23.3 锐角三角函数（第3课时：正切的概念、求角的正切值、根据切弦值求边） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

23.3 锐角三角函数 （第3课时：正切的概念、求角的正切值、根据切弦值求边） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【基础夯实】 一、单选题 1．在中，若，则表示的（     ） A．正弦 B．正切 C．余弦 D．坡角 2．在中，，若，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 3．如图，数轴上的点表示的数是1，在中，，以为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，连接，则等于（     ） A． B． C．2 D． 4．构建几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要体现．在计算时，如图，在中，，，延长到点D，使，连接，得，令，则，，所以．类比这种方法，计算的值为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，则的长为（     ） A．10 B．6 C． D． 6．如图，在矩形中，点E在上，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处，若，则的值（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为______． 8．如图，已知反比例函数与一次函数交于A、B两点，过点A作垂直于x轴于点C，，，则的值为______．    9．如图，在矩形中，点在边上，于点．若，，则的长为__________． 10．如图，在正方形网格中，点都在格点处，与相交于点，则的值是_____． 三、解答题 11．如图，在中，，平分，，． (1)求的长； (2)求的值． 12．如图，在中，点是的中点，，且，． (1)求的长； (2)求的值． 13．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中的边上画点，连接，使； (2)在图②中的边上画点，连接，使； (3)在图③中的边上画点，连接，使． 14．都梁阁的设计理念先进，建筑造型美观，秉承了明清南派建筑风格．某数学兴趣小组利用所学知识开展以“测量都梁阁的高度”为主题的活动，报告如下： 项目 测量都梁阁的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 都梁阁正面图 测量过程 如图所示，兴趣小组先用无人机从地面上的点处竖直上升到达点C处，在点处使用无人机上的测角仪测得阁顶的俯角为，然后操控无人机向阁顶方向水平飞行至点处，在点处测得阁顶和点的俯角均为．点、在同一水平线上，且． 参考数据 ，，， 项目任务： (1)填空：______； (2)求都梁阁的高度（结果精确到）． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.3 锐角三角函数 （第3课时：正切的概念、求角的正切值、根据切弦值求边） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【基础夯实】 一、单选题 1．在中，若，则表示的（     ） A．正弦 B．正切 C．余弦 D．坡角 【答案】B 【分析】根据正切的定义求解可得． 【详解】解：∵在中，， ∴的对边为，邻边为． ∴，即表示的正切． 2．在中，，若，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，在中，，， ∴． 3．如图，数轴上的点表示的数是1，在中，，以为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，连接，则等于（     ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理求出的长，进而求出，，即可解决问题． 【详解】解：∵数轴上的点A表示的数是1，，且， ∴， ∴， ∴． 4．构建几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要体现．在计算时，如图，在中，，，延长到点D，使，连接，得，令，则，，所以．类比这种方法，计算的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，其中，，延长到点，使，连接，先得出，再令，求出的长，进而可得的长，然后在中，计算的正切即可． 【详解】解：如图，在中，，， 延长到点，使，连接， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 令，则， ∴， ∴在中，． 5．如图，在中，，，，则的长为（     ） A．10 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】先根据正切定义求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 6．如图，在矩形中，点E在上，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处，若，则的值（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质、折叠的性质求得，进而求得，设，在中，利用勾股定理建立方程求得x的值，再由正切函数的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵矩形沿直线折叠，使点D落在边上的F处， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，∵， ∴，解得， 即， ∴． 二、填空题 7．如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，根据正切值求边长，过点作轴，根据正切值的定义，列式求解即可． 【详解】解：过点作轴，则： ∴，即：， ∴； 故答案为：． 8．如图，已知反比例函数与一次函数交于A、B两点，过点A作垂直于x轴于点C，，，则的值为______．    【答案】 【分析】根据正切的定义得到，进而根据k的几何意义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， ∵点A在反比例函数上， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了已知正切值求边长，反比例函数k的几何意义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．如图，在矩形中，点在边上，于点．若，，则的长为__________． 【答案】 【分析】先求得，得到，可求得，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，得到是解题的关键． 10．如图，在正方形网格中，点都在格点处，与相交于点，则的值是_____． 【答案】3 【分析】此题考查了求角的正切值，勾股定理，如图所示，取格点E，F，连接，，利用勾股定理求出，，由得到，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，取格点E，F，连接，， 设格点之间的长度为1， ∴，， 由网格特点得，，， ∴ ∴． 故答案为：3． 三、解答题 11．如图，在中，，平分，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）利用正切值和已知条件求出长度，根据勾股定理即可求出长度． （2）根据角平分线的性质定理即可求出的长度，以及，设参数，结合已知条件，利用勾股定理即可求出的长度，再根据正切值等于对边比邻边即可求出答案． 【详解】（1）解：中，，，， ， ， ， 在中，． （2）解：过点作于点，如图所示， ，，平分， ， 又， ∴， ∴， 设， ，， 在中，， ， ， 中，． 【点睛】本题考查了勾股定理，正切值，角平分线的性质，解题的关键在于熟练掌握如何利用正切值求已知线段，或者是利用已知线段比求正切值，以及角平分线性质定理． 12．如图，在中，点是的中点，，且，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； （2）延长，，交于点，连接，先证出，则，，再求出，进而可得，然后求出的长，根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， 又∵点是的中点， ∴． （2）解：如图，延长，，交于点，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 又∵，即点是的中点， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴在中，， ∴． 13．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中的边上画点，连接，使； (2)在图②中的边上画点，连接，使； (3)在图③中的边上画点，连接，使． 【答案】(1)解：画图如下： 则点P即为所求． (2)解：画图如下： 则点Q即为所求． (3)解：画图如下： 则点M即为所求． 【分析】（1）根据题意，得，根据，只需作即可； （2）作；根据三角形全等的性质，得到是等腰直角三角形，连接，交于点Q，根据，解答即可； （3）根据三角形相似的判定和性质，得到，根据正切函数的定义，得到． 【详解】（1）解：根据题意，得，作，则， 画图略， 则点P即为所求． （2）解：作；根据三角形全等的性质，得到是等腰直角三角形，连接，交于点Q，根据，画图略． 则点Q即为所求． （3）解：根据三角形相似的判定和性质，得到，连接交于点M，根据正切函数的定义，得到， 则点M即为所求，画图略． 14．都梁阁的设计理念先进，建筑造型美观，秉承了明清南派建筑风格．某数学兴趣小组利用所学知识开展以“测量都梁阁的高度”为主题的活动，报告如下： 项目 测量都梁阁的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 都梁阁正面图 测量过程 如图所示，兴趣小组先用无人机从地面上的点处竖直上升到达点C处，在点处使用无人机上的测角仪测得阁顶的俯角为，然后操控无人机向阁顶方向水平飞行至点处，在点处测得阁顶和点的俯角均为．点、在同一水平线上，且． 参考数据 ，，， 项目任务： (1)填空：______； (2)求都梁阁的高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，得出，利用的正切值即可得答案； （2）延长，交延长线于，得出四边形是矩形，根据矩形的性质得出，，设，根据得出，根据，利用的正切值列分式方程，可求出的值，进而求出即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ∴， ∴． （2）解：如图，延长，交延长线于， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， 由题意可知，，，，由（1）可知，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴． 答：都梁阁的高度约为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $