上海市梅陇中学　 2026-2027学年第一学期九年级10月学情自测卷

2026学年第一学期九年级作业2 （时间100分钟，满分150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列图形，一定相似的是（ ） A．两个菱形 B．两个直角三角形 C．两个等边三角形 D．两个矩形 2．在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 3．下列函数是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 4．已知二次函数的图像如图所示，有下列4个结论：①；②；③④，其中正确的结论是（ ） A．②④ B．③④ C．①③④ D．②③④ 5．如图，在中，点、分别是边、上，且，若，则等于（ ） A． B． C． D． 6．如图，点是线段的中点，，下列结论中，说法错误的是（ ） A．与相似 B．平分 C． D． 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 7．已知线段，，如果是、的比例中项，那么线段等于__________． 8．已知点是线段的黄金分割点，，已知，那么__________． 9．二次函数的图像与轴的交点坐标为____________________． 10．若点、、是二次函数图像上的三点，则、、的大小关系是__________（用“>”表示）． 11．已知二次函数的图像上有一点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则__________． 12．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到，已知点，，则与的周长比是_________． 13．如图，已知，若，，，则的长为_________． 14．计划用一段长为米的栅栏和一面长度大于米的墙围成一个矩形活动区域，则这个活动区域的最大面积是__________平方米． 15．如图，在中，，，是斜边上的中线，点是直线左侧一点，连接、、，若，，那么的值为__________． 16．如图，点在的边上，作交于点，交于点．若点是重心，且在线段上，连接并延长交线段于点，交线段于点，则的值是__________． 17．如图，在中，，，．将绕着点顺时针旋转后，点恰好落在直线上的点处，点落在点处，射线与直线相交于点，那么__________ 三、解答题（本大题共7题，满分82分） 18．（本题满分10分） 已知二次函数（为常数）． （1）求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有两个交点； （2）若函数图象与轴的两个交点均在原点的同侧，求的取值范围； 19．（本题满分10分） 在和中，，，，，． （1）与相似吗？请说明理由． （2）如图，如果在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、，画出与关于原点位似的三角形，使它与的位似比为，并求出的顶点坐标． 20．（本题满分10分）如图，已知和相交于点，，点在上，，，． （1）求的长； （2）如果，求的值． 21．（本题满分11分） 如果将运动员的身体看作一点，那么运动员在跳水过程中的运动轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，在起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离与竖直高度的几组数据如下表： 水平距离 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 根据上述数据，求关于的函数表达式． （2）在（1）的这次跳水动作中，结合以下两个信息，回答问题． 信息1：记运动员甲起跳后达到最高点时距水面的高度为，从到达最高点开始计，则她到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，运动员甲能否成功完成此动作？ 22．（本题满分13分）如图，已知在四边形中，，对角线与交于点，点是边边上的中点，联结交于点，并满足． （1）求证：； （2）求证：． 23．（本题满分13分）如图，在直角坐标平面内，以点为顶点的抛物线经过点，且与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）平移上述抛物线，所得的新抛物线的对称轴为直线，顶点为点． ①连接，如果点在轴上且新抛物线与射线仅有一个公共点，求的取值范围； ②设新抛物线与直线交于点，如果点在原抛物线上，且满足，求点的坐标． 24．（本题满分15分）如图15，已知在四边形中，，点为边上一点，且，联结与对角线交于点，，点是边的中点，联结． （1）求证：； （2）如图16，当时，联结交对角线于点． ①如果，求的值； ②如果，是等腰三角形时，请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $