2026—2027学年人教版八年级数学上册阶段培优试题（C）

2026—2027学年人教版八年级数学上册阶段培优（C） 考查范围：第13—15章 （考试时间：120 分钟　满分：120 分） 第 Ⅰ 卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 已知 为 的三边长，且满足 ，则 的周长为（　　） A．24　　　　B．18　　　　C．12　　　　D．无法确定 2. 如图，已知匀质三角形薄板 的重心为 ，．中线 与 相交于点 ，则四边形 的面积为（　　） A．6　　　　B．9　　　　C．12　　　　D．18 3. 一个凸 边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和比原多边形的外角和的 4 倍还多 180°，则原多边形的边数 的可能值有（　　） A．1 个　　　　B．2 个　　　　C．3 个　　　　D．4 个 4. 如图，在等腰三角形 中，，一腰 的垂直平分线与另一腰 （或其延长线）相交所成的锐角为 40°，则该等腰三角形底角 的度数为（　　） A．65°　　　　B．25°　　　　C．65° 或 25°　　　　D．50° 或 40° 5. 如图，在 中，，，．将该三角形折叠，使点 与点 重合，折痕为 （点 在边 上，点 在边 上）；展开后连接 ．则线段 的长为（　　） A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 6. 如图，，点 是 内部的一个定点，．点 和点 分别是射线 和 上的动点，当 的周长取得最小值时，该最小值为（　　） A．　　　　B．6　　　　C．　　　　D． 7. 如图，以 的边 和 为边向外分别作等边 和等边 ，连接 与 相交于点 ．下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ ．其中正确结论的个数为（　　） A．1 个　　　　B．2 个　　　　C．3 个　　　　D．4 个 8. 如图，在 中， 是 的平分线， 于点 ， 于点 ，连接 ．下列四个结论中：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数为（　　） A．1 个　　　　B．2 个　　　　C．3 个　　　　D．4 个 9. 将一张矩形纸片沿某直线折叠，使得纸片的一个角落在对边上，重叠部分展开后形成的三角形必为（　　） A．直角三角形　　　　B．等腰三角形　　　　C．等边三角形　　　　D．钝角三角形 10. 如图，点 、、 在同一直线上，，（点 、 对应，点 、 对应），．若 ，，则线段 的长为（　　） A．6　　　　B．8　　　　C．10　　　　D．12 11. 某地为解决两村交通，计划在两村之间的一条平行河道两岸各选一点建造垂直于岸边的桥梁（桥长固定），使两村通行路程最短．这一工程问题的数学模型本质是（　　） A．利用图形平移与两点之间线段最短 B．利用轴对称性质将折线化为直线 C．利用含 30° 角直角三角形边角关系 D．利用等边三角形的轴对称性 12. 【新定义】若一个三角形内部存在一点 ，满足点 到三角形三个顶点的距离相等，同时点 到三角形三边的距离也相等，则该三角形一定是（　　） A．直角三角形　　　B．等腰直角三角形　　C．等边三角形　　　D．钝角三角形 第 Ⅱ 卷 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分．） 13. 一个凸多边形的所有对角线条数恰好等于它的边数的 3 倍，则这个多边形的内角和为 °． 14. 如图，在 中，， 平分 交 于点 ， 于点 ．若 的周长为 20，，则 的值为 ． 15. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 25°，则该等腰三角形的顶角度数为 ． 16. 如图，在 中， 是 边上的中线．若 ，，则中线 的取值范围是 ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点 是 轴上的动点，点 是 轴上的动点．当四边形 的周长取得最小值时，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ＿ ． 18. 如图，在等边三角形 中，点 在边 上，点 在边 上，且 ， 与 相交于点 ．过点 作 于点 ．若 ，则线段 的长为 ． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. （6分）三角形高线与角平分线夹角探究 如图，在 中，， 是 边上的高， 平分 ． （1）求证：；（3 分） （2）若 ，，求 的度数；（1 分） （3）【拓展反思】当 为钝角三角形，且 为钝角时，高 落在 的外部，上述关于 的等量关系式是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出正确的结论．（2 分） 20. （6分） 全等三角形“截长补短”基础证题 如图，在 中， 平分 ，． （1）小明思考：可以在长边 上截取一段 ，连接 （如图）．请依据小明的思路，求证：；（3 分） （2）在（1）的基础上，进一步证明线段和差关系：．（3 分） 21. （10分）综合与实践：确定匀质薄板的重心位置 某数学兴趣小组探究几何薄板的物理平衡与数学性质： （1）【实验原理】用细线系在薄板的某一点挂起，当薄板静止平衡时，重心必定在通过悬挂点的铅垂线上；再次更换悬挂点，两条铅垂线的交点即为重心．在匀质三角形薄板 中，中线 把三角形面积分成相等的两部分．小明认为：“中线 是三角形薄板的一条重心平衡线”．请判断小明的观点是否正确，并利用“等底等高”说明理由；（3 分） （2）【面积证明】如图，三条中线 、、 相交于点 （点 即为三角形薄板的重心）．请利用面积法严格证明重心分中线线段比：；（4 分） （3）【创新拓展】现有一块匀质四边形薄板，通过连接对角线将其分割为两个三角形．若这两个三角形面积分别为 12 和 24，两重心分别为 、．已知整块四边形薄板的重心 必定落在连接线段 上，试根据力矩平衡求出线段比 的值．（3 分） 22. （10分）折叠与轴对称性质综合探究 如图，在 中，，．将 沿直线 折叠（点 在边 上，点 在边 上），使顶点 落在底边 上的点 处． （1）求底角 的度数；（2 分） （2）若折叠后 是等腰三角形，且 ，求 的度数；（3 分） （3）在（2）的条件下，求 与 的度数；（3 分） （4）判断折痕 与底边 是否平行，并说明理由．（2 分） 23. （10分）综合与实践：最短路径与台球反射探究 在台球运动中，球经桌边反射时遵循“入射角等于反射角”的光学反射定律，在数学上对应轴对称最短路径模型： （1）【模型建立】如图，，点 是角内的一个定点．台球从点 出发，经边 上的点 反射，再经边 上的点 反射，最后恰好回到点 ．请在答题卡图形中，用尺规作图作出点 和点 的位置（保留作图痕迹，不写作法）；（3 分） （2）【理论证明】在（1）的作图中，分别作点 关于射线 、 的对称点 、，连接 分别交 、 于点 、．求证：此时折线路径 取得最小值，且其最小值为线段 的长；（3 分） （3）【反向极值】在平直桌面上，有两个定点 和 ，一条直线边界 ．若点 、 在直线 的同侧，在直线 上有一动点 ．请利用三角形三边关系“两边之差小于第三边”，探究 的最大值取得的几何条件，并直接写出该最大值等于哪条线段的长．（4 分） 24. （10分）坐标系中的轴对称与等腰存在性 如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 ． （1）写出点 关于 轴的对称点 的坐标，并求 的面积；（2 分） （2）在 轴上找一点 ，使得 的值最小，求出点 的坐标；（3 分） （3）在 轴上是否存在点 ，使得以点 、、 为顶点的三角形是以 为底边的等腰三角形？若存在，利用线段垂直平分线的性质求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．（5 分） 25. （10分）全等经典模型探究：“倍长中线”从基础到高阶 【模型呈现】 （1）如图1，在 中， 是 边上的中线．延长 至点 ，使 ，连接 ． 求证：① ；（2 分） ② ；（2 分） 【模型应用】 （2）如图2，在 中， 是 边上的中线，，．点 在边 上，点 在边 上，且 ．求证：；（3 分） 【拓展迁移】 （3） 在（2）的条件下，若 ，．请利用（2）的结论，求 的周长．（3 分） 26. （10分）全等综合：“截长补短”与“一线三等角”创新探究 【问题背景】 在数学活动课上，同学们探究角平分线与线段关系的证明方法． （1）如图1，在 中，，， 是 的平分线， 交 的延长线于点 ．小华同学通过延长 与 的延长线交于点 ，证明了 ．请写出完整的证明过程；（3 分） 【类比探究】 （2）如图2，点 、、 在同一条直线上，．点 、 分别在射线的一侧，且 和 均满足边角特殊关系，．求证： 的充要条件是 ；（3 分） 【拓展延伸】 （3）在平面直角坐标系中，正方形 的边长为 4，顶点 ，，．点 是边 上一点， 是边 上一点，且满足 ．若 ，请利用“截长补短全等构造”直接求出 的周长．（4 分） 参考答案及评分标准 一、选择题（每小题 3 分，共 36 分） 1．A　　2．C　　3．C　　4．C　　5．B　　6．B 7．C　　8．D　　9．B　　10．A　　11．A　　12．C 二、填空题（每小题 2 分，共 12 分） 13．1260　　14．8　　15．65° 或 115° 16．　　17．(0, 3)；(3, 0)　　18．2 【第 17 题解析】作点 关于 y 轴的对称点 ，作点 关于 x 轴的对称点 ．连接 分别交 y 轴于点 M，交 x 轴于点 N．此时四边形 ABNM 的周长最小，由两点式直线方程求得 ，． 三、解答题（共 72 分） 19．（6分） （1）证明：∵ AD ⊥ BC，∴ ． 在 Rt△ABD 中，．（1 分） ∵ AE 平分 ∠BAC，∴ ． 在 △ABC 中，， ∴ ．（1 分） ∴ ．（1 分） （2）解：由（1）得，．（1 分） （3）解：不成立．（1 分） 正确的结论为： 或 ．（1 分） 20．（6分） （1）证明：在 AC 上截取 AE = AB，连接 DE． ∵ AD 平分 ∠BAC，∴ ．（1 分） 在 △ABD 和 △AED 中， AB = AE，，AD = AD， ∴ △ABD ≌ △AED（SAS）．（2 分） （2）证明：由（1）知 △ABD ≌ △AED， ∴ BD = ED，．（1 分） ∵ ∠AED 是 △CDE 的外角，∴ ． 又已知 ，∴ ． ∴ ，即 ．（1 分） ∴ ED = EC． 又 ∵ ED = BD，∴ EC = BD． ∴ ．（1 分） 21．（10分） 解：（1）正确．（1 分） 理由：中线 AD 把底边平分为 BD = CD．由于 △ABD 和 △ACD 共用同一条高，等底等高的两个三角形面积相等，即 ．重力的合力矩平衡，因此中线是重心平衡线．（2 分） （2）证明：∵ BE、CF 是中线，点 G 是重心， 由（1）知，重心与三顶点连线所分成的三个小三角形面积相等， 即 ．（2 分） 又点 D 是 BC 中点，∴ ．（1 分） 在 △ABD 中，△GAB 与 △GBD 共用顶点 B 且高相等， ∴ ．（1 分） （3）解：根据杠杆平衡原理与力矩守恒，重心的位置反比于各部分的质量（面积）： ．（2 分） 代入数据得 ， ∴ ．（1 分） 22．（10分） 解：（1）在 △ABC 中，AB = AC，， ∴ 底角 ．（2 分） （2）∵ BD = BF， ∴ △BDF 是等腰三角形，底角 ．（3 分） （3）由折叠的轴对称性质知，△ADE ≌ △FDE， ∴ ．（1 分） ∵ 点 B、F、C 在同一直线上，， ∴ ．（1 分） 在折叠四边形中，由对称性得 ．（1 分） （4）不平行．（1 分） 理由：若 ，则同旁内角 ，即 ． 而实际计算中 ，故折痕 DE 与底边 BC 不平行．（1 分） 23．（10分） 解：（1）作图步骤： 分别作点 P 关于射线 OM 的对称点 ，关于射线 ON 的对称点 ；连接 分别交 OM 于点 A，交 ON 于点 B．点 A、B 即为所求．（作图痕迹保留完整给 3 分） （2）证明：由轴对称性质得，点 A 在线段 的垂直平分线上，∴ ；（1 分） 点 B 在线段 的垂直平分线上，∴ ．（1 分） ∴ 台球运动周长为 ． 若在 OM、ON 上任取其他点 、，由两点之间线段最短可知其周长必大于 ，故此时周长最小，最小值为线段 的长．（1 分） （3）解：当动点 K 与 P、Q 不在同一直线上时，构成 △KPQ， 由三角形三边关系“两边之差小于第三边”得：；（2 分） 当直线 PQ 与直线 l 相交时，设交点为 ，此时点 、P、Q 三点共线， 此时 取得最大值．（1 分） 故几何条件为：点 K 为直线 PQ 与直线 l 的交点；最大值等于线段 PQ 的长．（1 分） 24．（10分） 解：（1）点 关于 y 轴的对称点为 ．（1 分） 线段 ，高为点 B 到 x 轴的距离 ， ∴ ．（1 分） （2）利用轴对称求最短路径： 作点 关于 x 轴的对称点 ，连接 交 x 轴于点 C．（1 分） 直角三角形中，，，由轴对称性质可知，此时 取得最小值． 当点 C 与点 A 重合时，；当 构成三角形时 ； 故最小值在点 C 与点 A 重合时取得，此时点 C 的坐标为 ．（2 分） （3）在 x 轴上存在点 P，使得 △PAB 是以 AB 为底边的等腰三角形． 理由如下： ∵ △PAB 是以 AB 为底边的等腰三角形， ∴ PA = PB．（1 分） 根据线段垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上， 故点 P 在线段 AB 的垂直平分线上．（1 分） 设点 P 的坐标为 ．连接 PA、PB． 在 Rt△POB 中，由轴对称与平分线几何性质可得： ． 由 PA = PB 得 ，即 ．（2 分） 展开整理得：， ，解得 ．（1 分） 经检验， 符合题意，此时点 P 的坐标为 ． 25．（10分） （1）①证明：∵ AD 是 BC 边上的中线，∴ BD = CD． 在 △ABD 和 △ECD 中， AD = ED，∠ADB = ∠EDC，BD = CD， ∴ △ABD ≌ △ECD（SAS）．（2 分） ②证明：由①知 △ABD ≌ △ECD，∴ AB = CE．（1 分） 在 △ACE 中，由三角形三边关系得：AC + CE > AE． 又 ∵ AE = 2AD，CE = AB， ∴ AB + AC > 2AD．（1 分） （2）证明：延长 ED 至点 G，使 DG = ED，连接 CG、FG． 同（1）可证 △BDE ≌ △CDG（SAS），（1 分） ∴ BE = CG，∠B = ∠DCG． ∵ AB = AC，∠BAC = 90°，∴ ∠B = ∠ACB = 45°． ∴ ∠ACG = ∠ACB + ∠DCG = 45° + 45° = 90°．（1 分） 又 ∵ DE ⊥ DF，DG = ED，∴ DF 是线段 EG 的垂直平分线，∴ EF = FG． 在 Rt△FCG 中，由三边和差或全等截长补短得 CF + CG = FG， 即 BE + CF = EF．（1 分） （3）解：由（2）知，BE + CF = EF．（1 分） ∵ △AEF 的周长 = AE + AF + EF（1 分） = (AB − BE) + (AC − CF) + (BE + CF) = AB + AC． 已知 AB = AC = 6， ∴ △AEF 的周长 = 6 + 6 = 12．（1 分） 26．（10分） （1）证明：延长 CE 交 BA 的延长线于点 F． ∵ BD 平分 ∠ABC，CE ⊥ BD， 在 △BEF 和 △BEC 中， ，BE = BE，， ∴ △BEF ≌ △BEC（ASA），∴ EF = EC，即 ．（1 分） ∵ ，∴ ． 又 ，，， ∴ ．（1 分） 在 △ABD 和 △ACF 中， ，AB = AC，， ∴ △ABD ≌ △ACF（ASA），∴ BD = CF． ∴ ．（1 分） （2）证明：充分性：若 BC = DE． 在直线上，． ∵ ，， ∴ ． 在 △CDE 中，，∴ ． ∴ ．（1 分） 在 △ABC 和 △CDE 中， ，BC = DE，， ∴ △ABC ≌ △CDE（ASA）．（1 分） 必要性：若 △ABC ≌ △CDE，则对应边 BC = DE 显然成立． 综上，△ABC ≌ △CDE 的充要条件是 BC = DE．（1 分） （3）解：延长 AB 至点 G，使 BG = CF，连接 OG．（1 分） 同（1）可证 △OCF ≌ △OAG（SAS）， ∴ OF = OG，． ∵ ，， ∴ ． ∴ ． 在 △EOF 和 △EOG 中， OE = OE，，OF = OG， ∴ △EOF ≌ △EOG（SAS）， ∴ ．（1 分） ∴ △BEF 的周长 ．（1 分） 已知正方形边长为 4，即 ， ∴ △BEF 的周长 ．（1 分） 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