精品解析：江苏省苏州市南京航空航天大学苏州附属中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

南航苏州附中2025—2026学年高一年级期中考试数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合A={2，3，4），集合B={2，4，5}，则如图中的阴影部分表示（ ） A. {2，4} B. {3，5} C. {5} D. {2，3，4，5} 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. 4 D. 4. 已知函数，其中为常数，若，则（ ） A. B. 7 C. D. 4 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 设，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数 满足：对任意时， 当时，都有 成立，则实数a的取值范围是（ ） A. ( ,2] B. C. [2,+∞) D. [1,2] 8. 若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各命题中的假命题是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知a，，，则（ ） A. ab的最大值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为16 11. 以下命题正确的是（ ） A. 的值域为 B. 若，则 C. “”是“一元二次方程有一正根一负根”的充要条件 D. 若函数，则对，不等式恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为______. 13. 已知偶函数部分图象如图所示，且，则不等式的解集为______. 14. 已知函数定义在上，且对任意的，都有，则不等式的解集为____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合， （1）当时，求. （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 设函数 （1）若不等式的解集为，求，的值； （2）若，求以下两个问题： ①若，，求的最小值： ②若在上恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知函数是定义域上的奇函数，且. （1）判断并证明函数在定义域上的单调性； （2）令函数，若对，都有，求实数的取值范围. 18. 2025年成都运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，每件产品的最高售价为80元.若按最高售价销售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. （1）当购进产品数量为25万件时，利润是多少？（利润=销售收入-成本） （2）写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； （3）购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 19. 已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增. （1）求函数的解析式； （2）设函数； （i）若，试讨论的最小值； （ii）若函数定义在区间上，试求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南航苏州附中2025—2026学年高一年级期中考试数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合A={2，3，4），集合B={2，4，5}，则如图中的阴影部分表示（ ） A. {2，4} B. {3，5} C. {5} D. {2，3，4，5} 【答案】C 【解析】 【分析】图中的阴影部分表示的是属于不属于的元素组成的集合，然后可选出答案. 【详解】因为集合A={2，3，4），集合B={2，4，5}， 所以图中的阴影部分表示的是属于不属于的元素组成的集合，即 故选：C 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】 利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】因为命题“，”是存在量词命题， 所以其否定是全称量词命题，即为，， 故选：D 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再求 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：A 4. 已知函数，其中为常数，若，则（ ） A. B. 7 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，判断奇偶性并求出函数值. 【详解】函数的定义域为R，令， 则，所以是奇函数， 因此，而， 所以. 故选：A. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式，判断其单调性以及单调区间，结合特殊点，可得答案. 【详解】由函数， 当时，根据函数与函数在上单调递增， 则函数在的单调递增，故排除BC； 当时，，故排除A，则D正确. 故选：D. 6. 设，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出不等式，通过充分条件与必要条件的概念即可判断出关系. 【详解】由得，则且，解得：， 而集合是的真子集， ∴“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 7. 已知函数 满足：对任意时， 当时，都有 成立，则实数a的取值范围是（ ） A. ( ,2] B. C. [2,+∞) D. [1,2] 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，函数在上单调递增，进而结合分段函数单调性求解即可. 【详解】由题意得，函数在上单调递增， 则，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：B. 8. 若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数在上是单调函数可知为常数，利用换元可得到关于的方程，可解出的值，从而求解. 【详解】对任意，都有，且函数在上是单调函数， 为常数， 设，则， ， 与在上单调递增， 有唯一解，解得， ，. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各命题中的假命题是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AD 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断AC选项；分、两种情况讨论，去绝对值，可判断B选项；解方程，可判断D选项. 【详解】对于A选项，取，则，A中的命题为假命题； 对于B选项，当时，；当时，. 综上所述，，，B中的命题为真命题； 对于C选项，取，则，C中的命题为真命题； 对于D选项，若，则，D中的命题为假命题. 故选：AD. 10. 已知a，，，则（ ） A. ab的最大值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为16 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项由所给等式直接运用基本不等式再解不等式即可判断；B选项利用“1的妙用”求出最小值即可判断；C选项可以通过放缩来判断；D选项利用的完全平方进行配凑，再配方求解最小值即可判断. 【详解】A选项，，解得，当且仅当时等号成立，故A选项正确； B选项，， 当且仅当时等号成立，故B选项错误； C选项，，当且仅当时等号成立， 则，故C选项错误； D选项，， 故当时，的最小值为16，D选项正确； 故选：AD. 11. 以下命题正确的是（ ） A. 的值域为 B. 若，则 C. “”是“一元二次方程有一正根一负根”的充要条件 D. 若函数，则对，不等式恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】举例说明函数的值域可能是，判断A，利用函数解析式求值即可判断B，根据二次方程根的分布求出的取值范围可判断C，用作差法判断D. 【详解】对于A，例如时，函数是上的减函数，结合函数的图象知函数的值域是，故A正确； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若方程有一正一负根，，解得，故C正确； 对于D，，， 所以恒成立，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：作差法的一般步骤： （1）作差；（2）变形；（3）定号；（4）结论． 其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】先把绝对值平方，再化简不等式求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 不等式的解集为. 故答案为：. 13. 已知偶函数部分图象如图所示，且，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】 由函数的图象得出当时，，再由函数是偶函数，其图象的性质，即可得出答案. 【详解】是偶函数，且，所以 ， 由图象得当时，.又函数是偶函数，其图像关于y轴对称，当时，， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14. 已知函数定义在上，且对任意的，都有，则不等式的解集为____． 【答案】 【解析】 【分析】通过构造分析单调性，将原不等式转化为关于的不等式组求解. 【详解】构造函数（）. 对任意且，不妨设，由，得. 将，代入上式，化简得. 因，故，即在上单调递减. 由，得. 由于不等式有意义，所以， 不等式变形为（其中），即. 因单调递减，故. 解得或；解得. 取交集得或. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合， （1）当时，求. （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先确定时集合，再结合集合求并集； （2）将充分不必要条件转化为集合的真包含关系，通过列不等式组求解参数范围. 【小问1详解】 当时，，，则. 又，所以. 【小问2详解】 由“”是“”的充分不必要条件，可知是的真子集. 其中为非空集合，因此，且等号不同时成立，解得， 即实数的取值范围是. 16. 设函数 （1）若不等式的解集为，求，的值； （2）若，求以下两个问题： ①若，，求的最小值： ②若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）①9；② 【解析】 【分析】（1）利用不等式的解集结合一元二次方程根和系数的关系求解即可； （2）①利用基本不等式中“1”的应用求解即可；②把转化为在R上恒成立，利用二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 若不等式的解集为， 则， 所以. 解得. 【小问2详解】 若， ①，，则， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为9. ②在R上恒成立， 即在R上恒成立， 若 ，则z在上不恒成立，舍， 故， 解得： 故a的取值范围为. 17. 已知函数是定义域上的奇函数，且. （1）判断并证明函数在定义域上的单调性； （2）令函数，若对，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1） 由函数为奇函数，且，可得， 则，解得，可得，定义域， 且，所以是奇函数，满足题意. 函数在、上单调递减，在、上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 因为，且，所以， 所以，所以，即， 所以函数在上单调递减； 任取， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上单调递增； 由对称性，在上单调递增，在上单调递减. （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设、列方程求参数值，并验证是否满足题设，再应用函数单调性定义及奇函数的对称性判断证明函数的单调性； （2）令，结合对勾函数、二次函数的性质求在上的最值，再将问题化为求参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，函数，令，可得， 由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为函数的对称轴方程为， 所以函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，. 所以， 对任意的都有恒成立， 所以，即，解得， 又因为，所以，所以实数的取值范围是. 18. 2025年成都运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，每件产品的最高售价为80元.若按最高售价销售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. （1）当购进产品数量为25万件时，利润是多少？（利润=销售收入-成本） （2）写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； （3）购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】（1）450万元； （2）； （3）40万件，910万元. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用“利润销售收入成本”列式计算. （2）根据给定条件，按、、分段求出函数关系即可. （3）由（2）分段，结合函数单调性、二次函数及基本不等式求出最大值并比较大小即得. 【小问1详解】 依题意，当购进产品数量为25万件时，利润是万元. 【小问2详解】 当时，； 当时，不妨设降价元，则，， 因此； 当时，， 所以. 【小问3详解】 由（2）知，当时，，函数单调递增， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是910万元， 而，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 19. 已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增. （1）求函数的解析式； （2）设函数； （i）若，试讨论的最小值； （ii）若函数定义在区间上，试求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质列关系式求即可； （2）（i）按照和，结合二次函数的图象与性质求的最小值即可； （ii）分别在，，条件下，结合二次函数的单调性求函数在区间上的最小值即可. 【小问1详解】 因为幂函数在区间上单调递增， 所以，故或1， 当时，不满足偶函数，故舍去； 当时，满足偶函数， 故； 【小问2详解】 （i）因为， 由（1）可得， 当即时，，则， 所以的最小值即的最小值，且在时取到； 当即或时，的最小值为负数， 故的图象是将的图象位于x轴下方部分向上翻折，其余部分图象不变， 故此时的最小值为； 综上， ； （ii）函数的图象的对称轴为， 当即时，函数在区间上单调递增， 所以， 当即时， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 当即时，函数在区间上单调递减，所以， 综上所述： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $