专题04二次函数与一元二次方程期中复习讲义（核心知识点+典例精讲+分层专项训练）2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题04二次函数与一元二次方程期中复习讲义 ✵复习目标 1.理解二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 与一元二次方程ax2+bx+c (a≠0）的内在联系。 2.会用判别式 Δ=b2-4ac判断抛物线与x轴的交点个数，能双向推导。 3.明确抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的实数根，能由交点求方程的根、由根确定交点。 4.会借助二次函数图象求一元二次方程的近似实数根，知道图象法求根存在误差。 5.能结合抛物线图象，写出ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0时自变量x的取值范围。 6.会简单判断二次三项式恒正、恒负，能解决基础含参数交点问题（拓展）。 ✵高频题型梳理 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 题型3.已知二次函数的函数值求自变量的值 题型4.根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型5.求x轴与抛物线的截线长 题型6.利用不等式求自变量或函数值的范围 题型7.根据交点确定不等式的解集 题型8.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一 二次函数与一元二次方程的关系 对于二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)，当函数值y=0时，得到一元二次方程：ax2+bx+c=0 (a≠0)。 核心结论：：一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，就是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴交点的横坐标。 知识点二 、一元二次方程根的判别式Δ与抛物线和x轴交点问题 【要点提示】结论双向成立，由抛物线与x轴交点个数可判断方程根的情况；由方程根的情况也可判断抛物线与x轴交点个数。 知识点三、抛物线与x 轴的两个交点之间的距离公式 知识点四、二次函数与简单不等式、二次三项式恒定性 1.观察抛物线 y=ax2+bx+c： （1）y>0，即 ax2+bx+c>0：对应图象落在x轴上方部分所对应的自变量x的取值； （2）y<0，即ax2+bx+c<0：对应图象落在x轴下方部分所对应的自变量x的取值。 2.拓展：二次三项式恒正、恒负 ax2+bx+c恒大于0：a>0且Δ<0，抛物线全部在 x 轴上方； ax2+bx+c恒小于0：a<0且Δ<0，抛物线全部在 x 轴下方。 知识点五、利用函数图象求一元二次方程的近似根 操作步骤：画出二次函数y=ax2+bx+c的图象，图象与x轴交点的横坐标，就是方程 ax2+bx+c=0的根。 说明：受作图、读数影响，图象法得到的根一般为近似根；求精确根需使用因式分解法或求根公式。 ✵易错提醒 1.Δ只用于判断抛物线与x轴的交点情况，不能判断抛物线与y轴的交点；抛物线与y轴交点固定为(0,c)。 2.抛物线与x轴只有一个交点，等价于顶点落在x轴上，此时顶点纵坐标为 0。 3.方程的根是横坐标（数值），交点是坐标（有序数对），书写答题时不要混淆。 4.图象法求出的是方程近似根，不能替代因式分解、求根公式求精确根。 5.求解ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的范围，必须先判断开口方向；a>0和a<0的结果不同。 6.交点式的使用前提：抛物线与x轴有交点即Δ≥0；没有特殊要求时，解析式可以保留交点式，题目要求化为一般式再展开整理。 7.“恒正、恒负” 必须同时满足开口方向和Δ<0两个条件，缺一不可。 ✵典例精讲 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 1．抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】明确抛物线与轴交点的纵坐标为，通过令函数，求解对应的值，进而得到交点坐标． 【详解】解：令，得， ∵， ∴或，解得，， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为，． 2．如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】过A作轴于C，则当x取值在之间时，即有，则只要求出C、B两点的坐标，问题即可得到解答． 【详解】解：过A作轴于C， 令，则： 解得或， ∴， ∵，轴， ∴ ∴当时，自变量的取值范围是． 3．如图，抛物线与直线交于A，B两点（A在B的左边）． (1)求A，B两点的坐标． (2)若点P在直线下方抛物线上，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，过点P作y轴的平行线交线段于点N，当时，求点P的横坐标． 【答案】(1) (2)P点横坐标为2或 【分析】（1）联立两函数解析式，并求出对应的解即可得到答案； （2）设，则，，可得，，根据，可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：联立， 解得或， ∴； （2）解：设， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为y轴， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去）， ∴点P的横坐标为2或． 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 1．下列关于抛物线的叙述，正确的是（     ） A．开口向下 B．抛物线的对称轴在轴左侧 C．与轴正半轴可以相交 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】先通过配方得到抛物线的顶点式，可确定抛物线对称轴、开口方向和增减性，从而判断A、B、D选项，再求得抛物线与y轴的交点坐标即可判断C选项． 【详解】解：先对抛物线配方得：， ∴抛物线开口方向向上，对称轴为且在轴左侧，即选项A错误，选项B正确； ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，即选项D错误； 当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，即抛物线与轴的负半轴可以相交，故选项C错误。 2．我们定义一种新函数，形如的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列四个结论，其中不正确的结论是_______． ①图象与y轴的交点为 ②图象具有对称性，对称轴是直线 ③当或时，函数值y随x值的增大而增大 ④当时，函数的最大值是4 【答案】④ 【分析】求得函数与y轴的交点坐标，可判断选项①；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，可判断选项②；根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值y随x值的增大而增大，可判断选项③；函数图象不存在最大值；据此可得出答案． 【详解】解：当时，； ∴图象与y轴的交点为， ∴选项①是正确的，不符合题意； 从图象可知图象具有对称性，对称轴是直线， ∴选项②是正确的，不符合题意； 根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值y随x值的增大而增大， ∴选项③是正确的，不符合题意； 根据函数的图象发现，函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，最小值为， 不存在最大值， ∴选项④是错误的，符合题意． 3．如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G． (1)求抛物线的解析式及点C的坐标． (2)当时，y的取值范围是 ． (3)当时，若图象G与平行于x轴的直线有且只有一个公共点，求出m的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把解析式化为顶点式，得到对称轴和顶点坐标，根据函数图象开口向下得到离对称轴越远函数值越大，据此可确定最小值，进而可得答案； （3）求出直线分别经过点C，点P和抛物线的顶点时m的值，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，且抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小； ∵， ∴在中，当时，， ∴当时，函数的最小值为，最大值为9，即； （3）解：当直线恰好经过点C时， 则， 解得， 此时图象与直线有且只有一个公共点，如图： 当直线恰好经过点P时， 则， 解得或（舍去）， 此时图象与直线有且只有两个公共点，如图： 当直线恰好经过抛物线的顶点时， 则， 解得， 此时图象与直线有且只有一个公共点； 当时，若直线与线段有交点（不包括端点），此时满足图象与直线有且只有一个公共点， ∴， 解得（舍去）， 当时，若直线与线段有交点（不包括端点），此时满足图象与直线有且只有一个公共点， ∴， 解得； 综上所述：当或时，图象与直线有且只有一个公共点． 题型3.已知二次函数的函数值求自变量的值 1．已知抛物线经过点，则代数式的值为（    ） A．24 B．6 C．31 D．19 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数点的坐标特征，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握该知识点是解题的关键．由题意可知，，整理为，然后代入求值即可． 【详解】解：抛物线经过点， 故选：C ． 2．对于某个函数，如果当时，函数值，那么我们称（）为此函数的“反点”．例如函数，因为当时，所以为此函数的“反点”．二次函数的“反点”是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象上的点的坐标特征，根据“反点”定义，令函数值等于自变量的相反数，建立方程求解即可． 【详解】解：设反点对应的自变量为，则函数值，代入函数解析式得： 整理得： 解得： ∴， ∴反点为． 故答案为：． 3．综合与实践 【问题情境】 甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，羽毛球从O点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间近似满足函数关系． 【问题解决】 比赛中，甲同学连续进行了两次发球． 甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的七组对应数据如表： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/m 1 4 5 n 4 根据以上数据，回答下列问题： (1)当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是______m； (2)根据表格数据，求出二次函数的表达式； (3)甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度y与水平距离x之间近似满足函数关系：．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，请比较，的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由：第一次接球：令， 解得：，， 常识：处应属于发球侧， ∴，即 第二次接球：令， 解得：，， 常识：处应属于发球侧， ∴，即； ∵， ∴． 【分析】（1）根据和时，竖直高度y的值相等，可以确定抛物线的对称轴，即可确定抛物线的最大值，即可作答； （2）根据（1）中的结论，可知抛物线的顶点坐标为：，设抛物线的解析式为：，代入，即可求解； （3）将分别代入羽毛球第一次、第二次飞行所产生的抛物线解析式中，求出x值，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意发球点的坐标为：， ∵和时，竖直高度y的值相等，均为， ∴根据二次函数的对称性可知，抛物线的对称轴为：， ∵抛物线的开口朝下， ∴当时，y取最大值， 结合表格数据可知：此时， 即：当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是； （2）根据（1）中的结论，可知抛物线的顶点坐标为：， ∴设抛物线的解析式为：， 根据表格数据，将代入，有：， 解得：， ∴二次函数的表达式为：， 化为一般式为：； （3） 略． 题型4.根据二次函数图象确定相应方程根的情况 1．根据下列表格中的二次函数（，a，b，c为常数）的自变量x与函数y的对应值，判断的一个解x的取值范围为（    ） x y 1.34 2.25 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵当时，，当时，． ∴的一个解的取值范围是． 2．抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围_______． 【答案】 【分析】先根据对称轴公式求出的值，将一元二次方程在给定区间有实根转化为求二次函数在范围内的取值范围，即可得到的范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线 ∴ ∴ ∴抛物线 ∵二次项系数 ∴抛物线开口向上，顶点坐标为 ∴当时，y取得最小值2 ∵关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根 ∴等价于在范围内有解，即求函数在的取值范围 当时，，当时， ∴的取值范围是，即的取值范围是． 3．二次函数的图象如图所示，请根据图像回答下列问题： (1)直接写出关于的一元二次方程的两个根：__________； (2)如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，直接写出实数的取值范围：__________． (3)依据图中的信息，求代数式的值； 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）根据二次函数的对称轴公式计算即可． 【详解】（1）解：根据函数图象可知，与轴交于和， 即关于的一元二次方程的两个根是，； （2）解：有两个不相等的实数根，等价于抛物线和直线有两个不同的交点． 由图可知抛物线开口向下，顶点纵坐标为2（即函数最大值为2）， 因此当时，直线和抛物线会产生两个不同交点， 即实数的取值范围是； （3）解：根据二次函数对称轴公式可知， 整理得． 题型5.求x轴与抛物线的截线长 1．抛物线与轴交于，两点，且，则的值为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】将抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及两点距离列方程求解. 【详解】解：设，，则，是方程的两个实数根. 由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得，， ∵恒成立， ∴的值为或． 2．二次函数与轴两个交点间的距离是，那么的值为_____． 【答案】1或 【分析】设二次函数与轴交点横坐标为，根据根与系数的关系得到，根据交点距离得到，利用完全平方公式变形列方程求解，验证判别式后得到结果． 【详解】解：设二次函数与轴交点的横坐标为， 当时，， ∴， ∵ 两个交点间的距离为， ∴ ， 两边平方得， 由完全平方公式变形得， ∴， 整理得， 解得或， 验证判别式：， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 综上所述，的值为或． 3．已知二次函数． (1)求证：无论取何值，函数图象与轴一定有交点； (2)若函数图象与轴有两个交点，分别为，，且，求的值． 【答案】(1) 证明：对于二次函数，令，得一元二次方程， 其判别式， ∵ 无论取何值，， ∴，即， ∴ 无论取何值，函数图象与轴一定有交点； (2) 的值为或 【分析】（1）计算二次函数对应一元二次方程的判别式，证明其恒非负即可得证； （2）利用根与系数的关系，结合轴上两点距离为两根差的绝对值列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的两根为，， 由根与系数的关系得：，， ∵， ∴， ∵， ∴，解得或， 此时，符合题意． 题型6.利用不等式求自变量或函数值的范围 1．在二次函数中，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定抛物线开口方向与对称轴，判断给定区间内函数的增减性，再代入区间端点算出对应函数值，得到的取值范围． 【详解】解：二次函数开口向上，对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，． 2．已知二次函数 (t为常数)，点、是其图象上两点，若，则的取值范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较，将点的坐标代入解析式求差是最直接有效的一种方法．将点坐标代入解析式后求差，然后分解因式，由积判断每一个因式的正负性即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 3．已知二次函数． (1)画出这个函数的大致图象； (2)根据图象，写出当时，x的取值范围； (3)若将此图象沿x轴向左平移3个单位长度，请写出平移后的图象对应的函数解析式． 【答案】(1) (2) 或 (3) 【分析】（1）先求出二次函数的顶点、与坐标轴交点等关键点，通过描点连线画出大致图象； （2）根据抛物线开口方向与x轴交点，结合图象写出时x的范围； （3）先将原函数配方为顶点式，再根据“左加右减”的平移规律得到平移后的解析式，整理即可. 【详解】（1）解： 已知， 令，得，整理得，解得，， 即抛物线与x轴交点为，， 配方得，得顶点坐标为，令得，得抛物线与y轴交点为， 根据以上关键点描点，连线，即可画出函数的大致图象． （2）解：二次项系数，抛物线开口向下， 抛物线与x轴交点为，， 结合图象可得，当时，的取值范围为或． （3）解： 原函数整理为顶点式得， 将图象沿x轴向左平移3个单位长度，根据平移规律，将原式中替换为，得： ， 展开整理得. 题型7.根据交点确定不等式的解集 1．二次函数（）与一次函数（）的图象交于点和点，则不等式的解集是（     ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式转化为，直接由图象进行求解． 【详解】解：将不等式转化为， 二次函数（）与一次函数（）的图象交于点和点， 由图象可知，的解集为或， 不等式的解集为或． 2．如图，抛物线与直线交于，两点，当时，则x的取值范围是________． 【答案】或 【分析】找出二次函数图象在一次函数图象的上方部分即可． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴由图象可得，当时，则x的取值范围是或． 3．已知抛物线经过点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)直接写出时的取值范围． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点坐标为 (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）将二次函数解析式化成顶点式即可解答； （3）结合二次函数的图象即可解答． 【详解】（1）解：把点，代入抛物线， 可得， 解得， 所以该抛物线的解析式为； （2）解：， 所以对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：， 抛物线开口向上， 经过点， 时，即抛物线在轴下方部分，此时． ✵分层专项训练 一、单选题 1．已知抛物线，则当时，x的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】把代入计算的值，观察图象即可解答． 【详解】解：当时，， 解得，， 抛物线开口向上，时抛物线在轴下方两根之间的部分， ． 2．将抛物线：进行平移得抛物线：，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据两抛物线顶点坐标确定平移规律，表示出点的坐标后代入的解析式求解． 【详解】解：抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 平移规律为向左平移3个单位，向下平移4个单位 点在抛物线上，对应点为， ∴的坐标为，即 在抛物线上， 将代入得， 整理得， 解得或， 的值为或， 即点的横坐标可以是． 3．根据以下表格中所给出的x与（是常数且）的对应值（精确到0.001），判断方程的解x所在的范围是（     ） x的值 35.154 35.155 35.156 35.157 35.158 的值 0.040 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的连续性，找到使值异号的相邻x的范围，即为方程解的范围. 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴方程的解所在范围是． 4．抛物线的部分图像如图所示，若则x的取值范围是 （     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】观察图象确定对称轴及经过的特殊点，利用抛物线的对称性求解． 【详解】解：由函数图象得：二次函数开口向下，二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是：． 二、填空题 5．二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A点在B点左边），与y轴交于点C，则___________． 【答案】 【分析】先求出点B和点C的坐标，再利用勾股定理计算线段的长度． 【详解】解：当时，有方程， 因式分解得， 解得或， ∵A点在B点左侧， ∴B点坐标为， 当时，代入二次函数解析式得， ∴C点坐标为， 设原点为， ∵x轴与y轴垂直， ∴， 可得，， 由勾股定理得． 6．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为__________． 【答案】 【分析】由图知，抛物线与x轴交于，代入求出a的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：． 7．已知二次函数的图象与x轴的两个交点之间的距离为2，则的值为________． 【答案】3 【分析】设出二次函数图象与轴的两交点横坐标，，根据根与系数的关系可得，，由题意可知二次函数与轴两交点的距离，进而求解即可． 【详解】解：设二次函数图象与轴两交点的横坐标分别为，， 则，为方程的两个解， ∴，， 则：二次函数与轴两交点的距离， 即：， 解得：． 三、解答题 8．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． x … 0 1 2 3 … y … 2 1 2 1 … (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如表： 其中，________，________． (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)观察函数图象，回答下列问题： ①函数图象关于________对称． ②当时，y随x的增大而________．（填“增大”或“减小”） ③函数有最________值（填“大”或“小”） (4)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有________个交点，所以方程有________个实数根； ②关于x的方程有2个实数根时，的取值范围是________． 【答案】(1)， (2) (3)①轴；②减小；③大 (4)①；；② 或 【分析】（1）将，分别代入该函数即可得到答案； （2）用描点法将表格数据描点，然后按照从左到右的顺序用平滑的曲线依次连接即可； （3）根据函数图象即可回答； （4）①根据函数图象与轴的交点个数即可得到答案；②根据有2个实数根时，即直线与图象有2个交点，即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，，即； （2）解：描出点，，，再用平滑的曲线连线，图略； （3）解：观察函数图象，可得： ①函数图象关于轴对称． ②当时，y随x的增大而减小． ③函数有最大值； （4）解：①由图象可得：函数图象与x轴有两个交点，所以方程有2个实数根． ②由图象可得：关于x的方程有2个实数根时，即直线与图象有2个交点，的取值范围是：或． 9．抛物线与x轴的交点为， (1)抛物线解析式为___________，对称轴为___________； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当时，x的取值范围为___________． 【答案】(1)；直线 (2)图象如图： (3)或 【分析】（1）根据二次函数的对称性求得对称轴，然后根据待定系数法即可求得m、n的值； （2）列表画图即可； （3）观察图象可直接得出时，x的取值范围； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴的交点为，， ∴对称轴为直线， 把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … （3）解：由图象可知：当时，x的取值范围为或． 10．如图，抛物线经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式及C点坐标； (2)判断点是否在函数图象上，并说明理由； (3)点是抛物线上一点，且当时，y的最大值为8，求的面积． 【答案】(1)，，； (2)点不在在函数图象上，理由如下： 当时，， ∵， ∴点不在函数图象上； (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数解析式，再令即可求出C点坐标； （2）当时，，据此即可作出判断； （3）求出，得到,根据三角形面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴C点坐标为； （2）略 （3）解：由题意可知二次函数的图象经过点， ∴ 解得， ， ∴当时，最大值为， ∵当时，y的最大值为8， ∴， 即， ∴, ∴， ∴的面积为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04二次函数与一元二次方程期中复习讲义 ✵复习目标 · 1.理解二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 与一元二次方程ax2+bx+c (a≠0）的内在联系。 · 2.会用判别式 Δ=b2-4ac判断抛物线与x轴的交点个数，能双向推导。 · 3.明确抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的实数根，能由交点求方程的根、由根确定交点。 · 4.会借助二次函数图象求一元二次方程的近似实数根，知道图象法求根存在误差。 · 5.能结合抛物线图象，写出ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0时自变量x的取值范围。 · 6.会简单判断二次三项式恒正、恒负，能解决基础含参数交点问题（拓展）。 ✵高频题型梳理 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 题型3.已知二次函数的函数值求自变量的值 题型4.根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型5.求x轴与抛物线的截线长 题型6.利用不等式求自变量或函数值的范围 题型7.根据交点确定不等式的解集 题型8.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一 二次函数与一元二次方程的关系 对于二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)，当函数值y=0时，得到一元二次方程：ax2+bx+c=0 (a≠0)。 核心结论：：一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，就是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴交点的横坐标。 知识点二 、一元二次方程根的判别式Δ与抛物线和x轴交点问题 【要点提示】结论双向成立，由抛物线与x轴交点个数可判断方程根的情况；由方程根的情况也可判断抛物线与x轴交点个数。 知识点三、抛物线与x 轴的两个交点之间的距离公式 知识点四、二次函数与简单不等式、二次三项式恒定性 1.观察抛物线 y=ax2+bx+c： （1）y>0，即 ax2+bx+c>0：对应图象落在x轴上方部分所对应的自变量x的取值； （2）y<0，即ax2+bx+c<0：对应图象落在x轴下方部分所对应的自变量x的取值。 2.拓展：二次三项式恒正、恒负 ax2+bx+c恒大于0：a>0且Δ<0，抛物线全部在 x 轴上方； ax2+bx+c恒小于0：a<0且Δ<0，抛物线全部在 x 轴下方。 知识点五、利用函数图象求一元二次方程的近似根 操作步骤：画出二次函数y=ax2+bx+c的图象，图象与x轴交点的横坐标，就是方程 ax2+bx+c=0的根。 说明：受作图、读数影响，图象法得到的根一般为近似根；求精确根需使用因式分解法或求根公式。 ✵易错提醒 1.Δ只用于判断抛物线与x轴的交点情况，不能判断抛物线与y轴的交点；抛物线与y轴交点固定为(0,c)。 2.抛物线与x轴只有一个交点，等价于顶点落在x轴上，此时顶点纵坐标为 0。 3.方程的根是横坐标（数值），交点是坐标（有序数对），书写答题时不要混淆。 4.图象法求出的是方程近似根，不能替代因式分解、求根公式求精确根。 5.求解ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的范围，必须先判断开口方向；a>0和a<0的结果不同。 6.交点式的使用前提：抛物线与x轴有交点即Δ≥0；没有特殊要求时，解析式可以保留交点式，题目要求化为一般式再展开整理。 7.“恒正、恒负” 必须同时满足开口方向和Δ<0两个条件，缺一不可。 ✵典例精讲 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 1．抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 3．如图，抛物线与直线交于A，B两点（A在B的左边）． (1)求A，B两点的坐标． (2)若点P在直线下方抛物线上，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，过点P作y轴的平行线交线段于点N，当时，求点P的横坐标． 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 1．下列关于抛物线的叙述，正确的是（     ） A．开口向下 B．抛物线的对称轴在轴左侧 C．与轴正半轴可以相交 D．当时，随的增大而减小 2．我们定义一种新函数，形如的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列四个结论，其中不正确的结论是_______． ①图象与y轴的交点为 ②图象具有对称性，对称轴是直线 ③当或时，函数值y随x值的增大而增大 ④当时，函数的最大值是4 3．如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G． (1)求抛物线的解析式及点C的坐标． (2)当时，y的取值范围是 ． (3)当时，若图象G与平行于x轴的直线有且只有一个公共点，求出m的取值范围． 题型3.已知二次函数的函数值求自变量的值 1．已知抛物线经过点，则代数式的值为（    ） A．24 B．6 C．31 D．19 2．对于某个函数，如果当时，函数值，那么我们称（）为此函数的“反点”．例如函数，因为当时，所以为此函数的“反点”．二次函数的“反点”是___________． 3．综合与实践 【问题情境】 甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，羽毛球从O点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间近似满足函数关系． 【问题解决】 比赛中，甲同学连续进行了两次发球． 甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的七组对应数据如表： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/m 1 4 5 n 4 根据以上数据，回答下列问题： (1)当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是______m； (2)根据表格数据，求出二次函数的表达式； (3)甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度y与水平距离x之间近似满足函数关系：．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，请比较，的大小关系，并说明理由． 题型4.根据二次函数图象确定相应方程根的情况 1．根据下列表格中的二次函数（，a，b，c为常数）的自变量x与函数y的对应值，判断的一个解x的取值范围为（    ） x y 1.34 2.25 A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围_______． 3．二次函数的图象如图所示，请根据图像回答下列问题： (1)直接写出关于的一元二次方程的两个根：__________； (2)如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，直接写出实数的取值范围：__________． (3)依据图中的信息，求代数式的值； 题型5.求x轴与抛物线的截线长 1．抛物线与轴交于，两点，且，则的值为（     ） A． B．或 C． D．或 2．二次函数与轴两个交点间的距离是，那么的值为_____． 3．已知二次函数． (1)求证：无论取何值，函数图象与轴一定有交点； (2)若函数图象与轴有两个交点，分别为，，且，求的值． 题型6.利用不等式求自变量或函数值的范围 1．在二次函数中，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．已知二次函数 (t为常数)，点、是其图象上两点，若，则的取值范围为_______． 3．已知二次函数． (1)画出这个函数的大致图象； (2)根据图象，写出当时，x的取值范围； (3)若将此图象沿x轴向左平移3个单位长度，请写出平移后的图象对应的函数解析式． 题型7.根据交点确定不等式的解集 1．二次函数（）与一次函数（）的图象交于点和点，则不等式的解集是（     ） A．或 B． C． D． 2．如图，抛物线与直线交于，两点，当时，则x的取值范围是________． 3．已知抛物线经过点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)直接写出时的取值范围． ✵分层专项训练 一、单选题 1．已知抛物线，则当时，x的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D． 2．将抛物线：进行平移得抛物线：，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．根据以下表格中所给出的x与（是常数且）的对应值（精确到0.001），判断方程的解x所在的范围是（     ） x的值 35.154 35.155 35.156 35.157 35.158 的值 0.040 A． B． C． D． 4．抛物线的部分图像如图所示，若则x的取值范围是 （     ） A． B． C． D．或 二、填空题 5．二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A点在B点左边），与y轴交于点C，则___________． 6．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为__________． 7．已知二次函数的图象与x轴的两个交点之间的距离为2，则的值为________． 三、解答题 8．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． x … 0 1 2 3 … y … 2 1 2 1 … (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如表： 其中，________，________． (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)观察函数图象，回答下列问题： ①函数图象关于________对称． ②当时，y随x的增大而________．（填“增大”或“减小”） ③函数有最________值（填“大”或“小”） (4)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有________个交点，所以方程有________个实数根； ②关于x的方程有2个实数根时，的取值范围是________． 9．抛物线与x轴的交点为， (1)抛物线解析式为___________，对称轴为___________； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当时，x的取值范围为___________． 10．如图，抛物线经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式及C点坐标； (2)判断点是否在函数图象上，并说明理由； (3)点是抛物线上一点，且当时，y的最大值为8，求的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $