精品解析：上海师范大学附属闵行第三中学2026-2027学年九年级上学期10月数学学情自测

2026学年第一学期九年级统一作业（一）数学学科 一、选择题题（每题4分，满分24分） 1. 已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于的函数中，是二次函数的是( ) A. B. C. D. 3. 如图，已知D、E分别在的边、的延长线上，且．下列比例式中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点，分别在边，上，再添加一个条件，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（ ） A. B. C. D. 6. 定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点叫做自反点．下列函数的图象中不存在自反点的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题题（每题4分，满分48分） 7. 已知，那么的值是__________． 8. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是______． 9. 抛物线与y轴的交点坐标是_______． 10. 如图的提琴模型中，点P是的黄金分割点，若，则的长为______． 11. 当函数是二次函数时，a的值为_________． 12. 二次函数的图像上有两个点、，且那么______．（填“>”“=”或“<”） 13. 如图，在中，，，点在边上，连接并延长，与的延长线相交于点，如果，那么______． 14. 如图，正方形网格上的三角形①，②，③中，与相似的是_______．（填序号） 15. 小明骑自行车在南江榉路上匀速行驶，快到校门口时刹车，其刹车距离s（单位：m）与刹车时间t（单位：s）近似满足二次函数关系：，则小明从刹车到车辆停止需要______秒． 16. 在中，，点在上，且，，那么的度数为______． 17. 如图，在梯形中，，点分别在边上且，已知，，那么的长是________． 18. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论有_______．（填编号） 三、解答题（第19~22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分） 19. 如图，直线，且分别交于A、B、C，交于D、E、F，已知，，． （1）求的长； （2）若与交于点O，且，，求的长． 20. 已知抛物线（m为常数）， （1）当抛物线经过原点时，求m的值； （2）当抛物线与x轴有且只有一个公共点时，求m的值； （3）当抛物线经过两点和时，求m的值． 21. 如图，二次函数图像顶点坐标为，与x轴一个交点坐标为． （1）该函数图像与x轴的另一个交点坐标为______； （2）求这个二次函数的表达式； （3）若和是这个抛物线上两点，且，则m的取值范围是______． 22. 学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为，（单位：克）． 下面是某研究小组的探究过程，请补充完整： 记录，与x的几组对应值如下： x（分钟） 0 5 … （克） 7 … （克） 5 … （1）在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，，并用光滑曲线连接，大致画出函数，的图像； （2）进一步探究发现，场景A的图像是抛物线的一部分，与x之间近似满足函数关系．场景B的图像是直线的一部分，与x之间近似满足函数关系．请分别求出场景A，B满足的函数关系式； （3）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为克，有效时间越长，且在同一时刻剩余质量越高，效果越好，在上述实验中，比较该化学试剂在两种场景下，哪种效果更好，并说明理由． 23. 如图，在直角三角形中，直角边，．设P，Q分别为、上的动点，在点P自点A沿方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间为t秒． （1）_______，_______（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，与相似？并说明理由． （3）写出的面积关于移动时间t秒的函数关系式，并写出t的取值范围． 24. 在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，的图像与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧）． （1）若将的图像向上平移2个单位，得到的新抛物线经过点，求抛物线的表达式； （2）若的图像在直线的右侧呈上升趋势，求的取值范围； （3）在（1）中所求的的图像与轴的交点记为点，与轴的正半轴交点记为点，点在的图像上．当直线与直线垂直，且时，求点的坐标． 25. 如图，矩形中，，，在边上取一点E，将翻折，使点C落在点P处，折痕为，交于点Q． 【特例感知】（1）如图1，若点P恰好落在边上，求证：； 【变式求异】（2）如图2，若点E是的中点，点P落在矩形内部，求点P到的距离； 【化归探究】（3）如图3，若，交于点F，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级统一作业（一）数学学科 一、选择题题（每题4分，满分24分） 1. 已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线有最低点，得出，再解不等式即可． 【详解】解：∵抛物线有最低点，则二次函数图象开口向上， ∴， 解得：． 2. 下列关于的函数中，是二次函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．当时，不是二次函数，故A不符合题意； B．，不是二次函数，故B不符合题意； C．，是一次函数，不是二次函数，故C不符合题意； D．，是二次函数，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如 (a、b、c为常数，)的函数叫做二次函数． 3. 如图，已知D、E分别在的边、的延长线上，且．下列比例式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、， ，故该选项正确； B、， ， ，故该选项正确； C、， ， ，故该选项正确； D、， ，故该选项错误． 4. 如图，在中，点，分别在边，上，再添加一个条件，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：已知， A．添加后，有两组角对应相等，能判定与相似，不合题意； B．添加后，可得，有两组角对应相等，能判定与相似，不合题意； C．添加后，满足两组对应边的比相等且夹角对应相等，能判定与相似，不合题意； D．添加后，有两组对应边的比相等，但不能确定夹角相等，不能判定与相似，符合题意． 5. 已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将已知等式变形为比例式，结合平行线分线段成比例定理及尺规作图中先作已知线段的原则进行判断． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 根据平行线分线段成比例定理，图C中对应线段成比例，满足，符合题意． 6. 定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点叫做自反点．下列函数的图象中不存在自反点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据自反点定义，自反点坐标满足，若函数图象不存在自反点，则联立函数与得到的方程无实数解，联立方程判断解的情况即可得到结果. 【详解】解：∵自反点的横纵坐标互为相反数， ∴若函数存在自反点，则联立与函数方程有实数解； 对选项A：解，得， 解得，方程有解，存在自反点； 对选项B：联立，得， 即，方程有实根，存在自反点； 对选项C：联立，得， 整理得， 判别式，方程无实根，不存在自反点； 对选项D：联立，得， 整理得， 判别式，方程有实根，存在自反点； ∴不存在自反点的是选项C. 二、填空题题（每题4分，满分48分） 7. 已知，那么的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，不妨设，（），然后代入计算即可完成求解． 【详解】解：∵， ∴不妨设，（）， ∴． 故答案为：． 8. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 根据平移规律计算即可． 【详解】抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是． 故答案为：． 9. 抛物线与y轴的交点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据y轴上所有点的横坐标都为，将代入抛物线解析式计算得到纵坐标，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵抛物线与轴交点的横坐标为， ∴将代入抛物线得， ， ∴抛物线与轴的交点坐标是． 10. 如图的提琴模型中，点P是的黄金分割点，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义及，确定为较长线段，为较短线段，利用黄金比求出的长，再利用线段的和差关系求出的长． 【详解】解：∵点是的黄金分割点，且， ∴为较长线段，为较短线段， ∴， ∵， ∴， ∴． 11. 当函数是二次函数时，a的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义得到且，由此求得a的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 12. 二次函数的图像上有两个点、，且那么______．（填“>”“=”或“<”） 【答案】 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，利用二次函数的增减性比较和的大小． 【详解】解：由给出的解析式可知，该函数为二次函数，解析式为， ∵ 二次项系数为， ∴ 函数图像开口向下，对称轴为直线， ∵ 开口向下的二次函数，当时，随的增大而增大， 又∵， ∴． 13. 如图，在中，，，点在边上，连接并延长，与的延长线相交于点，如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证明是解答本题的关键． 由平行四边形的性质得，则，所以，而，，，则，所以，即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ， 点在边上，连接并延长，与的延长线相交于点， ， ， ，，， ， ， 故答案为：． 14. 如图，正方形网格上的三角形①，②，③中，与相似的是_______．（填序号） 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】设网格小正方形的边长为1，利用勾股定理分别计算出以及三角形①、②、③的三边长度，然后根据三边对应成比例的两个三角形相似进行判断即可． 【详解】解：设网格小正方形的边长为1， 则在中，，，； 在三角形①中，三边长分别为，，2； 在三角形②中，三边长分别为，，4； 在三角形③中，三边长分别为，，6； ∵，， ∴三角形①和②都与相似， ∵三角形③的三边与的三边不对应成比例， ∴三角形③与不相似， 综上，与相似的是①②． 15. 小明骑自行车在南江榉路上匀速行驶，快到校门口时刹车，其刹车距离s（单位：m）与刹车时间t（单位：s）近似满足二次函数关系：，则小明从刹车到车辆停止需要______秒． 【答案】 【解析】 【分析】车辆停止后刹车距离不再增加，则所求为二次函数取得最大值时对应的的值． 【详解】解：由题意得，刹车后车辆停止时，刹车距离不再增大，此时取得最大值， ∴ ∵， ∴函数开口向下，且当时，取得最大值，此时车辆停止． 16. 在中，，点在上，且，，那么的度数为______． 【答案】##20度 【解析】 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质及三角形内角和定理，先证明与，再根据相似的性质求解即可，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在梯形中，，点分别在边上且，已知，，那么的长是________． 【答案】6 【解析】 【分析】由题中，，得到，从而利用平行线分线段成比例定理得到，连接，如图所示，由相似三角形的判定得到、，利用相似比即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 在梯形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似比求线段长，涉及平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质，准确作出辅助线是解决问题的关键． 18. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论有_______．（填编号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口向上，与轴交于负半轴可得，再根据对称轴可得，，则结论①③正确；根据当时，可得结论②错误；根据函数图象可得当时，，结合可得结论④正确． 【详解】解：∵二次函数图象的开口向上，与轴交于负半轴， ∴， ∵这个二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，，则结论③正确； ∴，则结论①正确； 由函数图象可知，当时，，则结论②错误； 由函数图象可知，当时，， 将代入得：，即，则结论④正确； 综上，正确的结论有①③④． 三、解答题（第19~22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分） 19. 如图，直线，且分别交于A、B、C，交于D、E、F，已知，，． （1）求的长； （2）若与交于点O，且，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，得到对应线段比例，代入已知数值即可求出； （2）先算出、长度，再由得到，根据相似三角形对应边成比例列式，代入的长求出． 【小问1详解】 解：直线，，，， ， ， ； 【小问2详解】 解：，，， ，， 直线， ， ， ， ， ． 20. 已知抛物线（m为常数）， （1）当抛物线经过原点时，求m的值； （2）当抛物线与x轴有且只有一个公共点时，求m的值； （3）当抛物线经过两点和时，求m的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入计算即可； （2）先得出关于的一元二次方程有两个相等的实数根，再利用一元二次方程根的判别式求解即可； （3）根据二次函数的对称性求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过原点， ∴将点代入得：， 解得， 即的值为0． 【小问2详解】 解：∵抛物线与轴有且只有一个公共点， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得． 【小问3详解】 解：∵抛物线经过两点和， ∴这个二次函数的对称轴为直线， 解得． 21. 如图，二次函数图像顶点坐标为，与x轴一个交点坐标为． （1）该函数图像与x轴的另一个交点坐标为______； （2）求这个二次函数的表达式； （3）若和是这个抛物线上两点，且，则m的取值范围是______． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数图象对称轴为直线，与x轴一个交点坐标为，可得与x轴的另一个交点坐标为； （2）根据顶点坐标，设二次函数关系式为，将点代入解析式，待定系数法求得a值即可； （3）根据对称轴确定当函数值为时的另一个横坐标，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称， ∴设另一个交点的横坐标为x， ∴ 解得， ∴另一个交点坐标为； 【小问2详解】 解：∵二次函数顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问3详解】 解：在中， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴当时的函数值也为， ∵， ∴当点在对称轴左侧时，y随x增大而减小，要，需； 当点在对称轴右侧时，y随x增大而增大，要，需． ∴m的取值范围是或． 22. 学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为，（单位：克）． 下面是某研究小组的探究过程，请补充完整： 记录，与x的几组对应值如下： x（分钟） 0 5 … （克） 7 … （克） 5 … （1）在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，，并用光滑曲线连接，大致画出函数，的图像； （2）进一步探究发现，场景A的图像是抛物线的一部分，与x之间近似满足函数关系．场景B的图像是直线的一部分，与x之间近似满足函数关系．请分别求出场景A，B满足的函数关系式； （3）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为克，有效时间越长，且在同一时刻剩余质量越高，效果越好，在上述实验中，比较该化学试剂在两种场景下，哪种效果更好，并说明理由． 【答案】（1）函数，的大致图像如下： （2）场景A满足的函数关系式为，场景B满足的函数关系式为 （3）该化学试剂在A场景下效果更好，理由如下： 令得，解得或（舍去）， 令得，解得， ，当时，， 两种场景有效时长相同，但同一时刻场景A剩余质量更高， 该化学试剂在A场景下效果更好． 【解析】 【分析】（1）根据表格的数据在平面直角坐标系中依次描出点、，再分别用光滑曲线顺次连接对应点，画出函数，的大致图像； （2）场景A是二次函数，把表格里两组点坐标代入解析式，列二元一次方程组求出b，c，得到关系式；场景B是一次函数，代入一组点坐标求出a，得到关系式； （3）别令、，解方程求出两种场景下试剂降到最低有效质量克对应的时间，对比得到二者有效时长相等，再比较范围内同一时刻和的大小，结合“同一时刻剩余质量越高效果越好”的条件，判断场景A效果更好． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点和， ，解得， ， 过点， ，解得， ， 综上所述，场景A满足的函数关系式为，场景B满足的函数关系式为； 【小问3详解】 略 23. 如图，在直角三角形中，直角边，．设P，Q分别为、上的动点，在点P自点A沿方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间为t秒． （1）_______，_______（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，与相似？并说明理由． （3）写出的面积关于移动时间t秒的函数关系式，并写出t的取值范围． 【答案】（1）5； （2）t的值为或 （3） 【解析】 【分析】（1）在中由勾股定理算出；再根据动点速度与运动时间t，由得出； （2）分两种对应情况：当时，，列比例式求解；当时，，列比例式求解； （3）作辅助线，由证，通过比例式求出高；代入三角形面积公式化简，结合Q点到C点停止的条件，确定t的取值范围即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴， 由题意得，点P移动速度为，移动时间为t秒， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，此时， ∴， ∵，，，， ∴ ， 解得； 当时，此时， ∴， ∵，，，， ∴ 解得， 综上所述，当t的值为或时，与相似； 【小问3详解】 解：过点P作，垂足为H，如图： 则， ， ， ， ， ∴， ∵，，， ∴ 解得， ∴的面积 ， 由题意得，点Q从B移动到C停止，，速度为， ∴t的取值范围是． 24. 在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，的图像与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧）． （1）若将的图像向上平移2个单位，得到的新抛物线经过点，求抛物线的表达式； （2）若的图像在直线的右侧呈上升趋势，求的取值范围； （3）在（1）中所求的的图像与轴的交点记为点，与轴的正半轴交点记为点，点在的图像上．当直线与直线垂直，且时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）把点代入解析式中即可解出b的值； （2）先求出抛物线的对称轴为直线，开口向上，由原抛物线在直线的右侧呈上升趋势，得，解得：； （3）先求出，，，，则，，根据建立方程，解得，所以，设，当直线与直线垂直时，垂足为H，交y轴于点G，如图所示，可证明，得，解得，，可求M点坐标． 【小问1详解】 解：将抛物线向上平移2个单位， 新抛物线的表达式， 新抛物线经过点， ， ， 新抛物线的表达式； 【小问2详解】 解：抛物线， 对称轴为直线， 原抛物线在直线的右侧呈上升趋势， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：由（1）得， 令，则；令，则，解得或， ，， ∴， 原抛物线与轴的两个交点为点、点， ，， ∴， 则，，且， 即， 解得或7（舍去）， ， 设， 当直线与直线垂直时，垂足为H，交y轴于点G，如图所示， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ，即， ，， ，． 【点睛】本题以二次函数为背景考查了二次函数的图象平移，二次函数的增减性性质，线线垂直问题，线段的倍分关系问题，掌握以上内空并能数形结合分析是解题的关键． 25. 如图，矩形中，，，在边上取一点E，将翻折，使点C落在点P处，折痕为，交于点Q． 【特例感知】（1）如图1，若点P恰好落在边上，求证：； 【变式求异】（2）如图2，若点E是的中点，点P落在矩形内部，求点P到的距离； 【化归探究】（3）如图3，若，交于点F，求的长． 【答案】 （1）∵， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，证明是解题的关键． （1）先证明，再由，即可证明． （2）如图，作于点H，同理可证明，则可推出，设，，则，由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）如图，作交于点H，连接，先求出，，同理可证明，得到，设，，则，由折叠的性质可得，在中，由勾股定理得，解方程求出，再证明，即，可得． 【详解】解：（1）略 （2）如图，作于点H， 同理可证明， ∴， ∴， 设，， ∴， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得 ∴， ∴（舍）， ∴， ∴点P到的距离为； （3）如图，作交于点H，连接， ∵， ∴，， 同理可证明， ∴， ∴， 设，， ∴， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得 ∴， ∴（舍），． ∴， ∵平行， ∴，， ∴，即 ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $