精品解析：河南省驻马店市部分校2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若与没有公共点，则 B. 若，，则，是异面直线 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 已知，为正实数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 5. 某次测验中，一班42名同学的测验成绩的平均数为105分，方差为86；二班48名同学的测验成绩的平均数为90分，方差为71．那么这90名同学本次测验成绩的方差为（ ） A. 134 B. 132 C. 128 D. 112 6. 若，，，则下列结论错误的是（ ） A. 事件与相互独立 B. C. 事件与互斥 D. 7. 早在公元前十一世纪，西周数学家商高就提出了“勾三股四弦五”，《周髀算经》中也有相关记载，故勾股定理也称“商高定理”．现有的三边满足商高定理，其中勾的长为3，，点在弦上的射影为点，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，为复数的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在复平面内，复数对应的点位于第二象限 D. 复数是方程的一个根 10. 已知函数，若将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可能是（ ） A. 8 B. 4 C. 3 D. 2 11. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 不存在点，使得直线与所成的角为 B. 存在点，使得平面平面 C. 三棱锥的体积为 D. 存在点，使得直线平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为__________． 13. 已知正六棱锥的底面边长为，高为3，则该正六棱锥的外接球的体积为__________． 14. 甲、乙两位同学进行某项体育运动比赛，约定赛制如下：比赛最多打5场，每场胜者得1分，败者不得分，比赛进行到有一人比另外一人多2分或打满五场时比赛终止，分数多者获胜．已知每场比赛中甲同学获胜的概率是，乙同学获胜的概率是，各场比赛互不影响，则甲同学最终获胜的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设的内角，，所对的边分别是，，，已知． （1）求证：； （2）若，，设是边的中点，求的长． 16. 数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的值和第25百分位数； （2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在和内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在内的概率． 17. 已知函数（，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式及的单调递增区间； （2）若，且，求的值． 18. 已知函数（ 且 ）是偶函数. （1）求实数的值； （2）若 ，且对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，，是边的中点，是边的中点． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， ，. 所以， 所以. 2. 已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若与没有公共点，则 B. 若，，则，是异面直线 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，若与没有公共点，则与可能平行，也可能异面，故A错误； 对于B，若，，则与可能平行、相交或异面，不一定是异面直线，故B错误； 对于C，若，，则由线面垂直的性质可知，故C正确； 对于D，若，，则，不是，故D错误． 3. 已知，为正实数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】原式可化为：， 因为 ，由基本不等式，当且仅当 ，即 时取等号． 所以原式的最小值为： 4. 已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的坐标，再用向量的投影公式求出向量在向量方向上的投影，因为投影向量的模就是其投影的绝对值，所以问题解决． 【详解】因为向量，向量，所以， 所以，， 所以向量在向量方向上的投影数量为， 因为向量在向量方向上的投影向量的模就是其投影的绝对值，所以向量在向量方向上的投影向量的模为． 5. 某次测验中，一班42名同学的测验成绩的平均数为105分，方差为86；二班48名同学的测验成绩的平均数为90分，方差为71．那么这90名同学本次测验成绩的方差为（ ） A. 134 B. 132 C. 128 D. 112 【答案】A 【解析】 【分析】先求90名同学成绩的总体平均数，再利用方差分解公式，把每个班的组内离差平方和与两个班平均数相对总体平均数产生的组间离差平方和相加. 【详解】设一班：，二班：， 则90名同学成绩的总体平均数为：， 因为， 所以这90名同学成绩的方差为： ， 所以这90名同学本次测验成绩的方差为，故选项A正确. 6. 若，，，则下列结论错误的是（ ） A. 事件与相互独立 B. C. 事件与互斥 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用事件相互独立的定义判断A项；利用随机事件的概率加法公式计算判断B项；根据互斥事件的概率公式判断C项；利用事件相互独立的性质计算判断D项. 【详解】对于A，由可得, 因,则事件与相互独立，故A正确； 对于B,因,故B正确； 对于C，因，故事件与不互斥，即C错误； 对于D，由A项可得事件相互独立，故,即D正确. 7. 早在公元前十一世纪，西周数学家商高就提出了“勾三股四弦五”，《周髀算经》中也有相关记载，故勾股定理也称“商高定理”．现有的三边满足商高定理，其中勾的长为3，，点在弦上的射影为点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，计算出的值，然后利用平面向量数量积的定义可求得的值. 【详解】如下图所示： 由题意可知，，，则， ，，所以，. . 8. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查复合函数单调性，分别计算内外层函数单调性，由同增异减性质确认函数的最终单调性. 【详解】令，所以，且函数是减函数， 所以， 在上单调递减，在上单调递增， 令，解得， 由复合函数单调性可得 函数的单调递增区间为 【点睛】判断复合函数单调性，由外层函数的范围确定最终自变量的取值范围. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，为复数的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在复平面内，复数对应的点位于第二象限 D. 复数是方程的一个根 【答案】ABD 【解析】 【详解】由，得 对于选项A：，与计算结果一致，正确. 对于选项B：，正确. 对于选项C：，对应复平面内的点为，位于第三象限，错误. 对于选项D：将代入方程： ， 故是方程的一个根，正确. 10. 已知函数，若将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可能是（ ） A. 8 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意可知，的图象关于直线对称，将代入可以得到的最值，解三角方程即可求出的所有可能取值． 【详解】将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，由此可知的图象关于直线对称，所以， 所以（），解得（）， 当时，；当时，． 11. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 不存在点，使得直线与所成的角为 B. 存在点，使得平面平面 C. 三棱锥的体积为 D. 存在点，使得直线平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】当点为线段上靠近的四等分点时，利用线线角的定义求解判断A；当点为中点时，证明面面平行，即可判断B；结合等体积转化，即可判断C；当点为中点时，证明线面垂直，即可判断D. 【详解】对于A：当点为线段上靠近的四等分点时， 如图，连接,过点作，交于， 则,又正方体中，，所以， 则直线与所成角为， 又，， 所以为等边三角形，所以，故A错误； 对于B，当点为中点时，有，平面，平面， 所以平面，同理，平面， 且，平面， 所以平面平面，故B正确； 对于C：三棱锥的体积，故C正确； 对于D：当点为中点时，有，又， 所以平面即平面， 因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由有意义，可得，解得， 故函数的定义域为. 13. 已知正六棱锥的底面边长为，高为3，则该正六棱锥的外接球的体积为__________． 【答案】 【解析】 【详解】 如图所示，设正六棱锥外接球球心为，底面外接圆圆心为， 因为正六边形边长为，则外接圆半径， 因为正六棱锥的高为3，所以, 可得，即，解得， 则该正六棱锥的外接球的体积为. 14. 甲、乙两位同学进行某项体育运动比赛，约定赛制如下：比赛最多打5场，每场胜者得1分，败者不得分，比赛进行到有一人比另外一人多2分或打满五场时比赛终止，分数多者获胜．已知每场比赛中甲同学获胜的概率是，乙同学获胜的概率是，各场比赛互不影响，则甲同学最终获胜的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出比赛结束场次为第2场、第4场或第5场，计算相应概率并求和． 【详解】甲同学最终获胜分以下三种情况： （1）甲以的比分获胜，即甲连胜2场，概率为； （2）甲以的比分获胜，即前2场1胜1负，第3,4场连胜，概率为； （3）甲以的比分获胜，即前2场比分，前4场比分，第5场获胜，概率为. 所以甲同学最终获胜的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设的内角，，所对的边分别是，，，已知． （1）求证：； （2）若，，设是边的中点，求的长． 【答案】（1）证明：由， 得， 所以， 因为，所以，所以， 由正弦定理，得，即； （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换和正弦定理即可得证； （2）利用余弦定理结合（1）得，再由，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由余弦定理，得， 因为，，所以， 又由（1）知，所以， 因为点是边的中点，所以， 所以， 则，所以的长为． 16. 数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的值和第25百分位数； （2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在和内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在内的概率． 【答案】（1），第25百分位数为30 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1可求的值，判断第25百分位数在第二组，设为，列方程可求解； （2）用分层随机抽样的方法抽取年龄在的人数为人，年龄在的人数为人，利用列举法，根据古典概型概率公式求解即可. 【小问1详解】 , 因为第一组的频率为，， 第二组的频率为，， 所以第25百分位数在第二组，设为，则， 所以第25百分位数为30. 【小问2详解】 年龄在的市民人数为，年龄在的市民人数为， 用分层随机抽样的方法抽取年龄在的人数为人，年龄在的人数为人， 设年龄在的4人为，，，，年龄在的2人为，， 从这6为市民中抽取两名的样本事件为，共15种， 其中2名年龄都在内的样本事件有种， 所以两名幸运市民年龄都在内的概率为． 17. 已知函数（，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式及的单调递增区间； （2）若，且，求的值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据图像求出即可，再令，，解出即可； （2）由得，进而得，再利用三角恒等变换即可求解. 【小问1详解】 由题图得，即，则，， 将点的坐标代入，得． ，，，， ，， ， 令，，解得，， 的单调递增区间为，； 【小问2详解】 由题意，得，则， ，， ， 则 ． 18. 已知函数（ 且 ）是偶函数. （1）求实数的值； （2）若 ，且对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数满足，求解的值； （2）利用函数的奇偶性和单调性，将不等式恒成立转化为关于整数的条件求解. 【小问1详解】 因为 是偶函数，根据偶函数满足， 得，即， 整理得，即， 因为, 不恒为 0，所以必须 ，所以； 【小问2详解】 由（1）知 ，则 因为 ，，故 是奇函数， 而 单调递增， 单调递减， 故 单调递增，因此 在上单调递增， 不等式 可化为， 即， 因为单调递增，所以，， 只需左边的最小值大于右边即可，令 ， 这是开口向上的二次函数，其最小值为 因此，整理得，即， 解得，又 为整数，故的值为， 整数的取值集合是. 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，，是边的中点，是边的中点． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为底面是平行四边形，所以． 因为是边的中点，是边的中点，所以，则． 而平面，平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线线平行，证明线面平行. （2）利用中位线证明线面垂直，从而求出点到面的距离. （3）利用几何法求线面成角的正弦值，需求出线面成角所构成的直角三角形中 两条边的长度和，可求线面成角正弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为平面，，所以平面， 则点到平面的距离即为长. 而，所以点到平面的距离为． 【小问3详解】 因为平面，，平面，所以，， 则即为二面角的平面角，即． 因为，由余弦定理得， 即，解得，所以． 如图，过点作于点，连接． 因为平面，平面，所以． 而，，平面，所以平面． 在中，， 因为是边的中点，所以点到平面的距离是点到平面 距离的一半，即． 因为平面，平面，所以， 即四边形是直角梯形，由（1）知，． 在等腰三角形中，． 所以在直角梯形中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $