精品解析：甘肃部分学校2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题

高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】设等差数列的公差为，， 则，解得， 所以. 2. 若数列满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知，，，， 以此类推，可知. 3. 是数列的前项和，若，则与的等差中项为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，， 所以与的等差中项为. 4. 某公司第一年的利润为800万元，计划从第二年起，每一年该公司的利润是上一年的1.5倍.若预计前年的利润总和为6500万元，则（    ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知各年的利润成等比数列，由等比数列前项和的公式即可求得的值. 【详解】由题意知各年的利润成等比数列，记该数列为，前年的利润总和记为，公比. 由，解得. 5. 据科学计算，运载“神七”的“长征二号”系列火箭，在点火后第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程增加2km，在达到离地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是（ ） A. 10秒钟 B. 13秒钟 C. 15秒钟 D. 20秒钟 【答案】C 【解析】 【详解】∵ 火箭点火后每秒通过的路程依次构成数列，由题意得，， ∴ 数列是首项，公差的等差数列，设该过程需要的时间为秒， ∵ 前秒的总路程为240km，等差数列前项和公式为， ∴ 代入数据得，整理得， ∵ ，∴ 解得，即该过程大约需要15秒钟. 6. 已知公差大于0的等差数列的前项和为，若，的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 设数列的公差为，则，所以， ，， 所以当时，，当时，， 所以 ， 所以. 7. 已知各项均为负数的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列前项和公式即可求公比，结合数列各项为负的条件舍去负根，再代入公式计算即可. 【详解】设等比数列的公比为，易知， ，代入，， 得  ，化简得， 解得或（舍去）， 所以 . 8. 已知各项均为正数的数列的前项和为，，，，，则（ ） A. 125 B. 127 C. 250 D. 511 【答案】A 【解析】 【分析】先根据对数运算性质得到相邻两项乘积的递推关系，推导得出数列奇数项、偶数项分别为公比为2的等比数列，分别求和后相加得到. 【详解】由对数的运算性质，，因此，当时，得. 又，将两式相除可得， 所以数列的奇数项是以为首项，公比为2的等比数列； 偶数项是以为首项，公比为2的等比数列. 故 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 与是不同的数列 B. 是常数列 C. 数列的通项公式为 D. 数列是递增数列 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，数列与是不同的数列，故A正确； 对于B，数列是摆动数列，故B错误； 对于C，数列的通项公式为，故C错误； 对于D，数列是递增数列，故D正确． 10. 已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. B. 数列有最小项 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】设正项等比数列的公比为， 由，得，所以， 又，所以，解得或（舍去）， 所以等比数列的通项公式为. 对于A，，故A正确； 对于B，由，可得数列单调递减，所以数列无最小项，故B错误； 对于C，又，所以，故C正确； 对于D，因为， ，所以，故D正确. 11. 已知数列的前项和，则下列说法正确的有（ ） A. 数列是递减的等差数列 B. C. ，，成等比数列 D. 当或4时，取得最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】使用等差数列与等比数列的定义，通项公式，使用与的递推关系分析选项A，使用通项公式求解选项B，使用等比数列的定义分析选项C，使用等差数列的性质分析选项D. 【详解】因为， 所以当时，； 当时，，所以， 所以数列是首项，公差的等差数列． 因为，所以数列是递减数列，故A正确； ，故B错误； 因为，可得，，， 即，所以，，成等比数列，故C正确； 当时，令，解得，； 令，解得，； 令，解得，； 所以当或4时，取得最大值，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若数列是等比数列，且其前项和为，则实数________． 【答案】3 【解析】 【分析】通过推导出时的通项公式，结合条件可得时也满足该通项公式，进而可求得的值. 【详解】由题意得， 当时，， 因为数列是等比数列，所以时也满足， 即，解得. 13. 一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，则该塔第十二层有________座． 【答案】19 【解析】 【详解】已知从第五层开始，塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列， 将第五层的塔的数目设为，设从第五层开始自上而下，每一层的塔的数目为， 则， 则第十二层对应． 14. 已知为数列的前项和，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用可得答案. 【详解】当时，， 当且时， ，将代入得，与不符， 故不满足上式. 综上，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设等差数列的公差为，前项和为， （1）若，，求； （2）若，求； （3）若，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 ，， ， ； 【小问2详解】 由题意得：，，解得，， ，即； 【小问3详解】 ， ，， ， ， ， ，又， . 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系进行求解； （2）利用分组求和法及等差数列和等比数列前项和公式求解. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 时满足上式，所以； 【小问2详解】 当为奇数时，；当为偶数时，； 所以 17. 已知正项等比数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式． （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1），． （2），． 【解析】 【分析】（1）根据等比数列前n项和公式进行求解即可； （2）根据对数的运算性质，结合裂项相消法进行求解即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为q，由题意可知， 若等比数列的公比，则，，不符合题意， 所以等比数列的公比， 则， 即， 解得或（舍）， 所以． 故数列的通项公式为， 【小问2详解】 由（1）知， 所以， ， 即． 所以数列的前n项和，． 18. 已知数列的前项和为，，且数列是公差为的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数列是等差数列，求得数列的通项公式，从而求得，再由与的关系求得，即数列的通项公式； （2）结合（1）的结论，对裂项，并讨论的奇偶，可得数列的前项和． 【小问1详解】 由题意知，所以 当时，， 作差得， 所以，即； 当时，，符合上式. 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以， . 19. 已知数列满足，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，设为数列的前n项和，求 （3）证明：对，． 【答案】（1） （2） （3）证明：由上分析， 故对，， ， 因为，所以 即 【解析】 【分析】（1）由题设可得，据此可得数列是首项为3，公差为1的等差数列； （2）由（1）结合错位相减法及题设可得答案； （3）由题设结合裂项求和法可完成证明. 【小问1详解】 由可得， ，，依此类推可得 ， 数列是首项为3，公差为1的等差数列， ，即； 【小问2详解】 用错位相减法求和： 两式相减得：． 其中等比数列部分：，代入得： ． ． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 若数列满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 是数列的前项和，若，则与的等差中项为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 4. 某公司第一年的利润为800万元，计划从第二年起，每一年该公司的利润是上一年的1.5倍.若预计前年的利润总和为6500万元，则（    ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 据科学计算，运载“神七”的“长征二号”系列火箭，在点火后第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程增加2km，在达到离地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是（ ） A. 10秒钟 B. 13秒钟 C. 15秒钟 D. 20秒钟 6. 已知公差大于0的等差数列的前项和为，若，的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知各项均为负数的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知各项均为正数的数列的前项和为，，，，，则（ ） A. 125 B. 127 C. 250 D. 511 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 与是不同的数列 B. 是常数列 C. 数列的通项公式为 D. 数列是递增数列 10. 已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. B. 数列有最小项 C. D. 11. 已知数列的前项和，则下列说法正确的有（ ） A. 数列是递减的等差数列 B. C. ，，成等比数列 D. 当或4时，取得最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若数列是等比数列，且其前项和为，则实数________． 13. 一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，则该塔第十二层有________座． 14. 已知为数列的前项和，若，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设等差数列的公差为，前项和为， （1）若，，求； （2）若，求； （3）若，求． 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和． 17. 已知正项等比数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式． （2）设，求数列的前n项和． 18. 已知数列的前项和为，，且数列是公差为的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 19. 已知数列满足，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，设为数列的前n项和，求 （3）证明：对，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $