特殊数列的和）如图所示，正方形的边长为1，联结这个正方形各边的中点得到一个小正方形；又联结这个小正方形各边的中点得到一个更小正方形；如此无限继续下去．设第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，第个正方形的边长为． (1)求证：为等比数列； (2)求所有这些正方形周长的和与面积的和． 【答案】(1) 由题意得第1个正方形的边长，第个正方形的边长为 ． 即， 所以是首项为1，公比为的等比数列． (2)周长和为，面积和为2 【分析】（1）通过分析，得，得是首项为1，公比为的等比数列； （2）周长是首项为4、公比为的无穷等比数列，面积是首项为1、公比为的无穷等比数列，再根据无穷等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）所有正方形的周长组成的数列为：， 这是首项为4、公比为的无穷等比数列，故所有的正方形的周长之和为． 所有正方形的面积组成的数列为：， 这是首项为1、公比为的无穷等比数列，故所有的正方形的面积之和为． 12．（2026高二·上海·阶段检测）已知双曲线 ，点在上. 按如下方式构造点 : 过点作斜率为的直线与的下支交于点,点关于轴的对称点为，记点 的坐标为 ，为坐标原点，分别为线段的中点，的面积分别为 则 的值为_____. 【答案】/ 【分析】由点可得的值，设，得过的直线与双曲线方程，结合韦达定理可得，结合点代入可得，再利用等比数列定义与判定定理计算即可得证；由，结合，从而可得与，再利用面积公式分别计算，即可得. 【详解】由题知，所以双曲线， 设 ，则过 且斜率为 的直线方程为 , 联立 , 消得到 由题有 ,得到 由题知点在直线 上, 即有 ,所以 设 则 又，所以数列是以3为首项, 为公比的等比数列; ,由 , 即 即 则 ，，，， 从而 ，， 即 ，则 , 则 ,      从而 . 故答案为：. 13．（2026·黑龙江·模拟预测）已知双曲线，A为右顶点，点，，在双曲线上（不同于点A），使得． (1)求坐标； (2)记的坐标为．对的正整数，按照以下规则依次定义：过作一条平行于的直线与双曲线交于（不同于）．证明：为等比数列； (3)时，求n边形的面积． 【答案】(1)坐标为 (2)根据（1），可猜想，其中点看作. 已知坐标坐标满足猜想. 假设坐标猜想成立，我们来证明时猜想成立. 下面验证在双曲线上，并且满足. 记的坐标为， 则，， 所以， 所以在双曲线上. 直线的斜率， 直线的斜率， 所以满足. 由于直线与双曲线至多有两个交点，因此上述猜想的点即为题设中的点. 综上所述，根据数学归纳法原理，可知猜想正确. 由，这也就同时证明了数列为首项为公比为的等比数列，. (3) 【分析】（1）利用直线方程与双曲线方程联立解方程组可得； （2）根据（1）的结论，可以猜想，然后利用数学归纳法（多前提假设），通过验证方法和唯一性，从而得证； （3）利用三角形面积的向量坐标表达公式，求得三角形()的面积，然后求和，并利用等比数列求和公式化简即得n边形的面积． 【详解】（1）双曲线方程为 ，右顶点 . 计算 的斜率：. 直线 的方程为 . 代入双曲线方程并化简得：， 解得（舍去）或，对应. 故坐标为. （2）略 （3）顶点坐标可化为 (). 先证明三角形面积的向量坐标表示公式： 设向量， 则 . 考虑向量， ， n边形的面积： . 14．（2026·辽宁·模拟预测）如图，正方形的边长为1，取正方形各边的四等分点，得到第2个正方形，再取正方形各边的四等分点，得到第3个正方形，依此方法一直进行下去，若从第个正方形开始它的面积小于第1个正方形面积的，则（    ）（参考数据：） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】易知正方形的边长成等比数列，其公比为，设第个正方形的面积为，得到，求得，再由求解. 【详解】由已知得正方形的边长成等比数列，第二个正方形的边长为， 所以其公比为． 设第个正方形的面积为，则， 当时，，所以， 由，得， 所以， 即， 所以，所以． 故选：C． 15．（2026·吉林·模拟预测）已知在抛物线上，其中关于y轴的对称点为，记直线的斜率为且. (1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)求的面积； (3)记为数列的前n项和，是否存在正整数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明：点在抛物线上，， 即抛物线方程为. . 即. . . 是以2为首项，2为公比的等比数列，即. 符合上式，数列的通项公式是. (2) (3)存在，或 【分析】（1）先根据抛物线过的点求出，然后利用得，然后根据等比数列的定义证明，并根据等比数列的通项公式求解即可. （2）法一：求出直线的斜率，进而求出直线方程，求出到直线的距离及，代入三角形面积公式求解即可. 法一：先证明在中，，则的面积，然后代入三角形面积公式求解即可. （3）先根据求出，利用等差数列求和公式得，再代入已知等式列式求解，即可求得满足条件的正整数. 【详解】（1）略 （2）（法一）. 直线的斜率为. 直线的方程为：，即. 到直线的距离为， . . （法二）证明：在中，， 则的面积. 证明如下：， . 下面求的面积. ， . . （3）. . . .， 或或. 解得或或（舍）. 或. 【点睛】关键点点睛：对于新结构数列的证明问题，要结合题干中递推式关系，根据等比数列（等差数列）的定义式判断即可，注意证明等比数列时，要说明项不为0. 题型04 提丢斯数列 1.核心逻辑 提丢斯数列：前1‑2项单独，从第3项开始为等比数列，不是完整等比；需要分段写通项。 2.解题步骤 ①按题意变换（乘10，加减常数）得到变形后的辅助数列； ②识别：从第几项开始公比为2； ③分段写通项，分组求和：前几项单独算，后面用等比求和； ④多选：代入检验前几项排除错误选项。 3.易错提醒 直接把整个数列当成完整等比；通项不分段；求和直接套等比公式，漏掉前面特殊项。 16．【多选】（2026高三·贵州黔西南·阶段检测）提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6…表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离（以天文单位AU为单位）.现将数列的各项乘以10后再减4，得到数列，可以发现数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（    ） A．数列的第2023项为 B．数列的通项公式为 C．数列的前10项和为157.3 D．数列的前项和 【答案】CD 【分析】由题意可得数列由此可得数列从第2项起构成公比为2的等比数列，从而可求出其通项公式，判断选项A，由于，所以可求出数列的通项公式，从而可判断B，对于C，利用分组求和可求出数列的前项和，对于D，利用错位相减法可求出数列的前项和. 【详解】数列各项乘以后再减得到数列 故该数列从第项起构成公比为的等比数列，所以， 则，故A错误； 从而，故B错误； 设数列的前项和为， 当时，； 当时 ， 当时，也符合上式，所以， 所以，故C正确； 因为，所以当时， 当时，， 两式相减得 ， 所以， 又当时也满足上式，所以，故D正确. 故选：CD. 17．（2026·山西·模拟预测）“提丢斯数列”，是由18世纪德国数学家提丢斯给出，具体如下：0，3，6，12，24，48，96，192，…，容易发现，从第3项开始，每一项是前一项的2倍；将每一项加上4得到一个数列：4，7，10，16，28，52，100，196，…；再将每一项除以10后得到：“提丢斯数列”：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，…，则下列说法中，正确的是（    ） A．“提丢斯数列”是等比数列 B．“提丢斯数列”的第99项为 C．“提丢斯数列”前31项和为 D．“提丢斯数列”中，不超过20的有9项 【答案】C 【分析】根据已知定义，结合等比数列的通项公式、前项和公式进行判断即可. 【详解】记“提丢斯数列”为数列，则当时，，解得，当时，，符合该式，当时，，故，故A错误，而，故B错误；“提丢斯数列”前31项和为，故C正确；令，则，故，而，故不超过20的有8项，故D错误， 故选：C 18．【多选】（2026高二·江西九江·期末）提丢斯-波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一个经验公式来表示，即数列：，表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离（以天文单位为单位）.现将数列的各项乘以10后再减4，得到数列，可以发现数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（    ） A．数列的通项公式为 B．数列的第20项为 C．数列的前10项和为157.3 D．数列的前项和 【答案】CD 【分析】由题意先求出，即可判断选项A；由和的关系，求出，求出，即可判断选项B；由的通项公式，由分组求和结合等差数列和等比数列的求和公式求解，从而判断选项C，利用错位相减法求出，即可判断选项D． 【详解】数列各项乘以10后再减4得到数列， 故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以，故A错误； 从而，所以，故B错误； 数列的前10项和为 ，C正确； 因为， 所以当时，， 当时，， ， 所以 ， 所以，又当时，也满足上式， 所以，故D正确. 故选：CD. 19．【多选】（2026高三·广东佛山·阶段检测）“提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，…，这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1，1.6，2.8，6.2，10，…，则下列说法中正确的是（    ） A．“提丢斯数列”是等比数列 B．“提丢斯数列”的第99项为 C．“提丢斯数列”的前31项和为 D．“提丢斯数列”中，不超过300的有11项 【答案】BCD 【分析】根据已知，利用等比数列的概念、求和公式进行求解. 【详解】对于选项A，，所以“提丢斯数列”不是等比数列，故A错误； 对于选项B，设“提丢斯数列”为数列，当时，， 所以，故B正确； 对于选项C，“提丢斯数列”的前31项和为， 故C正确； 对于选项D，由有：，所以“提丢斯数列”中，不超过300的有11项，故D正确. 故选：BCD. 20．（2026高二·全国·专题练习）提丢斯—波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是1766年由德国的一位中学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太阳系第n颗行星与太阳的平均距离（以天文单位A．U.为单位）.现将数列的各项乘以10后再减4得数列，可以发现从第3项起，每一项是前一项的2倍，则______，______. 【答案】 【分析】由题意可写出数列的前面几项，确定数列从第二项起是等比数列，由此可求得其通项公式；继而可得的通项公式，求得. 【详解】数列各项乘10再减4得到数列：0，3，6，12，24，48，96，192，…， 故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以， 所以 ，所以， 故答案为：；； 题型05 杨辉三角数类型数阵 1.核心逻辑 表示第行第个数； 杨辉三角：第行数字和为； 莱布尼茨三角：顶端数 = 下方两数之和，经常考裂项相消求和； 变形三角数阵：观察相邻行的递推，累加法求通项。 2.解题步骤 ①读懂记号：行、列的编号，注意有些题目行从0开始； ②写出前几项，找递推关系； ③累加法求通项；裂项相消求和； ④利用组合数性质处理杨辉、莱布尼茨三角。 3.易错提醒 行号从0还是从1开始，编号看错；直接套用原始杨辉三角性质，忽略题目是“改造后的数阵”。 21．（2026高二·湖北随州·期中）杨辉三角是中国数学史上的伟大成就，如图所示的类杨辉三角数阵中，用A(m，n)表示第m行的第n个数，依此规律当时，正整数的最大值为（    ） A．51 B．52 C．53 D．54 【答案】B 【分析】设，根据数阵可得，由此得出通项公式，求解不等式即可. 【详解】设，， 即， ， 时，满足上式， 当，不等式成立， 当时，. 故选：B. 【点睛】本题以数学文化类杨辉三角为背景，考查累加法求数列的通项公式以及不等式的求解，考查数学计算能力，属于中档题. 22．（2026高三·河北张家口·开学考试）莱布尼茨三角是与杨辉三角数阵相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和．记第2行的第2个数字为，第3行的第2个数字为，…，第行的第2个数字为，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】探究通项规律，根据规律裂项求和即可. 【详解】每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和． 则 分析得， 所以． 故选：D. 23．（2026高二·重庆·期末）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．小明将杨辉三角每行两边的数改成了1，2，3……得到下图中的三角数阵，并将其命名为“南开三角”．假设第行的第二个数为，如．则（    ） A．54 B．57 C．45 D．46 【答案】D 【分析】结合数阵确定其为二阶等差数列即可求解； 【详解】由“南开三角”可得： ， ， ， ， ， ， ， ， 由以上累加可得：， 所以， 故选：D 24．（2026高二·云南玉溪·期中）如图是杨辉三角数阵.杨辉三角原名“开方作法本源图”，也有人称它为“乘方求廉图”，在我国古代用来作为开方的工具.在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，就已经出现了这个表.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角.杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，很值得我们中华民族自豪.记为图中第行各个数之和，为的前项和，则（    ）    A．511 B．512 C．1023 D．1024 【答案】A 【分析】由题意可得，结合等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】由题意可得， 而，所以数列是等比数列，且首项，公比， 所以. 故选：A 25．（2026高二·黑龙江齐齐哈尔·期末）莱布尼茨（德国数学家）三角（如图1所示）是与杨辉（南宋数学家）三角数阵（如图2所示）相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和. 现记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为，第2行的第2个数字为，第行的第2个数字为. (1)求的值； (2)将杨辉三角中的每一个数都换成就得到了莱布尼茨三角.我们知道杨辉三角的最基本的性质，也是二项式系数和组合数性质，请你类比这个性质写出莱布尼茨三角的性质，并证明你的结论. 【答案】(1) (2) 莱布尼茨三角的性质：. 证明： . . 故结论正确. 【分析】（1）由莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和求出，再由裂项相消法求和可得； （2）结合题意代换写出和式，再利用组合公式运算证明可得. 【详解】（1）由图1可知： 由每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和，可得 ， 故，同理， 故 ； （2）略 26．（2026高二·福建·期中）我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，下图是由 “杨辉三角”拓展而成的三角数阵，记第一条斜线之和为，第二条斜线之和为，第三条斜线之和为，以此类推，组成数列.例如若，则_______. 【答案】 【分析】可以发现为斐波那契数列，再由，推导规律得出结果. 【详解】为斐波那契数列：，从中发现：，，， 以此类推， 则. 故答案为：. 题型06 矩形数阵 1.核心逻辑 矩形行列数阵：每一行成等比，每一列成等差。记第行第列； 第一列是等差数列：；第行公比：。 求和：先对每一行求和，再对全部行求和，分组求和。 森德拉姆筛数阵：每行每列都是等差数列。 2.解题步骤 ①先求第一列（等差数列）； ②再利用每行等比，写出通项； ③求数阵总和：先算单行和，再全部相加； ④对角线项：取，得到对角线数列，再求通项、求和。 3.易错提醒 下标混淆行列；求和顺序搞错，把行列条件看反；不会拆分行列分别处理。 27．【多选】（2026高二·安徽·阶段检测）将个数排成行列的一个数阵，如：             …                 …                 …     …    …    …    …    …             …     该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）．已知，记这个数的和为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据结合，求得，根据等差数列、等比数列通项公式求得，，根据等比数列、等差数列求和公式得到. 【详解】 因为，所以，解得（舍去），故A正确； ，，故B错误； ，，故C正确； ， 故D正确． 故选：ACD． 28．（2026·山东烟台·模拟预测）如图，某数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同的等比数列，数阵中各项均为正数，，，则________；在数列中的任意与两项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项和为，则________． 【答案】 【分析】设第一行公差为，各列的公比为且，结合已知条件求得，即可写出通项公式，再根据题意确定前70项的组成，应用分组求和、等比数列前n项和公式求和即可. 【详解】设第一行公差为，各列的公比为且，且， 则，，，， 所以，则， 由各项均为正数，故，则，即， 综上，，故， 由上，前n项为，且， 故在之前共有项， 则，则， 综上，前70项为， . 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：利用等差、等比数列通项公式求行列间的公差、公比，确定行列通项公式为关键. 29．（2026高三·陕西汉中·阶段检测）下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列的数都成等差数列． 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 … 4 7 10 13 16 19 … 5 9 13 17 21 25 … 6 11 16 21 26 31 … 7 13 19 25 31 37 … … … … … … … … 表中对角线上的一列数2，5，10，17，26，37，…构成数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到数列的递推公式为，结合叠加法求得数列的通项公式，即可求解的值. 【详解】由题意，表格中对角线上的一列数2，5，10，17，26，37，…构成数列， 可得数列的递推公式为， 所以 ， 即数列的通项公式为， 所以. 故选：D. 30．（2026·湖北黄冈·模拟预测）将个数排成行列的一个数阵，如图： 该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）．已知，，记这个数的和为．给出下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中结论正确的是______．（填写所有正确答案的序号） 【答案】①③④ 【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出，列式即可求出，从而求出通项，进而可得，再按照分组求和法，每一行求和可得S，由此可以判断各命题的真假． 【详解】∵，，∴2m2＝2+5m+1，解得m＝3或m（舍去），①正确； ∴，③正确； 当时，，②不正确； ∴， ，④正确； 故答案为: ①③④. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和； （2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于型数列，利用分组求和法； （4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和. 31．（2026高二·湖北武汉·期末）将个数排成n行n列的数阵，如图所示，其中表示第i行第j列上的数，该数阵第一列的n个数从上到下构成以2为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以2为公比的等比数列，若，，则__________. 【答案】 【分析】由于第一列的n个数从上到下构成以2为公差的等差数列，所以可得，再由每一行的n个数从左到右构成以2为公比的等比数列，可得，从而可求得结果. 【详解】因为该数阵第一列的n个数从上到下构成以2为公差的等差数列，， 所以， 因为该数阵每一行的n个数从左到右构成以2为公比的等比数列， 所以， 故答案为： 32．【多选】（2026高二·全国·专题练习）将个数排成n行n列的一个数阵，如下所示，该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中）．已知，，记这个数的和为S．下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意，该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列，且，， 对于A，可得，，所以，解得或（舍去），所以选项A是正确的； 对于B，又由，所以选项B不正确； 对于C，由，所以选项C是正确的； 对于D，由这个数的和为S，则，所以选项D是正确的．故选ACD． 题型07 斐波那契数列 1.核心逻辑 递推：。 常用结论： ①前项和：； ②余数周期：斐波那契除以整数余数具有周期性； ③裂项变形：利用递推式实现裂项求和。 2.解题步骤 ①识别递推关系； ②求和利用； ③求余数：写出余数序列找周期； ④多项代数式化简，利用递推裂项相消。 3.易错提醒 记错前项和公式；忽略余数周期性，直接硬算大项；下标错位。 33．（26-27高三·全国·一轮复习）数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，满足，（，），则是斐波那契数列的第______________项. 【答案】2027 【分析】利用斐波那契数列的递推关系变形，通过裂项相消法求和即可求出结果. 【详解】由题意知，（，）， 所以（，）， 所以，，……，， 由累加法可得， 则， 所以是斐波那契数列的第2027项. 34．【多选】（2026高二·辽宁大连·阶段检测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，….该数列的特点是前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.若记此数列为，有，，前n项和为，则下列对“斐波那契数列”的描述正确的是（ ） A． B．该数列的前2026项中能被3整除的有506项 C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A：因为，所以， ，故A错误； 对于B：因为“斐波那契数列”的前若干项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…， 它们除以3所得的余数为：1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，…， 可以发现余数是以1，1，2，0，2，2，1，0为周期的，在一个周期内有2个能被3整除的数， 又，，所以该数列的前2026项中能被3整除的有项，故B正确； 对于C： 因为，即， 所以， 所以，故C正确； 对于D：因为 ， 因为，所以，故D正确. 35．（2026高二·四川广安·期末）数列称为斐波那契数列．在数学上，斐波那契数列可表述为．设该数列的前项和为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用累加法即可求出 【详解】由， 则有，，，，，， 累加得，所以. 故选：B. 36．【多选】（2026高二·江苏扬州·阶段检测）有一列数：1，1，2，3，5，8，．．．，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列（当趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618）．在现代物理、准晶体结构、股市研究等领域，斐波那契数列都有应用，现将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的有（    ） A． B．，若数列为等比数列，公比为，则 C． D． 【答案】ACD 【分析】选项A，先确定数列的周期，再结合周期计算的值.选项B，结合等比数列定义与斐波那契数列递推关系，推导与公比的关系进行判断.选项C，利用的周期求出一个周期内的和，再结合项数的周期余数计算前2020项和.选项D，通过累加斐波那契数列的递推式，化简得到前项和与的关系. 【详解】由题意，斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，．．．， 各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为， 可得数列的各项分别为， 所以数列是周期为6的周期数列．因为， 所以，故正确； 因为，且， 所以 ，故C正确； ，若数列为等比数列，公比为， 则，又， 则，则，且， 则，且，故错误； 因为， 将上面各式相加得， ， 即， 则， 即，故D正确. 故选：ACD 37．【多选】（2026高三·全国·一轮复习）“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现．因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”“斐波那契数列”满足，记其前n项和为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据数列新定义及数列概念计算判断 A，B，C选项，再应用裂项相消求和判断D即可. 【详解】A项，，A正确； B项，，B正确； C项，，C正确； D项，， 所以，D错误． 故选：ABC. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数列与几何应用题7种常见考法归类 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 叠罗汉类型与等差数列 1.核心逻辑 层层堆叠，每一层/每一环数量均匀增加/减少，构成等差数列；常见天坛圜丘塔、宝塔台阶、塔群。 多层嵌套等差数列：上层、中层、下层各自为同公差等差数列，利用等差数列性质：若等差，则，，仍成等差数列。 2.解题步骤 ①读题，提取首项，公差； ②分清每层的项数，写出通项与前项和； ③多层嵌套，利用片段和的等差性质快速列式； ④解方程求环数、层数、总数量。 3.易错提醒 分不清“环数”和“石板块数”；多层嵌套直接分别硬算，不会用片段和性质；审题忽略不含天心石这类限制条件。 1．（2026高二·全国·专题练习）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（   ） A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块 2．（2026高二·全国·专题练习）广丰永和塔的前身为南潭古塔，建于明万历年间，清道光二十五年（1845）重修．砖石结构，塔高九层，沿塔内石阶可层层攀登而上．塔身立于悬崖陡坡上，下临丰溪河，气势峭拔．上个世界九十年代末，此塔重修，并更名为“永和塔”．每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境．某游客从塔底层（一层）进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，问这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周止共需几步？（   ） A．352 B．387 C．332 D．368 3．（26-27高三·江苏泰州·开学考试）北京天坛圜丘坛分为上、中、下三层.上层中心为天心石，环绕天心石的第一环有9块扇面形石板，以后每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，且每层内部各环也依次增加9块.每层环数相同，且下层石板总数比中层多729块.则每层的环数是（    ） A． B． C． D． 4．（2026高二·陕西渭南·期末）宁夏青铜峡一百零八塔，始建于西夏．塔群依山而建，共12行，总数恰为108座，自上而下每行的塔数构成数列，已知的前4项和，从第5项到第12项构成等差数列，，则（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 5．（2026高二·江西赣州·阶段检测）某器形制呈“三层九枝，枝栖神鸟”.今制仿器，首层凡四，次层增三，每进一层，益数恒三，循序而增，乃成等差之序.意思是该仿制器物第1层的构件有4个，从第2层起每层的构件比前一层多3个.若按古制取前若干层构件总数恰好为116，则该层数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型02 二次曲线内接连续等腰（等边）三角形 1.核心逻辑 在抛物线等曲线上生成一连串等腰、正三角形； 设第个三角形边长，记（前面所有边长之和），得到顶点横坐标，把顶点坐标代入曲线方程，得到与递推关系，作差得到为等差数列。 2.解题步骤 ①利用几何性质写出顶点坐标（中点、横坐标、纵坐标）； ②将点代入曲线方程，得到含等式； ③换为，两式作差，消去，得到递推； ④判断是等差，写出通项，再求边长、面积。 3.易错提醒 顶点横坐标写错，忘记累加前面三角形的边长；作差时忽略，忘记检验。 6．（2026高二·全国·专题练习）如图所示，曲线上的点与x轴正半轴上的点及原点O构成一系列正三角形（设为O），记，则数列的通项公式_____________． 7．【多选】（2026高二·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知函数的图象为曲线C，点，，，…在C上，点，，，…在x轴上，且，，，…分别是以，，，…为直角顶点的等腰直角三角形．记点，的横坐标分别为，，则（   ） A． B． C．为等差数列 D． 8．【多选】（2026高二·江苏南京·期中）如图，曲线（）上的点与轴非负半轴上的点，（）构成一系列斜边在轴上的等腰直角三角形，记为，，…，（为坐标原点）.设的斜边长为，点，的面积为，，则（   ）    A．数列的通项公式 B．数列的通项公式 C． D． 9．（2026高三·贵州黔南·期末）如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角形（与坐标原点重合）的边长为，则第个正三角形的面积为______．（用含的代数式表示）    10．【多选】（2026·四川广元·模拟预测）如图，有一系列正三角形，设第个正三角形的边长为，其中，在曲线上，为坐标原点，在轴上.记为数列的前项和，则（    ） A． B．对任意的， C．数列的前项和为 D． 题型03 面积构造等比 1.核心逻辑 连接各边中点，反复迭代生成一系列相似图形；边长、周长、面积构成等比数列。 相似比：边长、周长公比为；面积公比为；无穷图形用无穷等比求和公式。 2.解题步骤 ①由几何（勾股、相似）求出相邻图形边长之比； ②分别写出边长、周长、面积的首项、公比； ③有限项：普通等比求和；无穷多项：用无穷等比各项和； ④解不等式：第几项之后面积小于某个给定值，取对数求解。 3.易错提醒 面积公比错写成和边长公比一样；无穷求和不检验；迭代序号搞错第1、第2个图形。 11．（4.3 特殊数列的和）如图所示，正方形的边长为1，联结这个正方形各边的中点得到一个小正方形；又联结这个小正方形各边的中点得到一个更小正方形；如此无限继续下去．设第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，第个正方形的边长为． (1)求证：为等比数列； (2)求所有这些正方形周长的和与面积的和． 12．（2026高二·上海·阶段检测）已知双曲线 ，点在上. 按如下方式构造点 : 过点作斜率为的直线与的下支交于点,点关于轴的对称点为，记点 的坐标为 ，为坐标原点，分别为线段的中点，的面积分别为 则 的值为_____. 13．（2026·黑龙江·模拟预测）已知双曲线，A为右顶点，点，，在双曲线上（不同于点A），使得． (1)求坐标； (2)记的坐标为．对的正整数，按照以下规则依次定义：过作一条平行于的直线与双曲线交于（不同于）．证明：为等比数列； (3)时，求n边形的面积． 14．（2026·辽宁·模拟预测）如图，正方形的边长为1，取正方形各边的四等分点，得到第2个正方形，再取正方形各边的四等分点，得到第3个正方形，依此方法一直进行下去，若从第个正方形开始它的面积小于第1个正方形面积的，则（    ）（参考数据：） A．8 B．9 C．10 D．11 15．（2026·吉林·模拟预测）已知在抛物线上，其中关于y轴的对称点为，记直线的斜率为且. (1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)求的面积； (3)记为数列的前n项和，是否存在正整数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型04 提丢斯数列 1.核心逻辑 提丢斯数列：前1‑2项单独，从第3项开始为等比数列，不是完整等比；需要分段写通项。 2.解题步骤 ①按题意变换（乘10，加减常数）得到变形后的辅助数列； ②识别：从第几项开始公比为2； ③分段写通项，分组求和：前几项单独算，后面用等比求和； ④多选：代入检验前几项排除错误选项。 3.易错提醒 直接把整个数列当成完整等比；通项不分段；求和直接套等比公式，漏掉前面特殊项。 16．【多选】（2026高三·贵州黔西南·阶段检测）提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6…表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离（以天文单位AU为单位）.现将数列的各项乘以10后再减4，得到数列，可以发现数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（    ） A．数列的第2023项为 B．数列的通项公式为 C．数列的前10项和为157.3 D．数列的前项和 17．（2026·山西·模拟预测）“提丢斯数列”，是由18世纪德国数学家提丢斯给出，具体如下：0，3，6，12，24，48，96，192，…，容易发现，从第3项开始，每一项是前一项的2倍；将每一项加上4得到一个数列：4，7，10，16，28，52，100，196，…；再将每一项除以10后得到：“提丢斯数列”：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，…，则下列说法中，正确的是（    ） A．“提丢斯数列”是等比数列 B．“提丢斯数列”的第99项为 C．“提丢斯数列”前31项和为 D．“提丢斯数列”中，不超过20的有9项 18．【多选】（2026高二·江西九江·期末）提丢斯-波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一个经验公式来表示，即数列：，表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离（以天文单位为单位）.现将数列的各项乘以10后再减4，得到数列，可以发现数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（    ） A．数列的通项公式为 B．数列的第20项为 C．数列的前10项和为157.3 D．数列的前项和 19．【多选】（2026高三·广东佛山·阶段检测）“提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，…，这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1，1.6，2.8，6.2，10，…，则下列说法中正确的是（    ） A．“提丢斯数列”是等比数列 B．“提丢斯数列”的第99项为 C．“提丢斯数列”的前31项和为 D．“提丢斯数列”中，不超过300的有11项 20．（2026高二·全国·专题练习）提丢斯—波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是1766年由德国的一位中学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太阳系第n颗行星与太阳的平均距离（以天文单位A．U.为单位）.现将数列的各项乘以10后再减4得数列，可以发现从第3项起，每一项是前一项的2倍，则______，______. 题型05 杨辉三角数类型数阵 1.核心逻辑 表示第行第个数； 杨辉三角：第行数字和为； 莱布尼茨三角：顶端数 = 下方两数之和，经常考裂项相消求和； 变形三角数阵：观察相邻行的递推，累加法求通项。 2.解题步骤 ①读懂记号：行、列的编号，注意有些题目行从0开始； ②写出前几项，找递推关系； ③累加法求通项；裂项相消求和； ④利用组合数性质处理杨辉、莱布尼茨三角。 3.易错提醒 行号从0还是从1开始，编号看错；直接套用原始杨辉三角性质，忽略题目是“改造后的数阵”。 21．（2026高二·湖北随州·期中）杨辉三角是中国数学史上的伟大成就，如图所示的类杨辉三角数阵中，用A(m，n)表示第m行的第n个数，依此规律当时，正整数的最大值为（    ） A．51 B．52 C．53 D．54 22．（2026高三·河北张家口·开学考试）莱布尼茨三角是与杨辉三角数阵相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和．记第2行的第2个数字为，第3行的第2个数字为，…，第行的第2个数字为，则（    ）．    A． B． C． D． 23．（2026高二·重庆·期末）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．小明将杨辉三角每行两边的数改成了1，2，3……得到下图中的三角数阵，并将其命名为“南开三角”．假设第行的第二个数为，如．则（    ） A．54 B．57 C．45 D．46 24．（2026高二·云南玉溪·期中）如图是杨辉三角数阵.杨辉三角原名“开方作法本源图”，也有人称它为“乘方求廉图”，在我国古代用来作为开方的工具.在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，就已经出现了这个表.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角.杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，很值得我们中华民族自豪.记为图中第行各个数之和，为的前项和，则（    ）    A．511 B．512 C．1023 D．1024 25．（2026高二·黑龙江齐齐哈尔·期末）莱布尼茨（德国数学家）三角（如图1所示）是与杨辉（南宋数学家）三角数阵（如图2所示）相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和. 现记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为，第2行的第2个数字为，第行的第2个数字为. (1)求的值； (2)将杨辉三角中的每一个数都换成就得到了莱布尼茨三角.我们知道杨辉三角的最基本的性质，也是二项式系数和组合数性质，请你类比这个性质写出莱布尼茨三角的性质，并证明你的结论. 26．（2026高二·福建·期中）我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，下图是由 “杨辉三角”拓展而成的三角数阵，记第一条斜线之和为，第二条斜线之和为，第三条斜线之和为，以此类推，组成数列.例如若，则_______. 题型06 矩形数阵 1.核心逻辑 矩形行列数阵：每一行成等比，每一列成等差。记第行第列； 第一列是等差数列：；第行公比：。 求和：先对每一行求和，再对全部行求和，分组求和。 森德拉姆筛数阵：每行每列都是等差数列。 2.解题步骤 ①先求第一列（等差数列）； ②再利用每行等比，写出通项； ③求数阵总和：先算单行和，再全部相加； ④对角线项：取，得到对角线数列，再求通项、求和。 3.易错提醒 下标混淆行列；求和顺序搞错，把行列条件看反；不会拆分行列分别处理。 27．【多选】（2026高二·安徽·阶段检测）将个数排成行列的一个数阵，如：             …                 …                 …     …    …    …    …    …             …     该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）．已知，记这个数的和为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 28．（2026·山东烟台·模拟预测）如图，某数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同的等比数列，数阵中各项均为正数，，，则________；在数列中的任意与两项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项和为，则________． 29．（2026高三·陕西汉中·阶段检测）下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列的数都成等差数列． 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 … 4 7 10 13 16 19 … 5 9 13 17 21 25 … 6 11 16 21 26 31 … 7 13 19 25 31 37 … … … … … … … … 表中对角线上的一列数2，5，10，17，26，37，…构成数列，则（    ） A． B． C． D． 30．（2026·湖北黄冈·模拟预测）将个数排成行列的一个数阵，如图： 该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）．已知，，记这个数的和为．给出下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中结论正确的是______．（填写所有正确答案的序号） 31．（2026高二·湖北武汉·期末）将个数排成n行n列的数阵，如图所示，其中表示第i行第j列上的数，该数阵第一列的n个数从上到下构成以2为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以2为公比的等比数列，若，，则__________. 32．【多选】（2026高二·全国·专题练习）将个数排成n行n列的一个数阵，如下所示，该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中）．已知，，记这个数的和为S．下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 题型07 斐波那契数列 1.核心逻辑 递推：。 常用结论： ①前项和：； ②余数周期：斐波那契除以整数余数具有周期性； ③裂项变形：利用递推式实现裂项求和。 2.解题步骤 ①识别递推关系； ②求和利用； ③求余数：写出余数序列找周期； ④多项代数式化简，利用递推裂项相消。 3.易错提醒 记错前项和公式；忽略余数周期性，直接硬算大项；下标错位。 33．（26-27高三·全国·一轮复习）数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，满足，（，），则是斐波那契数列的第______________项. 34．【多选】（2026高二·辽宁大连·阶段检测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，….该数列的特点是前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.若记此数列为，有，，前n项和为，则下列对“斐波那契数列”的描述正确的是（ ） A． B．该数列的前2026项中能被3整除的有506项 C． D． 35．（2026高二·四川广安·期末）数列称为斐波那契数列．在数学上，斐波那契数列可表述为．设该数列的前项和为，则等于（   ） A． B． C． D． 36．【多选】（2026高二·江苏扬州·阶段检测）有一列数：1，1，2，3，5，8，．．．，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列（当趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618）．在现代物理、准晶体结构、股市研究等领域，斐波那契数列都有应用，现将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的有（    ） A． B．，若数列为等比数列，公比为，则 C． D． 37．【多选】（2026高三·全国·一轮复习）“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现．因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”“斐波那契数列”满足，记其前n项和为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $