精品解析：甘肃张掖市民乐县第一中学2026-2027学年高二上学期10月质量检测数学试卷

民乐一中2026-2027学年第一学期10月质量检测 高二数学试卷 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 在平面直角坐标系中，过点和点的直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 2. 等比数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 24 B. 28 C. 36 D. 48 3. 正项等差数列的公差为d，已知，且三项成等比数列，则（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 4. 已知点和，点C为直线上一点，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 若直线l过点和，且点在直线l上，则b的值为（ ） A. 183 B. 182 C. 181 D. 180 6. 在数列中，，对任意的，有，则当取得最大值时，（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 7. 已知直线和直线平行，则实数的值为（    ） A. -1 B. 2 C. -1或2 D. 1或-2 8. 已知等差数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 公差 B. C. 使成立的n的最小值为20 D. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 的通项公式为 D. 数列是递增数列 10. 经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知等差数列的前项和为，且满足，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 当且仅当时，取最小值 D. 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 直线恒过定点______. 13. 已知数列满足，则__________. 14. 若数列的前项和为，则__________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在等比数列{an}中， （1）已知，求前4项和； （2）已知公比，前5项和，求. 16. 已知点、、． （1）若直线通过点A与，求直线的一个方向向量，并求直线的方程； （2）求线段的垂直平分线的方程． 17. 已知数列是等差数列，是其前项和，且，. （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求. 18. 已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为． （1）求顶点的坐标； （2）求点到直线的距离． 19. 已知数列的首项为3，且满足，令． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）若对任意的都成立，求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 民乐一中2026-2027学年第一学期10月质量检测 高二数学试卷 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 在平面直角坐标系中，过点和点的直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由已知直线过点和点， 则直线斜率， 则直线的倾斜角满足， 又，故. 2. 等比数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 24 B. 28 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】求出公比，得到，从而得到. 【详解】设公比为，则， 所以， 所以. 故选：B 3. 正项等差数列的公差为d，已知，且三项成等比数列，则（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由等比中项的性质再结合等差数列性质列方程计算即可； 【详解】由题意可得， 又正项等差数列的公差为d，已知， 所以，即， 解得或（舍去）， 故选：C. 4. 已知点和，点C为直线上一点，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，，然后利用平行线间距离公式可得点C到的距离，进而即得. 【详解】由点，，可得，， 又点C为直线上一点， 可知，所以点C到的距离为， 所以的面积为， 故选：A. 5. 若直线l过点和，且点在直线l上，则b的值为（ ） A. 183 B. 182 C. 181 D. 180 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点坐标可利用两点式求直线的方程，代入即可求解. 【详解】因为直线l过点和，由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即.由于点直线l上，所以，解得. 故选:A. 6. 在数列中，，对任意的，有，则当取得最大值时，（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】先将已知等式变形，构造等差数列，利用等差数列的通项公式求，再结合二次函数的图象与性质即可求得当取得最大值时的值. 【详解】由，得，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，则. 易知二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 所以当时，取得最大值，（因为，所以）. 故选：B. 7. 已知直线和直线平行，则实数的值为（    ） A. -1 B. 2 C. -1或2 D. 1或-2 【答案】B 【解析】 【分析】根据两条直线平行系数关系列式计算求解参数. 【详解】直线，直线， 由，得，即，即，解得或. 当时，两直线重合，舍去. 当时，满足平行且不重合. 故选:B. 8. 已知等差数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 公差 B. C. 使成立的n的最小值为20 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式，前项和公式，结合条件，逐项进行判断即可求解. 【详解】设等差数列的公差为d，由，得， 即，即， 又，所以，所以；故AD错， ，故B错 因为，，所以，， 所以成立的n的最小值为20. 故C正确. 故选：C 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 的通项公式为 D. 数列是递增数列 【答案】AC 【解析】 【详解】由，得，则， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，故A正确，B错误； 则，即，即数列是递减数列，故C正确，D错误. 10. 经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】讨论截距，结合截距式求直线方程即可. 【详解】若直线在两坐标轴上的截距均为0，则直线的方程为，A正确； 若直线在两坐标轴上的截距不为0，可设直线的方程为， 将代入方程，得，则直线的方程为，C正确． 故选：AC 11. 已知等差数列的前项和为，且满足，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 当且仅当时，取最小值 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】列等式求出等差数列的公差d，首项，再据此逐一分析各项即可． 【详解】对于AB，设等差数列的公差为，由，得， 解得，所以， 则，故AB正确； 对于C，令，得，且，所以当或时，取最小值，故C错误； 对于D，因为，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 直线恒过定点______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，化简直线方程为，联立方程组，即可求解. 【详解】由直线，可化为， 联立方程组，解得，所以直线恒过定点． 故答案为：． 13. 已知数列满足，则__________. 【答案】82 【解析】 【分析】利用累加法求解即可. 【详解】已知数列  满足 ，（）， 由递推式可得： ， ， ， . 将以上各式相加，左边消去相同项后得： ， 又 ，所以当时，， 又当时，依然成立， 所以， 令 ，得： . 故答案为：82 14. 若数列的前项和为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用数列前n项和与第n项的关系求出通项作答. 【详解】数列的前项和为， 当时，， 而，不满足上式， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在等比数列{an}中， （1）已知，求前4项和； （2）已知公比，前5项和，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出公比，再根据等比数列前项和公式即可得解； （2）根据等比数列前项和公式求出首项，再根据等比数列的通项公式即可得解. 【小问1详解】 设公比为，由， 得，所以， 所以； 【小问2详解】 由，得， 所以. 16. 已知点、、． （1）若直线通过点A与，求直线的一个方向向量，并求直线的方程； （2）求线段的垂直平分线的方程． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）利用两点坐标求方向向量，再利用两点式计算方程； （2）利用中点坐标公式及两直线垂直关系求垂直平分线的斜率，再根据点斜式计算即可. 【小问1详解】 由题意可知，而即直线的一个方向向量， 根据两点式易知直线的方程为：，整理得； 【小问2详解】 因为、，所以其中点，即， 由可知，所以其垂直平分线的斜率为， 由点斜式可知其垂直平分线的方程为：，整理得. 17. 已知数列是等差数列，是其前项和，且，. （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列定义以及前项和公式计算可得，可得数列的通项公式； （2）根据错位相减法求和即可得出结果. 【小问1详解】 设的公差为， 由，可得， 解得，所以， 即数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可得 因为， 所以①， ②， ①—②得， 所以. 18. 已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为． （1）求顶点的坐标； （2）求点到直线的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两直线垂直斜率乘积为得到直线斜率，然后写出直线方程，联立方程即可解得点的坐标； （2）由点所在直线方程设出点坐标，然后写出中点坐标，代入中点所在直线方程，求得点坐标，结合（1）中直线方程，用点到直线距离公式即可求得结果. 【小问1详解】 由题意可知直线，即， 直线，则， ∴，则直线，即， 联立方程组得，解得， 即得. 【小问2详解】 点在直线上，设点， 则中点在直线上， 则，解得，即， ∴由（1）可得点到直线的距离. 19. 已知数列的首项为3，且满足，令． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）若对任意的都成立，求的范围． 【答案】（1） 由，则，又， 所以，又， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， . （2） 【解析】 【分析】（1）将递推关系变形，利用等比数列的定义证明，并求出通项公式； （2）由（1）可得，对任意均成立，令，判断数列的单调性，求出最大项得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，则，即对均成立， 所以，对任意均成立， 令，由，， 当时，，即， 当时，，即， 所以， ，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $