专题11 利用导数研究不等式恒（能）成立问题9种常见考法归类（核心题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦“利用导数研究不等式恒（能）成立问题”专题，系统整合9种核心考法，涵盖分离参数法、分类讨论法、同构转化法等关键题型，构建完整知识框架与解题体系。 清单通过“题型脑图”直观呈现考法关联，“考法深研”模块细化每种题型的解题步骤与易错点，如分类讨论法明确导数根的存在性等讨论关键点，配合例题与变式题培养学生数学思维与问题解决能力。教师可据此精准指导，学生能高效自主复习，提升备考针对性。

专题11 利用导数研究不等式恒（能）成立问题 9种常见考法归类 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 分离参数法解决恒成立问题 分离参数法 将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题,利用导数求该函数的最值,根据要求得出参数的范围。 1.变量与参数的确定:谁的范围已知,将其视为变量,构造关于它的函数,另一个字母视为参数。 2.分离参数法遵循两点原则:①已知不等式中两个字母容易进行分离;②分离参数后,已知变量的函数解析式容易求出最值或 临界值。 3.一般地,恒成立,只需即可;恒成立,只需 即可。 【例1】（2026·山东日照·模拟预测）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026高二·山东青岛·期末）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【变式1-2】（2026高二·海南·期末）已知函数在定义域上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026高二·广东揭阳·期末）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型02 分类讨论法解决恒成立问题 分类讨论法 当参数不容易分离，或者分离之后函数过于复杂、出现分母为0、不定式形式时，不对参数做移项分离，直接构造含参函数，通过导数分析含参函数单调性，依据参数不同取值划分讨论区间。 1.讨论关键点：导数等于0的根是否存在、根的大小、根是否落在给定定义域区间内。 2.求出每种参数情况下函数在区间上的最值； 3.由恒成立要求：恒成立；恒成立，建立关于参数的不等式求解； 4.汇总各个讨论分支下参数解集，取并集得到最终参数范围。 注意：分类讨论要做到不重不漏；每一类都要检验最值点是否在定义域。 【例2】（2026高二·河北唐山·期中）若不等式对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（26-27高三·贵州·开学考试）已知关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，其中． (1)当时，求函数的极值； (2)若，，求a的取值范围． 【变式2-3】（2026高二·江苏扬州·期中）已知函数，其中，为自然对数的底数. （1）当时，对， ①证明：； ②若恒成立，求实数的范围； （2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围. 题型03 同构转化解决恒成立问题 同构转化法 把不等式两边式子变形，整理成结构完全一样的形式，抽象出外层公共函数，将复杂不等式转化为与大小关系；利用外层函数的单调性脱去外层函数外壳。 1.观察不等式两侧代数式，做移项、变形，凑出相同函数结构； 2.设外层同构函数，求导判断单调递增还是单调递减； 3.利用单调性：若单调递增，则；递减则相反； 4.脱去之后，转化为简单不等式恒成立，再求参数范围或者完成证明。 提醒：同构之前务必确认外层函数定义域，保证都落在定义域内。 【例3】（2026高二·河南洛阳·期末）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026高二·广东深圳·期末）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026高二·广东·期末）已知当时，函数恒成立，求实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026高二·甘肃酒泉·期末）若对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型04 已知参数范围证明不等式恒成立 给定参数范围证明恒成立 题目已经给出参数的取值区间，不需要求参数，只需要证明在此参数范围内不等式对所有成立。 1.解题步骤 ①构造函数，参数当作已知常数； ②求导分析函数单调性，导数里面含有参数，利用题目给的参数范围判断导数符号； ③判断函数增减，得到函数在区间上的最小值或者最大值； ④证明函数最值满足不等式条件，完成证明。 2.技巧：若导数符号不好直接判断，可以对导数再次求导（二阶导数）； 3.易错提醒：不能取特殊参数值举例代替一般性证明。 【例4】（2026·四川成都·模拟预测）已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)当时，证明：. 【变式4-1】（2026高三·全国·阶段检测）已知函数. (1)若恒成立，求的取值范围； (2)当时，证明恒成立. 【变式4-2】（2026高三·湖北武汉·阶段检测）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)证明：对任意的，当时，. 【变式4-3】（2026高三·河北邢台·阶段检测）已知函数，. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)当时，证明：. 题型05 函数最值法证明恒成立 函数最值法 把待证不等式全部移到一侧，构造单函数，转化为证明（或）在区间恒成立。 1.解题步骤 ①移项整理，构造左边右边； ②求，分析单调性，找到在定义域上的极小（大）值； ③求出，只要证明，则恒成立；若证，证。 ④注意：极值点如果不能精确求解（隐零点），设零点回代做整体代换求最值。 核心：绝大多数导数恒成立证明，优先使用本方法。 【例5】（2026高二·四川成都·期末）已知函数，若对恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数．当恒成立时，则最大整数的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式5-2】（2026高二·贵州毕节·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点的切线方程； (2)求证：当时，． 【变式5-3】（2026高三·湖南·阶段检测）函数. (1)若，求的极小值； (2)当时，证明：. 题型06 分离成两个函数证明恒成立 分离成双函数数形结合法 将不等式拆成左右两个函数：；一个函数图像简单，另一个常含参数，借助图像位置关系分析。 1.解题步骤 ①把不等式变形为：左侧函数，右侧函数； ②分析两个函数图像特征：定点、切线、单调性； ③要恒成立等价于：在定义域上，图像始终在图像上方； ④临界位置常常是两函数相切，联立方程：函数值相等，导数值相等，求出临界参数。 > 重要提醒：此方法在选择填空可以快速使用；解答题不能只画图，必须代数推导，相切条件要列式证明。 【例6】（2026·河南开封·模拟预测）已知，，． (1)若对于恒成立，求实数m的取值范围； (2)证明：对任意，． 【变式6-1】（2026高三·天津红桥·期中）已知，. (1)求函数的单调区间； (2)对一切，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：对一切，都有成立. 【变式6-2】（2026·新课标Ⅰ）设函数,曲线在点处的切线方程为. (1)求 (2)证明: 【变式6-3】（2026高二·安徽阜阳·阶段检测）已知. (1)若函数，讨论的单调性与极值； (2)证明：. 题型07 分离参数法解决有解问题 分离参数法处理能成立（有解） 不等式有解：区间存在至少一个x满足条件，区别于全部x都成立的恒成立。 1.解题步骤 ①把参数与变量分离，写成或者形式； ②有解； 有解。 > 对比记忆： 恒成立：恒成立； 有解：有解。 ③求出函数最值，写出参数取值范围； 2.易错提醒：混淆恒成立与能成立对应的最值，把两者条件记反。 【例7】（2026高二·全国·课后作业）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026高二·全国·课后作业）已知函数，．若关于的不等式有解，则实数的取值范围为________． 【变式7-2】（2026高二·河南郑州·期末）已知函数，若函数在区间上存在单调递减区间，则实数的范围是______. 【变式7-3】（2026高二·吉林·期末）已知函数，，，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型08 等价转化法解决能成立问题 等价转化法处理能成立问题 参数难以分离时，构造含参函数，将“存在使不等式成立”等价转化为函数的最值条件。 1.核心等价关系 等价于 ； 等价于 。 2.解题步骤 ①构造含参数函数； ②分类讨论参数，求在定义域上的最值； ③套用上面等价关系列不等式，解出参数范围； ④汇总各分支结果。 3.易错提醒：不要把能成立等价写成，这是恒成立条件。 【例8】（2026高二·江苏扬州·期中）若存在使得成立，则的最大值为__________. 【变式8-1】（2026高二·山东日照·期中）已知函数的一个极值点是. (1)当时，求的单调区间； (2)设，，若存在，，使得成立，求实数的取值范围. 【变式8-2】（2026高二·广东东莞·期末）设函数，，若存在，，使得，则的最大值为________． 【变式8-3】（2026高三·辽宁沈阳·开学考试）设是函数的一个极值点. (1)求与的关系（用表示），并判断的单调性； (2)设，，若存在[0，4]，使得成立，求的取值范围. 题型09 恒成立与能成立的结合 恒成立+能成立综合模型 题干同时出现任意、存在量词，例如：，满足或者，是高频综合题型。 1.常见等价模型 ①： ②： ③： ④： ⑤若要求，则的值域是值域的子集。 2.解题步骤 ①分清量词：“任意”、“存在”； ②分别求两个函数各自值域/最值； ③套用对应等价关系列不等式求解参数； 3.易错提醒：混淆任意、存在对应的最值组合。 【例9】（2026高三·安徽·阶段检测）已知函数，. (1)证明：函数的图象为中心对称图形； (2)求的值； (3)对于任意，都存在使得成立，求实数的取值范围. 【变式9-1】（2026高三·上海·二轮复习）已知函数，，其中为自然对数的底数，,若对任意的..，总存在，使得，求的取值范围. 【变式9-2】（2026高一·湖南衡阳·阶段检测）已知函数，若对任意的，总存在使得，则的取值范围为___________． 【变式9-3】（2026高二·广西贵港·阶段检测）已知函数，若对任意（0，2]，存在[1，2]，使，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 利用导数研究不等式恒（能）成立问题 9种常见考法归类 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 分离参数法解决恒成立问题 分离参数法 将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题,利用导数求该函数的最值,根据要求得出参数的范围。 1.变量与参数的确定:谁的范围已知,将其视为变量,构造关于它的函数,另一个字母视为参数。 2.分离参数法遵循两点原则:①已知不等式中两个字母容易进行分离;②分离参数后,已知变量的函数解析式容易求出最值或 临界值。 3.一般地,恒成立,只需即可;恒成立,只需 即可。 【例1】（2026·山东日照·模拟预测）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过将不等式问题转化为函数问题，结合导数即可求解函数最值，进而得到的范围. 【详解】由得 因为，所以 令 则问题转化为求在上的最小值． 求导得 令， 因为，所以与同号． 又，所以在上单调递增． 当时，；又，所以存在唯一的，使得． 再看方程， 函数，，则， 则在上单调递增，且当时，， 当时，，所以该方程有唯一正根． 设这个正根为，则， 于是且，说明这个正是的唯一根． 因此，当时，，从而； 当时，，从而． 所以在处取得最小值． 由，得，又， 所以 所以． 要使对任意恒成立，必须且只需． 当时，取，原不等式等号成立，不满足严格大于． 故的取值范围为． 【变式1-1】（2026高二·山东青岛·期末）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】分离参数得，利用导数求出的最小值即可. 【详解】由于不等式中包含，所以， 将不等式两边同时除以得：， 设，， 令，解得， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 因此是的极小值点，也是最小值点， ，即的最大值是1，A正确. 【变式1-2】（2026高二·海南·期末）已知函数在定义域上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数单调递减转化为导函数恒小于等于，分离参数构造新函数，利用导数求新函数最大值，再解出参数的取值范围． 【详解】的定义域为， ， 由在定义域上单调递减， 得，恒成立， 由，得， 令，， 由，得， 时，，单调递增； 时，，单调递减， 所以时，取最大值， 所以，解得， 即实数的取值范围为． 【变式1-3】（2026高二·广东揭阳·期末）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义判断函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，进而将不等式化为恒成立，利用导数研究右侧的最大值，即可得. 【详解】由，因此是R上的奇函数， 其中，仅在处导数为0，因此是R上的单调递增函数， 原不等式，则，得，即恒成立， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因此的最大值为 所以，只需，即的取值范围是. 题型02 分类讨论法解决恒成立问题 分类讨论法 当参数不容易分离，或者分离之后函数过于复杂、出现分母为0、不定式形式时，不对参数做移项分离，直接构造含参函数，通过导数分析含参函数单调性，依据参数不同取值划分讨论区间。 1.讨论关键点：导数等于0的根是否存在、根的大小、根是否落在给定定义域区间内。 2.求出每种参数情况下函数在区间上的最值； 3.由恒成立要求：恒成立；恒成立，建立关于参数的不等式求解； 4.汇总各个讨论分支下参数解集，取并集得到最终参数范围。 注意：分类讨论要做到不重不漏；每一类都要检验最值点是否在定义域。 【例2】（2026高二·河北唐山·期中）若不等式对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，然后利用导数研究其单调性，求出的最小值，最后根据最小值大于等于0来确定实数的取值范围. 【详解】令，则. 当时，，此时在上单调递增，且，此时不满足对任意实数恒成立. 当时，，不满足对任意实数恒成立. 当时，令，得. 当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，. 要使对任意实数恒成立，则，即. 令，，令，则. 当，，在上单调递增；当时，，在上单调递减. ，因此，当且仅当时，，即成立. 综上，实数的取值范围是. 【变式2-1】（26-27高三·贵州·开学考试）已知关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，先否定，再证明时，满足题意. 【详解】设，则，， 若，则存在，使得时，， 从而在上递增，因此，与矛盾， 所以，即， 当时，时，，， 所以， 设，则， 设，则，单调递增，即在上单调递增， 又，所以时，，所以是减函数，而， 所以时，，所以， 所以时，， 综上，. 【变式2-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，其中． (1)当时，求函数的极值； (2)若，，求a的取值范围． 【答案】(1)极小值为，极大值为 (2) 【分析】（1）利用导数判断出单调性可得答案； （2）求出，分、、讨论，利用的单调性可得答案. 【详解】（1）当时，， 则， 令，解得或． 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 函数的极小值为，极大值为； （2）， ①若，即时，，函数单调递减， ，不符合题意． ②若，令函数，则的图象开口向下， 且与x轴有两个交点，令，则，， 注意到且，， 不可能是函数的极大值． ，即． 当，即时， 若，则，函数单调递减； 若，则，函数单调递增． ，符合题意． 当，即时， 若，则，函数单调递减； 若，则，函数单调递增； 若，则，函数单调递减； 又，故只需即可，解得，∴， 综上，a的取值范围为． 【点睛】方法点睛：（1）求函数的极值点个数时，可求导讨论函数的单调性，再判断极值点和极值情况；（2）对于形式较复杂的函数不等式恒成立问题可考虑采用主元变换法，将参数看成未知数，将看成参数求导分析. 【变式2-3】（2026高二·江苏扬州·期中）已知函数，其中，为自然对数的底数. （1）当时，对， ①证明：； ②若恒成立，求实数的范围； （2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围. 【答案】（1）①证明见解析；②；（2）. 【分析】（1）①对函数进行求导，根据导函数的正负性判断函数的单调性，利用函数的单调性进行证明即可； ②构造新函数，利用导数判断所构造函数的单调性分类讨论进行求解即可； （2）对函数进行求导，根据导函数的正负性，结合零点的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）①当时，，于是，. 又因为，当时，且. 故当时，，即. 所以，函数为上的增函数，于是，. 因此，对，； ②时， 恒成立， 恒成立. 令，. ①当时，， 由（1）可知， 在上为增函数， 恒成立. 成立. ②当时，由（1）可知 在上增. 而 又. ∴存在，使得. ∴ 0 极小值 .（舍去）. 综上，. （2）由题意在上存在极值，则在上存在零点， ①当时，为上的增函数， 注意到，， 所以，存在唯一实数，使得成立. 于是，当时，，为上的减函数； 当时，，为上的增函数； 所以为函数的极小值点； ②当时，在上成立， 所以在上单调递增，所以在上没有极值； ③当时，在上成立， 所以在上单调递减，所以在上没有极值， 综上所述，使在上存在极值的的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于不等式恒成立问题一般利用构造函数法，利用导数得到函数的单调性，根据单调性进行求解. 题型03 同构转化解决恒成立问题 同构转化法 把不等式两边式子变形，整理成结构完全一样的形式，抽象出外层公共函数，将复杂不等式转化为与大小关系；利用外层函数的单调性脱去外层函数外壳。 1.观察不等式两侧代数式，做移项、变形，凑出相同函数结构； 2.设外层同构函数，求导判断单调递增还是单调递减； 3.利用单调性：若单调递增，则；递减则相反； 4.脱去之后，转化为简单不等式恒成立，再求参数范围或者完成证明。 提醒：同构之前务必确认外层函数定义域，保证都落在定义域内。 【例3】（2026高二·河南洛阳·期末）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对给定的恒成立不等式进行同构变形，构造函数并利用单调性可得，再构造函数并利用导数求出最小值即可. 【详解】，不等式恒成立， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 不等式恒成立， 令函数，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，解得，所以实数a的取值范围为. 【变式3-1】（2026高二·广东深圳·期末）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，将原不等式变形为同构不等式，结合的单调性得在时恒成立，利用导数求出的最小值即可得解. 【详解】将不等式变形为， 构造函数，其中，所以不等式可以表示为， 对求导，得，因为，所以恒成立，即在上单调递增， 则由不等式可推出对所有的恒成立，即，所以必须小于或等于在时的最小值， 令，则， 当时，，说明在上单调递减； 当时，，说明在上单调递增； 因此，在处取最小值，最小值为， 所以，即的最大值为，故B正确. 【变式3-2】（2026高二·广东·期末）已知当时，函数恒成立，求实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题易知时不成立，时，由指对同构转化为，令，即，运用单调性解不等式得到在上恒成立，利用参变分离，求函数最值即可. 【详解】当时，函数，因此不符合题意； 当，根据函数，即， 令函数，导函数， 令，，令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以在处取得最小值，即， 所以，即，因此函数在上单调递增. 因为，即， 所以在上恒成立， 所以，令函数， 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 即， 所以． 【变式3-3】（2026高二·甘肃酒泉·期末）若对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式形式，构造同构母函数，然后利用的单调性，将问题转化为对恒成立，求解最小值即可求得参数的取值范围. 【详解】设，对任意恒成立， 所以在上单调增. 可变形为 ，即 因为在单调增， 所以，即对恒成立. 设，令，解得. 所以，单调减， ，单调增. 所以当时，有最小值. 所以，解得. 题型04 已知参数范围证明不等式恒成立 给定参数范围证明恒成立 题目已经给出参数的取值区间，不需要求参数，只需要证明在此参数范围内不等式对所有成立。 1.解题步骤 ①构造函数，参数当作已知常数； ②求导分析函数单调性，导数里面含有参数，利用题目给的参数范围判断导数符号； ③判断函数增减，得到函数在区间上的最小值或者最大值； ④证明函数最值满足不等式条件，完成证明。 2.技巧：若导数符号不好直接判断，可以对导数再次求导（二阶导数）； 3.易错提醒：不能取特殊参数值举例代替一般性证明。 【例4】（2026·四川成都·模拟预测）已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)当时，证明：. 【答案】(1) (2) 记，则， 令，则， 所以即在上单调递增. 由，知. 所以，即， 故当单调递减；当单调递增. 所以， 由（*）式，可得. 代入式，得. 由（1）知，当时有，故， 所以. 由于，所以. 故，即，原不等式得证. 【分析】（1）令，将问题转化为，利用导数求出即可； （2）令，将问题转化为，通过导数研究单调性，借助隐零点和放缩法证明即可. 【详解】（1）记，，则恒成立，即. 因为， 当；当； 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，解得. 故实数的取值范围是； （2）略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，转化为构造函数，利用导数分析构造的函数的单调性，求得最值，证明即可.当导函数的零点不易求出时，可借助其单调性和零点存在定理确定零点所在区间，设出零点，再整体代换即可. 【变式4-1】（2026高三·全国·阶段检测）已知函数. (1)若恒成立，求的取值范围； (2)当时，证明恒成立. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导得，分、、三种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，根据恒成立可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围； （2）先证明出，由（1）可得出，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，证明出，可证得，进而可证得原不等式成立. 【详解】（1）解：，且该函数的定义域为，. ①当时，恒成立，在上单调递增， 因为，所以时不符合题意； ②当时，，显然成立； ③当时，由解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以，，即， 所以，，解得. 综上所述，. （2）证明：由题意可知，函数的定义域为， 先证明，令， 则， 由（1）可知，所以，， 设，其中，则且不恒为零， 所以，在上为增函数，故当时，， 所以，， 因为，故，故原不等式得证. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 【变式4-2】（2026高三·湖北武汉·阶段检测）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)证明：对任意的，当时，. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导得，再对分两种情况讨论得解； （2）欲证对任意的，成立，只需证，构造函数证明，即得证. 【详解】（1）解：. ①当时，，函数在R上单调递增； ②当时，由解得，由解得. 故在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）证明：原不等式等价于. 令，则. 当时，；当时，. ∴，即，当且仅当时等号成立. 当时，显然成立；当且时，. 欲证对任意的，成立，只需证 令，令 递减，递增 故存在，使 又由， 所以时，，递增， 时，，递减， 时，，递增，又， 故时，. 综上所述，结论得证 【变式4-3】（2026高三·河北邢台·阶段检测）已知函数，. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)当时，证明：. 【答案】(1) (2) 要证，， 只需证，. 因为， 所以，. 要证，， 只需证，， 即证，， 即证，. 令函数，，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故. 令函数，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故. 所以， 所以，从而原命题得证. 【分析】（1）由于在上单调递增，所以在上恒成立，通过构造函数转化为求最值问题； （2）将的证明转化成 的证明，通过构造，，即可证明，从而原命题得证. 【详解】（1）因为， 所以. 因为在上单调递增， 所以在上恒成立， 故在上恒成立， 即在上恒成立. 令函数，则. 当时，， 所以在单调递减， 所以， 所以a的取值范围为. （2）略 【点睛】思路点精： （1）由函数单调性求参数取值范围，通常构造函数转化为求函数最值问题； （2）要证明不等式成立，可通过转化后，利用构造函数法，结合导数求最值，由此来证得不等式成立. 题型05 函数最值法证明恒成立 函数最值法 把待证不等式全部移到一侧，构造单函数，转化为证明（或）在区间恒成立。 1.解题步骤 ①移项整理，构造左边右边； ②求，分析单调性，找到在定义域上的极小（大）值； ③求出，只要证明，则恒成立；若证，证。 ④注意：极值点如果不能精确求解（隐零点），设零点回代做整体代换求最值。 核心：绝大多数导数恒成立证明，优先使用本方法。 【例5】（2026高二·四川成都·期末）已知函数，若对恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导得出函数的最小值，利用恒成立条件得到关于的不等式，代入， 计算出的表达式，最后验证等号成立条件，得出结论. 【详解】已知函数，则，令，可得： . 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此在处取得最小值：. 又因为对恒成立，即： . ， ，，， 故当且仅当时，的最小值恰好为0， 满足对恒成立的条件，此时的最小值为，D正确. 【变式5-1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数．当恒成立时，则最大整数的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据导函数求单调性，根据单调性结合零点存在性定理假设零点进而求参数的范围 . 【详解】必要性探路缩小参数范围，代入，，则最大整数为2， 下证当时，， 此时函数与函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，又，， 故在有唯一实数根，记为，且， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 从而当时，取得最小值，由得， 即，故 综上，当时，成立． 所以最大整数的值为2 【变式5-2】（2026高二·贵州毕节·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点的切线方程； (2)求证：当时，． 【答案】(1) (2) 当时，，， 令，， ，易知在单调递增， ，， 存在唯一，使得， 即，， 且时，，单调递减， 时，，单调递增， 当时，取得最小值， 最小值为， 恒成立，即. 【分析】（1）利用切点函数值、导数求切线斜率，代入点斜式直接整理切线方程； （2）先放缩锁定临界参数构造新函数，通过隐零点代换消去指数与对数，化简最小值表达式证明恒正. 【详解】（1）当时，， ，切点为 又， 由整理得 曲线在点的切线方程为 （2）略 【变式5-3】（2026高三·湖南·阶段检测）函数. (1)若，求的极小值； (2)当时，证明：. 【答案】(1)； (2) 当时，， 令 ，定义域为， 则，其中， 由在上单调递增，且，， 则存在，使得， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增； 所以的最小值为， 由，可得，， 所以，即的最小值为0， 综上，，即得证. 【分析】（1）代入，求导判断函数单调性，根据单调性求解函数的极小值 （2）要证，即证，令，求导判断单调性，求出的最小值，得证. 【详解】（1）函数的定义域为，当时，， 由，得，即在上单调递增； 由，得，即在区间上单调递减， 所以的极小值为. （2）略 题型06 分离成两个函数证明恒成立 分离成双函数数形结合法 将不等式拆成左右两个函数：；一个函数图像简单，另一个常含参数，借助图像位置关系分析。 1.解题步骤 ①把不等式变形为：左侧函数，右侧函数； ②分析两个函数图像特征：定点、切线、单调性； ③要恒成立等价于：在定义域上，图像始终在图像上方； ④临界位置常常是两函数相切，联立方程：函数值相等，导数值相等，求出临界参数。 > 重要提醒：此方法在选择填空可以快速使用；解答题不能只画图，必须代数推导，相切条件要列式证明。 【例6】（2026·河南开封·模拟预测）已知，，． (1)若对于恒成立，求实数m的取值范围； (2)证明：对任意，． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）把与的解析式代入已知不等式，整理后设，求出的导函数，根据导函数的正负判断增减性，进而求出的最小值，即可确定的取值范围； （2）所证不等式两边同时乘以，左边为，右边设为，求出左边的最小值以及右边的最大值，比较即可证明. 【详解】（1）若，则，则， 设，则， ，，单调递减， ，， 单调递增，所以， 因为对一切，恒成立， 所以； 即实数m的取值范围是. （2）问题等价于证明， 又，， 令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 所以的最小值为. 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，当且仅当时取到， 从而对一切，都有成立． 【变式6-1】（2026高三·天津红桥·期中）已知，. (1)求函数的单调区间； (2)对一切，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：对一切，都有成立. 【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增 (2) (3) 证明：原问题等价于证明， 由（1）可知，的最小值是，当且仅当时取到， 设，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，当且仅当时取到， 所以对一切，都有成立． 【分析】（1）求出的导函数，令导函数小于0，可求得函数单调递减区间，导函数大于0，可求得函数单调递增区间； （2）把与解析式代入已知不等式，整理后设，求出的导函数，根据导函数的正负判断单调性，进而求出的最小值，即可确定的范围； （3）所证不等式两边乘以，左边为，右边设为，求出左边的最小值及右边的最大值，比较即可得证． 【详解】（1） 解：因为，所以， 当，，当，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； （2） 解：原不等式等价于，即对一切恒成立， 设，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 所以实数a的取值范围为； （3） 略 【变式6-2】（2026·新课标Ⅰ）设函数,曲线在点处的切线方程为. (1)求 (2)证明: 【答案】（1）； （2）证明：由（1）知，， 从而等价于. 设函数，则. 所以当，； 当时，. 故在上单调递减，上单调递增，从而在上的最小值为. 设函数，则. 所以当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为. 综上，当时，，即. 【分析】（1）根据求导法则求出原函数的导函数，由某点的导数是在该点的切线的斜率，结合切线方程以及该点的函数值，将函数值和切线斜率代入原函数和导函数可求得参数值；（2）由（1 )可得的解析式，为多项式，对要证的不等式进行变形，使之成为两个函数的大小关系式，再分别利用导函数求出两函数在定义域内的最值，可证得两函数的大小关系，进而证得. 【详解】（1）函数的定义域为， . 由题意可得，.故，. （2）略 【点睛】考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性进而证明不等式恒成立. 【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.本题（2）的证明过程就是利用导数分别求出在上的最小值及在上的最大值，进而得证的. 【变式6-3】（2026高二·安徽阜阳·阶段检测）已知. (1)若函数，讨论的单调性与极值； (2)证明：. 【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为，无极大值 (2) 要证成立，只需证成立， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的极大值为，即， 由（1）知，时，， 且的最小值点与的最大值点不同， 所以，即，所以. 【分析】（1）根据题意，先求出函数的解析式，然后求导分析单调性，确定极值即可； （2）要证，转化为证，再构造函数，利用函数单调性证明即可. 【详解】（1）由题意，得，则. 当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以的极小值为，无极大值. （2）略 题型07 分离参数法解决有解问题 分离参数法处理能成立（有解） 不等式有解：区间存在至少一个x满足条件，区别于全部x都成立的恒成立。 1.解题步骤 ①把参数与变量分离，写成或者形式； ②有解； 有解。 > 对比记忆： 恒成立：恒成立； 有解：有解。 ③求出函数最值，写出参数取值范围； 2.易错提醒：混淆恒成立与能成立对应的最值，把两者条件记反。 【例7】（2026高二·全国·课后作业）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为存在实数，使得成立，所以当时， ， 当时，令得或或， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 0 - 0 + 0 0 ↘ 极小值 ↗ 由表可知当时，取到时的极小值也是在区间上的最小值，且，故． 【变式7-1】（2026高二·全国·课后作业）已知函数，．若关于的不等式有解，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】通过函数导数与函数单调性的关系，结合函数零点存在定理，即可求解参数范围. 【详解】，当，即时，，在上单调递增，所以由有解， 而，故， 又，所以； 当，即时，，在上单调递减，所以由有解，得，故， 又，所以； 当，即时，使， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以， 令，，则， 所以在上单调递增，故， 所以，即有解． 综上，实数的取值范围为． 【变式7-2】（2026高二·河南郑州·期末）已知函数，若函数在区间上存在单调递减区间，则实数的范围是______. 【答案】 【分析】先对函数求导，根据函数在区间上存在单调递减区间得到关于的不等式，再通过对函数的最值来确定取值范围. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在区间上存在使得， 即在有解，即， 令，即， 因为对称轴为，所以， 所以，所以实数的范围是. 【变式7-3】（2026高二·吉林·期末）已知函数，，，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数，构造函数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】，使得可化为，使得，即. 令，，则. 令，则，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，为. 故a的取值范围是. 题型08 等价转化法解决能成立问题 等价转化法处理能成立问题 参数难以分离时，构造含参函数，将“存在使不等式成立”等价转化为函数的最值条件。 1.核心等价关系 等价于 ； 等价于 。 2.解题步骤 ①构造含参数函数； ②分类讨论参数，求在定义域上的最值； ③套用上面等价关系列不等式，解出参数范围； ④汇总各分支结果。 3.易错提醒：不要把能成立等价写成，这是恒成立条件。 【例8】（2026高二·江苏扬州·期中）若存在使得成立，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】同构变形，构造函数，得到，代入变形，构造函数，求出最值，得到答案. 【详解】， 设，则， 因为，所以， 在上恒成立， 故在上单调递增，故，， 所以，令，， 故，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，最大值为， 所以的最大值为 【变式8-1】（2026高二·山东日照·期中）已知函数的一个极值点是. (1)当时，求的单调区间； (2)设，，若存在，，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，在和上单调递减 (2) 【分析】（1）求导，结合已知极值点得出关系，再利用导数讨论，分析函数单调性； （2）结合（1）的结论利用单调性分析函数在区间内的最值，分析的单调性和最值，结合已知不等式构造不等式组求解． 【详解】（1）（）， ， 因为函数的一个极值点是， ，即，则有， 则（）， 当时，令得或，列表如下： 2 － 0 ＋ 0 － 减 增 减 满足是函数的极值点； 综上：当时，函数在上单调递增，在和上单调递减． （2）由（1）知，，且， 在单调递增，在单调递减， 又，， 在上的最大值为，最小值为， 又时函数在单调递增， 在上的最大值为，最小值为， 因为存在，，使得成立， 即存在，，使得成立， 则， 又，解得， 所以实数的取值范围为． 【变式8-2】（2026高二·广东东莞·期末）设函数，，若存在，，使得，则的最大值为________． 【答案】0 【分析】由已知条件得出，分析可知函数在上单调递增，可得出，于是得出，构造函数，利用导数求出函数的最大值，即可得出的最大值. 【详解】由题意，即，所以， 由，所以在上单调递增，则，可得， 所以， 令，函数定义域为，则， 令，有在上恒成立， 所以在上单调递减，即在上单调递减， 由，则时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，即的最大值为0. 【变式8-3】（2026高三·辽宁沈阳·开学考试）设是函数的一个极值点. (1)求与的关系（用表示），并判断的单调性； (2)设，，若存在[0，4]，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1)，单调性见解析 (2) 【分析】（1）由=0可得之间的关系；由之间的关系可得，分、，即可确定函数的单调区间； （2）由题意可得，分别求出两函数的值域，可得，求解即可. 【详解】（1）， 由=0，得 故. 因为， 由=0得：， 由于是的极值点， 故，即 当时，， 故在上为减函数，在[3，-a-1]上为增函数，在上为减函数； 当时，， 故在上为减函数，在上为增函数，上为减函数； （2）由题意，存在[0，4]，使得成立， 即不等式在[0，4]上有解. 于是问题转化为， 由于两个不同自变量取值的任意性，因此首先要求出和在[0，4]上值域. 因为，则， 由（1）知：在[0，3]递增；在[3，4]递减. 故在[0，4]上的值域为， 而在[0，4]上显然为增函数，其值域. 因为=≥0， 故， ， 从而， 解. 故的取值范围为 题型09 恒成立与能成立的结合 恒成立+能成立综合模型 题干同时出现任意、存在量词，例如：，满足或者，是高频综合题型。 1.常见等价模型 ①： ②： ③： ④： ⑤若要求，则的值域是值域的子集。 2.解题步骤 ①分清量词：“任意”、“存在”； ②分别求两个函数各自值域/最值； ③套用对应等价关系列不等式求解参数； 3.易错提醒：混淆任意、存在对应的最值组合。 【例9】（2026高三·安徽·阶段检测）已知函数，. (1)证明：函数的图象为中心对称图形； (2)求的值； (3)对于任意，都存在使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，定义域为， 设对称中心为，则需满足，， ，即， 函数的图象为中心对称图形且对称中心为； (2) (3) 【分析】（1）先计算定义域，再设出对称中心，验证是否满足即可得； （2）计算可得，结合（1）中所得计算即可得； （3）由题意可得在上的值域是在上值域的子集，分别计算两函数对应值域后，由包含关系列出不等式计算即可得. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，又， ； （3）由题意可知，在上的值域是在上值域的子集， 在上单调递减， 且，， 时，， ， 在上单调递增，又，， 时，， ， 且，解得， 综上，实数的取值范围为. 【变式9-1】（2026高三·上海·二轮复习）已知函数，，其中为自然对数的底数，,若对任意的..，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】 【分析】分析可得，利用导数分析函数在区间上的单调性，求出，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，求出，可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围 【详解】对任意的，总存在，使得，则， 因为， 则对任意的恒成立， 所以函数在区间上单调递增， 则. 因为， 所以当时，，不满足，故； 当时，在上单调递增， 所以， 即，解得； 当时，在上单调递减， 当x趋于时，趋于, 由,解得,与矛盾，故舍去； 综上，的取值范围为.. 【变式9-2】（2026高一·湖南衡阳·阶段检测）已知函数，若对任意的，总存在使得，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】由题意得，，进而利用导数分析两种函数的单调性，进而求得最小值，即可求解. 【详解】由题意得，， 由，， 则， 设，，则， 所以函数在上单调递增，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 由，， 则， 所以函数在上单调递增， 则， 由，则，即， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式9-3】（2026高二·广西贵港·阶段检测）已知函数，若对任意（0，2]，存在[1，2]，使，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确“任意-存在”型不等式的转化逻辑，再利用导数判断函数的单调性并求出其最值解决问题. 【详解】，令，解得或， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 因为对任意，存在，使， 所以在上有解，整理得， 令，， 令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减. 因为，所以， 所以. 故选：B 【点睛】 条件描述 等价最值关系 对任意，存在，使 对任意，任意，使 存在，存在，使 存在，任意，使 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $