精品解析：福建省龙岩市永定区第二初级中学2026-2027学年八年级上学期 阶段测试 数学试题

2026-2027学年八年级数学（上册）校本综合训练（一） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）． 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 1，3，4 B. 3，4，5 C. 2，4，8 D. 2，2，6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题关键是掌握两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度，三角形两边之差小于第三边．判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度即可． 【详解】A．， 所以1，3，4不能组成三角形，故A不符合题意； B．，所以3，4，5能组成三角形，故B符合题意； C．，所以2，4，8不能组成三角形，故C不符合题意； D．，所以2，2，6不能组成三角形，故D不符合题意； 故选：B． 2. 如图，人字梯中间一般会设计“拉杆”，这样做的道理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 垂线段最短 C. 两点之间线段最短 D. 两直线平行，内错角相等 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答．根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：人字梯中间一般会设计“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性， 故选：A． 3. 如图，一个三角形被木板遮掩一部分，通过观察很快就可以画出一个与原三角形全等的三角形，判定这两个三角形全等的直接依据为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，观察图形的信息，这个三角形保留两个完整的角以及它们的夹边，进行作答即可． 【详解】解：观察图形的信息，这个三角形保留两个完整的角以及它们的夹边， ∴判定这两个三角形全等的直接依据为， 故选：D 4. 如图，在中，过点作于点，则下列说法正确的是（ ） A. 是的高 B. 是的高 C. 只是的高 D. 是图中三个三角形的高 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形高的定义判断即可． 【详解】解：如图，∵， ∴，， ∴是、、三个三角形的高， ∴A、是的高，错误，故此选项不符合题意； B、是的高，错误，故此选项不符合题意； C、只是的高，错误，故此选项不符合题意； D、是三个三角形的高，正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的高，从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作一条垂线，三角形顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高．理解和熟练掌握三角形高的定义是解题的关键． 5. 下列说法错误的是（ ） A. 三角形三条角平分线的交点一定在三角形的内部 B. 三角形的一条角平分线把该三角形分成面积相等的两部分 C. 三角形的中线、角平分线、高都是线段 D. 三角形的三条高不一定都在三角形的内 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相关线段的知识点判断．根据三角形重要的线段的相关知识进行判断即可得解． 【详解】解：A、三角形三条角平分线的交点一定在三角形的内部，说法正确，故本选项不符合题意； B、三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，原说法错误，故本选项符合题意； C、三角形的中线、角平分线、高都是线段，说法正确，故本选项不符合题意； D、三角形的三条高不一定都在三角形内部，说法正确，故本选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，证明，由即可求出结果． 【详解】解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ． 7. 一个三角形的三个内角度数之比为4：5：9，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】设三个内角的度数分别为4x，5x，9x，再根据三角形内角和定理求出x的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵一个三角形的三个内角度数比为4：5：9， ∴设三个内角的度数分别为4x，5x，9x， ∴4x+5x+9x=180°， 解得x=10°， ∴9x=90°， ∴此三角形是直角三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 8. 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 两个锐角分别对应相等 B. 两条直角边分别对应相等 C. 一条直角边和斜边分别对应相等 D. 一个锐角和一条斜边分别对应相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据三角形判定定理一一判定即可得出答案． 【详解】解：．两个锐角分别对应相等，三个角相等不能证明两个直角三角形全等．故该选项符合题意； ．两条直角边分别对应相等，可根据证明两个直角三角形全等，故该选项不符合题意； ．一条直角边和斜边分别对应相等，可根据证明两个直角三角形全等，故该选项不符合题意； ．一个锐角和一条斜边分别对应相等，可根据证明两个直角三角形全等，故该选项不符合题意； 故选：A． 9. 如图，在中，，平分．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直定义．先由垂直的定义得出，求出，由平分线的定义得出，求出，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，中，的角平分线交于点P，延长，，则下列结论中正确的是（ ） ①平分； ②； ③； ④． A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，过点P作于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点P作于D， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴，②正确； ③∵平分平分， ∴， ∴，③正确； ④由②可知，， ∴， ∴，故④正确， 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 如图，，，点在的延长线上，若，则___________°． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：由三角形的外角性质得，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形外角性质，掌握三角形的外角性质是解题的关键． 12. 等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为_________． 【答案】##17厘米 【解析】 【分析】需分两种情况讨论，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：①当为腰长时，三角形三边长为，，， ∵， ∴不能构成三角形，此种情况舍去； ②当为腰长时，三角形三边长为，，， ∵， ∴能构成三角形， ∴此时周长为； 综上，该等腰三角形的周长为． 13. 如图，中，，平分交于点D，，，则的面积是___________． 【答案】18 【解析】 【分析】作于点，由角平分线上的点到角两边的距离相等得到，再结合三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，作于点， ∵平分，， ∴， ∴． 14. 如图，在中，D是边的中点，E是的中点，阴影部分的面积和为2，则的面积是___________ ． 【答案】4 【解析】 【分析】根据等底同高的两个三角形面积相等，得到，，，，推出计算即可． 【详解】解：分别是的中点， ，，，， ， ． 15. 如图所示，由五个点组成的图形，则______度． 【答案】180 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是正确作出辅助线．连接，分别在、、中，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接， 在中，， 在中，， 得：， 在中，， ， 故答案为：180． 16. 如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当点Q的运动速度为 ___________时，能够使△BPE与△CQP全等． 【答案】2或3.5cm/s 【解析】 【分析】分两种情况：①当EB=PC时，△BPE△CQP，②当BP=CP时，△BEP△CQP，进而求出即可． 【详解】解：设运动的为ts，分两种情况： ①当EB=PC，BP=QC时，△BPE△CQP， ∵AB=20cm，AE=6cm， ∴EB=14cm， ∴PC=14cm， ∵BC=16cm， ∴BP=2cm， ∴QC=2cm， ∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C运动， ∴t=2÷2=1（s）， ∴点Q的运动速度为2÷1=2(cm/s)； ②当BP=CP，BE=QC=14cm时，△BEP△CQP， 由题意得：2t=16-2t， 解得：t=4（s）， ∴点Q的运动速度为14÷4=3.5(cm/s)； 综上，点Q的运动速度为2或3.5cm/s； 故答案为：2或3.5 cm/s． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质等知识，关键是掌握两个三角形全等的判定和性质． 三、解答题（本大题共9小题，共86分，解答题应文字说明证明过程或验算步骤） 17. 如图，已知AB=AC，∠B=∠C，求证：△ABE≌△ACD． 【答案】证明： 在△ABE和△ACD中， ∵ ， ∴△ABE≌△ACD（ASA）． 【解析】 【分析】利用ASA证明△ABE和△ACD全等即可． 【详解】略 18. 如图，，求证：． 【答案】 证明：连接， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题全等三角形的判定和性质，连接，证明，即可得出结论． 【详解】略 19. 如图，中，平分交于D，，． （1）用尺规作出线段．（不写作法，保留作图痕迹） （2）求的度数； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作图方法得到； （2）根据三角形的内角和定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在中，，，， ∴． ∵是的角平分线， ∴， 在中，，， ∴． 20. 如图，,交的延长线于点,于点,且．求证：平分． 【答案】证明：∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴， 在和中，有， ∴， ∴, ∴平分． 【解析】 【分析】由，得，由可证，由全等三角形对应边相等得，由可证,全等三角形对应角相等得，即可证得平分． 【详解】略 21. 如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）先求得，，再结合已知条件运用可证结论； （2）根据邻补角及全等三角形的性质求得与，再结合三角形的内角和定理即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴． 22. 如图，是的中线，是的高，，，，． （1）求高的长； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高，中线： （1）根据，即可求解； （2）根据三角形中线的定义可得，再由三角形的面积公式计算，即可． 【小问1详解】 解：∵是的高， ． ∴， ∵，，， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵是的中线，， ∴， ∴的面积． 23. 已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若，且c为奇数，求的周长； （2）化简：． 【答案】（1）的周长为． （2）化简结果为． 【解析】 【分析】（1）由三角形三边关系确定的取值范围，结合为奇数的条件求出的值，进而计算周长； （2）根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，去绝对值后合并同类项得到化简结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 即， ∵为整数且为奇数， ∴， ∴的周长为； 【小问2详解】 解：∵，，是的三边长， ∴，，， ∴，， ∴ ． 24. 在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、． （1）如图1，点在线段上，如果，则__________度． （2）如图2，当点在线段上，如果，则__________度． （3）如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由． （4）设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明． 【答案】（1）90 （2）120 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）由“”可证，得，可求的度数； （2）由“”可证，得，可求的度数； （3）由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论； （4）由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：120； 【小问3详解】 ， 理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； 【小问4详解】 如图4，当点D在的延长线上时，， 证明方法同（3）； 如图5，当点D在的延长线上时，， 理由如下：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 综上，或． 【点睛】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明是解题的关键． 25. “截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形中，分别是直线上的点． （1）如图1，若，分别在线段，上，且满足，试探究线段，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为 ___________． （2）如图2，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，之间的数量关系，并请说明理由． （3）如图3，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） ，理由如下： 在上截取，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）， 理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 即， ． 【解析】 【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论； （2）如图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，再判定，可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【小问1详解】 解：结论：． 理由：如图 1，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学（上册）校本综合训练（一） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）． 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 1，3，4 B. 3，4，5 C. 2，4，8 D. 2，2，6 2. 如图，人字梯中间一般会设计“拉杆”，这样做的道理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 垂线段最短 C. 两点之间线段最短 D. 两直线平行，内错角相等 3. 如图，一个三角形被木板遮掩一部分，通过观察很快就可以画出一个与原三角形全等的三角形，判定这两个三角形全等的直接依据为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，过点作于点，则下列说法正确的是（ ） A. 是的高 B. 是的高 C. 只是的高 D. 是图中三个三角形的高 5. 下列说法错误的是（ ） A. 三角形三条角平分线的交点一定在三角形的内部 B. 三角形的一条角平分线把该三角形分成面积相等的两部分 C. 三角形的中线、角平分线、高都是线段 D. 三角形的三条高不一定都在三角形的内 6. 如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 7. 一个三角形的三个内角度数之比为4：5：9，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定 8. 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 两个锐角分别对应相等 B. 两条直角边分别对应相等 C. 一条直角边和斜边分别对应相等 D. 一个锐角和一条斜边分别对应相等 9. 如图，在中，，平分．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，的角平分线交于点P，延长，，则下列结论中正确的是（ ） ①平分； ②； ③； ④． A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 如图，，，点在的延长线上，若，则___________°． 12. 等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为_________． 13. 如图，中，，平分交于点D，，，则的面积是___________． 14. 如图，在中，D是边的中点，E是的中点，阴影部分的面积和为2，则的面积是___________ ． 15. 如图所示，由五个点组成的图形，则______度． 16. 如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当点Q的运动速度为 ___________时，能够使△BPE与△CQP全等． 三、解答题（本大题共9小题，共86分，解答题应文字说明证明过程或验算步骤） 17. 如图，已知AB=AC，∠B=∠C，求证：△ABE≌△ACD． 18. 如图，，求证：． 19. 如图，中，平分交于D，，． （1）用尺规作出线段．（不写作法，保留作图痕迹） （2）求的度数； 20. 如图，,交的延长线于点,于点,且．求证：平分． 21. 如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22. 如图，是的中线，是的高，，，，． （1）求高的长； （2）求的面积． 23. 已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若，且c为奇数，求的周长； （2）化简：． 24. 在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、． （1）如图1，点在线段上，如果，则__________度． （2）如图2，当点在线段上，如果，则__________度． （3）如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由． （4）设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明． 25. “截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形中，分别是直线上的点． （1）如图1，若，分别在线段，上，且满足，试探究线段，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为 ___________． （2）如图2，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，之间的数量关系，并请说明理由． （3）如图3，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，试探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $