江苏省苏州市2026-2027学年高一上学期数学期中自编模拟卷4

2026-2027学年高一数学上学期期中自编模拟卷4 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. S C. T D. Z 2.下列各组函数中，表示同一个函数的是 A. ， B. R，Z C. ， D. ， 3.已知，，，则的最小值为    A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4.若不等式对一切恒成立，则实数t的取值范围为(    ) A. B. C. D. 5.已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为(    ) A. B. C. D. 6.已知函数是幂函数，对任意的，且，满足，若a，，，则的值        A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断 7.若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是    A. B. C. D. 8.若正数x，y满足，则的最小值为(    ) A. B. 5 C. D. 7 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列命题是真命题的为(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数“为：设R，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，，则关于函数和的叙述中正确的是      A. B. C. 在R为增函数 D. 方程的解集为R 11.已知关于x的不等式，则下列结论错误的是(    ) A. 当时，不等式的解集非空 B. 当时，不等式的解集可以为的形式 C. 不等式的解集恰好为时， D. 不等式的解集恰好为时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若，则，就称A是“伙伴关系”集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是          . 13.设，，，则的最小值为          . 14.已知函数，若对于任意的，，则实数a的取值范围是          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知函数为幂函数，且为奇函数. 求m的值，并确定的解析式； 令，求在的值域. 16.本小题15分 已知集合，或 当时，求； 若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 17.本小题15分 已知关于x的不等式， 若不等式的解集为或，求a的值; 求关于x的不等式的解集. 18.本小题17分 某科技公司为提高研发速度，计划建造一个高为3米，宽度为米，地面面积为80平方米的长方体形状的实验室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案. 方案一：实验室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总报价记为P； 方案二：其给出的整体报价为元， 若当宽度为6米时，方案二的报价为28000元，求实数m的值； 求P的函数解析式，并求总报价P的最小值； 若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数m的取值范围. 19.本小题17分 若函数在定义域R上满足，且时，，定义域为的为偶函数. 求证：ⅰ函数为奇函数； ⅱ函数在定义域上单调递增； 若在区间上；在上的图象关于点对称.求函数和函数在区间上的解析式. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查交集运算，集合包含关系的判断，属于基础题. 分析可得，由此可得出结论. 【解答】 解：任取，则，其中， 所以，，故， 因此， 故选： 2.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了同一函数的判定，其中解答中熟记两函数是同一函数的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.分别求得函数的定义域和对应法则，结合同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解. 【解答】 解：对于A中，函数的定义域为R，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，不是同一函数； 对于B中，函数和的定义域不同，不是同一函数； 对于C中，函数与的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数； 对于D中，函数的定义域为R，的定义域为两函数的定义域不同，不是同一函数. 故选： 3.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查由基本不等式求最值或取值范围，属于基础题. 利用基本不等式，即可得到所求最小值. 【解答】 解：因为，， 所以， 当且仅当时取等号， 故的最小值为 故选： 4.【答案】D  【解析】【分析】 首先分离参数，然后结合对勾函数的性质求得函数的最值，从而可确定t的取值范围． 本题主要考查恒成立问题的处理方法，对勾函数的性质及其应等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力． 【解答】 解：由题意可得：在区间上恒成立， 由对勾函数的性质可知函数在区间上单调递增， 且当时，， 故实数t的取值范围是 故选： 5.【答案】A  【解析】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题. 因为集合，集合B ， 所以当， 即时，成立; 当时， 由“，”得 又， 解得，综上所述，实数a的取值范围为 6.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查函数值之和的符号的判断，考查幂函数的概念以及函数性质的应用，熟悉函数单调递增的几种表示，考查运算求解能力，是中档题． 根据函数为幂函数以及函数在的单调性，可得m的值，然后可得函数的奇偶性，结合函数的单调性以及奇偶性，可得结果. 【解答】 解：函数是幂函数， 所以，解得或， 对任意的，，且，满足， 函数为的增函数，故， ， 又， 为R上单调递增的奇函数， ，，且，即， ， 故选 7.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查分段函数的单调性，考查计算能力，属于中档题. 利用函数的单调性，列出不等式组，求解即可． 【解答】 解：函数 在上单调递减， 可得： ，解得： ， 故选 8.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了基本不等式的应用，属于中档题. 利用1的代换，先将已知化简为，然后利用基本不等式即可求解． 【解答】 解：，即， ， 当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为： 故选： 9.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题主要考查不等式的性质，属于基础题． 由已知条件结合不等式的性质，判断结论是否正确． 【解答】 解：对于A项，取，，，， 则，，所以，故A选项错误； 对于B选项，若，有，则，B选项正确； 对于C选项，若，则，则， 又因为，由不等式的性质可得，所以C选项正确； 对于D选项，若且，则，所以，，D选项正确． 故选： 10.【答案】ABD  【解析】【分析】 本题主要考查的是新定义函数的应用，属于基础题. 结合高斯函数的定义依次判断各个选项即可. 【解答】 解：选项A，因为，故正确； 选项B，因为，故正确； 选项C，因为，所以在R上不是增函数，所以错误； 选项D，因为，所以，故正确. 故选 11.【答案】ABC  【解析】由，可得， 因为，则， 所以不等式的解集为空集，故选项A错误; 在同一直角坐标系中，作出函数的图象以及直线和直线，如图所示， 设直线与函数图象交于点C，在D的左侧，直线与函数图象交于点A，在B的左侧， 由图可知，当时，不等式的解集可以写成的形式，故选项B错误; 令，由不等式的解集恰好为， 则，即，且当，时，函数的值都是b， 由，解得或， 当时，由，解得或，不满足，不符合题意，故选项C错误; 当时，由，解得或舍，此时，故选项D正确. 故选： 12.【答案】3  【解析】【分析】 本题考察集合新定义问题，属于基础题. 根据新定义列举符合题意的集合即可. 【解答】 解：具有伙伴关系的元素组是，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：，， 13.【答案】  【解析】【分析】 利用基本不等式求最值即可． 本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题． 【解答】 解：，，， 则， 由基本不等式有：， ，， 故：， 当且仅当，即：，时，等号成立， 故的最小值为 故答案为 14.【答案】  【解析】解：首先，根据的分段定义，写出的表达式： 当即时，；  当即时， 的表达式为： 当时，； 当时， ①此时，，代入不等式得： ，恒成立; ②此时，，代入不等式得： ， 整理得， ， 当时，即，， 当时，即， ， 解得，所以， 当时，即，， 解得，所以， ③此时，，代入不等式得： 化简得， 由于，需，解得， 综上a的取值范围是 15.【答案】解：因为函数为幂函数， 所以，解得或， 当时，函数是奇函数，符合题意， 当时，函数是偶函数，不符合题意， 综上所述，m的值为0，函数的解析式为 由知，，所以， 令，则， ， 所以， 在上单调递减，在上单调递增， 所以， ，， 所以函数在的值域为   【解析】本题考查幂函数的解析式、简单的幂函数的性质、求函数的值域，属于基础题. 根据幂函数的定义及性质即可求解； 由得，令利用换元法得到，，再根据二次函数的性质即可求解. 16.【答案】解：当时，集合， 或， 或； 若，且“”是“”的充分不必要条件， ，， ，则 解得 故a的取值范围是：  【解析】本题考查了集合的交集运算与充分条件与必要条件应用问题． 时化简集合A，根据交集的定义写出； 根据若，且“”是“”的充分不必要条件，则，得出关于a的不等式组，求出a的取值范围即可. 17.【答案】解：不等式可化为， 原不等式的解集为或，故； ①当时，不等式为，解得， ②当时，方程的两根分别为1，， 当时，， 故不等式的解为； 当时， 若，即时，不等式的解为或， 若，即时，不等式的解为R且， 若，即时，不等式的解为或， 综上可知， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为   【解析】本题考查不等式求解，一元二次不等式的解法，属于中档题． 根据不等式的解集与对应方程之间的关系，求出a的值； 讨论a的取值，求出对应不等式的解集． 18.【答案】解：当宽度为6米时，方案二的报价为28000元， 则，解得， 所以m的值为20； 由题意可知底面长米，墙面面积为平方米， 所以，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以总报价P的最小值为； 若对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 化简得， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得， 所以实数m的取值范围为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解：证明：令，可得， 令，可得，即， 故函数为奇函数． 任取，，且，则， 因为时，，所以， 由 ， 可得， 故函数在R上单调递增． 因为是定义在上的偶函数， 由时，①， 可得②， 由①-②，可得，即， 由①+②，可得，即， 因为时，，则当时， 由可得， 当时，故 综上，可知当时，都有 又因为时，，且在上的图象关于点对称， 则当时， 又是定义在上的偶函数， 故时， 综上，  【解析】本题考查抽象函数的单调性及奇偶性，利用函数的奇偶性求解析式，属于难题． 通过赋值，利用奇函数定义易证； 利用题设条件，结合函数的单调性定义即可证得； 先由函数和的奇偶性，列出方程组，即可求得和在上的解析式，再根据题设条件分别求出两函数在区间上的解析式． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $