上海市闵行区文来中学2025-2026学年九年级上学期月考数学试题（10月份）

2025-2026学年上海市闵行区文来中学九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列四条线段能成比例线段的是(    ) A. 1，1，2，3 B. 1，2，3，4 C. 2，2，3，3 D. 2，3，4，5 2.在中，点D、E分别在边AB、AC上，，如果，那么下列结论中，正确的是(    ) A. DE：：2 B. DE：： C. DE：：3 D. DE：：4 3.如图，在中，D、E分别在AB、AC上，，交AB于F，那么下列比例式中正确的是(    ) A. B. C. D. 4.下列正确的有(    ) ①； ②为单位向量，则； ③平面内向量、，总存在实数m使得向量； ④若，，，则、就是在、方向上的分向量． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5.“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果抛物线只经过两个象限，那么m的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.如图，D、E、F内分正的三边AB、BC、AC均为1：2两部分，AD、BE、CF相交成的的面积是的面积的(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7.已知，则：y的值为______. 8.如果抛物线有最高点，那么m的取值范围是      . 9.化简：______. 10.如图，已知在梯形ABCD中，，MN分别交边AB、DC于点M、N，如果AM：：3，，，那么MN的长______. 11.如图，在中，，G是的重心，过G作边BC的平行线交AC于点H，则GH的长为______. 12.如图，在中，，，D是AB上一点且，点E在边AC上，当      cm时，使得与相似. 13.已知点P是线段AB上的一点，且，如果，那么______. 14.如图，在等边中，，P、Q分别是边BC、AC上的点，且，，则QC的长是      . 15.二次函数的图象经过点，，，，其中m、n为常数，那么的值为      . 16.定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线.在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，，BD平分，那么      度. 17.如图，，且和之间的距离是1，和之间的距离是2，的三个顶点分别在、、上，AC与交于点D，如果，，那么BD的长是      . 18.如图，已知，，，D是边BC的中点，线段AB绕点D顺时针旋转得到对应线段，线段与边AC、BC分别交于点E、如果是直角三角形，那么AE的长是      . 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题10分 已知：如图，点D、F在的边AB上，点E在边AC上，且 若，，，求DE的长； 若，求证： 20.本小题10分 如图，平行四边形ABCD中，点E为边CD上的一点，，AC与BE相交于点F，设， 用向量、分别表示下列向量； ______；______；______； 在图中求作分别在、方向上的分向量. 不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的分向量 21.本小题10分 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点 求m的值以及抛物线的对称轴； 将该抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求n的值. 22.本小题10分 定义：如图1，已知点Q、R是的边ON上的两个定点，点P是边OM上的一个动点，当时，称点P是线段QR的最佳视野点. 如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏AB，点A到水平地面的距离AC为5米，在水平地面CD的E处有一个自动扶梯EF，米，点A、B、C在同一直线上.某一时刻，自动扶梯EF上一行人用点G表示到地面的高度为米时，他与电梯底端E处的水平距离米忽略行人的高度 当行人行走在水平地面CE时，发现点H恰好是屏幕AB的最佳视野点，此时，，求AB的长； 在的条件下，如果要在自动扶梯EF上找到屏幕AB的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕AB的垂直平分线与EF的交点”.你同意这个说法吗？请通过计算说明理由. 23.本小题12分 如图，在中，，，，垂足分别为点D，点，交BE的延长线于点 求证：； 求证： 24.本小题12分 在平面直角坐标系xOy中如图，已知二次函数的图象与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，且 当时，求该二次函数的函数值； 定义：对于一个函数，满足的实数x叫做这个函数的不动点.如果二次函数存在唯一的一个不动点，试求出这个不动点； 将绕点B逆时针旋转，点O落在点C处，点A落在点D处，当四边形ABCD是梯形时，点C恰好落在该二次函数图象上，求该二次函数的解析式. 25.本小题14分 如图，在梯形ABCD中，，，，E是CD的中点，AC、BE交于点F，且 求证：； 如果，求的值； 如果，求的值. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意． 故选 根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断． 2.【答案】B  【解析】解：， ，， ∽， ， 又， ， 则DE：：， 故选： 由两直线平行得到两三角形相似，即∽，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求出答案． 此题考查了相似三角形的判定与性质，以及比例的性质，相似三角形的面积之比为相似比的平方；周长之比及对应边之比等于相似比． 3.【答案】D  【解析】解：A、，， ，， ， 故本答案错误； B、，， ，， ， ， ，故本答案错误； C、，， ，， ， ，故本答案错误； D、，， ，， ，故本答案正确． 故选： 根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解． 本题考查了平行线分线段成比例的运用及平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的新三角形与原三角形相似的定理的运用，在解答时寻找找对应线段是关健． 4.【答案】B  【解析】解：①，不符合题意； ②为单位向量，则，不符合题意； ③若平面内向量、是平行向量时，总存在实数m使得向量，不符合题意； ④若，，，则、就是在、方向上的分向量，符合题意． 综上所述，只有1个符合题意． 故选： 根据平面向量的性质进行分析判断． 本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5.【答案】A  【解析】解：将二次函数解析式配方为顶点式得：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线只经过两个象限， ， ， 故选： 根据抛物线只经过两个象限，且抛物线开口向上，得出最小值大于等于0，即可解答． 本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答． 6.【答案】D  【解析】解：对用梅涅劳斯定理可以得：，则 设，，， 故选： 根据梅涅劳斯定理得出，再由三角形面积的求法得出，从而得出答案． 本题考查了梅涅劳斯定理和赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容是解题的关键． 7.【答案】5：2  【解析】解：， ， ：：： 故答案为：5： 直接利用比例的性质分析得出答案． 此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键． 8.【答案】  【解析】解：抛物线有最高点， 抛物线图象的开口向下， ， ， 故答案为： 根据抛物线有最高点，得到解析式的二次项系数小于0，从而得到结果． 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解： 故答案是： 平面向量的运算法则也符合实数的运算法则． 考查了平面向量，解题的关键是掌握平面向量的计算法则． 10.【答案】4  【解析】解：过点A作交MN于点E，交BC于点F， ，， 四边形AEND是平行四边形，四边形AFCD是平行四边形， ， ， ∽ ， ：：3， ：：5， ， 故答案为： 过点A作交MN于点E，交BC于点F，可以得出四边形AEND是平行四边形，四边形AFCD是平行四边形，得出EN、FC的值，求出BF的值，再利用三角形相似就可以求出ME的值，从而求出 本题考查了梯形中辅助线的作法和运用，平行四边形的判定即将性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用．解答中正确的作出辅助线是解答的关键． 11.【答案】2  【解析】解：如图，连接AG，并延长AG交BC于D； 是的重心， ：：3，且D是BC的中点； ， ； ， 连接AG，并延长AG交BC于D；根据重心的性质知：D是BC中点，且AG：：3；可根据平行线分线段成比例定理得出的线段比例关系式及CD的长求出GH的值． 此题考查了平行线分线段成比例定理以及重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 12.【答案】或  【解析】解：有两种情形： 如图，当时，∽， ， ， ， 当时， ， ∽， ， ， ， 故答案为：或 分两种情形利用相似三角形的性质求解即可． 本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 13.【答案】  【解析】解：设，则， 由题意，， 解得或舍弃 故答案为： 设，则，根据列出方程求解即可，另外，注意舍去负数解． 此题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念．学会利用参数构建方程解决问题． 14.【答案】  【解析】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， 又， ∽， ， 即， 解得， 故答案为： 通过证明∽，可得即可求解． 本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：二次函数的图象经过点，，，， ， ， 故答案为： 利用二次函数图象上点的坐标特征，可列出关于m，n的方程组均为常数，解之可用含a的代数式表示出m，n，再将其代入中，即可求出结论． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征，用含a的代数式表示出m，n是解题的关键． 16.【答案】155  【解析】解：如图： ，BD平分， ， 对角线BD是它的相似对角线， ∽， ，， ， ， ， 即， 故答案为： 先利用角平分线的定义可得，再根据已知易得：∽，然后利用相似三角形的性质可得，，从而可得，最后利用四边形内角和是进行计算，即可解答． 本题考查了相似图形，相似三角形的判定与性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17.【答案】5  【解析】解：如图，过点B作，交于点G， 则，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为： 过点B作，，AF交于点G，根据平行线分线段成比例，得到，证明∽，求出CE的长，勾股定理求出BC的长与AC的长，进而求出CD的长，再利用勾股定理求解即可． 本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 18.【答案】或2  【解析】解：连接AD， ，D是BC中点， ，即，， ， ，，， 线段AB绕点D顺时针旋转得到对应线段， ≌， ，，，， ①当时， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ； ②当时， 此时， 在中，，， ， ， 在中，， ， 由三线合一可得，进而求出各边长，然后根据是直角三角形分类讨论，当时或时，画出图形，利用特殊角求解即可． 本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19.【答案】解：， ∽， ， ，，， ， ， ； 证明：， ， ， ，   【解析】根据相似三角形的判定可得∽，再利用相似三角形的性质解答即可； 根据平行线分线段成比例推出，从而推出，即可得 本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据平行线分线段成比例推出，从而得到，注意运用数形结合的思想方法． 20.【答案】；   见解答．  【解析】解：由题意可得：，， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ， 故答案为：； 根据平行四边形法则构造平行四边形AGFH如图： 如图，即为分别在、方向上的分向量， 根据已知条件得出，根据三角形法则得出，根据相似三角形得出，则即可求解； 根据平行四边形法则构造平行四边形AGFH，即可求解． 本题考查了向量的线性计算，平行四边形的性质，相似三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 21.【答案】解：抛物线经过点， ，解得， 抛物线解析式为：， 抛物线的对称轴为直线； 将抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线为， 新抛物线经过原点， ，解得或  【解析】将点B坐标代入解析式求出m值，再写出抛物线解析式顶点式，据此写出对称轴即可； 先求出平移后的解析式，根据抛物线图象上点的坐标特征求出n值即可． 本题考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． 22.【答案】10米．   不同意，理由如下： 作AB的垂直平分线交AB于K，交EF于点I，分别延长FE与BC交于点L， 由题意，可得：，， 自动扶梯EF上一行人用点G表示到地面的高度为米时，他与电梯底端E处的水平距离米， 自动扶梯EF的坡度是1：2， ：：：2， ， ， ，，， ， ， ， ， 点I不是自动扶梯EF上的最佳视野点  【解析】如图，连接BH， 由题意得，，，米， 设，则，， 点H恰好是屏幕AB的最佳视野点， ， ， 解得舍去，， 米， 米， 的长是10米； 不同意，理由如下： 作AB的垂直平分线交AB于K，交EF于点I，分别延长FE与BC交于点L， 由题意，可得：，， 自动扶梯EF上一行人用点G表示到地面的高度为米时，他与电梯底端E处的水平距离米， 自动扶梯EF的坡度是1：2， ：：：2， ， ， ，，， ， ， ， ， 点I不是自动扶梯EF上的最佳视野点． 连接BH，由题意得，，，设CH为x，则BC为，根据点H恰好是屏幕AB的最佳视野点列方程求出x即可解答； 作AB的垂直平分线交AB于K，交EF于点G，分别延长FE与BC交于点L，分别求出LG，LA，LB，计算得出从而判断点G不是屏幕AB的最佳视野点． 本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 23.【答案】证明：，， ， ， ， ∽， ， 设AD交BF于点H， ，，， ，， ， ∽， ， ，， ∽， ， ， ，   【解析】由，，得，由，得，所以∽，则，所以； 设AD交BF于点H，由，，，推导出，，而，则∽，所以，再证明∽，得，则，所以，则 此题重点考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，设AD交BF于点H，证明∽及∽是解题的关键． 24.【答案】解：令，得， ， ， ， 代入解析式得得，， ， 当时，， 当时，； 由得， ， 有唯一的不动点， ， 解得：舍或， 当时，得， 这个不动点是； ①当时，如图， ，， ， ， 解得， ； ②当时，如图， ，，， ， ， ， 解得， 综上，二次函数的解析式为或  【解析】根据解析式可得B点坐标，进而利用得出，再将代入求解即可； 令，由题易得该方程有两个相等的实数根，即可用求解； 分类讨论，当或当，画出图形，再利用直角三角形的性质求解即可． 本题主要考查了待定系数法求解析式、根的判别式、等腰直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 25.【答案】设，则， ， ，， ， ， ；  ；    【解析】证明：设，则， ， ，， ， ， ； 解：延长BE交AD延长线于H， 是CD的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ； 解：过A作于M， ， ∽， ， 设，， ，，，， ， ， ， ， ， ， 解得， 设，根据题意进行角度计算，得出，即可得证； 延长BE交AD延长线于H，求出AD的长度，即可得出结论； 过A作于M，根据相似和勾股定理，得出结果． 本题考查了相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $