精品解析：湖北省随州市曾都区均川镇第二中学2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学试题

九年级（上）第二次月考数学试题 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点是（ ）． A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是（） A. B. C. D. 4. 将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 观察下表，一元二次方程的解的范围是（ ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.09 0.34 0.61 A. B. C. D. 6. 已知抛物线的自变量、、对应的函数值分别为、、，当，，时，、、三者之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数且），其中结论正确的个数为（ ） ①， ②， ③， ④， ⑤为任意实数）， ⑥当时，y的值随着x的值增大而增大． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知二次函数（m为常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 9. 把方程化成的形式，其中m，n为实数，则n的值是（ ） A. 1 B. 5 C. 16 D. 17 10. 二次函数（a，b，c为常数，且）中x与y的部分对应值如下表，下列结论，正确的个数有（ ） x 0 1 3 y 3 5 3 ①； ②当时，y的值随x值的增大而减小； ③和3是方程的根； ④当时， A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二．填空题（每小题3分，满分15分） 11. 设是方程的一个实数根，则________． 12. 写出一个二次函数，其图象过点且开口向下：______________． 13. 不解方程，判断方程的根的情况：________． 14. 若实数x满足，则_____ ． 15. 6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极-艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，，分别是，上的点，，相交于点．是的中点，若，，则的长为____________________ ． 三．解答题（共9小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程的一个根为，求实数m的值； （2）若该方程没有实数根，求实数m的取值范围． 18. 某班数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数与y的几组对应值如表： … 0 1 2 3 … … 0 m 0 … 其中，___________ （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有___个交点，所以对应的方程有_____个实数根； ②函数图象与直线有______个交点． ③当关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是________． ④不等式的解集是_____． 19. 已知：抛物线经过A(，0)、B(5，0)两点，顶点为P．求： （1）求抛物线的解析式； （2）求ABP的面积． 20. 如图，为缓解停车难的问题，某小区利用一块矩形空地建了一个长为50米，宽为30米的小型惠民停车场，阴影部分为停车位，其余部分是等宽的通道（通道与停车场的边平行或垂直），小区打算对所有停车位的地面进行喷漆，已知喷漆面积为1196平方米． （1）求通道的宽； （2）据调查分析，停车场多于50个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为11250元？ 21. 疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．实验中学数学兴趣小组统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为，其中．校门口有一个体温检测棚，每分钟可检测48人． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？ （3）检测体温到第2分钟时，为减少排队等候时间，学校在校门口临时增设一个人工体温检测点．已知人工每分钟可检测12人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况（直接写出结果）． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，与抛物线交于点A、点，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）动点P在直线上方的抛物线上，设点P的横坐标为，过点P作x轴的平行线交于点M，过点P作y轴的平行线交于点N，当时，求t值； （3）点Q是坐标平面内一点，将绕点Q沿顺时针方向旋转后，得到，点A、O、B的对应点分别是点，若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出此时点的横坐标． 23. 某超市购进甲、乙两种商品，已知购进5件甲商品和2件乙商品，需80元；购进3件甲商品和4件乙商品，需90元； （1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？ （2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当时，甲商品的日销售量y（单位：件），x、y之间的部分数值对应关系如表： 销售单价x（元/件） 12 18 日销售量y（件） 16 4 请写出当时，y与x之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与抛物线：组成图象，图象与轴交于点，过点作轴交抛物线于点，点是图象上动点，设点的横坐标是． （1）求抛物线的顶点坐标和线段的长； （2）当点在抛物线上，过点作轴，与抛物线相交于点，当以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值； （3）若图象G位于P，A两点之间部分（包括P，A两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）第二次月考数学试题 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 2. 抛物线的顶点是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】抛物线的顶点是． 故选：B． 3. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程无实数时，．根据关于的一元二次方程无实数根，可知，然后求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程无实数根， 解得， 故选：B． 4. 将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握图形平移的规律是解题的关键． 根据二次函数图象平移的规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”即可求解． 【详解】解：抛物线向右平移个单位长度得，，再向上平移个单位长度得，， 故选：． 5. 观察下表，一元二次方程的解的范围是（ ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.09 0.34 0.61 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的估算，解题的关键是理解表格；因此此题可根据表格进行求解． 【详解】解：由表格可知：当时，； 当时，； ∴一元二次方程的一个根的范围一定在； 故选：C． 6. 已知抛物线的自变量、、对应的函数值分别为、、，当，，时，、、三者之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．先求得抛物线的对称轴为直线，根据抛物线开口向上时，图象上的点离对称轴越近，函数值越小，确定出三点离对称轴的远近，即可确定出函数值的大小． 【详解】解：该抛物线的对称轴为直线 ，， 二次函数的二次项系数，即抛物线开口向上 故选：B． 7. 如图，对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数且），其中结论正确的个数为（ ） ①， ②， ③， ④， ⑤为任意实数）， ⑥当时，y的值随着x的值增大而增大． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是结合抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等信息，对每个结论逐一分析判断． 由抛物线开口方向得；由对称轴得；由抛物线与轴交于负半轴得，从而判断是否成立；由抛物线与轴有两个交点得；利用对称性知与时函数值相等，判断的符号；取时的函数值结合判断的符号；由时函数取得最小值，判断是否成立；根据对称轴与开口方向判断时随的变化趋势． 【详解】解：抛物线开口向上， ； 对称轴为，即， ； 抛物线与轴交于负半轴， ， ，故①错误； 抛物线与轴有两个交点， ，即，故②正确； 对称轴为， 与时函数值相等，时， ，故③错误； 当时，， 代入得，故④正确； 时函数取得最小值， ，即，故⑤正确； 对称轴为且开口向上， 当时随的增大而减小，故时随的增大而减小，⑥错误； 综上，正确的结论有②④⑤，共个． 故选：A． 8. 已知二次函数（m为常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象及性质，二次函数增减性等．根据题意先将二次函数一般式化为顶点式，求出函数对称轴，再求出三个点距离对称轴的距离，利用函数图象性质继而得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上， ∴距离对称轴越远的点，其函数值越大， ∵，，， ∴，，，， ∴． 故选：D． 9. 把方程化成的形式，其中m，n为实数，则n的值是（ ） A. 1 B. 5 C. 16 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 通过完成平方将方程化为的形式，直接计算n的值即可． 【详解】解：由题意得， ， ∴． 故选D． 10. 二次函数（a，b，c为常数，且）中x与y的部分对应值如下表，下列结论，正确的个数有（ ） x 0 1 3 y 3 5 3 ①； ②当时，y的值随x值的增大而减小； ③和3是方程的根； ④当时， A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式，二次函数与一元二次方程的关系，有一定难度．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据表格数据求出a和c的符号，二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：由表中数据可得出：y的值随x的增大先增大后减小， ∴二次函数开口向下，即． 当时，，即， ∴，故①正确； ∵当时，；当时，， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∴当时，y的值随x值的增大而减小，故②错误； ∵当时，， ∴． ∵， ∴． 当时，， ∴3是方程的根． ∵当时，， ∴， ∴． 当时，， ∴是方程的根， ∴和3是方程的根，故③正确； 设， ∵，则该函数开口向下． ∵和3是方程的根， ∴当时，函数图象位于x轴上方， ∴当时，，故④正确．　 综上可知①③④正确，有3个． 故选B． 二．填空题（每小题3分，满分15分） 11. 设是方程的一个实数根，则________． 【答案】2024 【解析】 【分析】首先由已知可得，即．然后化简代数式，整体代入，从而求得代数式的值． 【详解】解：把代入得到， 则， 又， 把代入， 故答案为：2024． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，整体代入思想的应用是解题的关键． 12. 写出一个二次函数，其图象过点且开口向下：______________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据二次函数定义，由二次函数开口向下，得到，再由图象过，得到，任取一个值即可得到答案．熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数开口向下，且图象过， 写出一个二次函数可为， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 不解方程，判断方程的根的情况：________． 【答案】没有实数根 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式,先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴方程没有实数根． 故答案为：没有实数根． 14. 若实数x满足，则_____ ． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使复杂问题简单化，变得容易处理． 通过换元法将原方程转化为关于新变量的二次方程，并利用完全平方公式求解． 【详解】解：设， 则原方程化为． 因式分解得， 解得． ∴， 即． 故答案为：5． 15. 6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极-艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，，分别是，上的点，，相交于点．是的中点，若，，则的长为____________________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线定理，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 利用正方形的性质证出，利用全等的性质证出，利用勾股定理求出的长，即可通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵，，四边形是正方形， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵是的中点， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共9小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，包括公式法和因式分解法． （1）利用公式法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：， ， 或， ∴，． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程的一个根为，求实数m的值； （2）若该方程没有实数根，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了方程的根，一元二次方程根的判别式； （1）将代入方程，即可求解； （2）由根的判别式得，即可求解； 掌握根的判别式：“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根．”是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得 ， 解得：； 【小问2详解】 解：该方程没有实数根， ， 解得：． 18. 某班数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数与y的几组对应值如表： … 0 1 2 3 … … 0 m 0 … 其中，___________ （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有___个交点，所以对应的方程有_____个实数根； ②函数图象与直线有______个交点． ③当关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是________． ④不等式的解集是_____． 【答案】（1） （2） 解：根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示： （3）①2；2；②3，3；③；④或 【解析】 【分析】（1）把代入函数解释式即可得m的值； （2）描点、连线即可得到函数的图象； （3）①根据函数图象与x轴的交点个数，即可得到结论；②根据的图象与直线的交点个数，即可得到结论；③根据函数的图象即可得到a的取值范围．④由图象可知，当或时，，即可得到答案． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①观察函数图象可知：当时，， ∴该函数图象与x轴有2个交点， 即对应的方程有2个实数根． 故答案为：2；2． ②观察函数图象可知：函数的图象与只有3个交点，所以对应的方程有3个实数根； 故答案为：3，3． ③观察图象可知：关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是． 故答案为：． ④由图象可知，当或时，，则，即， ∴不等式的解集是或． 【点睛】本题为函数图象探究题，考查了根据函数图象判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决方程、不等式问题． 19. 已知：抛物线经过A(，0)、B(5，0)两点，顶点为P．求： （1）求抛物线的解析式； （2）求ABP的面积． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法把A(，0)、B(5，0)两点代入求解即可； （2）首先把抛物线的解析式配方成顶点式，然后求出顶点P的坐标，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线经过A(，0)、B(5，0)两点， ∴将A(，0)、B(5，0)两点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）∵抛物线的解析式为， ∴， ∴顶点P的坐标为(2，9)， ∵A(，0)、B(5，0)， ∴AB=5-(-1)=6， ∴． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的顶点坐标，坐标系中三角形面积的求解，解题的关键是利用待定系数法求出二次函数表达式． 20. 如图，为缓解停车难的问题，某小区利用一块矩形空地建了一个长为50米，宽为30米的小型惠民停车场，阴影部分为停车位，其余部分是等宽的通道（通道与停车场的边平行或垂直），小区打算对所有停车位的地面进行喷漆，已知喷漆面积为1196平方米． （1）求通道的宽； （2）据调查分析，停车场多于50个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为11250元？ 【答案】（1）通道的宽是米； （2）元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）设通道的宽是米，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （2）设每个车位的月租金上涨元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设通道的宽是米， 由题意得：， 整理得：， 解得：(舍去)， ∴通道的宽是米； 【小问2详解】 解：设每个车位的月租金上涨元， 由题意得：， ∴， ∴， 解得：， ∵优惠大众， ∴， 即当每个车位的月租金上涨元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为11250元． 21. 疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．实验中学数学兴趣小组统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为，其中．校门口有一个体温检测棚，每分钟可检测48人． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？ （3）检测体温到第2分钟时，为减少排队等候时间，学校在校门口临时增设一个人工体温检测点．已知人工每分钟可检测12人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况（直接写出结果）． 【答案】（1） （2）排队等待人数最多时是121人 （3）人工检测10分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况 【解析】 【分析】（1）由顶点坐标为，可设，再将代入，求得a的值，则可得y与x之间的函数解析式； （2）设第x分钟时的排队等待人数为n人，根据及（1）中所得的y与x之间的函数解析式，可得n关于x的二次函数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案； （3）设人工检测m分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况，由于检测体温到第2分钟时，在校门口临时增设一个人工体温检测点，则体温检测棚的检测时间为分钟，则学生到校的累计人数与人工检测m分钟后两种检测方式的检测人数之和相等时，校门口不再出现排队等待的情况，据此可列出关于m的方程，求解并根据问题的实际意义作出取舍即可． 【小问1详解】 （1）∵顶点坐标为， ∴设， 将代入，得：， 解得， ∴； 【小问2详解】 设第x分钟时的排队等待人数为n人， 由题意可得： ， ∵，， ∴当时，n的最大值为121， 答：排队等待人数最多时是121人； 【小问3详解】 设人工检测m分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况， 由题意得，， 整理得：， 解得：，（舍）． 答：人工检测10分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况． 【点睛】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，与抛物线交于点A、点，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）动点P在直线上方的抛物线上，设点P的横坐标为，过点P作x轴的平行线交于点M，过点P作y轴的平行线交于点N，当时，求t值； （3）点Q是坐标平面内一点，将绕点Q沿顺时针方向旋转后，得到，点A、O、B的对应点分别是点，若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出此时点的横坐标． 【答案】（1） （2）t的值为2或 （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由，则，，当时，证明，根据全等三角形的性质可得，即可求解； （3）由旋转可知：轴，轴，设点的横坐标为x，则点的横坐标为，当点，同时落在抛物线上时，点的纵坐标比点的纵坐标大，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线经过点A、点， ， 依题意得， 解得， 抛物线的解析式； 【小问2详解】 设直线的解析式为， 代入得， 解得， 直线的解析式为， 直线与x轴、y轴分别交于点B、点A， ， 由题意知， 过点P作x轴的平行线交于点M，过点P作y轴的平行线交于点N， ，， 设交y轴于E，交x轴于F， ， 当时，， ， ， 解得或（不合题意，舍去）， ， 同理， ， ， 解得或（不合题意，舍去）， 综上，t的值为2或； 【小问3详解】 由旋转可知：轴，轴， 设点的横坐标为x，则点的横坐标为， 当点同时落在抛物线上时，点的纵坐标比点的纵坐标大， ， 解得， 此时． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，直角三角形旋转的性质等知识，熟练掌握方程思想和分类讨论思想是解题的关键． 23. 某超市购进甲、乙两种商品，已知购进5件甲商品和2件乙商品，需80元；购进3件甲商品和4件乙商品，需90元； （1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？ （2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当时，甲商品的日销售量y（单位：件），x、y之间的部分数值对应关系如表： 销售单价x（元/件） 12 18 日销售量y（件） 16 4 请写出当时，y与x之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是10元/件、15元/件． （2）y与x之间的函数关系式为． （3）当时，w取得最大值50；当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和二次函数在实际问题中的应用及待定系数法求一次函数的解析式等知识点，理清题中的数量关系并明确相关函数的性质是解题的关键． （1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，由题意得关于a、b的二元一次方程组，求解即可． （2）设y与x之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可． （3）根据利润等于每件的利润乘以销售量列出函数关系式，然后写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种商品的进货单价分别是a，，由题意得： ， 解得：． ∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10元/件、15元/件． 【小问2详解】 解：设y与x之间的函数关系式为，将，代入得： ， 解得：． ∴y与x之间的函数关系式为． 【小问3详解】 由题意得： ． ∴当时，w取得最大值50． ∴当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与抛物线：组成图象，图象与轴交于点，过点作轴交抛物线于点，点是图象上动点，设点的横坐标是． （1）求抛物线的顶点坐标和线段的长； （2）当点在抛物线上，过点作轴，与抛物线相交于点，当以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值； （3）若图象G位于P，A两点之间部分（包括P，A两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3，求m的取值范围． 【答案】（1）顶点为， （2）m的值是1或3 （3）或 【解析】 【分析】（1）将函数一般式化为顶点式，即可得顶点，令，则，当时，，解得，即可求得； （2）将抛物线函数化为顶点式得对称轴为直线，由对称性即可知，结合平行四边形的性质得，即，解方程即可； （3）①当点在抛物线上时，即，结合抛物线的顶点和点坐标，以及最高点与最低点纵坐标之差，列方程求解即可；②当点在抛物线上时，即，结合抛物线的顶点和点坐标，以及最高点与最低点纵坐标之差，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线 ， 顶点为． 令，则， 当时，， 解得，，， ∴， ； 【小问2详解】 解：如图， ∵抛物线， 抛物线的对称轴为直线， 轴 点与点关于直线对称， ． 以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ， 即，解得：， 的值是1或3； 【小问3详解】 解：①当点在抛物线上时，即， 抛物线的顶点为点坐标为， 图象位于，两点之间部分（包括，两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3， 最高点是抛物线的顶点为，最低点纵坐标为， 当时，，解得：，（舍去） ； ②当点在抛物线上时，即 抛物线的顶点为，点坐标为，， 图象位于，两点之间部分（包括，两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3， 最高点是抛物线的顶点为，最低点纵坐标为1， 当时，，解得：，， 综上，或． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质和平行四边形的性质，绝对值的意义，以及解一元二次方程，解题的关键是熟悉二次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $