精品解析：湖北省随州市曾都区淅河教联体多校 2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

数学九年级第一次月考卷 一、单选题（本大题共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】A、当时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、,该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、化简为，故不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列各式中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据二次函数的定义判断是否符合条件，需要化简的要化简为最简形式再判断． 【详解】解：A、中的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意； B、中的最高次数为3，不是二次函数，不符合题意； C、符合二次函数要求，是二次函数，符合题意； D、化简得，为常数函数，不是二次函数，不符合题意． 3. 将二次函数的图象向上平移3个单位长度，向左平移2个单位长度得到的抛物线相应的函数表达式为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式． 【详解】解：∵y=x2-2x+3=（x-1）2+2， ∴该抛物线的顶点坐标是（1，2）， ∴将二次函数y=x2-2x+3的图象向上平移3个单位长度，向左平移2个单位长度得到的抛物线相应的函数表达式为：y=（x-1+2）2+2+3=（x+1）2+5． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 4. 为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵设研发投入的平均年增长率为，2023年研发投入为30亿元，从2023年到2025年共经过2年． ∴2024年研发投入为亿元，2025年研发投入为亿元． 又∵2025年研发投入为50亿元． ∴列方程得． 5. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ） A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】解方程得x＝5或x＝7，由三角形三边满足的条件可知x＝7不合题意，x＝5符合题意，由此即可求得周长． 【详解】解：解方程x2−12x＋35＝0 得x＝5或x＝7， 又3＋4＝7， 故长度为3，4，7的线段不能组成三角形， ∴x＝7不合题意， ∴三角形的周长为3＋4＋5＝12． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，三角形三边满足的条件，解题关键是掌握三角形三边满足的条件． 6. 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由，得． 两边平方得． 展开整理得． 化简得． 7. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查配方法，一移，二配，三变形，将方程配方后，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴； 故选C． 8. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据一次函数的图像即可求出、的取值范围，进而可大致判断二次函数的图象，即可解答． 【详解】解：由一次函数的图象可知，，， 二次函数的开口向下，顶点坐标在轴的负半轴上， 故选：B． 9. 甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由甲的错误结果可求出正确的一次项系数，由乙的错误结果可求出正确的常数项，进而确定原方程． 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 10. 如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③，其中；④．其中正确结论的有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了抛物线的图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，分别观察，，时的函数值，进而对所得结论进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：，， ∵ ∴， ∴，故①正确； 当时，，即， 当时，，即， ∴ 则 即 ∴所以②正确； ③当时，y的值最大．此时， 而当时，，其中， 所以 故， 即，故③错误． ④由对称知，当时的函数值与时的函数值相等，即，故④正确； 故选：B． 二、填空题（本大题共5题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的一个解为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】把代入原一元二次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴将代入方程， 得， 整理得， 解得． 12. 抛物线的顶点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线已给出顶点式形式，对照顶点式的结构即可直接得到顶点坐标． 【详解】解： 抛物线的顶点坐标为． 13. 设是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再展开所求式子后整体代入计算. 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系可得，， ∴. 14. 抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴，根据二次函数增减性得到对称轴满足的条件，解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵ 抛物线的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 在对称轴左侧，即时，随的增大而减小， ∵ 当时，随的增大而减小， ∴ ， 解得 ． 15. 如图，在矩形中，，点在边上，，动点，分别在边和上，且，点在上，则的面积的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，设，根据矩形的性质，求出，根据等腰三角形的性质，推出，根据平行线的性质，推出，根据勾股定理求出，，根据三角形的面积公式，得到，根据函数的最值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，设． 四边形为矩形， ，，， ． ， ， ． ， ， ， 由勾股定理得． ， ， ， ，由勾股定理， ， 当时，存在最大值，最大值为． 三、解答题 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】(1)利用公式法解一元二次方程即可解得； (2)利用因式分解法解一元二次方程即可解得． 【小问1详解】 解：在方程中， a=1，b=-4，c=1， ， ，， 所以，原方程的解为， 【小问2详解】 解：由原方程得：， 或， 解得，， 所以，原方程的解为，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键． 17. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）若方程的一个根为，求的值； （2）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1） （2） 证明：∵中，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念以及根的判别式的应用，代入根求解参数和利用判别式判断根的情况是解题的关键． （1）将代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （2）计算方程的判别式，通过配方证明，从而证明方程总有两个不相等的实数根． 【小问1详解】 解：把代入方程，得 ， 解得； 【小问2详解】 略 18. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两个根满足，求m的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系．掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键． （1）利用根的判别式，即可求出答案； （2）先运用根与系数的关系得出，，再代入到，即可求出答案． 【小问1详解】 ∵方程有两个实数根， ， 解得； 【小问2详解】 和是一元二次方程的两个根， ，， ， ， ， 解得，． ， ． 19. 某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【小问1详解】 解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 20. 如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． （1）矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ （2）矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 【答案】（1）三边长分别为 （2）三边长分别为 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设垂直于墙的一边长，根据矩形围栏的面积为列出方程，解方程并选取合适的解即可； （2）设矩形围栏的面积为．根据矩形围栏的面积列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的一边长， 则 解得：， 当时，（不符合题意，舍去） 当时，（符合题意） 三边长分别为：． 【小问2详解】 解：设矩形围栏的面积为． 则有 当时．有最大值 当时，（符合题意） 三边长分别为：． 21. 一款服装每件进价为90元，销售价为130元时，每天可售出30件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． （1）设每件服装降价元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含的代数式表示）； （2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1500元？ 【答案】（1）， （2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价15元，商家平均每天能盈利1500元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系是解题的关键． （1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件即可得到答案． （2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销量为件，根据题意列出方程，解方程即可求解； 【小问1详解】 解：设每件服装降价x元，由于每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件， 则每天销售量增加x件，每件服装盈利元． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：设每件服装降价元，每件服装盈利元，平均每天的销量为件，依题意可得： 整理，得： 解得：，， 要让利于顾客， 应舍去， 故， 答：在让利于顾客的情况下，每件服装降价15元，商家平均每天能盈利1500元． 22. 二次函数的图象过点． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，求函数y的最大值和最小值的差； （3）当时，函数y的取值范围为，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）9 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据二次函数的增减性，求出最大值和最小值，作差即可； （3）图象法，求m的取值范围即可； 【小问1详解】 解：把点代入二次函数得， ， 解得， 二次函数的关系式为； 【小问2详解】 解： 抛物线的开口方向向下，对称轴为，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，， 当时，最大，； 当时，最小，． 时，函数的最大值4和最小值的差为； 【小问3详解】 解：函数的取值范围为，即函数图象位于轴上方的部分所对应的函数值， 当时，即． 解得或． 又当时，， ． 23. 如果二次函数与轴的两个交点的距离为1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数与轴的两个交点分别是，，两点的距离为1，则此函数是“邻交函数” （1）判断二次函数是不是“邻交函数” （2）若二次函数是“邻交函数”，求的值． （3）若二次函数是“邻交函数”，令，求的最大值． 【答案】（1）是“邻交函数” （2） （3）的最大值为 【解析】 【分析】（1）求出二次函数与x轴的两个交点的坐标即可得到答案； （2）设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，由根与系数的关系得到，则可得到，解方程求出m的值，则可求出n的值，进而可得a的值； （3）当时，，解得，根据定义得到，则可推出，进而得到，据此可得答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，， 解得， ∴二次函数与x轴的两个交点的坐标分别为， ∵， ∴二次函数与x轴的两个交点的距离为1， ∴二次函数是“邻交函数”； 【小问2详解】 解：∵二次函数是“邻交函数”， ∴关于x的一元二次方程有两个不相同的实数根，且两根之差为1， 设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴， ∴， ∴， 解得或， 当时，，则，解得， 当时，，则，解得， 综上所述，； 【小问3详解】 解：∵二次函数是“邻交函数”， ∴二次函数与x轴有两个交点，且这两个交点的距离为1， 在中，当时，， 解得， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，t有最大值，最大值为9． 24. 如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于的动点，过点作轴于点，交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求为直角三角形时点的坐标． 【答案】（1）； （2）存在，线段长的最大值为； （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题． （1）已知在直线上，求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，通过待定系数法即可求得解析式； （2）设出P点横坐标，根据直线和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，可得到关于与P点横坐标的函数关系式，再化成顶点式即可； （3）当为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵在直线上， ∴， ∴， ∵、在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设动点P的坐标为，则C点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，线段最大，最大值为； 【小问3详解】 解：∵为直角三角形， ①若点A为直角顶点，．由题意易知，轴，，因为此种情形不存在； ②若点A为直角顶点，则． 如图1，过点作轴于点N，则，． 过点A作，交x轴于点M， 则由题意知，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， 则：， 解得， 所以直线的解析式为：， 又抛物线的解析式为：， 联立得， 解得：或（与点A重合，舍去）， ∴，即点C、M点重合． 当时，， ∴； ③若点C为直角顶点，则． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． 如图2，作点关于对称轴得对称点C， 则点C在抛物线上，且， 当时，． ∵点、均在线段上， ∴综上所述，为直角三角形时，点P的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学九年级第一次月考卷 一、单选题（本大题共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 将二次函数的图象向上平移3个单位长度，向左平移2个单位长度得到的抛物线相应的函数表达式为（ ）． A. B. C. D. 4. 为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ） A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都不对 6. 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 1 8. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③，其中；④．其中正确结论的有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共5题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的一个解为，则的值为_____． 12. 抛物线的顶点坐标为_____． 13. 设是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 14. 抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 15. 如图，在矩形中，，点在边上，，动点，分别在边和上，且，点在上，则的面积的最大值为___________． 三、解答题 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）若方程的一个根为，求的值； （2）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 18. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两个根满足，求m的值． 19. 某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）求水柱落地点与雕塑的水平距离． 20. 如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． （1）矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ （2）矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 21. 一款服装每件进价为90元，销售价为130元时，每天可售出30件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． （1）设每件服装降价元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含的代数式表示）； （2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1500元？ 22. 二次函数的图象过点． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，求函数y的最大值和最小值的差； （3）当时，函数y的取值范围为，求m的取值范围． 23. 如果二次函数与轴的两个交点的距离为1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数与轴的两个交点分别是，，两点的距离为1，则此函数是“邻交函数” （1）判断二次函数是不是“邻交函数” （2）若二次函数是“邻交函数”，求的值． （3）若二次函数是“邻交函数”，令，求的最大值． 24. 如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于的动点，过点作轴于点，交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求为直角三角形时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $