精品解析：广东深圳市龙华区深圳中学龙华分校2026-2027学年八年级上学期数学10月学情自测卷

八年级数学学科随堂练习（10月） 说明： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级等信息填写在答题卡规定的位置上． 2．学生必须在答题卡按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 3．全卷共4页，练习时间90分钟，满分100分． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，湖的两岸有A，C两点，在与成直角的方向上的点C处测得米，米，则A，C两点间的距离为（ ） A. 3米 B. 6米 C. 9米 D. 10米 2. 下列说法错误的是（ ） A. 有理数和无理数统称为实数 B. 实数包括正实数、0、负实数 C. 整数和分数统称为实数 D. 实数与数轴上的点一一对应 3. 以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（　　） A. 2、3、4 B. 5、5、6 C. 2、、 D. 、、 4. 在中，的对边分别为，且．下列结论正确的是（   ） A. 为直角 B. 为直角 C. 为直角 D. 不是直角三角形 5. 如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ） A. B. C. D. 6. 在，，0，，，，，（相邻两个5之间7的个数逐次加1）中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简﹣﹣的结果是（　　） A. 2b B. 2a C. 2（b﹣a） D. 0 8. 已知两个二次根式：，将这两个二次根式进行如下操作： 第一次操作：将与的和记为，差记为； 第二次操作：将与的和记为，差记为； 第三次操作：将与的和记为，差记为；以此类推． 下列说法：①当时，；②； ③（为自然数）． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 若一等腰直角三角形的直角边长为2，则它的斜边长为______． 10. 在中，最大的非正实数为________． 11. 如图，圆柱的底面周长为24厘米，高为5厘米，是底面直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点的最短路程是___________． 12. 若，则_____． 13. 如下图，在中，，与相交于点O，，，，， __________． 三、计算题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 14. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 四、解答题：本题共6小题，共49分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 先化简，再求值：若，求的值． 16. 如图，在中，，，，点D是外一点，连接，且 （1）求的长； （2）求证：是直角三角形． 17. 如图，铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？ 18. 如图，现有两张同样大小的长方形纸片，小星采用如图1所示的方式，在其中一张长方形纸片上裁出两张面积分别为和的正方形纸片 A，B． （1）求原长方形纸片的周长． （2）写出图1中阴影部分图形(长方形)的长和宽，并求出它的面积． （3）小红能采用如图2所示的方式，在另一张长方形纸片上裁出两张面积均为的正方形纸片吗？请说明理由． 19. 回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积个小三角形面积小正方形面积，从而得到等式，化简证得勾股定理． 【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： （1）如图1，若，那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于______． （2）如图2，晓华先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，，那么空白部分的面积等于______． （3）如图3，晓华再将4个直角三角形紧密地拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． 【迁移运用】如图4，用三张含角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？ （4）请直接写出此等量关系式：____________．（知识补充：如图5，含角的直角三角形，对边斜边定值k．） 20. 阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1 ； 例2 任务一：化简． （1）化简： （2）猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 （3）计算：； 任务三：探究 （4）已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学学科随堂练习（10月） 说明： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级等信息填写在答题卡规定的位置上． 2．学生必须在答题卡按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 3．全卷共4页，练习时间90分钟，满分100分． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，湖的两岸有A，C两点，在与成直角的方向上的点C处测得米，米，则A，C两点间的距离为（ ） A. 3米 B. 6米 C. 9米 D. 10米 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理求出的长即可． 【详解】由题意得：， 即A，C两点间的距离为米， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长是解题的关键． 2. 下列说法错误的是（ ） A. 有理数和无理数统称为实数 B. 实数包括正实数、0、负实数 C. 整数和分数统称为实数 D. 实数与数轴上的点一一对应 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项，有理数和无理数统称为实数，说法正确； B选项，实数可分为正实数、、负实数，说法正确； C选项，整数和分数统称为有理数，实数包含有理数和无理数，该说法错误； D选项，实数与数轴上的点一一对应，说法正确． 3. 以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（　　） A. 2、3、4 B. 5、5、6 C. 2、、 D. 、、 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理得出选项A、B、C不能构成直角三角形，D选项能构成直角三角形，即可得出结论． 【详解】解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，故不正确； B、52+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，故不正确； C、22+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，故不正确； D、（）2+（）2=（）2，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故正确． 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理；在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 4. 在中，的对边分别为，且．下列结论正确的是（   ） A. 为直角 B. 为直角 C. 为直角 D. 不是直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据三角形的三边关系判定三角形的形状是解题的关键．将给定等式化简得到，即，根据勾股定理的逆定理，可判断为直角． 【详解】， ， ， 是直角三角形，且a为斜边，为直角． 故选：A． 5. 如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 6. 在，，0，，，，，（相邻两个5之间7的个数逐次加1）中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不尽方的数，含的数，有规律但是不循环的数． 根据无理数的定义，逐个判断即可． 【详解】解：， ，，，（相邻两个5之间7的个数逐次加1）是无理数，共4个， 故选：D． 7. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简﹣﹣的结果是（　　） A. 2b B. 2a C. 2（b﹣a） D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】由图可知-1＜b＜0＜a＜1，由进行化简. 【详解】解：由图可知-1＜b＜0＜a＜1，原式=|a|-|b|-|a-b|=a+b-a+b=2b， 故选择A. 【点睛】本题考查了含二次根式的式子的化简. 8. 已知两个二次根式：，将这两个二次根式进行如下操作： 第一次操作：将与的和记为，差记为； 第二次操作：将与的和记为，差记为； 第三次操作：将与的和记为，差记为；以此类推． 下列说法：①当时，；②； ③（为自然数）． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，规律探索，解题的关键是根据题意得出一般规律，熟练掌握二次根式混合运算法则． ①根据题意得出，，，，然后相加即可； ②根据题意得出一般规律：，，，，求出即可； ③根据二次根式混合运算法则，求出即可． 【详解】解：①当时，，， ，， ，， ，， … 按照此规律：，，，， ∴，故①正确； ②，， ，， ，， ，， … 按照此规律可得：，，，， ∴，故②正确； ③根据以上规律可知，，， ∴ ，故③正确． 综上分析可知，正确的有3个，故D正确． 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 若一等腰直角三角形的直角边长为2，则它的斜边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质与勾股定理求解斜边长． 【详解】解：设该等腰直角三角形的斜边长为， 根据勾股定理，可得， 整理得， 因为三角形的边长为正数， 因此． 即它的斜边长为． 10. 在中，最大的非正实数为________． 【答案】 【解析】 【分析】先找出所有非正实数，再比较大小得到最大的那个数； 【详解】解：是负实数，和是正实数，正实数大于负实数排除， ∵，，， ∴， ∴， ∴最大的非正实数是． 11. 如图，圆柱的底面周长为24厘米，高为5厘米，是底面直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点的最短路程是___________． 【答案】厘米 【解析】 【分析】本题考查了平面展开，最短路径问题，将图形展开和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知长即蚂蚁爬行的最短路程，再利用勾股定理求解，即可求得答案． 【详解】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为， 则弧， 又因为， 所以， 故答案为：厘米． 12. 若，则_____． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】算术平方根和平方数都是非负数，两个非负数的和为，则每个非负数都为，先求出和的值，再代入计算所求式子即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 可得，， 解得，， 代入所求式子得：． 13. 如下图，在中，，与相交于点O，，，，， __________． 【答案】 【解析】 【分析】过作，交延长线于点，先证明，则，，设，则，然后通过设未知数对运用勾股定理建立方程求解，再根据求解即可． 【详解】解：如图，过作，交延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， ∵， 又∵， ∴． 三、计算题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 14. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：      ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：  ； 【小问4详解】 解：    ． 四、解答题：本题共6小题，共49分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 先化简，再求值：若，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式被开方数的非负性求出的值，再利用多个非负数的和为时每个非负数均为，求出的值，最后化简式子后代入计算即可． 【详解】解： 要使二次根式有意义，需满足 ，  因此 由题意得，四个非负数的和为，因此每个非负数都为， 可得 ， 解得，； 化简所求式子： 将，，代入得 原式． 16. 如图，在中，，，，点D是外一点，连接，且 （1）求的长； （2）求证：是直角三角形． 【答案】（1）5 （2） 证明：∵在中，， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理， （1）在中，根据勾股定理即可求得的长； （2）利用勾股定理逆定理即可证明是直角三角形． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴． 【小问2详解】 略 17. 如图，铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？ 【答案】E站应建在离A站处． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，利用得出是解决问题的关键．设出的长，可将和的长表示出来，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵C，D两村到E站的距离相等， ∴． ∵于A，于B， ∴， ∴， ∴， 设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∴． 答：E站应建在离A站处． 18. 如图，现有两张同样大小的长方形纸片，小星采用如图1所示的方式，在其中一张长方形纸片上裁出两张面积分别为和的正方形纸片 A，B． （1）求原长方形纸片的周长． （2）写出图1中阴影部分图形(长方形)的长和宽，并求出它的面积． （3）小红能采用如图2所示的方式，在另一张长方形纸片上裁出两张面积均为的正方形纸片吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）阴影部分的长为，宽为，面积为6 （3）不能在长方形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片．理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方，结合正方形的面积即可计算正方形纸片A的边长，正方形纸片B的边长，再得出原长方形纸片的长，宽，即可作答； （2）先找出图①中阴影部分的长和宽，再结合面积公式列式计算，即可作答． （3）先计算，则，据此即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，裁出的正方形纸片A的边长为； 裁出的正方形纸片B的边长为， 则原长方形纸片的长为，宽为， ∴周长为. 【小问2详解】 解：阴影部分的长正方形纸片A的边长， 即阴影部分的长为， 宽为 ∴阴影部分的宽为， ∴阴影部分的面积． 【小问3详解】 解：不能裁出，理由如下： ∵面积为的正方形纸片的边长为， 则， ∴不能在长方形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片． 19. 回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积个小三角形面积小正方形面积，从而得到等式，化简证得勾股定理． 【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： （1）如图1，若，那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于______． （2）如图2，晓华先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，，那么空白部分的面积等于______． （3）如图3，晓华再将4个直角三角形紧密地拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． 【迁移运用】如图4，用三张含角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？ （4）请直接写出此等量关系式：____________．（知识补充：如图5，含角的直角三角形，对边斜边定值k．） 【答案】（1） （2）19 （3）24 （4） 【解析】 【分析】（1）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （2）根据空白部分的面积小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （3）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （4）根据大正三角形面积三个全等三角形面积小正三角形面积，构建关系式即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴小正方形面积：大正方形面积． 【小问2详解】 解：， ∵空白部分的面积小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． 【小问3详解】 解：如图， 根据题意得，， 设，则，， 在中，， 即 解得， ， 该风车状图案的面积． 【小问4详解】 解：设大正三角形的高为，中心小正三角形的高为，三个全等三角形的边上的高为， 由图可知大正三角形面积三个全等三角形面积小正三角形面积， ， 大等边三角形的面积， ， 小等边三角形的面积， ， ∴， ∴三个这样的三角形面积之和为， ∴，即， ∴． 20. 阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1 ； 例2 任务一：化简． （1）化简： （2）猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 （3）计算：； 任务三：探究 （4）已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） （4），理由如下： ， ， ， 故． 【解析】 【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． （1）根据题目中的例子可以写出答案； （2）根据例2，可以写出相应的猜想； （3）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案； （4）结合例1，例2的规律进行计算即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $