精品解析：江苏徐州市树人初级中学2026-2027学年 八年级上学期数学第一次学情自测

八年级数学限时练习 （时间90分钟 满分140分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应的位置） 1. 如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在和中，下列条件不能判断这两个三角形全等的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列各图中，正确画出中边上的高的是（ ） A. B. C. D. 4. 到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）． A. 三条边中线的交点 B. 三条边的高的交点 C. 三个角的角平分线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 5. 如图，两根钢条、的中点O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具，的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（ ） A. 边角边 B. 角边角 C. 边边边 D. 角角边 6. 若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长是（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 7. 如图，是中边上的中线，、分别是、的中点，若的面积为，则的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，P为上一点，，垂足为R，，垂足为S，，，下面的结论：①；②；③．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分，不需写出解答过程，请将答案直接写答题卡相应的位置） 9. 如图，已知，若，，则的长度为______． 10. 如图，在中，，，，交于点E，若，则的度数为_______． 11. 如图，是等边的高，若，则的长为_________． 12. 如图，在中，，平分，，，则___________． 13. 如图，一块三角形玻璃破裂成，号两块，现需划同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上______________号碎片． 14. 用直尺和圆规作一个三角形全等于已知三角形的示意图如图所示，则说明的依据是_______． 15. 如图，公路上，两站相距，，为两所学校，于点，于点．已知在公路上有一座报亭，且，两所学校到报亭的距离相等，，则__________． 16. 用个全等的等腰三角形拼成如图所示的风车图案，则图中等腰三角形顶角的度数是_____． 17. 如图，在的正方形网格中，点A，B均在格点处，若点C也在格点处，且是等腰三角形，则满足条件的点C的位置有__________处． 18. 如图，是的边上的中线，若，，则的取值范围为________． 二、解答题（本大题共有7小题，共76分．请将解答过程写在答题卡相应的位置） 19. 如图所示是每一个小方格都是边长为1的正方形网格． （1）在上找一点P，使点P到和的距离相等； （2）在射线上找一点Q，使． 20. 已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，，求证：． 21. 如图，在中，，，，是线段的垂直平分线，交于点D，交于点． （1）求的周长． （2）若，则___________． 22. 如图，在中，，是边上的中线，是上一点且． （1）求证：． （2）若，求的度数． 23. 如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，且． （1）求证：． （2）已知与，则的长为___________． 24. 已知．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． （1）如图①，在边上找一点D，使点D到的距离等于D到的距离． （2）如图②，在边上找一点E，使点E到点C的距离等于E到的距离． 25. 通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）【模型呈现】如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （2）[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学限时练习 （时间90分钟 满分140分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应的位置） 1. 如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形的形状和大小都相同，对各选项进行判断即可． 【详解】A项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意； B项：两图形形状、大小相同，能够完全重合，符合题意； C项：两图形大小不同，不能重合，不符合题意； D项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意． 2. 在和中，下列条件不能判断这两个三角形全等的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法：，进行判断即可； 【详解】解：A、利用，不能判断两个三角形全等，符合题意； B、利用，得到两个三角形全等，不符合题意； C、利用，得到两个三角形全等，不符合题意； D、利用，得到两个三角形全等，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 3. 下列各图中，正确画出中边上的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查画高线，根据高线的定义，进行判断即可． 【详解】解：画出中边上的高，是从顶点作的垂线段，观察图形，只有选项B符合题意； 故选B． 4. 到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）． A. 三条边中线的交点 B. 三条边的高的交点 C. 三个角的角平分线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， ∴到三角形任意一边的两个端点距离相等的点，在该边的垂直平分线上， ∴到三角形三个顶点距离都相等的点，是三角形三条边的垂直平分线的交点． 5. 如图，两根钢条、的中点O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具，的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（ ） A. 边角边 B. 角边角 C. 边边边 D. 角角边 【答案】A 【解析】 【分析】由是、的中点， 可得：，，再由，可以根据全等三角形的判定方法，判定． 【详解】解：∵是 、的中点， ∴，， 在和 中， ， ∴． 6. 若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长是（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】未明确的边是腰还是底，需分类讨论并验证三角形三边关系. 【详解】解：当为腰长时，底边长为， ∵，不能构成三角形， ∴此情况不成立； 当为底边长时，腰长为， ∵，能构成三角形， ∴腰长为. 7. 如图，是中边上的中线，、分别是、的中点，若的面积为，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】解：∵是中边上的中线，的面积为， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴． 8. 如图，在中，P为上一点，，垂足为R，，垂足为S，，，下面的结论：①；②；③．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】利用角平分线的判定定理可证平分，通过等量代换得出，即可证明，推出②正确；利用证明，可得，推出①正确；仅一组对边相等，一组对角相等不足以证明，推出③错误． 【详解】解：∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 在和中， ， ， ，故①正确； ∵和中，仅一组对边相等，一组对角相等， ∴现有条件不能够证明，故③错误； 综上，正确的是①②． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分，不需写出解答过程，请将答案直接写答题卡相应的位置） 9. 如图，已知，若，，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出，，根据，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 10. 如图，在中，，，，交于点E，若，则的度数为_______． 【答案】##61度 【解析】 【分析】由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11. 如图，是等边的高，若，则的长为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质以及三线合一求解． 【详解】解：∵是等边的高， ∴． 12. 如图，在中，，平分，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】作于点E，，根据角平分线的性质和三角形面积公式即可求解． 【详解】解：作于点E，如图， ∵，平分，， ∴， ∴． 13. 如图，一块三角形玻璃破裂成，号两块，现需划同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上______________号碎片． 【答案】Ⅱ 【解析】 【分析】根据两角对应相等且夹边相等的两个三角形全等判断即可． 【详解】略 14. 用直尺和圆规作一个三角形全等于已知三角形的示意图如图所示，则说明的依据是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了作图，全等三角形的判定方法．通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是可以判定是运用，答案可得． 【详解】解：从作图可知，，， 在与， ， ∴， ∴判定的依据是． 故答案为：． 15. 如图，公路上，两站相距，，为两所学校，于点，于点．已知在公路上有一座报亭，且，两所学校到报亭的距离相等，，则__________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法证明两三角形全等是解题的关键． 通过已知条件利用定理证明，根据全等三角形的对应边相等得到，最后通过线段的和差关系得到结论． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， ∵，两所学校到报亭的距离相等， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 16. 用个全等的等腰三角形拼成如图所示的风车图案，则图中等腰三角形顶角的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据中心角由五个等腰三角形的底角围成，可先求底角，然后求顶角即可. 【详解】解：∵等腰三角形的底角为： ∴顶角为：． 17. 如图，在的正方形网格中，点A，B均在格点处，若点C也在格点处，且是等腰三角形，则满足条件的点C的位置有__________处． 【答案】8 【解析】 【详解】解：如图，点，，，，，，，即为所求． ∴满足条件的点C的位置有8处． 18. 如图，是的边上的中线，若，，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了倍长中线，全等三角形的判定和性质，三角形三边数量关系，掌握构造三角形全等，三角形三边数量关系是解题的关键． 如图所示，延长至点，使得，则，可证，得到，在中，运用三角形三边数量关系即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至点，使得，则， ∵是的边上的中线， ∴，且， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， 故答案为： ． 二、解答题（本大题共有7小题，共76分．请将解答过程写在答题卡相应的位置） 19. 如图所示是每一个小方格都是边长为1的正方形网格． （1）在上找一点P，使点P到和的距离相等； （2）在射线上找一点Q，使． 【答案】（1） 如图 （2） 如图 【解析】 【分析】本题考查了格点作图，作角平分线，作线段垂直平分线，利用网格的特点结合问题灵活处理是解题的关键． （1）找到格点G，使，连接，它与的交点P满足条件； （2）作出的垂直平分线，与射线相交，交点Q即满足条件． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略． 20. 已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，，求证：． 【答案】证明：， ． ． ， ． 在和中 ． 【解析】 【分析】首先证明，再根据定理判定即可． 【详解】略 21. 如图，在中，，，，是线段的垂直平分线，交于点D，交于点． （1）求的周长． （2）若，则___________． 【答案】（1）14 （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直平分线的性质得到，从而将的周长转化为求解； （2）根据等边对等角求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，再由角的和差求解即可． 【小问1详解】 解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 22. 如图，在中，，是边上的中线，是上一点且． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：，是边上的中线， ， 又， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，进而得到，从而得出结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，再利用进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，是边上的中线， ． 23. 如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，且． （1）求证：． （2）已知与，则的长为___________． 【答案】（1）证明：∵，是的平分线，， ∴， 又∵ ∴ ∴ （2）1 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质得，再用证明全等三角形，进而得到结论； （2）先证明，可得，结合，即可得到答案 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 24. 已知．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． （1）如图①，在边上找一点D，使点D到的距离等于D到的距离． （2）如图②，在边上找一点E，使点E到点C的距离等于E到的距离． 【答案】（1） 交点D为所求， （2） 交点E即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，作角平分线，作垂线，以及角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本作图； （1） 作的平分线即可； （2）过作的垂线交的延长线于D，再作的平分线，根据角平分线的性质可证，E到的距离和E到的距离相等，也即E到点C的距离等于E到的距离，E为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）【模型呈现】如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （2）[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 【答案】（1）， （2） （3）证明：过点D作于点M，过点E作于点N， 由（1）可知，当，，，时， ， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即点G是的中点．   【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到对应边相等； （2）根据全等三角形的判定得到、，从而得到对应边相等，进而根据三角形面积公式和梯形面积公式得到、、、、，最后根据面积之间的和差关系求出图中实线所围成的图形的面积； （3）过点D作于点M，过点E作于点N，由（1）得到、，根据全等三角形的性质得到，再根据全等三角形的判定得到，最后利用全等三角形的性质得到，从而得到结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴，； 【小问2详解】 解：过点E作于点P，过点B作于点G，过点D作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理，， ∴，， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， 答：图中实线所围成的图形的面积为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $