精品解析：江苏江阴市石庄中学2026-2027学年九年级上学期第一次课堂作业数学试卷

2026-2027学年第一学期九年级数学课堂练习 （满分150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果点A1（x1，y1）和点A2（x2，y2）是双曲线上的两个点，且当时x1＜x2＜0时，y1＜y2，那么函数和函数y=kx﹣k的图象大致是（　　） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能判断 5. 如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 以上均不正确 6. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知正六边形的边长为，一边在轴上，点在轴上，反比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；（4）弧长相等的弧是等弧．其中正确结论的个数有( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 9. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题即：“如图所示，CD垂直平分弦AB，CD=1寸，AB=10寸，求圆的直径”（1尺=10寸）根据题意直径长为（　　） A. 10寸 B. 20寸 C. 13寸 D. 26寸 10. 如图，函数：与函数的图象交于A，B两点，点P在以为圆心，1为半径的圆C上，Q是的中点，则长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知是方程的一个根，则实数的值是_________． 12. 已知点在反比例函数的图象上，则_____． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 14. 若三角形的三边长是3，4，5，则其外接圆的半径为_____． 15. 已知为实数，且，则的值是___________． 16. 已知，是方程的两个根，则________． 17. 已知m，n，3分别是等腰三角形三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根，则k的值为________． 18. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，设此方程的一个实数根为b，令 ，则y的最小值为__________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 解方程： （1）； （2） 20. 已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程有一个根为x＝1，求m的值及另一个根． 21. 如图，点P是⊙O内一定点． （1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若⊙O的半径为13，OP=5， ①求过点P的弦的长度m范围； ②过点P的弦中，长度为整数的弦有______条． 22. 关于的方程有两个不相等的实数根，． 求的取值范围． 若，试说明此方程有两个负根． 在的条件下，若，求的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴相交于点C，已知点B的坐标为． （1）求反比例函数的解析式及点A的坐标； （2）观察图象，不等式的解集为______； （3）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 24. 小明的爸爸想用篱笆圈出一块如图所示的矩形区域用以饲养土鸡，已知面积为的鸡舍一面靠墙（墙长），另外三面用长的篱笆围成，平行于墙的边上有一扇宽的门，则鸡舍垂直于墙的一边为多少m？ 25. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 26. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”； （2）若是“倍根方程”，求m与n的关系； （3）若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，求之间的关系． 27. 我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”，如多项式，，，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为． （1）已知多项式，，判断是否为的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出关于的“雅常值”； （2）已知多项式，（，为常数），是的“雅常式”，且当为实数时，的最小值为，求关于的“雅常值”． 28. 如图，在平面直角坐标系中，点，是反比例函数图象上的两点，直线与x轴交于点C． （1）求k的值及直线的解析式； （2）点D为x轴正半轴上一点，连接，当的面积为6时，与反比例函数图象交于点E．点P，Q均为x轴上的动点，点P在点Q的左侧，且，取的中点F，连接，求点E的坐标及的最大值； （3）在（2）的条件下，点M为反比例函数图象上的一点，射线与直线交于点N，连接，若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级数学课堂练习 （满分150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； B．该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意； C．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； D．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故选：C． 3. 如果点A1（x1，y1）和点A2（x2，y2）是双曲线上的两个点，且当时x1＜x2＜0时，y1＜y2，那么函数和函数y=kx﹣k的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由于当x1＜x2＜0时，y1＜y2，可判断反比例函数图象分布在第二、四象限，得到k＜0，然后根据一次函数性质判断y=kx﹣k的图象过第二、四象限，且与y轴的交点在x轴上方． 【详解】解：∵当x1＜x2＜0时，y1＜y2， ∴的k＜0， ∴反比例函数图象分布在第二、四象限， ∴y=kx﹣k的图象过第二、四象限，且与y轴的交点在x轴上方． 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的图象，解题的关键是利用数形结合的思想求解． 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 5. 如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 以上均不正确 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以要选角平分线的交点． 【详解】要使凉亭到草坪三边的距离相等， 凉亭应在三条角平分线的交点处． 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，需要注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别． 6. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将水平道路平移至矩形最上侧，竖直道路平移至矩形最左侧，剩余部分的面积不变．根据此时剩余部分的图形为矩形直接列方程即可． 【详解】解：设道路的宽为x米， 根据图形列方程为：． 7. 如图，已知正六边形的边长为，一边在轴上，点在轴上，反比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据正六边形的性质可得，，再根据所对的直角边为斜边的一半，可得，再根据勾股定理可得，进而可得，利用待定系数法即可求解． 【详解】解：连接， ∵正六边形的边长为， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入中，即， 解得：． 8. 有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；（4）弧长相等的弧是等弧．其中正确结论的个数有( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、三角形的外心等弧定义进行判断即可得到正确结论． 【详解】解：（1）不共线的三点确定一个圆，故不符合题意； （2）平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故不符合题意； （3）三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故符合题意； （4）在同圆或等圆中，能够重合的两条弧是等弧，故不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，熟练掌握定义与性质是解题的关键． 9. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题即：“如图所示，CD垂直平分弦AB，CD=1寸，AB=10寸，求圆的直径”（1尺=10寸）根据题意直径长为（　　） A. 10寸 B. 20寸 C. 13寸 D. 26寸 【答案】D 【解析】 【分析】连接OD，OA，根据垂径定理求出AD的长，再根据勾股定理求出OA的值即可． 【详解】解：连接OD，OA， ∵CD垂直平分弦AB，CD＝1寸，AB＝10寸， ∴AD＝5寸， 在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2， 即OA2＝（OA−1）2＋52， 解得：OA＝13， 故圆的直径为26寸， 故选D． 【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 10. 如图，函数：与函数的图象交于A，B两点，点P在以为圆心，1为半径的圆C上，Q是的中点，则长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、中位线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 先求出点A，B的坐标，连接并延长交于点D，过点B作轴，根据已知条件可得，所求长的最小值，即求的长最小，即点P运动到与圆的交点时，此时的长最小，由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点D，过点B作轴， 根据题意，联立，得， 解得，， ∴，， ∴点O为中点， ∵Q是的中点， ∴，， ∴若长最小，则的长最小， 即点P运动到与圆的交点时，此时的长最小， ∵，， ∴，， 由勾股定理，得， 即， ∴． 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知是方程的一个根，则实数的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将，代入原方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 12. 已知点在反比例函数的图象上，则_____． 【答案】10 【解析】 【分析】将点代入反比例函数，即可求出的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将，代入函数解析式得， 解得． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】需要同时满足两个条件：一元二次方程要求二次项系数不为0，方程有两个不相等的实数根要求根的判别式大于0，分别解不等式取交集即可得到结果． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 解得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 综上，的取值范围是且． 14. 若三角形的三边长是3，4，5，则其外接圆的半径为_____． 【答案】#### 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，再根据直角三角形的外接圆的半径斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：， 这个三角形是直角三角形，5为斜边， 直角三角形的外接圆的半径斜边的一半， 外接圆的半径， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半，证明三角形是直角三角形是解题关键． 15. 已知为实数，且，则的值是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了换元法，解一元二次方程，注意解的取值范围是解题关键． 设，则原方程化为，解二次方程并根据确定值． 【详解】解：设，则， 原方程化为， 即， ， ， 解得或， 由于，故， 即． 故答案为：4． 16. 已知，是方程的两个根，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到方程两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形后，代入数值计算即可得到结果． 【详解】解：，是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得 ，， 对通分得 ， 将，代入得 原式． 17. 已知m，n，3分别是等腰三角形三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根，则k的值为________． 【答案】5或6 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分情况讨论：当时，，可求出k的值，再将k的值代入方程进行验证；当或时，代入方程求出k的值，再将k的值代入方程进行验证，即可确定k的值． 【详解】解：m，n，3分别是等腰三角形三边的长， 当时，， ， 方程可化为， 解得， ， 满足条件； 当或时，， ， 方程可化为， 解得， ， 满足条件， 综上所述：k的值为5或6， 故答案为：5或6． 18. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，设此方程的一个实数根为b，令 ，则y的最小值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】由一元二次方程根的判别式先求解，根据一元二次方程的解的定义得出代入二次函数，再由一次函数的性质求解即可． 【详解】解： 关于x的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， 设此方程的一个实数根为b， ， ，， ∴y随m的增大而减小， 当时，y取得最小值为． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据直接开平方法解一元二次方程即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴， 解得： 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， 解得： 20. 已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程有一个根为x＝1，求m的值及另一个根． 【答案】（1）；（2）的值为，方程的另一个根为． 【解析】 【分析】（1）由方程有实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）将x＝1代入原方程求出m值，再将m的值代入原方程利用十字相乘法解一元二次方程即可得出方程的另一个根． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×[﹣（m﹣2）]＝4m﹣4≥0，解得：m≥1． （2）将x＝1代入原方程，1+2﹣（m﹣2）＝0，解得：m＝5，∴原方程为x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴m的值为5，方程的另一个根为x＝﹣3． 【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及十字相乘法解一元二次方程，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△＝b2﹣4ac≥0”是解题的关键． 21. 如图，点P是⊙O内一定点． （1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若⊙O的半径为13，OP=5， ①求过点P的弦的长度m范围； ②过点P的弦中，长度为整数的弦有______条． 【答案】 （1）如图1，弦AB即为所求； （2）①过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26；②4 【解析】 【分析】（1）连接OP并延长，过点P作AB⊥OP即可； （2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出AB=24，即可得出答案； ②过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，长度为25的弦有2条，即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）①过点P的所有弦中，直径最长为直径26，与OP垂直的弦最短， 连接OA，如图2所示： ∵OP⊥AB， ∴AP=BP===12， ∴AB=2AP=24， ∴过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26； ②∵过P点最长的弦为直径26， 最短的弦24， 长度为25的弦有两条， ∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及作图；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 22. 关于的方程有两个不相等的实数根，． 求的取值范围． 若，试说明此方程有两个负根． 在的条件下，若，求的值． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据判别式的意义得到△=4（k-1）2-4k2＞0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2（k-1），x1•x2=k2，由于k＜，k≠0，所以x1+x2=2（k-1）＜0，x1•x2=k2＞0，然后根据有理数乘法的运算性质得到x1，x2都为负数； （3）先根据x1，x2都为负数，去绝对值得到-x1+x2=4，两边平方后变形得到（x1+x2）2-4x1x2=16，则4（k-1）2-4k2=16，然后解方程即可． 【详解】（1）根据题意得， 解得； （2）∵，， ∴，， ∴，都为负数，即此方程有两个负根； （3）∵，都为负数，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac以及一元二次方程的根与系数的关系，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴相交于点C，已知点B的坐标为． （1）求反比例函数的解析式及点A的坐标； （2）观察图象，不等式的解集为______； （3）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）或 （3）点P的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）先将点B的纵坐标代入直线中，得到点B的完整坐标；其次将点B坐标代入反比例函数中，推出k的值，得到反比例函数解析式；最后联立两个函数的方程，求出交点A的坐标． （2）首先明确不等式的几何意义，对应图象中一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，然后结合两个交点确定解集． （3）首先根据直线与x轴交点求出点C坐标，得到的长度，即两个三角形的底边均为的长；然后结合点A纵坐标计算出，从而得到；设出点P坐标，根据反推出点P纵坐标，代入反比例函数解析式，即可得到点P坐标． 【小问1详解】 解：将点B的坐标代入中，得 解得，即点． 将代入到中，得 解得 ∴反比例函数的解析式为． 联立， 得 解得，． 当时，代入，得 ∴点A的坐标为． 【小问2详解】 解:不等式表示一次函数的函数值大于反比例函数的函数值． 两个函数的交点为和，反比例函数自变量取值范围为，观察图象可得：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值， 因此不等式的解集为或． 【小问3详解】 解:将代入直线中，得，即点，． ∵点A纵坐标为2， ∴， ∴． 设点，则，得． 当时，代入反比例函数得，解得； 当时，点P与点B重合，为． ∴点P的坐标为或． 24. 小明的爸爸想用篱笆圈出一块如图所示的矩形区域用以饲养土鸡，已知面积为的鸡舍一面靠墙（墙长），另外三面用长的篱笆围成，平行于墙的边上有一扇宽的门，则鸡舍垂直于墙的一边为多少m？ 【答案】鸡舍垂直于墙的一边为 【解析】 【分析】设鸡舍垂直于墙的一边为，由题意得，然后进行求解即可． 【详解】解：设鸡舍垂直于墙的一边为，则有，由题意得： ， 解得：， 当时，则，不符合题意，舍去， ∴； 答：鸡舍垂直于墙的一边为． 25. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 26. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”； （2）若是“倍根方程”，求m与n的关系； （3）若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，求之间的关系． 【答案】（1）是 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义． （1）根据“倍根方程”的定义即可得出结论； （2）首先求出方程的根，再根据倍根方程的定义即可求出答案； （3）设与是方程的解，然后根据根与系数的关系即可求出答案． 【小问1详解】 ， ， 解得， 是的2倍， 一元二次方程是倍根方程． 【小问2详解】 ， 解得， 是“倍根方程”， 或， 或． 【小问3详解】 设与是方程的解， ，， 即，， ， 整理得． 27. 我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”，如多项式，，，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为． （1）已知多项式，，判断是否为的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出关于的“雅常值”； （2）已知多项式，（，为常数），是的“雅常式”，且当为实数时，的最小值为，求关于的“雅常值”． 【答案】（1）是的“雅常式”，关于的“雅常值”为，理由如下： ∵，， ∴， ∵为正的常数， ∴是的“雅常式”，“雅常值”为； （2） 【解析】 【分析】（）根据定义解答即可； （）先由“雅常式”定义求的值，再由的最小值求的值，最后求出的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的“雅常式”， ∴的值为正的常数，  又∵ ，（，为常数）， ∴，  ∴， 解得， ∴， ∵， 又∵，的最小值为，  ∴，  ∴  ∴， 即关于的“雅常值”为． 28. 如图，在平面直角坐标系中，点，是反比例函数图象上的两点，直线与x轴交于点C． （1）求k的值及直线的解析式； （2）点D为x轴正半轴上一点，连接，当的面积为6时，与反比例函数图象交于点E．点P，Q均为x轴上的动点，点P在点Q的左侧，且，取的中点F，连接，求点E的坐标及的最大值； （3）在（2）的条件下，点M为反比例函数图象上的一点，射线与直线交于点N，连接，若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】（1）， （2），的最大值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）先将点，代入求出，再由待定系数法求解直线的表达式； （2）先由求解点的坐标，然后根据中点坐标公式求解点，再联立直线与反比例函数表达式求解点坐标，再根据平移以及对称的性质求解最大值即可； （3）连接，过点作轴于点，当点在点上方时，记为，此时点记为，证明出，然后通过联立直线与求解点；当点在点下方时，记为，此时点记为，此时，则，可得，通过中点坐标公式求解点，再通过联立直线与求解点即可． 【小问1详解】 解：∵点，是反比例函数图象上的两点， ∴， ∴， ∴，反比例函数表达式为， 设直线， 则代入点、可得， 解得， ∴直线； 【小问2详解】 解：在中，当时，则， 解得， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵的中点是， ∴，即， 设直线， 则代入、同理可求直线， 联立得，， 解得， ∴； 将点向右平移1个单位得到，再过点作轴的对称点，连接，，则， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由对称可得， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取得最大值为， ∵, ∴的最大值为； 【小问3详解】 解：连接，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 当点在点上方时，记为，此时点记为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴同理可求直线， ∴设直线， 代入点可得，，解得， ∴直线， 联立可得，， 解得，（舍去）， ∴； 当点在点下方时，记为，此时点记为， 此时， ∴， ∵， ∴， 联立直线与直线得，， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴同理可求直线， 再联立可得，， 解得，（舍去）， ∴； 综上：符合条件的点M的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $