重难点04 全等三角形中的辅助线技巧（10大几何模型）（单元复习、期中复习） 2026-2027学年人教版八年级数学上册
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精品
内容正文：
简一数理 单元复习、期中期末复习
重难点4 全等三角形中的辅助线技巧（10大几何模型）
（新教材人教版）
01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2
02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 3
知识点一、平移模型 3
知识点二、轴对称模型 3
知识点三、旋转模型 3
知识点四、一线三等角模型 3
知识点五、截长补短模型 4
知识点六、倍长中线模型 4
知识点七、手拉手模型 5
知识点八、半角模型 5
知识点九、平行线模型 6
知识点十、垂直模型 6
03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 7
【题型1 手拉手模型（全等三角形辅助线问题）】 7
【题型2 倍长中线模型（全等三角形辅助线问题）】 18
【题型3 角平分线模型（全等三角形辅助线问题）】 26
【题型4 半角模型（全等三角形辅助线问题）】 32
【题型5 截长补短（全等三角形辅助线问题）】 44
【题型6 一线三角形模型（全等三角形辅助线问题）】 53
【题型7 旋转模型（全等三角形辅助线问题）】 62
【题型8 作垂线法（全等三角形辅助线问题）】 72
【题型9 作平行线法（全等三角形辅助线问题）】 84
【题型10 垂线模型（全等三角形辅助线问题）】 90
04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 99
05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 113
01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向
常考考点
命题风向
1. 倍长中线模型：构造全等，转移线段、转化边角关系，证明线段相等、倍分关系。
2. 截长补短模型：适用于线段和差证明，截取等长线段或延长补长，构造全等三角形。
3. 角平分线模型：角平分线上作垂线、作等线段、翻折构造全等，实现边角转化。
4. 一线三等角（K 型）模型：利用一组相等角推导等角，找全等条件，常用于直角、斜角场景。
5. 手拉手模型：共顶点等线段，旋转产生全等，得到等线段、等夹角、倒角结论。
6. 半角模型：正方形、等腰三角形内含半角，通过旋转翻折构造全等，证明线段和差。
7. 等腰直角三垂直模型：属于特殊一线三等角，直角加两组垂直，快速锁定全等。
8. 平行线夹中点模型：中点 + 平行，延长构造 8 字型全等，转移线段。
9. 翻折对称模型：沿对称轴翻折，利用轴对称全等，转化边角、求角度与线段。
10. 构造垂线模型：条件缺少直角时，主动作垂直，创造 AAS、ASA 全等条件。
1. 基础层面：单独考查单个模型识别，直接套用模型条件证明全等、求线段长和角度，属于中档必考题型。
2. 能力层面：多个模型叠加、模型隐藏化，不直接给出完整图形特征，需要自主添加辅助线；常和等腰三角形、轴对称、勾股定理综合。
3. 压轴层面：手拉手、半角、截长补短高频出现在几何压轴，结合动点、旋转，考查动态下的全等不变关系，侧重逻辑推导。
考情解码：
1. 高频失分点：不会识别隐藏模型，盲目画线；辅助线描述不规范；倒角逻辑跳步，缺少全等判定条件；截长补短、倍长中线分不清适用场景。
2. 备考提示：先熟记每个模型的图形特征、固定辅助线做法；练习 “从结论反推辅助线”；规范书写辅助线语句、全等证明步骤；重点训练多模型融合综合题，总结倒角套路。
02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系
知识点一、平移模型
把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线.
知识点二、轴对称模型
将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.
知识点三、旋转模型
将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件.
知识点四、一线三等角模型
三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.这个模型称为一线三等角模型.
（同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD
（异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD
知识点五、截长补短模型
该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。
(1)截长: 在较长线段上截取一段等于某一短线段, 再证剩下的那一段等于另一短线段。
如图, 求证BE+DC=AD；
方法:①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC;②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE
(2)补短:将短线段延长,证与长线段相等
知识点六、倍长中线模型
当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移.
已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE,
1）连接EC,则∆ABD≌∆ECD，AB∥CE
2）连接BE,则∆ADC≌∆EDB，AC∥BE
知识点七、手拉手模型
两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型.因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”.
如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE=α。结论：△BAD≌△CAE。
知识点八、半角模型
当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。解题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题。
如图：已知∠2=∠AOB，OA=OB
知识点九、平行线模型
结论：如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O为EF中点，P为AB上一点，则△POE≌△QOF
【证明】延长PO交CD于Q,
∵AB∥CD
∴∠OPE＝∠OQF,∠OEP＝∠OFQ
在△POE和△QOF中，
∠POE＝∠QOF
OE＝OF
∠OEP＝∠OFQ
∴△POE≌△QOF
知识点十、垂直模型
结论：如图所示，AB⊥AD且AB=AD，BC⊥CE，DE⊥CE.
则△ABC≌△DAE，CE=DE＋BC.
【证明】∵BC⊥CE，DE⊥CE，AB⊥AD，
∴∠C=∠BAD=∠E=90°，
∴∠1+∠3=∠1+∠2=90º，∴∠2=∠3
在△ABC和△DAE 中，∠C=∠E=90°，∠2=∠3，AB=DA,
∴△ABC≌△DAE（AAS），
∴AC=DE，BC=AE，
∴CE=CA+AE=BC+DE.
03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移
【题型1 手拉手模型（全等三角形辅助线问题）】
【例1】综合与实践
【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型．
(1)如图1，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，则有：______；线段和的数量关系是______；
【探究】
(2)如图2，与均为等边三角形，且点在边上，求证：
①；
②；
【拓展】
(3)如图3，已知点在等边的外部，并且与点位于线段的异侧，连接，，．若，，，请求出的长．
【答案】(1)，
(2)证明：①与均为等边三角形，
，
，，
，
在与中，
，
；
；
②在等边三角形中，，
，
，
；
(3)
【分析】（1）由两个三角形全等的判定与性质求解即可；
（2）由等边三角形的性质，结合两个三角形全等的判定与性质求解即可；
（3）延长，并在延长线上截取，如图所示，构造“手拉手”模型，通过推导，得出，最后结合等边三角形性质求解即可．
【详解】（1）解：，，，
，
在与中，
，
；
；
（2）略
（3）解：延长，并在延长线上截取，如图所示：
，
是等边三角形，
与均为等边三角形，
，
，，
，
在与中，
，
；
，
，
则在等边三角形中，．
【变式1-1】如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，连结．
（1）的度数为___________；
（2）的面积___________．
【答案】
【分析】根据三角形的旋转性质得到为等边三角形，再根据手拉手模型证得，最后根据勾股定理逆定理解得是直角三角形，从而得出答案；再多次利用旋转的性质求出的面积，进而求解．
【详解】解：（1）如图所示，连接，
∵线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，
∴为等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，
在中，，
∴是直角三角形，，
∴．
（2）如图所示，过点作交于点，
∵是等边三角形，
∴，，
则，
，
由（1）知，
∴；
将线段以点为旋转中心逆时针旋转，
同理可求得；
将线段以点为旋转中心逆时针旋转，
同理可求得，
∴，
则．
【变式1-2】如图，与为等腰三角形，，，，为线段上一个动点，与相交于点．
(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，在延长线上取一点，当时，线段与有什么位置关系？并说明理由；
(3)如图3，若，且的面积为，求的长．
【答案】(1)证明：∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分．
(2)解：，理由如下：
如图所示，在上截取，使得，连接，在上取点，连接，使得，
，，
，
在和中，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
(3)
【分析】（1）利用“相等的角减去相同角的两角仍相等”证明模型证明，进而证明，得到对应角相等证明结果；
（2）在上截取，使得，连接，在上取点，连接，
使得，证明，利用等腰三角形的性质与全等三角形的性质以及等量代换证明，最后根据等量代换证得，从而得到答案；
（3）先根据等腰三角形的性质与全等三角形的性质等量代换后得到，利用算出，再利用三角形内角和为和等量代换得出，取线段垂直平分线的交点，连接，过点作交于点，通过角度的换算得到是等腰直角三角形，再证得，根据平行线间垂线段相等，利用同底等高得到的面积，从而求解．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：由（1）知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设，则，
∵，
∴，解得，
∴，
在和中，，
∴，，
如图所示，取线段垂直平分线的交点，连接，过点作交于点，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，则，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴或，
∵线段的长度为非负数，
∴．
【变式1-3】在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形，通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
(1)观察猜想
如图1，在中，分别以为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______；
(2)类比探究
如图2，在中，分别以为边作等腰直角和等腰直角，，点在同一直线上，为中边上的高，猜想，之间的数量关系并说明理由；
(3)解决问题
如图3，点是等边外一点，若，求线段的长．
【答案】(1)．
(2)解：．
理由如下：
和都是等腰直角三角形，
，
在和中，
由，
(3)65．
【分析】（1）通过等腰直角三角形的性质证明出，即可得出，再根据角的关系即可证明；（2）仍是通过已知条件证明，则，根据直角三角形斜边的中线是斜边的一半得，则可求出；（3）延续前两问的思路，先构造等边三角形，再构造等腰直角三角形，从而证明，则．
【详解】（1）解：记与的交点为，
由题可知，
，
在和中，
由，
，
，
，
．
（2）略
（3）解：如图4，以为边，构造等边三角形，连接，过点作，交的延长线于点，则，，，
，
，
，
，在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
均为等边三角形，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题的通用思路都是由“手拉手”模型构造全等三角形，在此基础上得到边和角的关系，最后一问是通过做辅助线，构造两个等边三角形“手拉手”，再利用勾股定理求解．
【题型2 倍长中线模型（全等三角形辅助线问题）】
【例2】某数学兴趣小组在探究一般三角形中线的性质时，提出以下两个结论：
【性质探究】
①“中线平分面积”．如图1，在中，是的中点，若的面积为6，则的面积为__________．
②“倍长中线法可以求中线范围”．如图1，延长到点，使，连接，根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中，根据三角形三边关系可以求出中线的范围．若，则的取值范围是__________．
【拓展应用】
①如图2，在中，是的中点，是边上的一点，连接，交于点．若，请判断之间的数量关系，并说明理由．
【创新人才培养选做题】
②如图3，在中，是的中点，是的角平分线，交于点，．设，的面积分别为和，若，试求的最大值．
【答案】[性质探究]①3；②；
[拓展应用]①．理由如下：
如图2，延长到点H，使，连接，
∵是的中点，
∴，又，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②
【分析】[性质探究]①根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可；
②根据题干求解思路和三角形的三边关系求解即可；
[拓展应用]①如图2，延长到点H，使，连接，证明得到，，则，利用平行线的性质和等边对等角推导出，则，进而可得结论；
②作交于P，过E作于T，证明得到，，，则；根据三角形的中线性质，结合图形中推导出，根据垂线段最短和三角形的面积公式得到，进而可求解．
【详解】解：[拓展应用]
①∵在中，是的中点，的面积为6，
∴的面积为，
故答案为：3；
②如图1，延长到点，使，连接，
∵是的中点，
∴，又，
∴，
∴，
在中，，，
∴，即，
∴；
[拓展应用]
①略
②如图3，作交于P，过E作于T，
∵是的角平分线，
∴，又，
∴，
∴，，，
∴；
∵是的中点，
∴,
设，
∴
，
∵，
∴，
∴，
故的最大值为．
【点睛】本题考查三角形的中线性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握三角形的中线性质是解答的关键．
【变式2-1】【问题背景】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段．
【问题探究】
（1）如图1，在中，平分交于点，，点在边上，且，连接，试说明：．
【综合研究】
（2）2025年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次推动人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2是活动场地平面示意图，在中，米，校学生会在边、上分别取点、，使得点为的中点，于点，在线段上找点，使得米，为等腰直角三角形，，并沿其三条边搭建安全文化宣传长廊（宽度不计），其他区域规划为展示区．为了预算，需要知道的长，请你帮助校学生会计算出的长．
【答案】（1）∵平分，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）米．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的性质等，熟练掌握一线三等角的全等模型和倍长中线的全等模型是解题的关键．
（1）先证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论；
（2）过点作，交的延长线于点，根据等腰的性质证明，再根据倍长中线证明，最后通过等量代换求解即可．
【详解】解：（1）略
（2）过点作，交的延长线于点，如图2所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵米，
∴（米），
∴米，
∵米，
∴（米）．
【变式2-2】如图，是的中线，是的中线，且，求证：．
【答案】证明：延长至点，使得，连接
∵是中线，是中线
∴，
∵在和中
∴
∴
又∵
∴，，
∵，
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（同旁内角互补）
∵，
∴（等边对等角）
∴
∵ 点共线（是的中线），
∴（平角定义）
∴
∵在和中
∴
∴
又∵
∴
【分析】本题考查了三角形中线性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质；解题的关键是通过中线倍长法构造全等三角形，利用等腰三角形和平行线的性质推导角与边的关系，从而证明线段倍分关系．先构造倍长中线，再证得；得到对应角相等，对应边相等，推导出，证得，转化线段关系，即可得到．
【详解】略
【变式2-3】如图1，已知是等边三角形，点在内部，连接，，在的右侧构造等边三角形，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，当，，三点共线时，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，取中点，连接，，试判断与之间的数量关系并证明．
【答案】(1)
证明：∵与均为等边三角形，
∴，，且，
∵，，
∴，结合，，
∴，
∴．
(2)
(3)
，
证明：，延长至点，使得，连接，如下图所示：
∵点为中点，
∴，又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∵为等边三角形，
∴，
由（1）中，
∴，结合，，
∴，
∴，∵，
∴．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，找出等量条件证明三角形全等以及准确添加辅助线是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质，求证即可；
（2）由（1）中全等，得出，结合角度计算即可；
（3）首先根据中点的性质，准确添加辅助线，属于倍长中线模型，即可得，结合前两问中的等量关系，证明出，故可得，即可证出．
【详解】（1）略
（2）解：若，，三点共线，
则
由（1）中，
∴，
∵，，
∴．
（3）略
【题型3 角平分线模型（全等三角形辅助线问题）】
【例3】如图，，，垂足分别为、，和相交于点，平分．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)求证：垂直平分．
【答案】(1)
证明：∵平分，，，
∴（角平分线上的点到线段两端的距离相等）．
∵在与中，
∴
∴，
∴是等腰三角形．
(2)
证明：∵，，
∴．
∴在与中，
∴，
∴，，
∴点，点在线段的垂直平分线上．
∵两确定一条直线，
∴垂直平分．
【分析】本题考查三角形与全等三角形的综合应用，解题的关键是用角平分线和双垂直模型，找到合适的全等三角形去推出自己想要的条件；本题的易错点在于找全等关系时需要找对判定条件，不要混淆．
（1）利用角平分线和双垂直模型，利用角平分线上的点到线段两端距离相等，找到，从而再找条件得到，，得到等腰三角形；
（2）根据，找到，，根据角平分线上的点到线段两端的距离相等，点，点在线段的垂直平分线上，即可得垂直平分；
【详解】（1）略
（2）略
【变式3-1】如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是________．（填写正确的序号）
【答案】①②③
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质及定义，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知①正确；根据全等三角形的性质与判定可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积可知③正确．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵和是和的平分线，
，
∴，
∴，
故①正确；
在上截取，
∵和是和的平分线，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
作于于，连接，
∵和的平分线，相交于点，，
∴，
∵，
∴，
故③正确；
∴正确的序号为①②③；
故答案为①②③．
【变式3-2】如图，在五边形中，，平分，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
证明：在上截取，连接．
∵平分，
∴．
在和中，
∴
∴，．
又∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴
∴．
∴．
(2)
【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解；
（2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解．
【详解】（1）略
（2）∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式3-3】如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．
(1)求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)
证明：．
如图，作的平分线交于．则．
在和中，
，
．
∴．
同理，．
∴
【分析】（1）由四边形内角和性质求得．再由角平分线定义可得，，最后由三角形内角和性质得到结论；
（2）作的平分线交于，证明，再由全等三角形的性质可得答案．
【详解】（1）在四边形中，，
又∵，
∴．
∵平分，平分，
∴，，
∴．
在中，．
（2）略
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．
【题型4 半角模型（全等三角形辅助线问题）】
【例4】根据题意解答下列各题：
(1)问题背景：如图①，在正方形中，点，分别在，上，且，请直接写出线段，，之间的数量关系：_____________________．
(2)猜想类比：如图②，在四边形中，，，点，分别在，上，且，试确定线段，，之间的数量关系，并给出证明；
(3)解决问题：如图③，是以为直角的等腰直角三角形，、均在线段上，且，若，，试求线段的长度．
【答案】(1)
(2)
证明：延长至点，使得，
∵,，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即．
(3)
【分析】（1）延长至点，使得，证明，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案；
（2）延长至点，使得，证明，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案；
（3）过点作,且使得，连接，，证明，则，根据勾股定理即可作出判断．
【详解】（1）解：延长至点，使得，
∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即．
（2）略
（3）解：过点作，且使得，连接，；
∵是等腰直角三角形,，
，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
由第（2）问同理可证：，
∴．
在中，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴．
【变式4-1】如图，在正方形中，连接，E，F是边，上的点．已知E是的中点，．
（1）的长为________．
（2）若，则的长为________．
【答案】 /；
【分析】（1）通过正方形的性质利用勾股定理先求出正方形边长，再结合E是的中点的条件，得到的长度；
（2）将绕点A顺时针旋转到，利用旋转后全等三角形的性质得到，，再证明，得到进而推得的数量关系，设的长为未知数，用含未知数的式子表示出、、的长度，再结合勾股定理列方程求解．
【详解】解：（1）四边形是正方形，，
∴，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴．
（2）解：在正方形中，，，
如图，将绕点A顺时针旋转到，
，
，，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
在和中，
，
，
，
，
设，则，．
，由勾股定理得，
，
解得，
．
【变式4-2】【经典再现】
（1）如图1，为等边外一点，，，，连接．则：
①线段和线段的位置关系是______（直接写出结果）．
②______．
【深入探究】
（2）如图2，为等边外一点，，，点M和点N分别为等边的边AB和AC上任意一点，，试探究线段，和的数量关系，并加以证明．
【拓展应用】
（3）①把（2）中的条件“点和点为等边的边和上任意一点”改为“点和点为直线和直线上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段，和的数量关系．
②当（2）中的点和点在等边的边和上运动时，记的周长为P，记的周长为，则的值是否改变？若不变，请求出的值：若改变，请说明理由．
【答案】（1）①垂直平分（或）；②，（2），（3）①当点在上时，，当点M在延长线上时，，当点在延长线上时，，②．
【分析】（1）根据、，由线段垂直平分线的判定定理即可得出垂直平分，根据等边三角形的性质求出，再根据，，求出，进而可得，由含直角三角形性质可得；
（2）延长到使，连接，可得，进而可得，由此得出，
（3）①分三种情况同理（2）可以证明结论．
②由（2）可得，由此即可得出．
本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质、半角模型的应用，解题关键是利用截长补短法构造全等三角形．
【详解】（1）结论：，
∵等边
∴，
又∵，
∴垂直平分，
∵，等边中，
∴，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
（2）证明：延长到使，连接，如图2，
∴，
∵等边中，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
（3）①结论：当点在上时，，当点在的延长线上时，，当点在的延长线上时，，
证明：当点在上时，由（2）得，
当点M在延长线上时，在取使，则：，连接，如图3，
同理可证 ，
∴
当点在延长线上时，在取使，则：，连接，如图4，
同理可得：，
∴
综上所述：当点在上时，，当点在延长线上时，，当点M在延长线上时，．
②，
解：记的周长为P，
由（2）得：，
∴，
记的周长为Q，，
∴
【变式4-3】如图在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F．
(1)如图①．若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是________；
(2)如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明；
(3)若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长．
【答案】(1)
(2)
解：，证明如下：
如图：在上取点，使得，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即．
(3)或10
【分析】（1）如图，连接，根据菱形的性质得出是等边三角形，可得出相等的角和边，进而证明，再根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）如图：在上取点，使得，连接，根据条件证明，得出，再证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；；
（3）根据题意分两种情况进行讨论，借助于（2）的思路，证明三角形全等，得出相等的边，然后假设边的长度，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）略
（3）解：①如图，当点E在线段上时，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，
，
∵四边形为正方形，，
，
又，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理可得，即，解得：，
∴．
②如图，当点E在延长线上时，取的中点G，连接，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得，即，
解得∶．
∴．
综上所述，的长为或10．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识以及正确作出辅助线是解题的关键．
【题型5 截长补短（全等三角形辅助线问题）】
【例5】截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起从而解决问题．数学课上李老师让同学使用这一方法来解决以下问题：“如图①，在中，平分，”．求证：．
(1)对于该问题，老师给出了如下的思路：如图②，在上截取，连接，只要证即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题．请你按照上述解题思路写出证明过程．
(2)请使用上述方法解决下列问题：
①如图③，是等边三角形，D是边下方一点，，连接．判断出线段，，之间的数量关系并说明理由；
②如图④，在中，，．D是边下方一点，．求证：．
【答案】(1)证明：平分，
，
在和中，
，
，
，．
又，
，
，
，
为等腰三角形，
，，
．
(2)①，理由如下：
如下图所示，在的延长线上截取，连接．
是等边三角形，
，，
在四边形中，，
，，
，
又，
．
在和中，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
．
②证明：如下图所示，延长到点，使，连接，
，，
，
，
．
，，在和中，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【分析】（1）根据提示，在上截取，利用“边角边”证明，将转化为，再利用角度关系证明为等腰三角形，即可证明．
（2）①在的延长线上截取，构造全等三角形，利用等边三角形的性质证明为等边三角形，从而得到．
②同样在的延长线上截取，构造全等三角形，利用等腰直角三角形的性质证明为等腰直角三角形，再利用勾股定理即可得出．
【详解】（1）略．
（2）①略．
②略．
【变式5-1】同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题．
(1)（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程：
方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题；
方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题．
(2)如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________．
(3)如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________．
【答案】(1)
若选择方法一．
证明：如图①，在上截取，使得，连接，
∵平分，
∴．
又∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
若选择方法二．
证明：如图②，延长到点F，使得，连接，
∵平分，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵
∴．
∴，
∴，
∴．
(2)
(3)
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、解分式方程、等腰三角形的判定和性质等知识，准确添加辅助线构造全等三角形和熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
（1）选择方法一：证明．则，证明，则，即可得到结论；选择方法二：证明．则，即可得到结论；
（2）在上取点G，使，证明，，则，即可得到；
（3）根据角平分线的性质定理可知点D到的距离等于点D到的距离，得到，又由，得到，同理，，设，列出方程组并解方程组即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）解：在上取点G，使，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
（3）解：∵平分，
∴点D到的距离等于点D到的距离，
∴，
∵，
∴，
同理，
设，则
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式5-2】实验与探究：
学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究：
例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？
把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得．
【类比探究】
（1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明．
【方法运用】
（2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由．
【答案】
（1）证明：把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点、
由翻折的性质可知，，
，
，即
（2），理由如下：
如图（3），在上取，使，连接，
，，，
，
，，
，
，
，
，即
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质，三角形内角和定理．构造全等三角形，转化线段和角的关系是解题的关键．
（1）把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点D、E，由翻折可得：，
（2）在上取，使，连接，可得，进而可得，由此证明， ，进而得出结论．
【详解】（1）略
（2）略
【变式5-3】数学课上，小白遇到这样一个问题：
如图1，在等腰中，，，，求证；在此问题的基础上，老师补充：过点作于点，交于点，过作交于点，交于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，与有某种数量关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：
(1)求证；
(2)猜想与的数量关系，并证明；
(3)探究线段之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)
证明：∵在和中，
∵，，，
∴，
∴．
(2)相等，证明如下：
∵是等腰直角三角形，，，
∴，
由（1）可知，，设，
∵，
∴，且，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
(3)，证明如下：
过点作交延长线于点，延长交于点，
∵，，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
由（2）可知，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，则是等腰三角形，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）根据“边角边”判定和全等即可求证；
（2）是等腰直角三角形，设，根据，用含的式子表示，根据，用含的式子表示，由此即可求解；
（3）过点作交延长线于点，延长交于点，可证，可得，根据（2）的结论，可证，可得，再根据可得是等腰三角形，可找出的关系，由此求解．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的和差计算的综合，掌握以上知识的运用是解题的关键．
【题型6 一线三角形模型（全等三角形辅助线问题）】
【例6】阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路．
【问题解决】
(1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________；
【问题探究】
(2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长；
【拓展延伸】
(3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)存在；点的坐标为：，，．
【分析】（1）利用证明，即可得到；
（2）利用证明，再利用全等三角形的性质运算即可；
（3）分类讨论点的位置，结合全等三角形的性质运算即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：存在，理由如下：
①：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示：
∵，，
∴，，
由（1）同理可证，
∴，，
∴点的横坐标，点的纵坐标，
∴；
②：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示：
∵，，
∴，，
由（1）同理可证，
∴，，
∴点的横坐标，点的纵坐标，
∴；
③：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示：
设，
∵，，
∴，，，，
由（1）同理可证，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
综上，点的坐标为：，，．
【变式6-1】根据图形解决以下问题
(1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：；
(2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点；
①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由；
②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长．
【答案】(1)证明：∵，，
∴，
又，
∴，
在和中，，
∴．
(2)①；
理由：∵，，
∴，
又，
∴，
在和中，，
∴．
②4
【分析】（1）利用同角的余角相等证得，证明即可；
（2）①利用同角的余角相等证得，根据证明；②利用同角的余角相等证得，根据证明，再利用等量代换即可．
【详解】（1）解：略
（2）解：①略
②∵，，
∴，
又，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
【变式6-2】综合与实践：类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题：
【建立模型】：
(1)如图1，在等腰直角三角形中，，，直线l经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，直接写出、、之间的数量关系：_________________；
【实践探究】：
(2)如图2，在中，，点D、E分别在边、上，且，．若，求的长度．
【拓展应用】：
(3)如图3，在中，，，点D、E分别是边、上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，．
①线段和有何数量关系，并说明理由；
②在点D、E运动过程中，点F位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，求的面积．
【答案】(1)
(2)4
(3)①，
证明：如图，在上取一点，使得，连接，
∵，，
∴，
∵，，
，即，
∵，
∴，
在和中：
，
，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
②64
【分析】（1）由，，，通过等量代换得．结合，证，得，，由得．
（2）得．由三角形外角性质得，又，且，故．结合，证，得，．由得．
（3）①在上取点使，连接．由，且，结合证，得，．由，得，故．于是，代入得．
②由且得．由得，作，则为等腰直角三角形，．又，也为等腰直角三角形，，故，进而计算的面积．
【详解】（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
．
在和中：
，
，
，
又，
．
（2）解：∵，
∴，
，
∴，
∴，
在和中：
，
，
∴，，，
．
（3）①略；
②∵，
∴为定直线，
∴当时，最小，
如图，过点作于点，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
，
，
的面积为．
【变式6-3】如图，直线l的上方有三个正方形A，B，C，其中正方形A，C的一边在直线l上，正方形B的两个顶点分别与正方形A，C的一个顶点重合，另有一个顶点在直线l上．已知正方形A的面积比正方形C的面积小6，且正方形B的面积为14，则正方形A的面积为______．
【答案】4
【分析】根据正方形的性质证明，得出，利用勾股定理列出方程求解．
【详解】解：如图所示，
根据正方形的性质可得，，，
∴，，
∴，
∴，
，
∵在中，，
∴
即
∵正方形A的面积比正方形C的面积小6，
∴，
∵，
∴，
∴，正方形A的面积为4．
【题型7 旋转模型（全等三角形辅助线问题）】
【例7】在中，，．
(1)如图1，若，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求的值；
(2)如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时点B，C，E恰好共线，连接．
①求证：；
②求的面积．
【答案】(1)
(2)①证明：如图2，
∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵点B，C，E三点共线，
∴，
∴，
∴．
②5
【分析】（1）证明为等边三角形，得到，点B，C，E共线，再由即可求解．
（2）①由旋转得，，，再进一步由全等三角形的性质得出为等腰直角三角形，根据角度的转换得出，即可证明结论．
②利用三角形面积公式求解．
【详解】（1）解：∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，即点B，C，E三点共线，
∴．
（2）①略．
②解：∵，
∴，，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
【变式7-1】【发现问题】
（1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且．试判断，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转至，使与重合，发现．请你给出证明过程．
【类比延伸】
（2）如图②，在正方形中，若，分别是边延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图③，如果分别是边延长线上的动点，且，直接写出之间的数量关系．
【答案】
（1）证明：由旋转的性质可得，
．
又，三点共线．
，
，
，
．
又，
，
．
（2）不成立．
理由：如图，把绕点A顺时针旋转至，使AB与AD重合．
，
F，G，D三点共线．
由旋转的性质可知，
，
．
又，
，
；
∴（1）中的结论不成立．
（3）
【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是旋转三角形，构造全等三角形．
（1）由旋转的性质可得，进而证得，从而得出，进一步得出结论；
（2）把绕点A顺时针旋转至，使AB与AD重合，可证得，进而证得，进一步得出结果；
（3）与（2）的证法类似，可得到结论；
【详解】解：（1） 略
（2）略
（3）．
理由：如图，把绕点A逆时针旋转至，使与重合．
，
B，G，E三点共线．
同理可证：，
∴，
．
【变式7-2】如图，在正方形中，动点在对角线上，连接，以为斜边向下作等腰．
(1)求证：；
(2)如图，点是的中点，连接．求证：；
(3)如图，连接，将点绕点逆时针旋转得到点，连接，当线段取得最小值时，请直接写出的值．
【答案】(1)
证明：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴；
(2)
证明：将绕点旋转到，连接、、，
由旋转可知：，，
∴，
又，
∴
∴，，
又∵是正方形的对角线，
∴点、是关于的对称，
∴，
由（1）得，
设，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
，
∴，，
∴，
(3)
【分析】（1）根据正方形，等腰直角三角形的性质得到，由三角形外角的性质即可求解；
（2）将绕点旋转到，连接、、，构造旋转全等，可得，从而可得，，再证明，利用角关系证明，从而得出，进而可得，继续证明，可得是等腰直角三角形，由此即可得出结论；
（3）过点作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，构造K字形全等，结合等腰直角三角形的判定和性质证明，从而可得是的垂直平分线，由此得出，利用旋转全等可得，即可得出，根据两点之间线段最短可得：，进而判定当点在正方形对角线交点上，取得最小值，由此即可解答．
【详解】（1）略
（2）略
（3）过点作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，
∴，，，
又∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，，
又∵，，
∴， ，
∴，，
∴，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
同理（2）可得，
∴，
∴，
∴当在上时，最小，
此时点在正方形对角线交点上，，
∵四边形是正方形，，
∴
【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理等知识点，难度较大，问题（2）的解题关键是利用旋转构造全等，并利用角的关系证明，从而得出是等腰直角三角形，问题（3）的解题关键是利用旋转全等模型和K字形模型证明．
【变式7-3】点为等边所在平面内一点，连接，，，且．
(1)如图，点P在外部，若，，则的长为 （直接写出结果）；
(2)点在内部，连接．
①如图2，若，求的值；
②如图3，D为边中点，连接，求的度数．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）将绕点A逆时针旋转，得到，点的对应点为，首先证明点C在线段上，再证明是等边三角形，从而得出答案；
（2）①将绕逆时针旋转，得到，点的对应点为，连接，首先证明是等边三角形，从而得出，，再利用含角的直角三角形的性质，可得答案；
②延长到点，使，连接，将绕点逆时针旋转，得到，点P的对应点为点，连接，同理得是等边三角形，再利用证明，得，，再证明，得，从而解决问题．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点为，
则，，，，，
∴，
∴点在线段上，
∵
，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）①∵，
∴，
将绕逆时针旋转，得到，点的对应点为，连接，
则，，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
②如图，延长到点，使，连接，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点为点，连接，
同理可知，是等边三角形，
∴，
∵是的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，利用旋转将分散条件集中到一个三角形中是解题的关键．
【题型8 作垂线法（全等三角形辅助线问题）】
【例8】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型建立】
（1）如图1，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到，进而得到__________，_________，我们把这个数学模型称为“K字”模型
【模型应用】
（2）在中，，将边绕点B顺时针旋转得到，连接并延长交边的延长线于点F，若，则的长为_________；
【模型拓展】
（3）如图3，在矩形中，，当点P在直线上运动，（点P不与点D、C重合），将绕点A顺时针旋转得到，连接，，当的面积等于5时，请直接写出的长。
【答案】（1） （2） （3）或5或2或
【分析】（1）根据全等三角形的性质，即可求解．
（2）过点D作，设长度为x，先证，用含x的式子将表示出来，再证，根据列方程，即可求解．
（3）设，根据点P在直线上的不同位置分为四种情况，分析每种情况，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G，证，用含y的式子将表示出来，再根据列方程，即可求解．
【详解】（1）解：，
．
（2）如图，过点D作，设长度为x，
由旋转可知，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得或（不合题意，舍去），
故长度为．
（3）设，根据点P在直线上的不同位置分为四种情况，
①如图，当点P在点D左侧且点Q在上方时，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G，
根据题意可知四边形为矩形，
，
根据旋转可知，
，
又，
，
，
，
故，
解得，（不合题意舍去）；
②如图，当点P在点D左侧且点Q在下方时，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G，
根据题意可知四边形为矩形，
，
根据旋转可知，
，
又，
，
，
，
故，
解得，（不合题意舍去）；
③如图，当点P在点两点之间时，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G，
根据题意可知四边形为矩形，
，
根据旋转可知，
，
又，
，
，
，
故，
解得，（不合题意舍去）；
④如图，当点P在点C右侧时，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G，
根据题意可知四边形为矩形，
，
根据旋转可知，
，
又，
，
，
，
故，
解得，（不合题意舍去）；
综上所述，的长度为或5或2或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的动点问题，旋转的性质，掌握相关知识点并做适当的辅助线构造全等是解题的关键．
【变式8-1】如图，在中，，点，点，则点的坐标为______.
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形及全等三角形的判定与性质；如图，过点作轴于，根据点、点坐标可得、的长，根据同角的余角相等可得，利用可证明，根据全等三角形的性质可得，，即可求出的长，进而可得答案．
【详解】如图，过点作轴于，
，点，
，，
，则，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
点坐标为．
故答案为：
【变式8-2】已知:△ABC中，CA=CB, ∠ACB=90º，D为△ABC外一点，且满足∠ADB=90º
(1)如图所示，求证：DA+DB=DC
(2)如图所示，猜想DA．DB．DC之间有何数量关系？并证明你的结论.
(3)如图所示，过C作CH⊥BD于H,BD=6,AD=3,则CH= .
【答案】（1）详见解析；（2）DA-DB=DC；(3)
【分析】（1）过C点作CQ⊥CD交DB的延长线于Q点，由余角的性质可得∠ACD=∠QCB，∠ADC=∠Q，由“AAS”可证△ACD≌△BCQ，可得CD=CQ，AD=BQ，由等腰直角三角形性质可得DQ=CD，即可得结论；
（2）过点C作CQ⊥CD交AD于点Q，由“SAS”可证△ACQ≌△BCD，可得AQ=BD，可证CQ=CD，且∠QCD=90°，即可得DA、DB、DC之间关系；
（3）过点C作CQ⊥CD交BD于点Q，由“SAS”可证△ACD≌△BCQ，可得AD=BQ，可证△DCQ是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可求CH的长．
【详解】证明：（1）如图，过C点作CQ⊥CD交DB的延长线于Q点
∵∠ACB=90°，CQ⊥CD，∠ADB=90°
∴∠ACD+∠DCB=90°，∠DCB+∠QCB=90°，∠ADC+∠CDQ=90°，∠CDQ+∠Q=90°
∴∠ACD=∠QCB，∠ADC=∠Q，且AC=BC
∴△ACD≌△BCQ（AAS）
∴CD=CQ，AD=BQ
∴DQ=DB+BQ=DB+AD
∵CD⊥CQ，∠DCQ=90°
∴DQ=CD
∴DB+AD=CD
（2）DA-DB=CD
理由如下：如图，过点C作CQ⊥CD交AD于点Q，
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠CAB=45°
∵∠ACB=90°，QC⊥CD
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴点A，点B，点D，点C四点共圆，
∴∠ADC=∠ABC=45°
∵QC⊥CD
∴∠CQD=∠CDQ=45°
∴CQ=CD，且∠QCD=90°
∴QD==CD
∵∠ACB=∠DCQ=90°，
∴∠ACQ=∠DCB，且AC=BC，CQ=CD
∴△ACQ≌△BCD（SAS）
∴AQ=BD
∴QD=CD=DA-AQ=DA-BD，
即：DA-DB=
（3）如图，过点C作CQ⊥CD交BD于点Q，
∵∠ACB=90°，QC⊥CD
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴点A，点B，点C，点D四点共圆，
∴∠CDQ=∠CAB=45°
∵QC⊥CD
∴∠CQD=∠CDQ=45°
∴CQ=CD，且∠QCD=90°
∴△DCQ是等腰直角三角形，
∵∠ACB=∠DCQ=90°，
∴∠ACD=∠QCB，且AC=BC，CQ=CD
∴△ACD≌△BCQ（SAS）
∴AD=BQ，
∴DQ=DB-BQ=DB-AD=3
∵△DCQ是等腰直角三角形，DQ=3，CH⊥DB
∴CH=DH=HQ=DQ=．
故答案为．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
【变式8-3】如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，证明，，即可得结论；②延长至，使，连接证明，取的中点，连接并延长至，使得，可得，证明，，则可得，即，；③由①可知，故不一定等于；④，由②可知，，则，由可得即可得
【详解】解：①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，
AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC
同理可得
又
故①正确
②如图，延长至，使，连接
，
如图，取的中点，连接并延长至，使得，
是的中点，
，
，
又
③如图，由①可知，故不一定等于
故③不正确
④如图，由②可知，
故④正确
综上所述，故正确的有①②④
故选B
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
【题型9 作平行线法（全等三角形辅助线问题）】
【例9】如图，在Rt中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（ ）
A．5 B．4.8 C．4 D．5.2
【答案】A
【分析】过点作，连接并延长交于点，连接，可证，可得，，再根据平行线的性质得，即得，最后根据三角形中位线的性质解答即可求解．
【详解】解：如图，过点作，连接并延长交于点，连接，
∴，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，点是的中点，
∴是中位线，
∴．
【变式9-1】如图，在矩形中，，将矩形绕点A逆时针旋转至矩形，点在边上，与交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识点，作平行线构造证明是中点解题关键．
延长交于，连接，交于，过点作交延长线于，证明可得，，进而可得，再求出，利用平行+等腰模型证明，进而可得，从而证明，由此得出．
【详解】解：延长交于，连接，交于，过点作交延长线于，
由旋转性质可知：，，，
∵矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴是垂直平分线，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
即，
故选C．
【变式9-2】如图：中，与交于点G，，，则________．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定及性质，过作交于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由三角形中位线定理得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解；掌握全等三角形的判定及性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定及性质，能构建全等三角形是解题的关键．
【详解】解：过作交于，
，
，
，
，
，
，，
∴，
，
，
在和中
，
（），
，
，
，
，
；
故答案为：．
【变式9-3】已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由；
【答案】(1)
证明：过点作交于，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
；
(2)
以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形， 理由：
连结，
于，
，，
，
又，，
，，
，，
由（1）知，，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
为等边三角形；
【分析】（1）过点作交于，证明,根据全等三角形的性质得出结论；
（2）连结，根据补角的概念得到，根据等腰三角形的判定定理得到，进而得到，根据等边三角形的判定定理证明即可；
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键.
【详解】（1）略
（2）略
【题型10 垂线模型（全等三角形辅助线问题）】
【例10】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与坐标轴分别交于、两点，直线与轴交于点，且点与点关于轴对称．
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，点在线段上（点不与、重合），过分别作轴和轴的垂线交轴于点、交直线于点，连接交轴于，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，直线：与直线交于点P，与交于点，点在上，连接、，若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出，，，再运用待定系数法将点A、C的坐标代入即可求得答案；
（2）设，进而得出点、，再求出直线解析式为：，由此求出点，根据，即可求得答案；
（3）直线：与直线交于点P，可确定点，进而可得，在上截取，连接．构造，四边形为平行四边形，进而证明是等腰直角三角形，设，则，结合，证明，可得，再利用，设，，求出，
利用，求出，可得，进而可得，结合，，即可求出，进一步求出，可得 ，即点、重合，由此求出直线，联立直线解析式求出交点，即可求出．
【详解】（1）解：∵直线与坐标轴分别交于、两点，
∴，，
又∵点与点关于轴对称，
∴，
设直线的解析式为，
，
，
．
（2）解：设，则，
当时，，
∴，
设直线解析式为，
∴，
解得：
∴直线解析式为：，
∴点，
∴，
∴．
（3）解：∵直线：与直线交于点P，
当时，，
即点，
由（2）可得，
∴，
在上截取，连接．
又∵，
，
∴，
又∵，
∴，即，
过作交延长线于点，连接，
∵，
∴四边形为平行四边形，，，
∴，
∴，
∵，
设，则，
∵，
∴，
∴，
又∵
∴，
∴，
设，则，，，
∴，
设，则，
∴，
又∵，
∴
解得：，（舍去），
∴，
∴，
又∵，，
∴，
解得：，
∴直线，， ，
∴，解得，
∴，
∴，即点是的中点，
∴点在轴上，坐标为
∴，
联立直线和直线，
得
解得：
∴，
作于，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了运用待定系数法一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形和平行四边形转化线段和角的关系，通过设参数求出．
【变式10-1】如图，在四边形中，，、相交于点．若，试求的长．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的判定定理和垂直平分线的判定与性质，掌握“两边相等且夹角为的三角形是等边三角形”、“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”等知识点是解题的关键．
先由题意推出是等边三角形，得到，再由，推出是的垂直平分线，即可求解．
【详解】解：，
是等边三角形，
，
，
垂直平分，
是中点，
，
答：的长为．
【变式10-2】如图，直线 和x轴、y轴分别交于点A、点B，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，则C 的坐标为___________．
【答案】
【分析】本题考查的是一次函数综合题，涉及全等三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴交点，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出全等三角形．先根据一次函数的解析式求出两点的坐标，再作轴于点，由全等三角形的判定定理可得出，由全等三角形的性质可知，故可得出点坐标．
【详解】解：∵一次函数中，
令得：，令，解得，
∴的坐标是的坐标是，
如图，作轴于点，
，
，
又，
，
在和中
，
，
，
则点C的坐标是．
故答案为：．
【变式10-3】【基础回顾】
（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：；
【变式探究】
（2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
（3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，若，请直接写出与的数量关系．
【答案】
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，证明如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）
【分析】（1）由题意易得，，然后根据“”可证三角形全等；
（2）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的性质可进行求解；
（3）分别过点E、D作，垂足分别为F、N，由题意易证，则有，同理可得，然后可得，进而可得，最后根据线段的等量关系可进行求解．
【详解】（1）略
（2）略
（3）分别过点E、D作，垂足分别为F、N，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键．
04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效
1．如图，在中，，，，为中点，为边上一动点，连接，以为腰并在的右侧作等腰，使连接、，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】过点作交的延长线于点，利用“一线三垂直”证，再根据直角三角形的斜边大于直角边得到，当三点共线时，取得最小值，此时．
【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，
，
∴，
又∵是等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
又∵为中点，，
∴，
又∵直角三角形的斜边大于直角边，
∴，
当三点共线时，取得最小值，此时，
∴的最小值为．
2．如图，在正方形外取一点E，连接、、．过点A作的垂线交于点P．若，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】利用SAS可证明，根据等腰直角三角形性质得，进而可得，即可判断结论①；在中，根据勾股定理可得的长，即可判断结论②；结合前面的结论可知，进而可判断结论③；连接，根据可求出正方形的边长，进而可判断结论④．
【详解】解：对于结论①，
在正方形中，，．
，
，
，，
．
在和中，
．
．
，
，，
，故结论①符合题意；
对于结论②，
由前面的结论可得，
．
在中，，，
，故结论②不符合题意；
对于结论③，
，故结论③符合题意；
对于结论④，
如图，连接．
，
，
，
，
，
，
，故结论④不符合题意；
综上，结论①③符合题意．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理，二次根式．熟练掌握全等三角形的判定和性质，能够把复杂的问题进行有效地转化是解题的关键．
3．如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】先证即可判断①，利用及三角形内角和定理与对顶角即可判断②，点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，证明，得出，同理得到，从而得出，证明，从而得到，即可判断③④，即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，故①正确，
∵，
∴，
如图，记交于点，的交点为，
∵，
∴，
∴，故②正确，
过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，
，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
同理，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故③正确，④正确．
4．如图，在中，，点是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接，在点运动的过程中，线段的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长到点，使得，连接，由，可得：，证明是等边三角形，得到，结合是等边三角形，可证明，得到，推出，得到点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，得到，由可得，即可求解．
【详解】解：延长到点，使得，连接，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
∴点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，
，
，
，
的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是直角三角形的性质“角所对的直角边是斜边的一半”、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的几何原理，合理添加辅助线，熟练掌握垂线段最短的几何原理是解题的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质以及构造全等三角形求线段的长度，准确构造全等三角形求得线段长度是解题的关键．
过B作于，过作轴于，构建，由勾股定理求出，进而可得出答案．
【详解】过B作于，过作轴于，
∴，
∴，
由旋转可知，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
6．如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边，上，已知，，则的长为（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
【答案】A
【分析】此题考查了正方形的性质、翻折变换以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
由正方形纸片的边长为6，可得，，根据折叠的性质得：，，然后设，在中，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案．
【详解】解：延长到点，使，连接，如图，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
，，
，
，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
，
故选：A．
7．如图，已知，分别以、为边向外作等边和等边，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，正确作出辅助线是解题的关键．根据等边和的性质，利用可证，由全等三角形的性质可知①正确；由三角形内角和为易求的度数，可知②正确；过分别作于，于，由可得，进而可得平分，所以③正确；在上截取，利用可证，由全等三角形对应边相等可得，故可得④正确，据此即可求解．
【详解】解：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
在与中，
，
∴，
∴，，故①正确；
∵，，，
∴，故②正确；
过分别作于，于，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点在的角平分线上，
∴平分，故③正确；
如图，在上截取，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上，正确的结论有①②③④，共4个，
故选：A．
8．如图，中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，、、上，且、之间的距离为1，、之间的距离为3，则的长是（ ）
A． B． C． D．7
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的全等的判定和性质，证得是解答本题的关键．作于D，作于E，再证明，因此可得，再结合勾股定理求得，然后再根据勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图：作于D，作于E，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：．
故选：A．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，则点C的纵坐标为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，掌握“一线三等角”模型证明三角形全等是解题的关键．
过点B作轴于点E，过点C作轴于F，根据“一线三等角”模型证明，由此即可求解．
【详解】解：如图，过点B作轴于点E，过点C作轴于F，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点，，
∴，
∴点C的纵坐标为1．
故选：A．
10．如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先证明为等边三角形，得，由可得，在中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出，可求的度数，由此即可解决问题．
【详解】解：连接，由题意可知，
则，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴
∴，
故选C．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型．
05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思
“化繁为简，一通百通”
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简一数理 单元复习、期中期末复习
重难点4 全等三角形中的辅助线技巧（10大几何模型）
（新教材人教版）
01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2
02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 3
知识点一、平移模型 3
知识点二、轴对称模型 3
知识点三、旋转模型 3
知识点四、一线三等角模型 3
知识点五、截长补短模型 4
知识点六、倍长中线模型 4
知识点七、手拉手模型 5
知识点八、半角模型 5
知识点九、平行线模型 6
知识点十、垂直模型 6
03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 7
【题型1 手拉手模型（全等三角形辅助线问题）】 7
【题型2 倍长中线模型（全等三角形辅助线问题）】 9
【题型3 角平分线模型（全等三角形辅助线问题）】 12
【题型4 半角模型（全等三角形辅助线问题）】 13
【题型5 截长补短（全等三角形辅助线问题）】 16
【题型6 一线三角形模型（全等三角形辅助线问题）】 18
【题型7 旋转模型（全等三角形辅助线问题）】 21
【题型8 作垂线法（全等三角形辅助线问题）】 23
【题型9 作平行线法（全等三角形辅助线问题）】 25
【题型10 垂线模型（全等三角形辅助线问题）】 26
04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 29
05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 32
01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向
常考考点
命题风向
1. 倍长中线模型：构造全等，转移线段、转化边角关系，证明线段相等、倍分关系。
2. 截长补短模型：适用于线段和差证明，截取等长线段或延长补长，构造全等三角形。
3. 角平分线模型：角平分线上作垂线、作等线段、翻折构造全等，实现边角转化。
4. 一线三等角（K 型）模型：利用一组相等角推导等角，找全等条件，常用于直角、斜角场景。
5. 手拉手模型：共顶点等线段，旋转产生全等，得到等线段、等夹角、倒角结论。
6. 半角模型：正方形、等腰三角形内含半角，通过旋转翻折构造全等，证明线段和差。
7. 等腰直角三垂直模型：属于特殊一线三等角，直角加两组垂直，快速锁定全等。
8. 平行线夹中点模型：中点 + 平行，延长构造 8 字型全等，转移线段。
9. 翻折对称模型：沿对称轴翻折，利用轴对称全等，转化边角、求角度与线段。
10. 构造垂线模型：条件缺少直角时，主动作垂直，创造 AAS、ASA 全等条件。
1. 基础层面：单独考查单个模型识别，直接套用模型条件证明全等、求线段长和角度，属于中档必考题型。
2. 能力层面：多个模型叠加、模型隐藏化，不直接给出完整图形特征，需要自主添加辅助线；常和等腰三角形、轴对称、勾股定理综合。
3. 压轴层面：手拉手、半角、截长补短高频出现在几何压轴，结合动点、旋转，考查动态下的全等不变关系，侧重逻辑推导。
考情解码：
1. 高频失分点：不会识别隐藏模型，盲目画线；辅助线描述不规范；倒角逻辑跳步，缺少全等判定条件；截长补短、倍长中线分不清适用场景。
2. 备考提示：先熟记每个模型的图形特征、固定辅助线做法；练习 “从结论反推辅助线”；规范书写辅助线语句、全等证明步骤；重点训练多模型融合综合题，总结倒角套路。
02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系
知识点一、平移模型
把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线.
知识点二、轴对称模型
将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.
知识点三、旋转模型
将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件.
知识点四、一线三等角模型
三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.这个模型称为一线三等角模型.
（同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD
（异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD
知识点五、截长补短模型
该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。
(1)截长: 在较长线段上截取一段等于某一短线段, 再证剩下的那一段等于另一短线段。
如图, 求证BE+DC=AD；
方法:①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC;②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE
(2)补短:将短线段延长,证与长线段相等
知识点六、倍长中线模型
当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移.
已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE,
1）连接EC,则∆ABD≌∆ECD，AB∥CE
2）连接BE,则∆ADC≌∆EDB，AC∥BE
知识点七、手拉手模型
两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型.因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”.
如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE=α。结论：△BAD≌△CAE。
知识点八、半角模型
当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。解题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题。
如图：已知∠2=∠AOB，OA=OB
知识点九、平行线模型
结论：如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O为EF中点，P为AB上一点，则△POE≌△QOF
【证明】延长PO交CD于Q,
∵AB∥CD
∴∠OPE＝∠OQF,∠OEP＝∠OFQ
在△POE和△QOF中，
∠POE＝∠QOF
OE＝OF
∠OEP＝∠OFQ
∴△POE≌△QOF
知识点十、垂直模型
结论：如图所示，AB⊥AD且AB=AD，BC⊥CE，DE⊥CE.
则△ABC≌△DAE，CE=DE＋BC.
【证明】∵BC⊥CE，DE⊥CE，AB⊥AD，
∴∠C=∠BAD=∠E=90°，
∴∠1+∠3=∠1+∠2=90º，∴∠2=∠3
在△ABC和△DAE 中，∠C=∠E=90°，∠2=∠3，AB=DA,
∴△ABC≌△DAE（AAS），
∴AC=DE，BC=AE，
∴CE=CA+AE=BC+DE.
03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移
【题型1 手拉手模型（全等三角形辅助线问题）】
【例1】综合与实践
【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型．
(1)如图1，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，则有：______；线段和的数量关系是______；
【探究】
(2)如图2，与均为等边三角形，且点在边上，求证：
①；
②；
【拓展】
(3)如图3，已知点在等边的外部，并且与点位于线段的异侧，连接，，．若，，，请求出的长．
【变式1-1】如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，连结．
（1）的度数为___________；
（2）的面积___________．
【变式1-2】如图，与为等腰三角形，，，，为线段上一个动点，与相交于点．
(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，在延长线上取一点，当时，线段与有什么位置关系？并说明理由；
(3)如图3，若，且的面积为，求的长．
【变式1-3】在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形，通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
(1)观察猜想
如图1，在中，分别以为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______；
(2)类比探究
如图2，在中，分别以为边作等腰直角和等腰直角，，点在同一直线上，为中边上的高，猜想，之间的数量关系并说明理由；
(3)解决问题
如图3，点是等边外一点，若，求线段的长．
【题型2 倍长中线模型（全等三角形辅助线问题）】
【例2】某数学兴趣小组在探究一般三角形中线的性质时，提出以下两个结论：
【性质探究】
①“中线平分面积”．如图1，在中，是的中点，若的面积为6，则的面积为__________．
②“倍长中线法可以求中线范围”．如图1，延长到点，使，连接，根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中，根据三角形三边关系可以求出中线的范围．若，则的取值范围是__________．
【拓展应用】
①如图2，在中，是的中点，是边上的一点，连接，交于点．若，请判断之间的数量关系，并说明理由．
【创新人才培养选做题】
②如图3，在中，是的中点，是的角平分线，交于点，．设，的面积分别为和，若，试求的最大值．
【变式2-1】【问题背景】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段．
【问题探究】
（1）如图1，在中，平分交于点，，点在边上，且，连接，试说明：．
【综合研究】
（2）2025年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次推动人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2是活动场地平面示意图，在中，米，校学生会在边、上分别取点、，使得点为的中点，于点，在线段上找点，使得米，为等腰直角三角形，，并沿其三条边搭建安全文化宣传长廊（宽度不计），其他区域规划为展示区．为了预算，需要知道的长，请你帮助校学生会计算出的长．
【变式2-2】如图，是的中线，是的中线，且，求证：．
【变式2-3】如图1，已知是等边三角形，点在内部，连接，，在的右侧构造等边三角形，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，当，，三点共线时，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，取中点，连接，，试判断与之间的数量关系并证明．
【题型3 角平分线模型（全等三角形辅助线问题）】
【例3】如图，，，垂足分别为、，和相交于点，平分．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)求证：垂直平分．
【变式3-1】如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是________．（填写正确的序号）
【变式3-2】如图，在五边形中，，平分，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式3-3】如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．
(1)求的度数；
(2)求证：．
【题型4 半角模型（全等三角形辅助线问题）】
【例4】根据题意解答下列各题：
(1)问题背景：如图①，在正方形中，点，分别在，上，且，请直接写出线段，，之间的数量关系：_____________________．
(2)猜想类比：如图②，在四边形中，，，点，分别在，上，且，试确定线段，，之间的数量关系，并给出证明；
(3)解决问题：如图③，是以为直角的等腰直角三角形，、均在线段上，且，若，，试求线段的长度．
【变式4-1】如图，在正方形中，连接，E，F是边，上的点．已知E是的中点，．
（1）的长为________．
（2）若，则的长为________．
【变式4-2】【经典再现】
（1）如图1，为等边外一点，，，，连接．则：
①线段和线段的位置关系是______（直接写出结果）．
②______．
【深入探究】
（2）如图2，为等边外一点，，，点M和点N分别为等边的边AB和AC上任意一点，，试探究线段，和的数量关系，并加以证明．
【拓展应用】
（3）①把（2）中的条件“点和点为等边的边和上任意一点”改为“点和点为直线和直线上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段，和的数量关系．
②当（2）中的点和点在等边的边和上运动时，记的周长为P，记的周长为，则的值是否改变？若不变，请求出的值：若改变，请说明理由．
【变式4-3】如图在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F．
(1)如图①．若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是________；
(2)如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明；
(3)若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长．
【题型5 截长补短（全等三角形辅助线问题）】
【例5】截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起从而解决问题．数学课上李老师让同学使用这一方法来解决以下问题：“如图①，在中，平分，”．求证：．
(1)对于该问题，老师给出了如下的思路：如图②，在上截取，连接，只要证即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题．请你按照上述解题思路写出证明过程．
(2)请使用上述方法解决下列问题：
①如图③，是等边三角形，D是边下方一点，，连接．判断出线段，，之间的数量关系并说明理由；
②如图④，在中，，．D是边下方一点，．求证：．
【变式5-1】同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题．
(1)（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程：
方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题；
方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题．
(2)如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________．
(3)如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________．
【变式5-2】实验与探究：
学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究：
例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？
把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得．
【类比探究】
（1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明．
【方法运用】
（2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由．
【变式5-3】数学课上，小白遇到这样一个问题：
如图1，在等腰中，，，，求证；在此问题的基础上，老师补充：过点作于点，交于点，过作交于点，交于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，与有某种数量关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：
(1)求证；
(2)猜想与的数量关系，并证明；
(3)探究线段之间的数量关系，并证明．
【题型6 一线三角形模型（全等三角形辅助线问题）】
【例6】阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路．
【问题解决】
(1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________；
【问题探究】
(2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长；
【拓展延伸】
(3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标．
【变式6-1】根据图形解决以下问题
(1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：；
(2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点；
①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由；
②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长．
【变式6-2】综合与实践：类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题：
【建立模型】：
(1)如图1，在等腰直角三角形中，，，直线l经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，直接写出、、之间的数量关系：_________________；
【实践探究】：
(2)如图2，在中，，点D、E分别在边、上，且，．若，求的长度．
【拓展应用】：
(3)如图3，在中，，，点D、E分别是边、上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，．
①线段和有何数量关系，并说明理由；
②在点D、E运动过程中，点F位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，求的面积．
【变式6-3】如图，直线l的上方有三个正方形A，B，C，其中正方形A，C的一边在直线l上，正方形B的两个顶点分别与正方形A，C的一个顶点重合，另有一个顶点在直线l上．已知正方形A的面积比正方形C的面积小6，且正方形B的面积为14，则正方形A的面积为______．
【题型7 旋转模型（全等三角形辅助线问题）】
【例7】在中，，．
(1)如图1，若，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求的值；
(2)如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时点B，C，E恰好共线，连接．
①求证：；
②求的面积．
【变式7-1】【发现问题】
（1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且．试判断，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转至，使与重合，发现．请你给出证明过程．
【类比延伸】
（2）如图②，在正方形中，若，分别是边延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图③，如果分别是边延长线上的动点，且，直接写出之间的数量关系．
【变式7-2】如图，在正方形中，动点在对角线上，连接，以为斜边向下作等腰．
(1)求证：；
(2)如图，点是的中点，连接．求证：；
(3)如图，连接，将点绕点逆时针旋转得到点，连接，当线段取得最小值时，请直接写出的值．
【变式7-3】点为等边所在平面内一点，连接，，，且．
(1)如图，点P在外部，若，，则的长为 （直接写出结果）；
(2)点在内部，连接．
①如图2，若，求的值；
②如图3，D为边中点，连接，求的度数．
【题型8 作垂线法（全等三角形辅助线问题）】
【例8】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型建立】
（1）如图1，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到，进而得到__________，_________，我们把这个数学模型称为“K字”模型
【模型应用】
（2）在中，，将边绕点B顺时针旋转得到，连接并延长交边的延长线于点F，若，则的长为_________；
【模型拓展】
（3）如图3，在矩形中，，当点P在直线上运动，（点P不与点D、C重合），将绕点A顺时针旋转得到，连接，，当的面积等于5时，请直接写出的长。
【变式8-1】如图，在中，，点，点，则点的坐标为______.
【变式8-2】已知:△ABC中，CA=CB, ∠ACB=90º，D为△ABC外一点，且满足∠ADB=90º
(1)如图所示，求证：DA+DB=DC
(2)如图所示，猜想DA．DB．DC之间有何数量关系？并证明你的结论.
(3)如图所示，过C作CH⊥BD于H,BD=6,AD=3,则CH= .
【变式8-3】如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【题型9 作平行线法（全等三角形辅助线问题）】
【例9】如图，在Rt中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（ ）
A．5 B．4.8 C．4 D．5.2
【变式9-1】如图，在矩形中，，将矩形绕点A逆时针旋转至矩形，点在边上，与交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】如图：中，与交于点G，，，则________．
【变式9-3】已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由；
【题型10 垂线模型（全等三角形辅助线问题）】
【例10】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与坐标轴分别交于、两点，直线与轴交于点，且点与点关于轴对称．
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，点在线段上（点不与、重合），过分别作轴和轴的垂线交轴于点、交直线于点，连接交轴于，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，直线：与直线交于点P，与交于点，点在上，连接、，若，，求的值．
【变式10-1】如图，在四边形中，，、相交于点．若，试求的长．
【变式10-2】如图，直线 和x轴、y轴分别交于点A、点B，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，则C 的坐标为___________．
【变式10-3】【基础回顾】
（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：；
【变式探究】
（2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
（3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，若，请直接写出与的数量关系．
04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效
1．如图，在中，，，，为中点，为边上一动点，连接，以为腰并在的右侧作等腰，使连接、，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
2．如图，在正方形外取一点E，连接、、．过点A作的垂线交于点P．若，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
4．如图，在中，，点是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接，在点运动的过程中，线段的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
及垂线段最短的几何原理，合理添加辅助线，熟练掌握垂线段最短的几何原理是解题的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边，上，已知，，则的长为（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
7．如图，已知，分别以、为边向外作等边和等边，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．如图，中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，、、上，且、之间的距离为1，、之间的距离为3，则的长是（ ）
A． B． C． D．7
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，则点C的纵坐标为（ ）
A．1 B． C．2 D．
10．如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数．（ ）
A． B． C． D．
05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思
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