专题04二次函数与一元二次方程期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题04二次函数与一元二次方程期中复习讲义 ☆ 复习目标 1.理解二次函数y=ax+bx+c的图象与X轴交点的横坐标，就是对应的一元二次方 程aX+bx+c=0的根：抛物线与x轴的交点个数由一元三次方程根的判别式△决 定。 2掌握三者对应关系：△>0，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不相等实数 根，△=0，抛物线与×轴只有一个交点，方程有两个相等实数根，△<0，抛物线与 X轴无交点，方程没有实数根。 3.能利用二次函数图象估算一元二次方程的近似根，会观察图象确定方程根的取值 范围。 4.能结合二次函数图象求解不等式ax+bx+c>0、ax+bx+c<0,看懂图象在x轴上 方、下方对应的自变量取值范围。 5.会求抛物线与坐标轴交点坐标；已知抛物线与x轴交点，能写出对应一元二次 方程的根，也能根据方程根的情况判断抛物线和x轴交点情况。 6能综合运用二次函数、一元二次方程、判别式解决含参数问题，根据交点个数求 字母参数取值范围，注意二次项系数a0这个隐含条件。 7辨析易错点：区分抛物线与X轴交点、与y轴交点，利用图象解不等式要看开 口方向；含参数题目不要漏掉二次项系数不为0的限制。 8熟练实现解析式、函数图象、一元二次方程三者之间的相互转化，提升数形结合 分析问题的能力。 ☆ 题型梳理 题型 考察方向 难度 ★★ 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 ★★ 题型四 抛物线与x轴的交点问题 题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 试卷第1页（共3页） ★★★ 题型六 求x轴与抛物线的截线长 ★★ 题型七 图象法确定一元二次方程的近似根 ★★★ 题型八 图象法解一元二次不等式 ★★★ 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 ★★★ 题型十 根据交点确定不等式的解集 ★★ 题型十一 一元二次方程的解的估算 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档：★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 ☆ 知识梳理 知识点01：二次函数与一元二次方程 一、核心联系（数形结合） 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像与*x轴交点的横坐标*，就 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的实数根。 二、判别式△=b2-4ac与图像、方程的关系 二次函数y=ax+bx+c与x轴交 判别试△一元二次方程ax2+bx+c=0的根 点 △>0 有两个不相等的实数根X1、x2 有两个不同交点(810)、(x20) △=0 有两个相等的实数根X1=X2 有唯一交点（顶点在x轴上） 试卷第2页（共3页） 二次函数y=ax2+hx+c与x轴交 判别式△一元二次方程ax2+bx+c=0的根 点 △<0 无实数根 无交点 △>0 △=0 △<0 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 -b±√b2-4ac 1,2= b 2a x1=2=一 2a (x1<x2) 知识点02：两根衍生结论（结合韦达定理） 设抛物线与x轴交于(X1,0),(&2,0),则方程ax2+bx+C=0满足： b ·两根和：1+x2 a C 两根积：X82= a ·两交点之间线段长度： c1-x2=√(c1+x2)2-41x2= 公 al 知识点03：利用二次函数图象求一元二次方程近似解 试卷第3页（共3页） 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤 画出二次函数yax2+hx+c(a≠0)的图象； 确定二次函数y-ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标在哪两 个整数之间： 列表，在（②）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似 解在对应y值正负交替的地方。 通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就 是对ⅹ取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成 负，此时x的两个对应值之中必有一个近似根。比如x由x1取到 x2时，对应y的值出现y1>0,y2<0或y1<0,y2>0,那么x1,x2中 必有一个是近似根。 比较y1|与Iy2|的大小：若1y1>|y2|,则说明2是近似根； 反之，则说明1是近似根。 从图象上观察，(&y)离x轴越近，y值越接近0，而y=0时x的 试卷第4页（共3页） 值就是方程的确切根。 知识点04二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤： 1将一元二次不等式化为ax2+hx+c>0或<0的形试； 2.明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算b2-4ac的 值； 3.作出不等式对应的二次函数y-ax2+hx+c的草图； 4.二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图 象对应的函数值小于零。以y=ax2+bx+c(a>0)为例，二次函数与一元 二次不等式的关系如下表： △=b2-4ac △>0 △=0 △<0 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图 象 b 元二次方程 X1,X3 X1=X=- 2a 没有实数根 试卷第5页（共3页） ax2+bx+c=0(a>0)的根 不等式ax2+bx+c>0(a X<X1亚x>X2 X≠X1的一切实数 全体实数 >0)的解集 不等式ax2+bx+c<0(a X<X2 无解 无解 >0)的解集 知识点05：含参数综合题型解题模板 题型1：已知交点个数，求字母参数取值范围 步骤： (1)写出二次函数隐含条件a≠0： (2)计算判别式△； (3)根据交点个数列不等式（△>0/△=0/△<0）； (4)联立a≠0解出参数取值范围。 题型2：已知交点距离，求参数 步骤： 试卷第6页（共3页） V△ 1.由x1-x2= 列等式： a 2.解方程求出参数： 3.回代检验a≠0与△≥0。 题型3：结合不等式，求自变量取值范围 步骤： (1)解方程ax2+bx+c=0得到佼点(x1、x2); (2)判断开口方向a正负； (3)根据不等号方向，结合图像写出x解集。 知识点06：高频易错点 易错分类 错误表现 正确结论 避坑提示 忽略a≠0，把一次 二次函数必须满 概念前提 式当作二次函数讨论足a≠0，a=0先写a≠0，再算判别式 交点 是一次函数 认为“1个交点” △=0是两个相等表述必须写 “两个相等实 根与交点 对应方程1个根 实数根，不是1数根“ 试卷第7页（共3页） 易错分类 错误表现 正确结论 避坑提示 个根 严格代入符号， 算A=b2-4ac时符号 先算b2,再算4ac,最后 判别式计算 常数项为负时整 出错 相减 体参与运算 不看a正负直接套 a>0和a<0解集先判断开口方向，再结合图 不等式解集 区间 完全相反 像写范围 看y)更小的一侧（或点 逐步缩小区间， (x,y)离x轴更近的一 区间过大，近似值误 近似根估算 少正负交替处必 侧)，该侧x更接近真实 差大 有根 根 参数需同时满足 求出参数后不检验 代回判别式验证，舍去无效 参数综合题 a≠0和△取值 △≥0 解 要求 ☆ 题型精析 年加=。带 试卷第8页（共3页） 题型一：求抛物线与X轴的交点坐标 1.二次函数”=-4红+4的图象与产销交于a.0),则“的值为 y=-x2+x+ 2.如图，已知抛物线 2与轴交于点A,B,与'轴交于点C,则△1BC 的面 积为 3.如图，已知抛物线片=-r+1, ，直线乃x+1 ，下列结论错误的是() 时，片<5 A,当x<0或>1 B.当x=-2或x=3 时，五y=6 1 C.当x>2时，为-片随x的增大而增大 1 D.使-=3的x的值有3个 题型二：求抛物线与y轴的交点坐标 4.抛物线y=(x-3}+5。 的开口向 (填“上”或“下”)，与’轴交点是 5.如图，二次函数=r+4ar+3(a<0) 的图象所在坐标系的原点可能是() 试卷第9页（共3页） A.点 8点0 C点0 D.点0 6,如图。在平面直角坐标系中，抛物线”=+4与'销交于点4，过点4与产精干行的 直线交抛物线y=4于点B、C,则BC的长为一， 题型三：已知二次函数的函数值求自变量的值 7.已知函数'=2x-3 ,当= 时，函数值等于5. 8.若a,ba<b)是关于x的方程 2+(x-m)(x-n)=0 的两根，则m<n,则ab、m, n的大小关系是 9.己知点P(m,)在抛物线y=x(x-2)上，针对n的不同取值，所找点P的个数，三人 的说法如下：甲：若n=-2,则点P的个数为0.乙：若n=1,则点P的个数为1.丙：若 n=4,则点P的个数为0.下列判断正确的是() A.乙错，丙对 B.甲和乙都错 C.乙对，丙错 D.甲错， 丙对 试卷第10页（共3页） 题型四：抛物线与ⅹ轴的交点问题 y=x2+2x+m 10.已知抛物线 与x轴有两个不同交点，写出一个符合条件的m的值为 1.若二次函数”=-+6x+m-3图象与轴有一个交点为⑧0)， ,则与x轴另一个交点坐 标为一 12.已知关于*的二次函数'=(：-少+ ←的图像与”轴两交点间的距离为2，则人的值为 13.如图，抛物线’=-+r+m与*轴交点的横坐标为，(：<无 ，抛物线 y=-t+x+”与轴交点的横坐标为，（区<）.已知0<m<n,则下列结论正确的 是() y=-x2+px+m x3<x4<1<x2 A B 为3<x<x2<x4 C <x2<x3<x4 D.<<x<5 题型五：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 14如图，抛物线'=ar+hx+ y=mx+n 与直线 交于AB、 ，”两点，它们的横坐标分别为 -2,4,则方程 x+bx+c=mx+n 的解是 试卷第11页（共3页） 15.二次函数'=a+hx+c(a≠0 的部分图象如图，对称轴为直线x=一1，与轴的一个 交点为L0),与产轴的月-交点为；方程m+r+c=3(和+0 的根为一 16.函数y=ar+br+ 的图象如图所示，关于的一元二次方程r+x=4- 的根的情 况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.以上都不对 17.若关于x的方程 2-2x+2= 有3个不同的实数根，则m的值为(). A I C v3 D.2.5 题型六：求X轴与抛物线的截线长 y=ax2+bx+c(a≠0) B(m,0)」 18.已知抛物线 的顶点坐标是-2）， 图象与x轴交于点 和点 试卷第12页（共3页) C,且点B在点C的左侧，那么线段BC的长是一.（请用含字母的代数式表示） 19.二次函数=-r+2x+ 的图象与x轴交于A、B两点，则MB的长为() A.2 B.3 C.4 D.5 20.如图，点A的坐标为 ,4),点B的坐标为3,0)，连接4B.若将△01B绕点A逆时 针旋转90°得到 △AB'O' B y=-(x-h)2+k ,点”恰为抛物 的顶点，此抛物线与x轴相交于 C,D两点，则线段CD的长为 B 0 题型七：图象法确定一元二次方程的近似根 2引二次居数”++的图象如图所示，则头于产的一元衣方程云2+饭+c=0的 解为 22.已知二次函数y=x+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表， 6.17 6.18 6.19 6.20 y -0.03 -0.01 0.02 0.04 则方程ax+bx+c=0的一个解的范围是 23.小明用GGB探索方程a2+bx+c=0(a≠0，a、b、c为常数)的根，作出如图所示 的图象，并求得一个近似根x=-3.4,则方程的另一个近似根（精确到0.1）为() 试卷第13页（共3页） A.2.4 B.2.6 C.1.4 D.1.6 题型八：图象法解一元二次不等式 24.已知函数水=+bx+ 与函数片=众+b 的图象大致如图所示，那么不等式 ax2+bx+c<kx+b 的解集是」 -2 25.已知二次函数”=+，当>1时，x的取值范周是2-m<x<m+4,且该二次西 数图象经过点P(p,-3), 则p的值不可能是() A.-2 B.-1 C.4 D.7 26.已知函数y=x2+x+b的图象如图所示，当y>0时，则于x的取值范围是() A.-1<x<3 B.x<-1或x>3 C.x<-1且x>4D.-1<x<4 题型九：利用不等式求自变量或函数值的范围 27.已知关于x的二次函数y=x2-(什1)+a图象与直线x=t相交于点P,仅存在两个整 试卷第14页（共3页） 数t使点P在x轴下方，则实数a的取值范围是 1 28.函数y3,y×和y厂x的图象如图所示，若X>x>x，则x的取值范围是 29.已知抛物线y=r+hr+ 的图象如图所示，对称轴是直线x=1,且经过点 -1,0) (0,-3),当1<x<0时，则'的取值范围是（） A.-3<y<1 B.-3≤y≤0 C.-3<y<0D.-3≤y<0 题型十：根据交点确定不等式的解集 y=ax+bx+c 30.如图，已知抛物线 根据图象写出不等式+r+c<0 的解集 31,如图。直线4=-r+b与抛物线为=a(a0)交于点4-24).BL.若<为， 试卷第15页（共3页） 则x的取值范围是 A B 32.如图，一次商数”=+bk≠0)与二次函数'=(a≠0)的图象分别交于点 A(-2,2) ,B(48).则关于的不等式-红-b>0的解集为《) B y=ax2 A y=kx+b A.-2<x<4 B.x<-2或x>4 C.-2<x<0 D.0<x<4 题型十一：一元二次方程的解的估算 33.小颖在探索一元二次方程x+3x-5=0的近似解时列表如下：观察表中对应的数据， 可知该方程的其中一个解的整数部分是 -1 0 y 2 x2+3x-5 > -5 -1 U 34.观察下列表格，可知一元二次方程x2-2x-2=0的一个近似解可能是() 1.5 2 2.5 3 3.5 y=x2-2x-2 -2.75 -2 -0.75 1 3.25 A.1.5和2之间 B.2和2.5之间 C.2.5和3之间D.3和3.5之间 试卷第16页（共3页） y=ax2+bx+ 35.二次函数1 的自变量与函数值的部分对应值如表所示，设方程 ax2+bx+c=0 的一个根为m,则的取值范围可能是() 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y -1 -0.67 -0.29 0.14 0.62 A.1<m<1.1 B.1.1<m<1.2 C.1.2<m<1.3 D.1.3<m<1.4 解答题 36.已知抛物线y=r+2mx-子㎡(m>0),与x轴的交点AB(点/在点B的左侧). 41 (1)若m=4时，求点A,B的坐标及线段AB长. (2)若AB=6,求m的值及抛物线的对称轴， 37.利用二次函数的图象求下列一元二次方程的近似根： 2r+x-13=0 1y=2x2+x-13 2 6-420146x 2 -8 10 -14 (1) (2)3x2-x-1=0 试卷第17页（共3页） 1y=3x2-x-1 4 2 -2 (2) 38如图，獭物线=+c+c与产轴交于点48,0，与轴交于点 (0,3) ,抛物线顶点 坐标为L,4),直线AB的解析式为=mr+n, (1)利用图象的特点填空： ①当=时，=3， ②不等式m2+br+c<0的解集为 )当片≥ 2时，×的取值范围是 30.二次函数'=ar+hc+c(a≠0) 的图象如图所示. 试卷第18页（共3页） 4 1 -5-4-3-2-Q 12B45x -5 (1)当x<1时，y随x的增大而 (2)(与一元二次方程相关)写出方程ax2+bx+c=0的解： (3)(与不等式相关)写出不等式m2+bx+c<0的解集； (4)(与直线交点相关)若方程ax2+bx+c+k=1没有实数根，直接写出k的取值范围： y=(m-1)x2-2mx+m+1(m≠1) (5)已知抛物 ①求证：该抛物线与x轴有两个交点； ②求出该抛物线与x轴的两个交点坐标（用含m的式子表示）. 40.“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图 1),甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽 略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中 点) 地面 O B 图1 图2 (1)如图2，甲站在地面的0点处，从距离地面2m高的4点踢出花枪，A点与0点的水平 距离OB是2m,花枪飞行到与0点水平距离3m的C处达到最高，高度为3m· ①设花枪离地面的高度为y(m),到O点的水平距离为x(m).请建立平面直角坐标系，并 求y关于x的函数表达式： 试卷第19页（共3页） 21 ②花枪下落过程中，乙在与O点水平距离dm处接花枪，能接到的高度最大为10m,最小 1 为2m,求d的取值范围. (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪.已知花枪飞行高度(m) 与时间1)之间的关系式是h=-5+1+ 5(t>0),丙在距花枪落地点5m处沿直线运动 到花枪落地点.求丙的平均速度. 试卷第20页（共3页） 专题04二次函数与一元二次方程期中复习讲义 1.理解二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x 轴交点的横坐标，就是对应的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根；抛物线与 x 轴的交点个数由一元二次方程根的判别式决定。 2.掌握三者对应关系：>0，抛物线与 x 轴有两个交点，方程有两个不相等实数根；=0，抛物线与 x 轴只有一个交点，方程有两个相等实数根；<0，抛物线与 x 轴无交点，方程没有实数根。 3.能利用二次函数图象估算一元二次方程的近似根，会观察图象确定方程根的取值范围。 4.能结合二次函数图象求解不等式 ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0，看懂图象在 x 轴上方、下方对应的自变量取值范围。 5.会求抛物线与坐标轴交点坐标；已知抛物线与 x 轴交点，能写出对应一元二次方程的根，也能根据方程根的情况判断抛物线和 x 轴交点情况。 6.能综合运用二次函数、一元二次方程、判别式解决含参数问题，根据交点个数求字母参数取值范围，注意二次项系数a≠0这个隐含条件。 7.辨析易错点：区分抛物线与 x 轴交点、与 y 轴交点；利用图象解不等式要看开口方向；含参数题目不要漏掉二次项系数不为 0 的限制。 8.熟练实现解析式、函数图象、一元二次方程三者之间的相互转化，提升数形结合分析问题的能力。 题型 考察方向 难度 题型一 求抛物线与 x 轴的交点坐标 ★★ 题型二 求抛物线与 y 轴的交点坐标 ★ 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 ★★ 题型四 抛物线与 x 轴的交点问题 ★★ 题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 ★★ 题型六 求 x 轴与抛物线的截线长 ★★★ 题型七 图象法确定一元二次方程的近似根 ★★ 题型八 图象法解一元二次不等式 ★★★ 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 ★★★ 题型十 根据交点确定不等式的解集 ★★★ 题型十一 一元二次方程的解的估算 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:二次函数与一元二次方程 一、核心联系（数形结合） 二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图像与 **x轴交点的横坐标 **，就是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的实数根。 二、判别式 Δ=b2−4ac 与图像、方程的关系 判别式 Δ 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点 Δ>0 有两个不相等的实数根 x1、x2 有两个不同交点 (x1 0)、(x2 0) Δ=0 有两个相等的实数根 x1=x2​ 有唯一交点（顶点在x轴上） Δ<0 无实数根 无交点 知识点02:两根衍生结论（结合韦达定理） 设抛物线与x轴交于(x1,0),(x2,0)，则方程ax2+bx+c=0满足： · 两根和：x1+x2=- · 两根积：x1x2= · 两交点之间线段长度： 知识点03:利用二次函数图象求一元二次方程近似解 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤 画出二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象； 确定二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象与 x 轴交点的横坐标在哪两个整数之间； 列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应 y 值正负交替的地方。 通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的 y 值正负交替的位置，也就是对 x 取一系列值，看 y 对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时 x 的两个对应值之中必有一个近似根。比如 x 由 x1 取到 x2 时，对应 y 的值出现 y1>0,y2<0 或 y1<0,y2>0，那么 x1,x2 中必有一个是近似根。 比较 |y1| 与 |y2| 的大小：若 |y1|>|y2|，则说明 x2是近似根；反之，则说明 x1 是近似根。 .从图象上观察，(x,y) 离 x 轴越近，y 值越接近 0，而 y=0时 x 的值就是方程的确切根。 知识点 04 二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤： 1.将一元二次不等式化为 ax2+bx+c>0或<0的形式； 2.明确二次项系数 a 的正负、对称轴在 y 轴哪侧，并计算 b2-4ac的值； 3.作出不等式对应的二次函数 y=ax2+bx+c 的草图； 4.二次函数在 x 轴上方的图象对应的函数值大于零，在 x 轴下方的图象对应的函数值小于零。以 y=ax2+bx+c(a>0) 为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： Δ = b² - 4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a X1,x2 X1=X2= 没有实数根 不等式ax2+bx+c>0(a解集 全体实数 不等式ax2+bx+c0(a解集 无解 无解 知识点05:含参数综合题型解题模板 题型 1：已知交点个数，求字母参数取值范围 步骤： (1)写出二次函数隐含条件 a≠0； (2)计算判别式Δ； (3)根据交点个数列不等式（Δ>0/Δ=0/Δ<0）； (4)联立a≠0解出参数取值范围。 题型 2：已知交点距离，求参数 步骤： 题型 3：结合不等式，求自变量取值范围 步骤： (1)解方程ax2+bx+c=0得到交点(x1、x2)； (2)判断开口方向a正负； (3)根据不等号方向，结合图像写出x解集。 知识点06:高频易错点 易错分类 错误表现 正确结论 避坑提示 概念前提 忽略 a≠0，把一次式当作二次函数讨论交点 二次函数必须满足 a≠0，a=0 是一次函数 先写 a≠0，再算判别式 根与交点 认为 “1 个交点” 对应方程 1 个根 Δ=0 是两个相等实数根，不是 1 个根 表述必须写 “两个相等实数根” 判别式计算 算Δ=b2-4ac 时符号出错 严格代入符号，常数项为负时整体参与运算 先算 b2，再算 4ac，最后相减 不等式解集 不看 a 正负直接套区间 a>0和a<0 解集完全相反 先判断开口方向，再结合图像写范围 近似根估算 区间过大，近似值误差大 逐步缩小区间，y 正负交替处必有根 看(y)更小的一侧（或点 (x,y)离 x 轴更近的一侧），该侧 x 更接近真实根 参数综合题 求出参数后不检验 Δ≥0 参数需同时满足 a≠0 和 Δ取值要求 代回判别式验证，舍去无效解 题型一：求抛物线与 x 轴的交点坐标 1．二次函数的图象与轴交于，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数与轴的交点，正确计算是解答此题的关键．令，求得的值即可． 【详解】解：令，得， ∴， 解得：， ∴二次函数的图象与轴的交点坐标为， 即的值为． 2．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为_________． 【答案】3 【分析】求出点A、B、C的坐标得到的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：在中，当时，，则， ∴； 当时，，解得或， ∴， ∴， ∴． 3．如图，已知抛物线，直线，下列结论错误的是（   ） A．当或时， B．当或时， C．当时，随的增大而增大 D．使的的值有个 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象性质逐一判断即可，熟练掌握并能灵活运用二次函数图象性质是解题的关键． 【详解】由题意，可得， ∴或 ， ∴和两图象的交点为，， 、时，即二次函数图象在一次函数图象下方对应的自变量的取值范围 ∴当或时，，此选项正确； 、，即， ∴或，此选项正确； 、由，对应抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大，此选项正确； 、∵ ∴或， ∴对于的，此时方程有两个不等的实数根； 而对于的，此时方程没有实数根， ∴的有个，此选项错误， 故选：． 题型二：求抛物线与 y 轴的交点坐标 4．抛物线的开口向______（填“上”或“下”），与轴交点是______． 【答案】 上 【分析】由二次项系数的符号可判断开口方向，把代入解析式求出的值可求出抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上， 令，得， ∴抛物线与轴的交点坐标为． 5．如图，二次函数的图象所在坐标系的原点可能是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】根据二次函数的解析式求得对称轴，与轴交点坐标，结合图象即可判断所在坐标系的原点． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴对称轴为，与轴交点坐标为， 观察图象可知，坐标系的原点可能是点． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点，则的长为______． 【答案】8 【分析】本题考查抛物线与轴的交点以及平行线上两点之间的距离等知识点．先求出抛物线与轴的交点的坐标是，则、的纵坐标都是，将代入中求出、的横坐标，进而可求线段的长． 【详解】解：在中， 令，则， 点， 又轴， 点、的纵坐标都是， 直线交抛物线于点， 在中，令，则， 解得：， ，， ， 故答案为：8． 题型三：已知二次函数的函数值求自变量的值 7．已知函数，当________时，函数值等于5． 【答案】 【分析】令，求出的值即可． 【详解】解：当时，， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查求二次函数自变量的值．解题的关键，是将二次函数的函数值代入解析式，解一元二次方程求出自变量的值． 8．若a，b）是关于x的方程的两根，则，则a、b、m， n的大小关系是___________． 【答案】/ 【分析】先确定和分别是抛物线当时对应的两个点的横坐标，再利用图象求解． 【详解】解：∵， ， ∴，是抛物线当时对应的两个点的横坐标， ，是该抛物线当时对应的两个点的横坐标， ∵抛物线开口向上，，， 则可作示意图如下， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，解题关键是掌握二次函数与一元二次方程之间的关系． 9．已知点P（m，n）在抛物线上，针对n的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下：甲：若n=-2，则点P的个数为0．乙：若n=-1，则点P的个数为1．丙：若n=4，则点P的个数为0．下列判断正确的是（     ） A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对 【答案】C 【分析】根据不同的n的值，列出一元二次方程，根据根的判别式判断点P的个数． 【详解】解：若，令，得，整理得， ∵， ∴方程没有实数根，即点P的个数为0； 若，令，得，整理得， ∵， ∴方程有两个相等的实数根，即点P的个数为1； 若，令，得，整理得， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，即点P的个数为2； ∴甲和乙是对的，丙是错的． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是利用一元二次方程根的判别式判断二次函数与直线交点的个数． 题型四：抛物线与 x 轴的交点问题 10．已知抛物线与x轴有两个不同交点，写出一个符合条件的m的值为______． 【答案】0（答案不唯一，小于1的实数即可） 【分析】此题考查了抛物线与x轴交点问题，抛物线与x轴有两个不同交点，则判别式大于零，解不等式即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个不同交点， ∴ ∴． ∴写出一个符合条件的m的值为0． 故答案为：0（答案不唯一，小于1的实数即可）． 11．若二次函数图象与轴有一个交点为，则与轴另一个交点坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的对称性，可先根据二次函数的对称轴公式求出对称轴，再结合二次函数图象与x轴交点的对称特征计算另一个交点坐标． 【详解】对于二次函数，其中，， 根据二次函数对称轴公式， 可得对称轴为直线． 因为二次函数图象与轴的两个交点关于对称轴对称， 设另一个交点坐标为，则， 解得， 所以与轴另一个交点坐标为． 故答案为： 12．已知关于的二次函数的图像与轴两交点间的距离为，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、抛物线的对称性、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握利用抛物线对称性求与x轴交点坐标的方法是解题的关键． 先令函数值为得到关于的一元二次方程，结合抛物线的对称性求出与轴的交点坐标，再代入函数解析式即可求出的值. 【详解】解：令，则，整理得. 二次函数的对称轴为直线，又因其图像与x轴两交点间的距离为2，根据抛物线的对称性，可知两个交点的横坐标分别为和，即两交点坐标为和. 将代入中，得，即， 解得. 故答案为：． 13．如图，抛物线与轴交点的横坐标为，抛物线与轴交点的横坐标为．已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，以及二次函数的性质，熟练掌握其性质并能准确画出图象是解决此题的关键．根据二次函数的性质，结合一元二次方程的根的分布，即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线的图象与轴交点的横坐标为，抛物线与轴交点的横坐标为． 抛物线与轴的交点坐标为,抛物线与直线的交点坐标为,, ∵， ∴， ∴直线与轴交于负半轴， 如图所示， 观察图象可知，, 故选：B． 题型五：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 14．如图，抛物线与直线交于，两点，它们的横坐标分别为，4，则方程的解是_____． 【答案】， 【分析】本题考查了根据二次函数图象与一次函数图象交点求方程的解，理解交点的意义是解题的关键． 根据抛物线与直线交于，两点，它们的横坐标分别为，4，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点，它们的横坐标分别为，4， ∴方程的解为，． 故答案为：，． 15．二次函数的部分图象如图，对称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴的另一交点为______；方程的根为______． 【答案】 ， 【分析】本题考查了二次函数图象的对称性，二次函数与相关一元二次方程的关系，根据二次函数图象的对称性可求出另一交点坐标为，再通过图象和对称轴即可得出方程的根，掌握二次函数图象关于其对称轴对称，二次函数图象与轴交点的横坐标即为其相关一元二次方程的解是解题关键． 【详解】解：∵对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴与轴的另一交点为， ∵当时，， ∴方程的一个根为， ∵对称轴为直线， ∴方程的另一个根为， 故答案为：；，． 16．函数的图象如图所示，关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．以上都不对 【答案】A 【分析】观察图象得：函数的最大值为4，可得函数的图象与直线有一个交点，从而得到方程有两个相等的实数根，即可求解． 【详解】解：观察图象得：函数的最大值为4， ∴函数的图象与直线有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， 即方程有两个相等的实数根． 17．若关于的方程有3个不同的实数根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用的特性，分析的取值范围，转化成二次函数与直线的交点情况，结合根的数量对应关系求解的值． 【详解】解：∵ ， ∴当时，，函数顶点为，过点， 当时， ，函数顶点为，过点， 下面分析与直线的交点情况， 如图所示， 当时，直线与二次函数有2个交点，不符合题意； 当时，直线与二次函数有3个交点，符合题意； 当时，直线与二次函数有4个交点，不符合题意； 当时，直线与二次函数有2个交点，不符合题意； 当时，直线与二次函数没有交点，不符合题意； ∴的值为2． 题型六：求 x 轴与抛物线的截线长 18．已知抛物线的顶点坐标是，图象与x轴交于点和点C，且点B在点C的左侧，那么线段的长是______．（请用含字母m的代数式表示） 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】因为二次函数的图象的顶点的横坐标是1， 所以抛物线对称轴所在直线为，交x轴于点C， 所以B，C两点关于对称轴对称， 因为点，且点B在点C的左侧， 所以， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的两点间距离的求法，解题的关键是掌握二次函数的对称性． 19．二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与一元二次方程，熟练掌握解方程是解题的关键．根据题意，得，解得，故，解答即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故， 故选：C． 20．如图，点A的坐标为，点B的坐标为 ，连接．若将绕点A逆时针旋转90°得到，点恰为抛物线的顶点，此抛物线与x轴相交于C，D两点，则线段的长为___． 【答案】2 【分析】首先根据题意求出点的坐标，进而得到抛物线的解析式，然后当时，即可求出C，D两点的坐标，最后可求出线段的长． 【详解】如图，作轴于点E，轴于点F， ∵绕点A逆时针旋转90°得到， ∴，， ∴四边形和四边形是矩形， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∴抛物线， ∴当时，，即， 解得， ∴ ∴． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了旋转的性质，二次函数的图象和性质，以及二次函数与x轴的交点问题，解题的关键是根据旋转的性质得到点的坐标． 题型七：图象法确定一元二次方程的近似根 21．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握抛物线与x轴两交点的横坐标为一元二次方程的两个根，是解题的关键． 根据二次函数图象与x轴的交点得方程的两个根为． 【详解】∵二次函数的图象与x轴交于 ，两点， ∴关于的一元二次方程的解为． 故答案为：． 22．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表， x 6.17 6.18 6.19 6.20 y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04 则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是_____． 【答案】6.18＜x＜6.19 【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可． 【详解】由表格数据可得，当x＝6.18时，y＝﹣0.01，当x＝6.19时，y＝0.02， ∴当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为6.18＜x＜6.19， 故答案为：6.18＜x＜6.19． 【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可． 23．小明用探索方程（、、为常数）的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，由二次函数的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点为，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴方程的另一个近似根为， 故选：． 题型八：图象法解一元二次不等式 24．已知函数与函数的图象大致如图所示，那么不等式的解集是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，不等式的解集是． 故答案为：． 25．已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数图象经过点，则p的值不可能是（    ） A．-2 B．-1 C．4 D．7 【答案】C 【分析】根据题意求得抛物线的对称轴，进而求得时，的取值范围，根据的纵坐标小于0，即可判断的范围，进而求解 【详解】解：∵二次函数，当时，x的取值范围是， ∴，二次函数开口向下 解得，对称轴为 当时，， 经过原点， 根据函数图象可知，当，， 根据对称性可得时， 二次函数图象经过点， 或 不可能是4 故选C 【点睛】本题考查了抛物线与一元一次不等式问题，求得抛物线的对称轴是解题的关键． 26．已知函数y＝x²＋ax＋b的图象如图所示，当y＞0时，则于x的取值范围是（    ）    A．－1＜x＜3 B．x＜－1或x＞3 C．x＜－1且x＞4 D．－1＜x＜4 【答案】B 【分析】根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，当y＞0时，x＜－1或x＞3， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数与不等式，掌握数形结合的思想是解题的关键． 题型九：利用不等式求自变量或函数值的范围 27．已知关于x的二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a图象与直线x＝t相交于点P，仅存在两个整数t使点P在x轴下方，则实数a的取值范围是 ________________． 【答案】﹣2≤a＜﹣1或3＜a≤4 【分析】根据二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a图象与直线x＝t相交于点P，设出P点坐标，由P在x轴下方得到t2﹣（a+1）t+a＜0，即（t﹣a）（t﹣1）＜0，分两种情况谈论，即可解答． 【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a图象与直线x＝t相交于点P， ∴点P坐标为：（t，t2﹣（a+1）t+a）， ∵点P在x轴下方， ∴t2﹣（a+1）t+a＜0，即（t﹣a）（t﹣1）＜0， ①当a＞1时，则1＜t＜a， ∵t仅有两个整数， ∴3＜a≤4； ②当a＜1时，则a＜t＜1， 又∵t仅有两个整数， ∴﹣2≤a＜﹣1． 综上所述，实数a的取值范围为：﹣2≤a＜﹣1或3＜a≤4． 故答案为：﹣2≤a＜﹣1或3＜a≤4． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式．解题的关键在于找出不等关系． 28．函数y=x，y=x2和y= 的图象如图所示，若x2＞x＞ ，则x的取值范围是________． 【答案】x＞1或﹣1＜x＜0 【分析】求出三个函数的交点坐标，然后根据函数图象写出交点右边部分的x的取值范围即可． 【详解】联立，解得， 所以，交点为（1，1）， 所以，若x2＞x＞，则x的取值范围是x＞1或-1＜x＜0． 故答案为x＞1或-1＜x＜0． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式组，此类题目利用数形结合的思想求解是解题的关键． 29．已知抛物线的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，，当时，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次函数图象与性质求解即可． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，对称轴是直线，则当时，随的增大而减小， 抛物线图象经过点，， 当时，；当时，， 则当时，则的取值范围是． 题型十：根据交点确定不等式的解集 30．如图，已知抛物线，根据图象写出不等式的解集________． 【答案】或/或 【分析】根据函数图象可得对称轴和与x轴的一个交点的坐标，由对称性求出与x轴的另一个交点的坐标，结合函数图象可得答案． 【详解】解：由函数图象可知，抛物线的对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点的坐标为， ∴由对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， ∴由函数图象可知，不等式的解集为或． 31．如图，直线与抛物线交于点，．若，则的取值范围是________． 【答案】 或 【分析】结合函数图象，找出一次函数图象在二次函数图象的下方部分x的取值范围即可． 【详解】解：∵直线与抛物线交于点，， ∴由函数图象可得，若，则的取值范围是 或 ． 32．如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的不等式的解集为（     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先由得出，再根据图象直接求解即可． 【详解】解：由可得：， 根据函数图象可得：当或时，二次函数图象在一次函数图象的上面， ∴关于的不等式的解集为或． 题型十一：一元二次方程的解的估算 33．小颖在探索一元二次方程的近似解时列表如下：观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是_____． 0 1 2 5 【答案】1 【分析】设，一元二次方程 的解就是使的x值．观察表格中对应的的取值，因为当时y值为负，时y值为正，所以在内存在一个使得y值为0．该区间内的数的整数部分为1，即可得到对应解的整数部分． 【详解】令 ， 一元二次方程 的解就是使的x值． 根据表格数据： 当时，； 当时，． 说明在1和2之间一定存在一个x使得， 也就是方程的这个解在， 解的整数部分为1． 34．观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解可能是（     ） A．和2之间 B．2和之间 C．和3之间 D．3和之间 【答案】C 【分析】根据方程的解对应二次函数的自变量，然后查看表格，再找到函数值正负发生转变的两组，最后判断出一元二次方程近似解的取值区间． 【详解】解：一元二次方程的解对应函数中时的值． ∵当时，， 当时，， 当时，对应的x的值在和3之间， 即方程的一个近似解在和之间． 35．二次函数的自变量与函数值的部分对应值如表所示，设方程的一个根为m，则m的取值范围可能是（     ） x … 1 … y … … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过观察函数值符号变化，确定方程根所在区间；当函数值由负变正时，对应区间内必有一根． 【详解】解：当时，， 当时，， 在到之间，函数值由负变正， 故方程的一个根m在至的范围内． 解答题 36．已知抛物线，与轴的交点，（点在点的左侧）． (1)若时，求点，的坐标及线段长． (2)若，求的值及抛物线的对称轴． 【答案】(1)，， (2)，对称轴 【分析】本题考查了二次函数的性质及求二次函数与坐标轴的交点坐标，及求出两交点间的距离．解决本题的关键是熟练掌握求二次函数与坐标轴的交点坐标． （1）令，则，可得，解得，，即可得出答案； （2）令，则，可得，解得，，再求解即可． 【详解】（1）解：， ， 令，则， ， ，， 点在点的左侧， ，， ； （2）解：令，则， ， 或， ，， 点在点的左侧，， ，， ， ， ， 抛物线的对称轴为． 37．利用二次函数的图象求下列一元二次方程的近似根： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设，根据图象与x轴的交点横坐标求解； （2）设，根据图象与x轴的交点横坐标求解． 【详解】（1）解：设，方程的根就是抛物线与轴交点的横坐标， 由图像，可知，； （2）解：设，方程的根就是抛物线与轴交点的横坐标， 由图象可知． 38．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，抛物线顶点坐标为，直线的解析式为． (1)利用图象的特点填空： ①当________时，； ②不等式的解集为________ (2)当时，的取值范围是__________． 【答案】(1)①或；②或 (2) 【分析】（1）利用二次函数的顶点式，代入顶点坐标和点的坐标求出二次函数解析式，再结合图象性质求解． （2）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：已知抛物线顶点， 设抛物线解析式为， 把代入：， 解得， ． ①求时的值： ， ， ， 解得：． ②不等式，即抛物线在轴下方部分对应的取值． 解方程： ， 根为． 抛物线开口向下，图象在轴下方时：或． （2）解：，表示抛物线图象在直线上方（含交点）． 直线与抛物线交于、，由图象得：． 39．二次函数的图象如图所示． (1)当时，随的增大而________； (2)（与一元二次方程相关）写出方程的解； (3)（与不等式相关）写出不等式的解集； (4)（与直线交点相关）若方程没有实数根，直接写出的取值范围； (5)已知抛物线． ①求证：该抛物线与轴有两个交点； ②求出该抛物线与轴的两个交点坐标（用含的式子表示）． 【答案】(1)减小 (2)方程的解为或 (3)不等式的解集为 (4) (5)①证明：， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴该抛物线与轴有两个交点． ②该抛物线与轴的两个交点坐标分别为，． 【分析】（1）先由二次函数图象的对称轴，开口方向判断对称轴左侧的函数增减性． （2）因为二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，所以直接读取图象与x轴交点的横坐标即可 （3）如果二次函数图象在x轴下方，那么对应的x的范围就是不等式的解集，结合图象开口方向和与x轴交点写出范围． （4）先将方程变形为，因为方程无实根相当于抛物线与直线无交点，所以结合抛物线的最值列不等式求解． （5）①计算二次函数对应的判别式，证明即可证明抛物线与x轴有两个交点；②令，解关于x的一元二次方程，得到两个交点的横坐标． 【详解】（1）解：由图可知抛物线开口向上，对称轴为直线 ， ∴在对称轴左侧（ ）， y 随 x 的增大而减小． （2）解：二次函数的图象与轴交点的横坐标，就是方程的解．从图中可得抛物线与轴交于和， 因此方程的解为，． （3）解：不等式的几何意义是：函数值时对应的的取值范围， 也就是图象在轴下方的部分对应的区间， 结合图象可得解集为． （4）解：将方程变形为， 该方程无实数根的含义是：抛物线和直线没有交点． 由图可知抛物线的最小值为， 只有当直线在抛物线最低点的下方时，两图象无交点， 即，解得． （5）②解：令，则， 十字相乘得， 解得，， ∴该抛物线与轴的两个交点坐标分别为，． 40．“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 【答案】(1)如图，建立平面直角坐标系． 函数表达式为； ②的取值范围为 (2)丙的平均速度为米/秒 【分析】（1）由题意得，，设函数表达式为：，把代入，即可求解； ②当时，，由题意得，，即可求解； （2）当时，，求得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，设函数表达式为：， 把代入，得， 解得， ∴函数表达式为：． ②当时，， 由题意得，， 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为； 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为或； 由题意得，， 综上所述，的取值范围为． （2）解：当时，， 解得，（舍去）， ∴丙的平均速度为（米/秒）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $