期中复习专项2——特殊三角形 专项训练 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

期中复习专项2——特殊三角形 姓名：___________ 题型一、等腰三角形边不确定分类讨论 1．若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 2．等腰的周长为18，若的长为8，则的不可能是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 3．若等腰三角形的一边是8，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（   ） A．20 B．16 C．16或20 D．无法确定 4．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（     ） A． B． C． D．或 5．已知一个等腰三角形的一边长为，另一边长为，则这个等腰三角形的周长为________． 6．若等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长是______． 题型二、等腰三角形角不确定分类讨论 7．等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是______． 8．若一个等腰三角形的一个内角为，则这个三角形的顶角为___________． 9．已知等腰三角形的一个内角等于，则顶角等于___________． 10．等腰三角形的一个外角是，则它的顶角是（） A． B．或 C． D．或 题型三、形状不确定高、中垂线与腰夹角 11．已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为，则此等腰三角形的顶角为________． 12．等腰，线段的垂直平分线交于点D，交直线于点E，若，则的度数是_____________ ． 13．若等腰三角形的两条高所在直线形成的角中有一个为，则其顶角的度数为______． 14．如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角恰好等于等腰三角形的底角，那么这个三角形顶角的大小为______． 15．等腰三角形一条腰上的高与另一条腰所成的角为25°，那么这个等腰三角形顶角的度数为_____． 题型四、中线分周长问题 16．中，，边上的中线交于点D，中线分两部分的周长差为2，若，则的长为（    ） A．5 B．8或10 C．12 D．8或12 17．在等腰中，一条腰上的中线将的周长分成了和两部分，这个等腰三角形的底边长为______． 18．在中，，边上的中线将的周长分为和的两部分，则的底边长为______． 19．已知中，，的垂直平分线交于，和的周长分别是和，则的腰和底边长分别为_____． 题型五、直角三角形性质 20．如图，在中，，，分别是斜边上的高和中线，下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 21．如图，在中，，是边上一点，是的中点．若的垂直平分线经过点，，则为（   ） A． B． C． D． 22．如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿沿墙滑动过程中的某个位置，则的长（   ） A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小 C．只要滑动，的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变 23．如图，中，，，，D是的中点，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 24．如图，在中，，，，垂足为，若，则_____． 第21题图 第22题图 第23题图 第24题图 25．一个直角三角形的两条边长分别是5和12，则斜边上中线长为___________． 26．直角三角形斜边上的高和中线分别是2和3，则该直角三角形的面积是__________． 27．如图，是斜边上的中线，与关于直线对称．连接，若，则__________． 28． 如图，在中，D是边上的一点，，E，F分别是的中点．若，则的长 为_________． 题型六、解答题 29．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，为中点，连接，． (1)已知，求的度数； (2)求证：． 30．在中，分别是高，M为的中点，N为的中点，求证：． 31．已知，如图，，分别是的中点． (1)求证：； (2)求证：． 32．证明：在直角三角形中，如果一个锐角所对的直角边是斜边的一半，那么这个锐角等于． 已知：如图，___________． 求证：___________． 证明： 33．探究等边三角形“手拉手”问题． (1)如图，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则与的位置关系是_____，请说明理由； (2)如图，已知、均为等边三角形，连接、，若，求证：（即、、在同一条直线上）； (3)如图，已知点在等边三角形外，点、点位于线段的异侧，连接、，若，则线段、、三者之间的数量关系是______，请说明理由． 34．阅读材料：如图，中，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值），即为定值． (1)深入探究 将“在中，为上一点”改成“为等边三角形内一点”，作，，垂足分别为、，有类似结论吗?请写出结论并证明； (2)理解与应用 当点在外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样的关系，并说明理由． 35．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 36．【探究】 (1)如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ．             【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 (3)根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 期中复习专项2——特殊三角形 参考答案 题号 1 2 3 4 10 16 20 21 22 23 答案 B C A B B D C C D B 1．B 【分析】未明确的边是腰还是底，需分类讨论并验证三角形三边关系. 【详解】解：当为腰长时，底边长为， ∵，不能构成三角形， ∴此情况不成立； 当为底边长时，腰长为， ∵，能构成三角形， ∴腰长为. 2．C 【分析】本题根据等腰三角形定义，分三种情况讨论的可能长度，结合三角形三边关系验证，即可得出不可能的值． 【详解】解：∵是等腰三角形，周长为，，分三种情况讨论： 1．若，则，此时，三边为，满足，符合三角形三边关系和等腰三角形要求，因此可能，排除D． 2．若，则，此时，三边为，满足三角形三边关系和等腰三角形要求，因此可能，排除A． 3．若，则，三边为，满足，符合要求，因此可能，排除B． 当时，，三边为，不存在相等的两边，无法构成等腰三角形，因此不可能． 3．A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，掌握这些是解题的关键． 本题应分为两种情况：8为底，4为腰；4为底，8为腰，根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：等腰三角形的两条边长为8和4， 8为底，4为腰时，，无法构成三角形，故舍去； 4为底，8为腰时，周长为：． 综上，它的周长为20． 故选：A． 4．B 【分析】分两种情况：①当腰长为时，②当底边长为时，再结合三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：①当腰长为时，则底边长为， 三角形的三边长分别为，，，此时，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意，舍去； ②当底边长为时，则腰长为， 三角形的三边长分别为，，，此时，满足三角形三边关系，能组成三角形，符合题意； 综上，该等腰三角形的腰长为． 5．或 【分析】分腰长为和腰长为两种情况讨论，根据三角形三边关系验证能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解： 分两种情况讨论： 情况1：当腰长为时，三角形三边长为，，， ，符合三角形三边关系，能构成三角形， 周长为． 情况2：当腰长为时，三角形三边长为，，， ，符合三角形三边关系，能构成三角形， 周长为． 因此这个等腰三角形的周长为或． 6．19 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 等腰三角形的两边长分别为和，需分情况讨论哪边为腰、哪边为底边，并验证是否满足三角形三边关系，然后求周长即可． 【详解】解：若为腰，为底边，则三边为、、，但，不满足三角形三边关系，不构成三角形； 若为腰，为底边，则三边为、、且，满足三角形三边关系，故周长为． 故答案为19． 7．或 【分析】本题考查了等腰三角形的顶角，根据等腰三角形的定义分为顶角和底角两种情况计算即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：当的角为顶角时，顶角的度数为； 当的角为底角时，顶角的度数为； ∴顶角的度数是或， 故答案为：或． 8．或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，定义等知识，主要题目中说一个内角，要分类讨论．当等腰三角形顶角为和底角为两种情况分类讨论即可求解． 【详解】解：当等腰三角形顶角为时，底角为； 当等腰三角形底角为时，顶角为； 故答案为：或 9． 或 【分析】按是底角和顶角分类讨论，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①当的内角为底角时， 等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和为， 顶角的度数为； ②当的内角为顶角时，顶角的度数为； 综上，顶角等于或． 10．B 【分析】先根据邻补角性质求出与外角相邻的内角，再分该内角为顶角或底角两种情况，结合等腰三角形性质与三角形内角和定理计算顶角． 【详解】当的角是顶角的外角时，顶角的度数为； 当的角是底角的外角时，底角的度数为， 所以顶角的度数为； 故顶角的度数为或． 11．或 【分析】本题考查的是等腰三角形，解题的关键是画出图形，注意数形结合，容易忽略该等腰三角形为钝角三角形的情况． 分情况进行讨论：①等腰三角形为锐角三角形；②等腰三角形为钝角三角形，即可得出答案． 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图所示：    ∵垂直平分，， ∴， ∴； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图所示：    ∵垂直平分，， ∴， ∴， ∴； 综上分析可知：等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或 12．或 【分析】由于交直线，点的位置不确定，需分情况讨论求解． 【详解】解：①当点在线段上时，如图1， 是的垂直平分线， ， 又， 在中，由三角形内角和定理得， ， 点在线段上， ； ②当点在的延长线上时，如图2， 是的垂直平分线， ， 又， 在中，由三角形内角和定理得， ， ； 综上所述，的度数为或． 13．或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的有关概念，三角形的内角和定理，分三种情况讨论即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】分情况讨论： 如图，，， ∵，， ∴， ∴，即顶角为， 如图，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即顶角为， 如图， 同理可得， ∴，即顶角为， 综上可知：顶角度数为或或． 14．/度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，设等腰三角形的底角为，根据题意，腰上的高与另一腰的夹角也为，由于等腰三角形两底角相等，可分为两种情况：①锐角三角形；②钝角三角形讨论即可得到答案． 【详解】解：设等腰三角形的底角为，由题可得：腰上的高与另一腰的夹角也为， ∵等腰三角形两底角相等，可分为两种情况： ①锐角三角形： 由图可知，此时不满足题意，故舍去； ②钝角三角形： 由图可得：，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 15．65°或115° 【分析】分类讨论：①当该等腰三角形为锐角三角形时，②当该等腰三角形为钝角三角形时，结合题意，即可求出其顶角的大小． 【详解】解：分类讨论：①如图，当该等腰三角形为锐角三角形时， 由题意可知，， ； ②如图，当该等腰三角形为钝角三角形时， 由题意可知，， ． 故答案为：或 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，注意掌握分类讨论思想和数形结合思想的应用是解题的关键． 16．D 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，利用三角形中线的定义，表示出两部分的周长，根据周长差为2建立方程求解． 【详解】解：∵ ，为边上的中线， ∴ ， 设， 则的周长为：， 的周长为：， 两部分的周长差为， ∴， 即或， 解得或． ∴ 的长为8或12． 故选：D． 17．或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形中线性质，三角形三边的关系，根据中线的性质结合题意，可设，则，分两种情况讨论，当时，当时，解出的值即可求解，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵腰上的中线，可设，则， 由题意得：当时，即， 解得， ∴， ∴，， ∵， ∴能构成三角形， 当时，即， 解得， ∴， ∴，， ∵， ∴能构成三角形， ∴这个三角形的底边长为或， 故答案为：或． 18．或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，掌握利用等腰三角形的性质，分情况讨论中线所分周长的两部分，结合三角形三边关系验证结果是解题的关键． 本题的解题思路是设出腰长和底边长，分两种情况列方程求解． 【详解】由题意得：，即． 分两种情况： ①若，则， ， 即； 与联立， 解得， 三边长，，满足三角形三边关系； ②若，则， ， 即， 与联立， 解得， 三边长，，满足三角形三边关系； 综上所述，的底边长为或． 故答案为：或． 19．， 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可得到，可知两三角形周长差为，结合条件可求得腰长，再由周长可求得，可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 在线段的垂直平分线上， ， ， 且， ， ， ， 即等腰三角形的腰为，底为． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 20．C 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，根据以上知识逐一分析各选项即可. 【详解】解：∵， 是斜边上的中线， ∴， ∴，，A正确，不符合题意， ∵是斜边上的高， ∴， ∴，故B正确，不符合题意， ∵不一定等于， 是斜边上的高， ∴不一定等于， ∴不一定正确，故C符合题意， ∵， ∴，故D正确不符合题意， 故选：C 21．C 【分析】本题考查了线段的垂直平分线性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握这些知识是解题的关键． 由的垂直平分线经过点得，由，是的中点得． 【详解】解：∵的垂直平分线经过点， ∴， ∵，是的中点， ∴， 故选：C． 22．D 【分析】此题考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键是熟练掌握以上知识点．根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可． 【详解】解：∵，P为的中点， ∴， 即的长在竹竿滑动过程中始终保持不变， 故选：D． 23．B 【分析】根据直角三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵D是的中点， ∴． 24． 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，先求出，，再由含角的直角三角形的性质计算即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 25．6.5或6 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质．先利用勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：当长为5和12的边长为两条直角边时，斜边长为：， 则斜边上的中线长为：． 当边长为12的边为斜边时， 则斜边上的中线的长为：； 故答案为：6.5或6． 26．6 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，三角形面积，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线为3， ∴该直角三角形的斜边长为， 又∵直角三角形斜边上的高为， ∴该直角三角形的面积为， 故答案为：6． 27．70 【分析】本题考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，证明，求出，推出，推出可得结论． 【详解】解：∵是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵与关于直线对称， . ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：70． 28．5 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 连接，根据三线合一得出是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，是的中点， ∴， 即是直角三角形， ∵是的中点， ∴， 故答案为：5． 29．(1) (2) 证明：，由（1）知， ∴ ∵F是CE边上的中点， ． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半． （1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得，进而得出由垂直定义即可求解； （2）由（1）得，进而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答． 【详解】（1）解：，是边上的中线， ，， ； （2）略 30． 证明：如图，连接，， 由分别是高可得，， ∵M为的中点， ∴，即为等腰三角形， ∵N为的中点， ∴． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质，正确作出辅助线． 连接，，根据直角三角形的性质可得，再利用等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】略 31．(1) 证明：连接，如图所示： ，是的中点， ，， ； (2) 证明：如图所示： 由（1）知，， 在中，点是的中点，即是底边上的中线， 又， 由等腰三角形“三线合一”性质可得，． 【分析】本题考查三角形相关性质证明，涉及直角三角形性质、等腰三角形性质，熟记三角形相关性质是解决问题的关键． （1）连接，如图所示，在和中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，等量代换即可得证； （2）由（1）知，，在中，点是的中点，即是底边上的中线，由等腰三角形“三线合一”性质即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 32． 解：已知：如图，在中，，． 求证：． 证明：延长到D，使得， ∴，    ∵， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴平分， ∴． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 添加辅助线，构造等边，运用等边三角形的性质,即求解即可． 【详解】略 33．(1) 平行，理由如下： ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ ， ∴， ∴； (2) 证明： ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 即. ∵， ∴， ∴， ∴, ∴； (3) ，理由如下： 在线段上取一点H，使得，设交于点O， ∵都是等边三角形， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴. 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行线的判定， 对于（1），根据“边角边”证明，再根据全等三角形的性质得，然后根据平行线的判定定理得出结论； 对于（2），根据题意可知，再证明，可得，进而得出答案； 对于（3），在线段上取一点H，使得，再证明，可得，然后证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得，结合图形可得答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 34．(1) 解：，理由如下： 连接、、，则 ∵等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； (2) 解：，理由如下： 连接、、，则 ∵等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积； （1）连接、、，利用计算即可； （2）连接、、，利用计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 35．(1)， (2) 证明：如图2，作于点， ∵于点，于点E， ∴， 由， 同理（1）得， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【分析】本题考查一线三直角全等问题， （1）由，得，则，而，即可证明，得，，于是得到问题的答案； （2）作于点，因为于点，于点，所以，由（1）得，因为，所以，则，而，即可证明，得，所以，再证明，则． 【详解】（1））解：于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故答案为：，． （2）略 36．(1) (2) (3)证明：如图3，是的中点，延长至点，使，连接， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，根据三角形内角和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）按照边角边证明三角形全等即可． （2）按照（1）中方法延长，使，利用三角形全等证明，再利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求出的取值范围． （3）按照（1）中方法延长，使，证明、即可证明出结论． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， （2）解：如图2，是 的中线，，，延长至点，使，连接，则， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴在，根据三角形三边关系得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）略 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $