2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟练习卷（江苏南京专用）

2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟练习卷全析全解 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版八年级上册第1~3章。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列四组数中，是勾股数的一组是（     ） A．1，1，2 B． C． D．8，15，17 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【详解】解：A．，不是勾股数． B、C．选项中的数不全是正整数，不是勾股数． D．，是勾股数． 2．如图，数轴上有、、、四点，距离表示的点最近的是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【知识点】估计算术平方根的取值范围、实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】先根据无理数的估算可得，然后根据数轴的性质即可得． 【详解】解：， ，即， 由数轴可知，点所表示的数与最接近． 3．三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（     ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．边的中点 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线性质的实际应用 【详解】解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 4．若与是同一个数两个不同的平方根，则的值为（     ） A．3 B．1 C．或1 D． 【答案】B 【知识点】平方根概念理解、已知一个数的平方根，求这个数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】根据同一个数的两个不同平方根互为相反数的性质，列方程即可求解． 【详解】解：∵与是同一个数的两个不同的平方根， ∴， 解得． 5．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、C、D的面积分别是7、10、13，最大正方形E的面积是36，则正方形B的面积是（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【知识点】勾股树（数）问题、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】根据勾股定理的几何意义，大正方形的面积等于正方形、、、的面积之和． 【详解】解：设正方形的面积为，根据勾股定理的几何意义，正方形与下方的正方形面积为， 正方形与下方的正方形面积为， ∵最大正方形的面积等于其上方两个正方形面积之和，， 即 ， 解得． 6．如图，在中，，点在高上，是外一点，，，若，，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】证明，得到，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 第二部分（非选择题 共88分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．若，则的值为_____ ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的立方根、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】平方和算术平方根都是非负数，两个非负数的和为，则每个非负数都为，据此求出和的值，再计算目标式子即可． 【详解】解：∵ ，，且， ∴ ，， 解得 ，， ∴ ， ∴ ． 8．如图，在中，是斜边上的中线，，则_________°． 【答案】18 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】先求解，结合直角三角形斜边上的中线可得，进一步可得答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴． 9．如图，有一张直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点A落在直角边延长线上的点D处，折痕为，则的长为________． 【答案】2 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】勾股定理求出的长，折叠得到，利用即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由翻折的性质得， ∴． 10．如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到．且恰好落在上，连接，取的中点D，连接，则的长为________ ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】根据旋转的性质找到等角或等边，在三角形中利用勾股定理求解． 【详解】解：由及旋转性质可知， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴为的中垂线， ∴， ∴为等边三角形， ∵在中由勾股定理得，即， ∴， ∵， ∵， 又D为中点， ∴， ∴在中由勾股定理得，即． 故的长为． 11．已知一个正数x的两个平方根是和，则a的值是________． 【答案】 【知识点】平方根概念理解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 合并同类项得， 移项得， 解得． 12．如图，是的角平分线，若，，则______． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】利用角平分线的性质得出点到、的距离相等，结合三角形面积公式求出与的面积比，再根据的面积等于两三角形面积之和求解． 【详解】解：过点作于，于，如图， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 13．如图，在中，，，，若点是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度从运动，同时点从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为，若为直角三角形，则的值是________． 【答案】或 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、含30度角的直角三角形 【分析】由已知得出，分两种情况，当时和当时，分别求解即可． 【详解】解：， ， ①当时，如图所示：则， ， ∵， ∴， 解得：； ②当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， 则， 解得：． 综上，若为直角三角形，则的值是或． 14．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分，类似的，的小数部分可以表示为______． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】先确定介于哪两个连续整数之间，得到的整数部分，再用原数减去整数部分即可得到小数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为． 15．如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，连接，若，，则的周长为________． 【答案】7 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形 【分析】利用勾股定理求出的长，根据线段垂直平分线的性质得到，将的周长转化为计算即可． 【详解】解：在中，，，， ， 是的垂直平分线， ， 的周长， ，， 的周长． 16．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁点B处到内壁点A处所爬行的最短路程为________．（杯壁厚度不计） 【答案】 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离、两点之间线段最短、根据成轴对称图形的特征进行求解、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】先将圆柱侧面展开，根据点A、点B正好相对，即二者水平距离为底面周长的一半，蚂蚁在外壁，因此需要先越过杯沿才能进入到杯内壁吃蜂蜜，即展开后蚂蚁需先到达上沿所在的直线，再爬向点A，问题类似“将军饮马”，此时作点B关于杯沿（展开后的）所在直线的对称点C，连接，过点A作，交所在直线于点D，在中，利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：将圆柱侧面展开，作点B关于杯沿（展开后的）所在直线的对称点C，连接，过点A作，交所在直线于点D，如图， 根据点A、点B正好相对，即二者水平距离为底面圆周长的一半，即， 根据题意有：，，， 根据对称有：， ∴， ∴在中，， 即：蚂蚁从外壁点B处到内壁点A处所爬行的最短路程为． 三、解答题（本大题共9小题，满分68分，期中17题8分，18题8分，19题8分，20题8分，21题8分，22题8分，23题8分，24题10分，25题10分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．计算与求解： (1)计算：； (2)求式中的值： ①； ②． 【答案】(1) (2)①或； ② 【知识点】求一个数的算术平方根、利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】（1）先分别计算各根式的值，再进行加减运算． （2）将方程整理后，分别利用平方根和立方根的定义求解． 【详解】（1）解： ； （2）①解：， 两边同除以得：， 开平方得：， 解得或； ②解：， 移项得：， 两边同除以得：， 开立方得：． 18．如图所示，中，，平分交于，于，若，求的周长． 【答案】 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】利用角平分线的性质得到，再证明，得出，再对的周长等量代换，将周长转化为线段的长度求解． 【详解】解：平分，，， ． 在和中： ， ， ． 又， ． 的周长： ． 19．如图，在中，，求的面积． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的应用，解题的关键是通过作高构造直角三角形，利用等腰三角形三线合一的性质求出底边的一半，再用勾股定理求出高． 过点作于点，由得；在中，由勾股定理求出的长度；最后根据三角形面积公式计算的面积． 【详解】解：过点A作 于点D， 在 中，由勾股定理得 ， ． 20．将下列各数近似的表示在数轴上，并用“”把它们连接起来． ，，， 【答案】这四个数近似的在数轴上表示如图： 【知识点】求一个数的绝对值、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】先分别计算各数的值，再在数轴上表示各数，最后依据数轴上数的位置关系用“”连接各数． 【详解】解：，， 因为， 所以 因为， 所以，即， 将这四个数近似的在数轴上表示略， 用“”把它们连接起来为． 21．勾股定理的证明方法中，面积法是最经典的思路．下面是基于“两个全等的直角三角形拼接”的证明． 【证法再现】如图，把两个全等的直角和按图放置，已知． (1)请用含的式子表示下列图形的面积： _____（用含的代数式表示）： _____（用含的代数式表示）； _____（用仅含的代数式表示）； (2)根据上述面积关系，完成勾股定理的证明过程． 【答案】(1)；；； (2)证明：， ， ， ． 【知识点】列代数式、整式加减的应用、勾股定理的证明方法 【分析】（1）根据题意利用梯形，三角形的面积公式表示即可，四边形的面积可表示成，再用三角形的面积公式进行变形即可； （2）根据，把（1）中的代数式代入进行化简即可证明． 【详解】（1）解：，， ； ，， ， ； ，， （2）略． 22．阅读以下材料，解决以下问题： ①和为相邻两个整数，则有：； ②和为相邻两个整数，则有：； ③和为相邻两个整数，则有：．… (1)若的值和的值为两个相邻整数，则．则______． (2)猜想并证明结论： 结论：若的值和的值为相邻的两个整数，其中，则有______． 证明：∵的值和的值为相邻的两个整数，可设______， ∴…… 请补全小明的证明过程． (3)若的值和的值为相差3的两个整数，求m的值． 【答案】(1) (2) 解：结论： 证明：∵的值和的值为相邻的两个整数，可设， ∴两边同时平方，得， ∴， ∴． (3) 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，解决本题的关键是读懂题意找到规律并建立等式求解． （1）根据运算求解即可． （2）由的值和的值为相邻的两个整数，设，两边同时平方整理化简即可． （3）根据相差3可建立等式，再两边同时平方求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，则， 可得，解得 （2）略 （3）解：依题意，得， ∴两边同时平方，得， ∴， ∴， ∴． 23．根据以下材料，探索完成任务： 寻找合适的礼品盒 素材1 小颖定制了一块圆柱形蛋糕准备给妈妈过生日．已知这块蛋糕的底面积为，高为． 素材2 为了美观又增加仪式感，小颖想要用一个体积为的正方体礼品盒来装这块蛋糕（礼品盒的厚度忽略不计）． 问题解决 (1)任务1：根据素材1可知，这块圆柱形蛋糕的半径为___________． (2)任务2：请你根据素材2，求出这个正方体礼品盒的棱长； (3)任务3：请你帮小颖算一算，这个礼品盒能装下这块蛋糕吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)这个礼品盒不能装下这块蛋糕． 理由：由（1）可知，这块圆柱形蛋糕的半径为， 这块圆柱形蛋糕的直径为， ， ， ， 正方体礼品盒的棱长为， 这个礼品盒不能装下这块蛋糕． 【知识点】算术平方根的实际应用、立方根的实际应用、无理数的大小估算 【分析】（1）设这块圆柱形蛋糕的半径为，根据圆的面积公式列方程求解即可； （2）设这个正方体礼品盒的棱长为，根据正方体的体积公式列方程求解即可； （3）根据（1）得到圆柱形蛋糕的直径，再利用无理数的估算比较大小，即可得解． 【详解】（1）解：设这块圆柱形蛋糕的半径为， 这块蛋糕的底面积为， ， 解得：（负值舍去）， 即这块圆柱形蛋糕的半径为； （2）解：设这个正方体礼品盒的棱长为， 正方体礼品盒的体积为， ， 解得：， 即这个正方体礼品盒的棱长为； （3）略 24．基础研究： (1)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，．求边上的中线的取值范围．李海在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接，则得到，李海证明用到的判定定理是：___________（用字母表示）；线段的取值范围为___________ 问题解决： (2)如图，为的中点，，，． 探究OE和AB的关系并证明． 拓展应用： (3)如图3，在中，D是AC上一点，E是BC延长线上一点1=、AB=DE． 求证：． 【答案】(1)； (2)数量关系为，位置无特殊关系， 证明： 延长到点，使，连接， 为的中点， 。 又 ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ，即； (3)证明：作，交的延长线于点， ， ， ， ， 。 又 ， 。 在和中： ． 【知识点】确定第三边的取值范围、全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）由三角形中线的性质可得，再利用即可证明，从而得解； （2）已知为的中点，看到中点可考虑倍长中线的方法，延长至，使，再证明，得到且，结合可得；再利用周角性质以及平行线同旁内角互补，结合条件，推导出，又，通过证明，得到，而，因此； （3）过点作，交的延长线于点，由平行线性质得到，结合已知，等量代换得，根据等角对等边可知，又，所以，再证明，最后由全等三角形对应边相等得到． 【详解】（1）解：延长到点E，使，连接， ， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ， ， 所以李海证明用到的判定定理是；线段的取值范围为； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、倍长中线辅助线模型、平行线的性质、周角与补角的角度推理、等腰三角形判定等知识点；解题关键在于根据中点条件使用倍长中线构造全等三角形实现线段与角度的转移，以及通过作平行线转移等角，合理构造全等三角形． 25．“数形结合”和“建模思想”是很重要的数学思想方法，阅读并解决以下问题． 【提出问题】求的最小值． 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边为和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，，，问题就转为“在上求点B，使最小”问题． 如图2，连接交于点B，此时的最小值即为的长度．将延长至点H，使得，连接．则，，…… (1)【解决问题】的最小值为________； (2)【知识应用1】代数式的最小值为________； (3)【知识应用2】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为________． (4)【思维拓展】已知正数x满足，求x的值． 【答案】(1)． (2)． (3) km． (4)． 【知识点】用勾股定理解三角形、用勾股定理构造图形解决问题、利用平移解决实际问题、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】（1）按题干模型， 的最小值等于 的长，在直角边为 、 的直角三角形中用勾股定理求 ； （2）把 、 看作两条共线直角边 、 上的斜边，最小值等于直角边为 与 的直角三角形的斜边长； （3）桥长固定为河宽 ，把点 沿垂直于河岸的方向平移一个河宽，用“两点之间线段最短”求 的最小值，再加上桥长； （4）是模型的逆向运用：把 、 看作斜边为 、、公共直角边为 的两个直角三角形的另一条直角边，由 用勾股定理的逆定理与等积法求 ． 【详解】（1）解：如图，由题干的模型，，，， 的最小值即为 的长． ∵ ，，， ∴ ， ∴ 的最小值为 ． （2）解：如图，在直线 上取 ，作 于点 ，；作 于点 ，，点 、 在 的两侧． 在 上取点 ，使 ，则 ， ∴ ，， ∵ ，当点 在线段 上时取等号， ∴ 代数式的最小值即为 的长． 过点 作 ，交 的延长线于点 ， 则四边形 是长方形，，，， ∴ ， ∴ 的最小值为 ． （3）解：∵ 桥 垂直于河岸，河宽 ， ∴ ，从 到 的路程为 ． 如图，将点 沿垂直于河岸的方向向对岸平移 ，得点 ，连接 、． ∵ ，且 km， ∴ 四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ，当 、、 三点共线时取等号． 过点 作 于点 ，其中 是过点 的河岸垂线， ∵ 平移的距离等于河宽， ∴ 点 到北岸的距离等于点 到南岸的距离，即 ， ∵ 点 到北岸的距离为 km，且点 、 在北岸的两侧， ∴ ()， ，， ∴ ()， ∴ 最短路程为 ()． （4）解：如图，把 看作斜边为 、一条直角边为 的直角三角形的另一条直角边，把 看作斜边为 、一条直角边为 的直角三角形的另一条直角边． 构造两个直角三角形，使它们有公共直角边 ，直角顶点重合于点 ，且点 、 在直线 的两侧，连接 、，则 ，，，，，且点 、、 在同一条直线上． ∵ ， ∴ ，即 ． ∵ ， ∴ （勾股定理的逆定理）， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ． 经检验，当 时，，符合题意， ∴ ． 【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、“两点之间线段最短”，以及构造直角三角形求最值的方法；解题关键是读懂题干的模型：两条被开方数对应共线直角边上的两条斜边，其和的最小值等于以“水平总长”与“竖直线段之和”为直角边的直角三角形的斜边长；第（4）问是模型的逆向运用，由 得直角三角形，再用等积法求出公共直角边 的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版八年级上册第1~3章。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列四组数中，是勾股数的一组是（     ） A．1，1，2 B． C． D．8，15，17 2．如图，数轴上有、、、四点，距离表示的点最近的是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 3．三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（     ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．边的中点 4．若与是同一个数两个不同的平方根，则的值为（     ） A．3 B．1 C．或1 D． 5．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、C、D的面积分别是7、10、13，最大正方形E的面积是36，则正方形B的面积是（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．如图，在中，，点在高上，是外一点，，，若，，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共88分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．若，则的值为_____ ． 8．如图，在中，是斜边上的中线，，则_________°． 9．如图，有一张直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点A落在直角边延长线上的点D处，折痕为，则的长为________． 10．如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到．且恰好落在上，连接，取的中点D，连接，则的长为________ ． 11．已知一个正数x的两个平方根是和，则a的值是________． 12．如图，是的角平分线，若，，则______． 13．如图，在中，，，，若点是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度从运动，同时点从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为，若为直角三角形，则的值是________． 14．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分，类似的，的小数部分可以表示为______． 15．如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，连接，若，，则的周长为________． 16．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁点B处到内壁点A处所爬行的最短路程为________．（杯壁厚度不计） 三、解答题（本大题共9小题，满分68分，期中17题8分，18题8分，19题8分，20题8分，21题8分，22题8分，23题8分，24题10分，25题10分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．计算与求解： (1)计算：； (2)求式中的值： ①； ②． 18．如图所示，中，，平分交于，于，若，求的周长． 19．如图，在中，，求的面积． 20．将下列各数近似的表示在数轴上，并用“”把它们连接起来． ，，， 21．勾股定理的证明方法中，面积法是最经典的思路．下面是基于“两个全等的直角三角形拼接”的证明． 【证法再现】如图，把两个全等的直角和按图放置，已知． (1)请用含的式子表示下列图形的面积： _____（用含的代数式表示）： _____（用含的代数式表示）； _____（用仅含的代数式表示）； (2)根据上述面积关系，完成勾股定理的证明过程． 22．阅读以下材料，解决以下问题： ①和为相邻两个整数，则有：； ②和为相邻两个整数，则有：； ③和为相邻两个整数，则有：．… (1)若的值和的值为两个相邻整数，则．则______． (2)猜想并证明结论： 结论：若的值和的值为相邻的两个整数，其中，则有______． 证明：∵的值和的值为相邻的两个整数，可设______， ∴…… 请补全小明的证明过程． (3)若的值和的值为相差3的两个整数，求m的值． 23．根据以下材料，探索完成任务： 寻找合适的礼品盒 素材1 小颖定制了一块圆柱形蛋糕准备给妈妈过生日．已知这块蛋糕的底面积为，高为． 素材2 为了美观又增加仪式感，小颖想要用一个体积为的正方体礼品盒来装这块蛋糕（礼品盒的厚度忽略不计）． 问题解决 (1)任务1：根据素材1可知，这块圆柱形蛋糕的半径为___________． (2)任务2：请你根据素材2，求出这个正方体礼品盒的棱长； (3)任务3：请你帮小颖算一算，这个礼品盒能装下这块蛋糕吗？请说明理由． 24．基础研究： (1)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，．求边上的中线的取值范围．李海在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接，则得到，李海证明用到的判定定理是：___________（用字母表示）；线段的取值范围为___________ 问题解决： (2)如图，为的中点，，，． 探究OE和AB的关系并证明． 拓展应用： (3)如图3，在中，D是AC上一点，E是BC延长线上一点1=、AB=DE． 求证：． 25．“数形结合”和“建模思想”是很重要的数学思想方法，阅读并解决以下问题． 【提出问题】求的最小值． 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边为和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，，，问题就转为“在上求点B，使最小”问题． 如图2，连接交于点B，此时的最小值即为的长度．将延长至点H，使得，连接．则，，…… (1)【解决问题】的最小值为________； (2)【知识应用1】代数式的最小值为________； (3)【知识应用2】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为________． (4)【思维拓展】已知正数x满足，求x的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $