精品解析：辽宁省锦州市第十二中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级第一次教学质量调查 数学问卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+3＝0的一个解，则m的值是（　　） A. 4 B. ﹣4 C. ﹣3 D. 3 3. 将一元二次方程化为一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（ ） A. 5， B. 5，4 C. 5， D. 5，1 4. 小明在探索一元二次方程的近似解时作了如下列表计算，观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（ ） x 1 2 3 4 4 13 26 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. ＜2 B. ＜3 C. ＜2 且≠0 D. ＜3且≠2 6. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直平分且相等 7. 若＝，则下列各式不成立的是（ ） A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 8. 如图，把矩形对折，折痕为，矩形与矩形相似，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，对角线与相交于点，且，于点，则的长是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 10. 如图，在正方形中，点为上一动点，点为的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的根是________． 12. 将方程化成的形式为________． 13. 如图，已知l1∥l2∥l3，CH＝1.2cm，DH＝2.4cm，AB＝3cm，那么AG＝_____cm． 14. 如图，菱形的边长为4，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线交于点，连接，则的长为____________． 15. 如图，正方形对角线交于点，点为正方形外一点，，，，则的长为______． 三、计算题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 16. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 四、解答题（本题共5小题，17题9分，18题10分，19、20题各8分，21、22题各12分，共59分） 17. 为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______； （2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数； （3）该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人； （4）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 18. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本． （1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不需要求自变量的取值范围）． （2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ 19. 已知▱ABCD边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+4＝0的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？ （2）若AB的长为，那么▱ABCD的周长是多少？ 20. 请阅读以下材料，并完成相应的问题： 角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．… 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； （2）如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长． 21. 如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在射线上的点处，连接． 【问题引入】 （1）请你在图1或图2中证明；（选择一种情况即可） 【探索发现】 （2）在（1）中你选择的图形上继续探索：延长交直线于点．将图形补充完整，猜想线段和线段的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，，延长AE至点，使，连接．直接写出的周长最小值． 22. 小明在学习《图形的平移与旋转》时，认识了共顶点的两个等腰三角形特性，并发现它在中考中的重要应用，请你与小明一起完成下面练习． 【问题呈现】 如图1，在中，，，点在线段上，以点A为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，． 【问题分析】 （1）如图1，小明通过审题发现和为共顶点A的等腰三角形，这是老师经常提及的，由可得，因为，，可证明：，利用角的等量关系进一步推导出：_______（用含的式子表示） 【灵活应用】 小明发现利用上述结论可将题目中分散的条件集中到某一处，从而快速找到解决问题的线索． （2）如图2，在平面直角坐标系中，点在y轴上，以为边向右侧作等边，点为轴正半轴的动点，以为边向右侧作等边，直线交y轴于点F．当点D在x轴的正半轴运动时，点F的坐标是否变化．若不变，请求出点F的坐标；若变化，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在菱形中，，点P在线段的延长线上，以为边作等边（A、P、E三个顶点按照逆时针排列），连接，若，，求以A，P，E，D为顶点的四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第一次教学质量调查 数学问卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的问题，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】A、方程为一元一次方程，不符合题意； B、方程是二元一次方程，不符合题意； C、方程是一元二次方程，符合题意； D、方程是分式方程，不符合题意， 故选：C． 2. 已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+3＝0的一个解，则m的值是（　　） A. 4 B. ﹣4 C. ﹣3 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝﹣1代入方程得1﹣m+2＝0，然后解关于m的一次方程即可． 【详解】解：把x＝﹣1代入x2+mx+3＝0得1﹣m+3＝0，解得m＝4． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程中含有参数的解，只需要把x的值代入方程即可求出. 3. 将一元二次方程化为一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（ ） A. 5， B. 5，4 C. 5， D. 5，1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程（a，b，c是常数且）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项． 【详解】解：化为一般式，得 ， 二次项系数和一次项系数分别是5，， 故选：C． 4. 小明在探索一元二次方程的近似解时作了如下列表计算，观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（ ） x 1 2 3 4 4 13 26 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x的取值范围． 根据表格中的数据，可以发现：当时，；当时，，故一元二次方程的其中一个解x的范围是，进而求解． 【详解】解：根据表格中的数据，知：当时，； 当时，， ∴方程的一个解x的范围是：， 所以方程的其中一个解的整数部分是1． 故选：D． 5. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. ＜2 B. ＜3 C. ＜2 且≠0 D. ＜3且≠2 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合二次项系数非0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】∵关于x的一元二次方程(k−2)x2−2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得：k<3且k≠2. 故选D. 【点睛】本题考查根的判别式，解题突破口是得出关于k的一元一次不等式组. 6. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直平分且相等 【答案】A 【解析】 【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质． 【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立． 故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键． 7. 若＝，则下列各式不成立的是（ ） A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例设x＝2k，y＝3k，然后代入比例式对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：∵， ∴设x＝2k，y＝3k， A．，正确，故本选项错误； B．，正确，故本选项错误； C．，正确，故本选项错误； D．，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y求解更加简便． 8. 如图，把矩形对折，折痕为，矩形与矩形相似，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形的对应边成比例． 先由折叠可得，再根据矩形DMNC与矩形ABCD相似得出矩形对应边的比例式，求出AB的长即可． 【详解】解：由折叠可得， ∵矩形， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， ∴． 故选：A． 9. 如图，在菱形中，，对角线与相交于点，且，于点，则的长是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据AC：BD=3：4和菱形对角线的性质得：AO：OB=3：4，设AO=3x，OB=4x，则AB=5x，由S菱形ABCD=AC•BD＝CD•AE，可得AE的长． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴AO=AC，OB=BD，AC⊥BD， ∵AC：BD=3：4， ∴AO：OB=3：4， 设AO=3x，OB=4x，则AB=5x， ∵AB=5， ∴5x=5，x=1， ∴AC=6，BD=8， S菱形ABCD=AC•BD＝CD•AE， ∴×6×8＝5AE， AE=， 故选B． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确利用菱形的面积求出AE的长是解题关键． 10. 如图，在正方形中，点为上一动点，点为的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题、正方形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 连接，，，，根据正方形的性质得，再两点之间线段最短得当点B、P、E三点共线时，值最小，最小值是，利用勾股定理求出的长，即可求得的最小值． 【详解】解：连接，，，，如图， ∵四边形是正方形， ∴点D和点B关于对称， ∴， ∴， ∵ ∴当点B、P、E三点共线时，值最小，最小值是， ∵四边形是正方形，，点E为的中点， ∴，， ∴ 故选：D． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的根是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 将方程移项后因式分解，利用零乘积性质即可求解． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解，得， 由零乘积性质，得或， ∴或． 故答案为：或． 12. 将方程化成的形式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了将一元二次方程的一般式化成顶点式，掌握配方法成为解题的关键． 直接运用配方法解答即可． 【详解】解：， ． 故答案为： ． 13. 如图，已知l1∥l2∥l3，CH＝1.2cm，DH＝2.4cm，AB＝3cm，那么AG＝_____cm． 【答案】1． 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，代入得出，求出AG即可． 【详解】∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵CH＝1.2cm，DH＝2.4cm，AB＝3cm， ∴， 解得：AG＝1cm， 故答案为1． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例． 14. 如图，菱形的边长为4，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线交于点，连接，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接BE，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得BE=AE=， 再得∠EBC=90°，利用勾股定理即可求出CE的长度． 【详解】解：连接BE，如图： 由题意可知，MN垂直平分AB， ∴AE=BE， ∴，则∠AEB=90°， 在等腰直角三角形ABE中，AB=4， ∴BE=AE=， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC， ∴∠EBC=∠AEB=90°， 在Rt△BCE中，由勾股定理，则 ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到∠EBC=∠AEB=90°． 15. 如图，正方形对角线交于点，点为正方形外一点，，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理求出的长，再由正方形的性质求出的长，，得到点四点共圆，，作于点，解直角三角形求得的长，由勾股定理得，由即可得到的长． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴点四点共圆， ∴， 作于点，如图，则， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， 在中，由勾股定理得 ，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题题考查了正方形的性质、圆周角定理、等腰直角三角形判定和性质，四点共圆，勾股定理、解直角三角形，证明点四点共圆是解题的关键． 三、计算题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 16. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键. （1）先移项，再运用因式分解法求解即可； （2）直接运用因式分解法求解即可； （3）直接运用因式分解法求解即可； （4）运用平方差公式法因式分解求解即可. 【详解】解：（1）， ， ， ， 所以该方程的解为： . （2）， ， ， ， 所以该方程的解为： . （3） ， ， 所以该方程的解为：. （4）， ， ， ， 所以该方程的解为：. 四、解答题（本题共5小题，17题9分，18题10分，19、20题各8分，21、22题各12分，共59分） 17. 为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______； （2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数； （3）该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人； （4）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 【答案】（1）50，7 （2） 补全条形统计图如图所示： （3）该校学生答题成绩为A等和B等共有672人 （4） 【解析】 【分析】（1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数，用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比，即可求出m的值； （2）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；先求出成绩为C等级的人数所占百分比，再用360度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所在扇形圆心角的度数； （3）用全校人数乘以成绩为A等级和B等级人数所占百分比，即可求解； （4）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， ， 故答案为：50，7； 【小问2详解】 解：成绩为C等级人数所占百分比：， ∴C等级所在扇形圆心角的度数：， 成绩为A等级的人数：（人）； 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校学生答题成绩为A等级和B等级共有672人； 【小问4详解】 解：根据题意，列出表格如下： 第一名第二名 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 由表可知，一共有12种情况，抽出的两名学生恰好是甲和丁的有2种情况， ∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 【点睛】题目主要考查条形及扇形统计图，通过树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键． 18. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本． （1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不需要求自变量的取值范围）． （2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）； （2）销售单价应定为70元； 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式、一元二次方程的应用等知识点，根据题意正确列出函数关系式和一元二次方程是解题的关键． （1）明确题意，找到等量关系，列出函数关系式即可； （2）根据题意，根据利润、售价、成本、销量的关系列出方程，求解即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得， 所以y与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：依题意得：，即， 解得：，， ， 当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元． 19. 已知▱ABCD边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+4＝0的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？ （2）若AB的长为，那么▱ABCD的周长是多少？ 【答案】（1）m＝﹣4；（2）6． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得出AB＝AD，根据根的判别式得出关于m的方程，求出m即可；（2）根据根与系数的关系求出AD，再根据平行四边形的性质得出另外两边的长度，求出周长即可． 【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∴方程x2﹣mx+4＝0有两个相的等实数根， ∴△＝（﹣m）2﹣4×1×4＝0， 解得：m＝±4， 即方程为x2﹣4x+4＝0或x2+4x+4＝0， 解得：x＝2或x=﹣2， ∵边长不能为负数， ∴x＝2，即AB＝AD＝2， ∴m＝﹣4； （2）∵▱ABCD边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+4＝0的两个实数根，AB＝， ∴AD＝4， 解得：AD＝2， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝，AD＝BC＝2， ∴▱ABCD的周长是++2+2＝6． 【点睛】本题考查了菱形的性质、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，对于一元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0)，判别式△=b2-4ac，当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根；若一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）的两个根为x1、x2，则x1+x2=，x1·x2=；熟练掌握韦达定理是解题关键. 20. 请阅读以下材料，并完成相应的问题： 角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．… 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； （2）如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长． 【答案】（1） ∵， ∴，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E， ∵∠1＝∠2， ∴∠ACE＝∠E， ∴AE＝AC， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）过C作，交BA的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到，利用平行线的性质得∠2=∠ACE，∠1=∠E，由∠1=∠2得∠ACE=∠E，所以AE=AC，于是有； （2）先利用勾股定理计算出，再利用（1）中的结论得到，即，则可计算出，然后利用勾股定理计算出，从而可得到△ABD的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°， ∴， ∵AD平分∠BAC， ∴，即， ∴， ∴， ∴△ABD的周长． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，掌握平行线分线段成比例定理，理解角平分线分线段成比例定理是关键． 21. 如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在射线上的点处，连接． 【问题引入】 （1）请你在图1或图2中证明；（选择一种情况即可） 【探索发现】 （2）在（1）中你选择的图形上继续探索：延长交直线于点．将图形补充完整，猜想线段和线段的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，，延长AE至点，使，连接．直接写出的周长最小值． 【答案】 （1）证明：选择图1， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 由旋转得：， ． 选择图2， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 由旋转得：， ． （2）解：猜想．理由如下： 选择图1，过点作交于点， 则， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 若选择图2，过点作交的延长线于点， 则， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）选择图1，根据正方形性质可得：，，进而证得，结合旋转的性质即可证得结论；选择图2，同理可证得结论； （2）猜想，选择图1，过点作交于点，则，利用正方形的性质即可证得，再利用等腰三角形性质即可得出答案；选择图2，同理可证得结论； （3）取的中点，连接，根据三角形中位线定理可得，由的周长，可得当的周长最小时，最小，此时，、、三点共线，根据勾股定理求出，即可求得答案． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：如图3，取的中点，连接， ， 点是的中点， ， 的周长， 当的周长最小时，最小，此时，、、三点共线，如图3， ， 的周长． 【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，旋转变换的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等是解题关键． 22. 小明在学习《图形的平移与旋转》时，认识了共顶点的两个等腰三角形特性，并发现它在中考中的重要应用，请你与小明一起完成下面练习． 【问题呈现】 如图1，在中，，，点在线段上，以点A为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，． 【问题分析】 （1）如图1，小明通过审题发现和为共顶点A的等腰三角形，这是老师经常提及的，由可得，因为，，可证明：，利用角的等量关系进一步推导出：_______（用含的式子表示） 【灵活应用】 小明发现利用上述结论可将题目中分散的条件集中到某一处，从而快速找到解决问题的线索． （2）如图2，在平面直角坐标系中，点在y轴上，以为边向右侧作等边，点为轴正半轴的动点，以为边向右侧作等边，直线交y轴于点F．当点D在x轴的正半轴运动时，点F的坐标是否变化．若不变，请求出点F的坐标；若变化，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在菱形中，，点P在线段的延长线上，以为边作等边（A、P、E三个顶点按照逆时针排列），连接，若，，求以A，P，E，D为顶点的四边形的面积． 【答案】（1）； （2）结论：点F的坐标不变，．理由如下： 理由：∵都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、图形的旋转、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、图形的面积等知识点，正确的作出所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来成为解题的关键． （1）先证明，推出，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，最后根据三角形外角的性质即可解答； （2）结论：点F的坐标不变，．证明，推出，再求出，可得结论； （3）如图：连接交于点O，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求的长及等边三角形的边长，可求得和的面积，进而求得四边形的面积． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （3）如图，如图：连接交于点O，连接，作于F， ∵四边形是菱形， ∴，平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（2）知， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $