精品解析：辽宁锦州市第十二中学2026-2027年上学期九年级10月学情自测数学试卷

锦州市第十二中学2026~2027学年度 九上第一次月考数学试卷 考试时间120分钟，满分120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是一元二次方程，故选项符合题意； B、不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：A． 2. 下面几对图形中，相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似图形的形状相同，进行判断即可． 【详解】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似，C选项中的两个图形形状相同，相似； 故选：C． 3. 如图，在菱形中，对角线 相交于点为 的中点，且，则菱形 的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AB=2a，则菱形ABCD的周长为8a．故选C． 4. 方程的两根分别为【 】 A. ＝－1，＝2 B. ＝1，＝2 C. ＝―l，＝－2 D. ＝1，＝－2 【答案】D 【解析】 【详解】（x－1）（x＋2）=0，可化为：x－1=0或x＋2=0，解得：x1=1，x2=－2．故选D 5. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AC＝9，则线段AB的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，两直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例，据此即可求解﹒ 【详解】解：∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的， ∴， 即， ∴﹒ 故选：D 6. 已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. a＞2 B. a＜2 C. a＜2且a≠1 D. a＜－2 【答案】C 【解析】 【分析】当△=b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b2－4ac<0时，方程没有实数根． 【详解】解：Δ＝4−4（a−1）＝8−4a＞0， 得a＜2． 又a−1≠0， 所以a＜2且a≠1． 故选：C． 【点睛】本题考查函数的零点以及方程根的关系，是基础题． 7. 如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴A、添加，根据“两角相等的两个三角形相似”可以得到，选项不符合题意； B、添加，得到，根据“两角相等的两个三角形相似”可以得到，选项不符合题意； C、添加，根据“两组边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似”可以得到，选项不符合题意； D、添加，不能判定与相似，选项符合题意． 8. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯36次，设有x个人参加酒会，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，正确理解题意，寻找等量关系是解题的关键． 每一人可与人碰杯，由于两人相互碰杯算一次，最后乘以去掉重复次数即可． 【详解】解：由题意得，， 故选A． 9. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形， 但不能说明四边形是矩形，故该选项符合题意； B、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、∵， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴四边形是矩形，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定方法，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键． 10. 如图，在正方形中，按如下步骤作图：①连接，相交于A点O；②分别以点B，C为圆心、大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③连接交于点F；④连接交于点G．若，则的长度为（　　） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明，，求出，然后根据三角形的中位线和平行线分线段成比例可得结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 由作图可知垂直平分线段，∴，又， ∴，， ∴，∴． 故选：C． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、正方形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若（b+d+f≠0），则＝__． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知，用b表示a、c表示d、f表示e，代入分式计算即可． 【详解】解：∵ 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的基本变形是解决本题的关键． 12. 已知一元二次方程x2–6x–5=0两根为a、b，则的值是__________ 【答案】 【解析】 【分析】由根与系数的关系可得a+b=6，ab=-5，然后将所求式子通分整理后代入进行计算即可得． 【详解】∵一元二次方程x2–6x–5=0两根为a、b， ∴a+b=6，ab=-5， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 13. 如图，在中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为，点E的运动速度为．若D，E两点同时出发，则当以A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】设运动时间为，用表示、的长度；为公共角，分两组相似对应情况列比例方程求解． 【详解】解：设运动时间为． 由题意得，， 则． 是公共角，分两种情况讨论： ①当时， 解得． ②当时， ， ， 解得． 综上所述，当运动时间为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 14. 我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面圆径适等．问方（面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块（如图所示），面积之和为252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等．问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？设正方形田的边长为x，则可列出方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练根据题意列出方程是解题的关键． 根据正方形田和圆形田面积之和为252，结合正方形田的边长与圆形田的直径相等，运用面积公式列出一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得：正方形田的边长与圆形田的直径相等，面积之和为252， 设正方形田的边长为x，则圆形田的直径为，列方程为： ． 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，，O是中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接．则线段长的最小值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，以及全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握图形旋转的性质和正确的作出辅助线． 连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接，证明 ，可得 ，由条件可得，根据，即可得出的最小值． 【详解】解：如图，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵正方形中，，O是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴线段长的最小值为8． 故答案为：8． 三、计算题：本大题共2小题，共18分． 16. 解方程： （1）（直接开平方法） （2）（配方法） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）直接对等式两边开平方，转化为两个一元一次方程求解； （2）先移项，对左边二次式配方后开平方，转化为一元一次方程求解； 【小问1详解】 解：对于方程， 直接开平方得， 解得，； 【小问2详解】 解：对于方程， 移项得， 等式两边同时加配方得， 整理得， 开平方得， 解得，． 17. 解下列方程： （1）．（公式法） （2）．（因式分解法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∴或， 解得，． 四、解答题：本题共6小题，共57分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 如图，在中，，， （1）请你利用尺规在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） （2）请证明． （3）直接写出线段与线段的比值． 【答案】（1）如图，点即为所求 （2）证明：在中，，， ∴， 由作图知平分， ∴， ∴， 又∵是和的公共角， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线，该角平分线与的交点即为所求的点， （2）在中，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，求出，由作图知平分，则，从而得，即可证明； （3）设，，由相似得比例关系​，即；结合角度推导可知，代入得：，整理为关于的一元二次方程求解正根即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，， ∵， ∴​， ∴​， 即； ∵，， ∴， ∴， 代入得：，整理为关于的一元二次方程：， 解得：（负根已舍去）． 19. 某工厂利用空地新建一个长方形电动车棚，其中一面靠院墙，如图1，这堵墙的长度为10米．已知现有的木板材料（图中细线部分）可新建围墙26米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，设该长方形电动车棚与院墙垂直的一边长为米 （1）求与墙平行的一边长为多少米？（用含的代数式表示） （2）当时，为了方便职工通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图2中内部阴影区域），使得停放电动车的空白面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】（1）米 （2）1米 【解析】 【分析】（1）用木板总长度加2米减去与院墙垂直的两边长即可； （2）先求出院墙平行的边长，再根据空白面积为54平方米列出方程，求解后进行选择即可． 【小问1详解】 由题意得： 即车棚与墙平行的一面长米； 【小问2详解】 当时， 设小路的宽为x米，根据题意得： ， 整理得， 解得：，（舍去）， 答：小路的宽为1米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，要结合图形求解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决第2问的关键． 20. 如图，在的正方形网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：___________，___________． （2）判断与是否相似，并说明理由． 【答案】（1），；． （2）解：相似，理由如下: 由题意，， 又 ， 又， ． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，根据和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段的长度． （2）根据两边对应成比例，夹角相等，证明与相似． 【小问1详解】 解：由题意， ， ； 故答案为：，． 【小问2详解】 略 21. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． (1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】 （1）△ABC是等腰三角形．理由如下： ∵x=﹣1是方程的根， ∴（a+c）×1﹣2b+（a﹣c）=0， ∴a+c﹣2b+a﹣c=0， ∴a﹣b=0， ∴a=b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）△ABC是直角三角形．理由如下： ∵方程有两个相等的实数根， ∴△=， ∴， ∴， ∴△ABC是直角三角形． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由方程解的定义把x=﹣1代入方程得到a﹣b=0，即a=b，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形； （2）由判别式的意义得到△=0，整理得，然后由勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形． 试题解析：解：（1）略 （2）略 考点：1．根的判别式；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理的逆定理． 22. 根据以下素材，探索完成任务 素材1 泥塑，俗称＂彩塑＂，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作每件成本为30元，销售一段时间后发现，当泥塑每件售价为40元时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价上涨1元，则月销售量将减少10件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑每件应涨价多少元？ 【答案】任务1：；任务2：该泥塑每件应涨价为10元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （任务1）设该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率为x,利用该泥塑作坊9月份制作泥塑的数量该泥塑作坊7月份制作泥塑的数量1+该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （任务2）该泥塑的涨价定为y元/件，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【详解】解：任务1：设7月份到9月份的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：（不合题意舍去）， 答：7月份到9月份的月平均增长率为； 任务2：设该泥塑每件应涨价元， 由题意得：， 整理得： 解得：， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴不符合题意舍去，符合题意 答：该泥塑每件应涨价为10元． 23. 如图①，的顶点P在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合）． （1）如图①，当时，，，之间满足的数量关系是_______． （2）如图②，将图①中的正方形改为的菱形，其他条件不变，当时，（1）中的结论是否改变，请给出证明； （3）在（2）的条件下，若旋转过程中的边与射线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，，，之间满足的数量关系，直接写出结论，不用证明． 【答案】（1） （2）解：结论为，证明如下： 如图，取的中点，连接， 四边形为菱形，， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）当点落在线段上、点落在线段上时，； 当点落在线段上、点落在线段的延长线上时，； 当点落在线段的延长线上、点落在线段的延长线上时，； 当点落在线段的延长线上、点落在线段上时，； 当点落在线段的延长线上、点落在线段的延长线上时，． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，可证，从而得到，即可得到； （2）取的中点，连接，根据菱形的性质，即可得是等边三角形，利用可证，再由全等三角形的对应边相等可得，由，即可得出； （3）①当点落在线段上、点落在线段上时，可证，那么有，从而得到； ②当点落在线段上、点落在线段的延长线上时，可证，那么有，从而得到； ③当点落在线段的延长线上、点落在线段的延长线上时，可证，那么有，从而得到； ④当点落在线段的延长线上、点落在线段上时，可证，那么有，从而得到； ⑤当点落在线段的延长线上、点落在线段的延长线上时，可证，那么有，从而得到． 【小问1详解】 解：正方形的对角线，交于点， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：①当点落在线段，点落在线段上时，如图所示， 由（2）可知，， ②当点落在线段，点落在线段的延长线上时，如图所示， 取线段的中点，同理可证，那么有， ， 为线段的中点， ， ， ③当点落在线段的延长线上，点落在线段的延长线上时，如图所示， 取线段的中点，同理可证，那么有， ， 为线段的中点， ， ， ④当点落在线段延长线时，点落在线段上时，如图所示， 取线段的中点，同理可证，那么有， ， 为线段的中点， ， ， ⑤当点落在线段的延长线，点落在线段的延长线上时，如图所示， 取线段的中点，同理可证，那么有， ， 为线段的中点， ， ， 综上，当点落在线段上、点落在线段上时，； 当点落在线段上、点落在线段的延长线上时，； 当点落在线段的延长线上、点落在线段的延长线上时，； 当点落在线段的延长线上、点落在线段上时，； 当点落在线段的延长线上、点落在线段的延长线上时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 锦州市第十二中学2026~2027学年度 九上第一次月考数学试卷 考试时间120分钟，满分120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面几对图形中，相似的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在菱形中，对角线 相交于点为 的中点，且，则菱形 的周长为（ ） A. B. C. D. 4. 方程的两根分别为【 】 A. ＝－1，＝2 B. ＝1，＝2 C. ＝―l，＝－2 D. ＝1，＝－2 5. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AC＝9，则线段AB的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. a＞2 B. a＜2 C. a＜2且a≠1 D. a＜－2 7. 如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯36次，设有x个人参加酒会，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，按如下步骤作图：①连接，相交于A点O；②分别以点B，C为圆心、大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③连接交于点F；④连接交于点G．若，则的长度为（　　） A. 1 B. 2 C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若（b+d+f≠0），则＝__． 12. 已知一元二次方程x2–6x–5=0两根为a、b，则的值是__________ 13. 如图，在中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为，点E的运动速度为．若D，E两点同时出发，则当以A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为__________． 14. 我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面圆径适等．问方（面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块（如图所示），面积之和为252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等．问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？设正方形田的边长为x，则可列出方程为______． 15. 如图，在正方形中，，O是中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接．则线段长的最小值为______． 三、计算题：本大题共2小题，共18分． 16. 解方程： （1）（直接开平方法） （2）（配方法） 17. 解下列方程： （1）．（公式法） （2）．（因式分解法） 四、解答题：本题共6小题，共57分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 如图，在中，，， （1）请你利用尺规在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） （2）请证明． （3）直接写出线段与线段的比值． 19. 某工厂利用空地新建一个长方形电动车棚，其中一面靠院墙，如图1，这堵墙的长度为10米．已知现有的木板材料（图中细线部分）可新建围墙26米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，设该长方形电动车棚与院墙垂直的一边长为米 （1）求与墙平行的一边长为多少米？（用含的代数式表示） （2）当时，为了方便职工通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图2中内部阴影区域），使得停放电动车的空白面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 20. 如图，在的正方形网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：___________，___________． （2）判断与是否相似，并说明理由． 21. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． (1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 22. 根据以下素材，探索完成任务 素材1 泥塑，俗称＂彩塑＂，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作每件成本为30元，销售一段时间后发现，当泥塑每件售价为40元时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价上涨1元，则月销售量将减少10件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑每件应涨价多少元？ 23. 如图①，的顶点P在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合）． （1）如图①，当时，，，之间满足的数量关系是_______． （2）如图②，将图①中的正方形改为的菱形，其他条件不变，当时，（1）中的结论是否改变，请给出证明； （3）在（2）的条件下，若旋转过程中的边与射线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，，，之间满足的数量关系，直接写出结论，不用证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $