精品解析：江西会昌实验学校2026-2027学年九年级上学期第一次学情检测数学试题

会昌实验学校2026秋九年级数学第一次学情检测 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：四个选项均为只含一个未知数的整式方程， A选项与C选项的未知数最高次数为，不符合要求； B选项的未知数最高次数为，符合要求； D选项的未知数最高次数为，不符合要求． 2. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用直接开平方法，求出一元二次方程的根是多少即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题关键． 3. 一元二次方程的两根之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用根与系数的关系直接计算两根之和． 【详解】解：一元二次方程中， ，， 根据根与系数的关系，两根之和为． 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式．根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且． 故选：D． 5. 抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数的平移规律是解题关键．根据“左加右减，上加下减”，求解平移后的解析式即可． 【详解】解：抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的抛物线是， 故选：A． 6. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论． 【详解】解：A、∵a=-2＜0，∴抛物线的开口向下，本选项错误， B、抛物线的顶点为（1，3），本选项错误， C、抛物线的对称轴为：x=1，本选项正确， D、∵抛物线的开口向下且对称轴为直线x=1，∴当时，随的增大而减小，本选项错误， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一对照四个选项即可得出结论 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的表达式为顶点式时求顶点坐标的方法直接求解即可得到答案． 【详解】解：抛物线是其顶点式， 抛物线的顶点坐标是． 【点睛】本题考查求抛物线顶点坐标，熟记抛物线顶点式求顶点坐标的方法是解决问题的关键． 8. 已知一元二次方程有一个根为1，则的值为__． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义，把把代入方程得关于的一次方程，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：一元二次方程有一个根为1， 把代入方程得， 解得． 故答案为：2． 9. 写出一个图象开口向上，与y轴的交点为的二次函数解析式____________________. 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数中，时图象开口向上，时，图象与y轴的交点为，因此只要满足，即可． 【详解】解：根据二次函数图象与系数的关系可得： 图象开口向上，与y轴的交点为的二次函数解析式，只要满足，即可， 因此二次函数解析式可以为：(答案不唯一)． 故答案为：(答案不唯一)． 10. 关于的一元二次方程的一个根为2，另一个根为3，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】已知一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系即可求出和的值． 【详解】解：设一元二次方程的两个根分别为，， 根据根与系数的关系可得：，， 将，代入得： ，， 解得，． 11. 已知点，都在二次函数的图像上，则______（填>，<或=） 【答案】 【解析】 【分析】通过代入计算函数值直接比较即可解答． 【详解】解：∵点，都在二次函数的图像上， ∴将代入解析式得， 将代入解析式得，， ∵， ∴． 12. 菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的面积为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程得到x1=4，x2=5，再根据菱形的性质得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线长，然后根据菱形的面积公式计算． 【详解】解：x2﹣9x+20=0， （x﹣4）（x﹣5）=0， x﹣4＝0或x﹣5=0， ∴x1=4，x2=5， ∵菱形一条对角线长为8， 当时，4+4=8， 不符合题意， ∴菱形的边长为5， ∵菱形的另一条对角线长， ∴菱形的面积=×6×8＝24． 故答案为：24． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了菱形的性质． 三、解答题（每小题6分，共30分） 13. 解方程 （1）（公式法） （2）（配方法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程求根公式求解即可． （2）利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解： 这里，，． ， 代入求根公式 ． 【小问2详解】 解： ． 14. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 因式分解得 或 解得， 【小问2详解】 解： 移项得 提取公因式得 整理得 或 解得， 15. 已知二次函数 （1）在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； （2）写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； 【答案】（1）描点，连线 （2）对称轴为直线，顶点坐标为 【解析】 【小问1详解】 解：列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … 画图略 【小问2详解】 解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． 16. 组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 【答案】比赛组织者应邀请8个队参赛. 【解析】 【分析】本题可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x-1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果． 【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛.依题意列方程得： ， 解得：，. 不合题意舍去， 答：比赛组织者应邀请8个队参赛. 【点睛】本题是一元二次方程的应用，虽然不难求出x的值，但要注意舍去不合题意的解． 17. 若等腰△ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根，求△ABC的周长． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意为等腰三角形，则或者之中有一个为，分情况讨论，求得的值，进而得出一元二次方程，解一元二次方程，进而求得△ABC的周长． 【详解】为等腰三角形， 或者之中有一个为， ①当时， b，c的长度恰好是关于x的一元二次方程 x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根， ， 解得， 原方程为， 解得，即， ， 能构成三角形，该三角形的周长为， ②当或之中一个为，将代入原方程，得， ， 解得， 原方程为， 解得， 能组成三角形， 该三角形的周长为． 综上所述，的周长为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，分类讨论是解题的关键． 四、解答题（每小题8分，共24分） 18. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0． （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足，求m的值． 【答案】（1）∵在方程中， △=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m2）=16+4m2＞0， ∴该方程有两个不等的实根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=16+4m2＞0，由此可证出该方程有两个不等的实根； （2）根据根与系数的关系可得 ①、②，结合③，可求出、的值，将其代入③中即可求出m的值． 【详解】解：（1） 略 （2）解：∵该方程的两个实数根分别为、， ∴ ①、②． ∵③， ∴将①②代入③得，， 解得． 【点睛】本题考查根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系． 19. 抛物线过点． （1）求的值． （2）判断点是否在此抛物线上； （3）当为何值时随增大而减小． 【答案】（1） （2） 点不在此抛物线上 （3） 当时，随的增大而减小 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入抛物线解析式，解方程求； （2）代入点横坐标计算对应纵坐标，与点的纵坐标比较判断； （3）结合抛物线的开口方向与对称轴，确定随增大而减小时的取值范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ∴将，代入解析式得：， 即， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线解析式为， 将代入解析式得：， ∵， ∴点不在此抛物线上； 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而减小． 20. 如图，在一块长，宽的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积是，则道路的宽应设计为多少？ 【答案】道路的宽应设计为. 【解析】 【分析】设道路的宽为，根据题意列方程解答即可. 【详解】设道路的宽为，则根据题意，可列方程为， ， 解之得，， ∵道路宽度不能超过， ∴， 答：道路的宽应设计为. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意，找出等量关系列方程. 五、解答题（每小题9分，共18分） 21. 如图，已知抛物线的顶点坐标为M（2，－5），与轴交于点A（0，3）． （1）求抛物线的解析式． （2）当时，直接写出函数的取值范围． 【答案】（1）；（2）当时， 【解析】 【分析】（1）由顶点坐标M（2，-5）可设二次函数解析式为，再将（0，3）代入解方程即可； （2）先求解二次函数的最小值，再求解时的函数值，从而可得答案. 【详解】解：（1）由顶点坐标M（2，-5）可设二次函数解析式为 ， 将（0，3）代入得 ， 解得，. ∴抛物线对应二次函数的解析式为. （2） 当时， 当时，函数取最小值 当时， 当时， 当时，. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，掌握“利用数形结合求解二次函数值的范围”是解本题的关键. 22. 某年会昌县城某楼盘以每平方米4000元的均价对外销售，由于受周边地区及炒房的影响，会昌县城的房价在两年内疯涨，至第3年该楼盘的均价为每平方米5760元，设每年的增长率相同． （1）求平均每年增长的百分率； （2）假设第4年该楼盘的均价仍然增长相同的百分率，李老师准备在第4年底购买一套100平方米的住房，他持有现金40万元，可在银行贷款30万元，李老师的愿望能否实现？（房价按照均价计算，不考虑其他因素） 【答案】（1）平均每年增长的百分率为 （2）李老师的愿望能实现 【解析】 【分析】（1）根据初始房价和第3年的房价，结合增长率的等量关系列一元二次方程求解； （2）利用（1）中求得的增长率计算第4年的房价，进而计算100平方米住房的总房款，与李老师的可用资金比较判断． 【小问1详解】 解：设平均每年增长的百分率为， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴平均每年增长的百分率为； 【小问2详解】 解：第4年该楼盘的均价为（元/平方米）， 100平方米住房的总房款为（元）（万元）， 李老师的可用资金为（万元）， ∵， ∴李老师的愿望能实现． 六、解答题（本大题共12分） 23. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元. 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件； （2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可． 【详解】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件． （2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元． 根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200， 整理，得x2-30x+200=0， 解得：x1=10，x2=20． ∵要求每件盈利不少于25元， ∴x2=20应舍去， ∴x=10． 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 会昌实验学校2026秋九年级数学第一次学情检测 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的两根之和为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 5. 抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时，随的增大而增大 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 抛物线的顶点坐标是_____． 8. 已知一元二次方程有一个根为1，则的值为__． 9. 写出一个图象开口向上，与y轴的交点为的二次函数解析式____________________. 10. 关于的一元二次方程的一个根为2，另一个根为3，则______，______． 11. 已知点，都在二次函数的图像上，则______（填>，<或=） 12. 菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的面积为_____． 三、解答题（每小题6分，共30分） 13. 解方程 （1）（公式法） （2）（配方法） 14. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 15. 已知二次函数 （1）在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； （2）写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； 16. 组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 17. 若等腰△ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根，求△ABC的周长． 四、解答题（每小题8分，共24分） 18. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0． （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足，求m的值． 19. 抛物线过点． （1）求的值． （2）判断点是否在此抛物线上； （3）当为何值时随增大而减小． 20. 如图，在一块长，宽的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积是，则道路的宽应设计为多少？ 五、解答题（每小题9分，共18分） 21. 如图，已知抛物线的顶点坐标为M（2，－5），与轴交于点A（0，3）． （1）求抛物线的解析式． （2）当时，直接写出函数的取值范围． 22. 某年会昌县城某楼盘以每平方米4000元的均价对外销售，由于受周边地区及炒房的影响，会昌县城的房价在两年内疯涨，至第3年该楼盘的均价为每平方米5760元，设每年的增长率相同． （1）求平均每年增长的百分率； （2）假设第4年该楼盘的均价仍然增长相同的百分率，李老师准备在第4年底购买一套100平方米的住房，他持有现金40万元，可在银行贷款30万元，李老师的愿望能否实现？（房价按照均价计算，不考虑其他因素） 六、解答题（本大题共12分） 23. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $