精品解析：江西省赣州市会昌县江西会昌实验学校2024-2025学年 九年级上学期10月月考数学题

会昌实验学校2024年秋学期九年级数学 一、单选题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（ ） A. −2 B. 2 C. −4 D. 4 3. 抛物线y=3（x﹣2）2+3的顶点坐标为（ ） A. （﹣2，3） B. （2，3） C. （﹣2，﹣3） D. （2，﹣3） 4. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 5. 已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在抛物线y＝上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y1＜y2＜y3 B. y1＞y2＞y3 C. y1＜y3＜y2 D. y2＜y3＜y1 6. 已知二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的是（） A. ①② B. ①② C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 7. 一元二次方程的根是_________． 8. 抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是______． 9. 二次函数的最大值是______． 10. 设、是方程的两个根，则________． 11. 用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是______．（化成一般式） 12. 已知如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A，B．此抛物线与x轴的另一个交点为C．抛物线的顶点为D．若点M为抛物线上一动点（不与点B重合），使与的面积相等．则点M的坐标为__________． 三、解答题（本大题共5题，每题6分，共30分） 13. （1）解方程： （2）已知抛物线经过，两点，请求出抛物线的解析式． 14. 已知点在二次函数的图象上． （1）求的值． （2）若点，，都在二次函数的图象上，请将，，直接用“<”连接起来． 15. 随着港珠澳大桥的顺利开通，预计大陆赴港澳旅游的人数将会从2018年的100万人增至2020年的144万人，求2018年至2020年这两年的赴港旅游人数的年平均增长率． 16. 如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米． （1）求水流运行轨迹的函数解析式； （2）若在距喷灌架米处有一棵米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明． 17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA，OC分别位于x轴，y轴上，经过A，C两点的抛物线变x轴于另一点D，连接AC．请你只用无刻度的直尺按要求画图． (1)在图1中的抛物线上，画出点E，使DE=AC； (2)在图2中的抛物线上，画出抛物线的顶点F． 四．（本大题共3题，每题8分，共24分） 18. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求a的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，且，求a的值． 19. 课本再现 （1）某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每：两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛？ 模型变式 （2）年月日晩，江西省第十六届运动会在九江市隆重开幕，已知某个学校体育项目部的比赛所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛． 20. 2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红． （1）据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是万件，问月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 五．（本大题共2题，每题9分，共18分） 21. 把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：______＝（x－_______）； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； （3）若，，其中a为任意数，试比较M与N的大小，并说明理由． 22. 如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M距地面约4米高，球落地后又一次弹起，弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． （1）求足球第一次落地之前该抛物线的解析式； （2）乙若要抢到第一落点C，他需要向前跑多少米； （3）乙若要抢到第二落点D，他需要向前跑多少米． 六、（本大题共12分） 23. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且交y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是线段BC上的点（不与B、C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长； （3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 会昌实验学校2024年秋学期九年级数学 一、单选题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项分析判断，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】A. ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； C. ，当时，是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； D. ，化简后为，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2. 已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（ ） A. −2 B. 2 C. −4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可． 【详解】解：把x=1代入方程得1+k-3=0， 解得k=2． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 3. 抛物线y=3（x﹣2）2+3的顶点坐标为（ ） A. （﹣2，3） B. （2，3） C. （﹣2，﹣3） D. （2，﹣3） 【答案】B 【解析】 【详解】解：抛物线y=3（x﹣2）2+3的顶点坐标为（2，3）． 故选：B． 【考点】二次函数的性质． 4. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可. 【详解】， ， ， 所以， 故选D. 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 5. 已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在抛物线y＝上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y1＜y2＜y3 B. y1＞y2＞y3 C. y1＜y3＜y2 D. y2＜y3＜y1 【答案】D 【解析】 【分析】先分别计算出自变量为、和2所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，， 所以． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 6. 已知二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的是（） A. ①② B. ①② C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质． 【详解】解：①由图象可知：，， ∴由于对称轴， ，故①符合题意； ②抛物线过点， 时，，故②符合题意； ③，抛物线与轴有两个交点，则故③不符合题意； ④由图象可知：，， ∴，故④符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 7. 一元二次方程的根是_________． 【答案】， 【解析】 【分析】由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解． 【详解】解：由题意可知：或， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可． 8. 抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的平移．熟练掌握平移规律是解题的关键．根据平移规律：左加右减，上加下减进行计算即可． 【详解】解：抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是：； 故答案为：． 9. 二次函数的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，先利用配方法把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值， 故答案为：． 10. 设、是方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系公式，可直接求得 和. 【详解】如果方程的两个实数根是，那么，. 可知：，所以． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系. 11. 用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是______．（化成一般式） 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据长方形的宽和周长表示出长方形的长为，再根据长方形的面积公式可得答案，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 【详解】解：由题意得：长方形的长为， ∴， 故答案为：． 12. 已知如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A，B．此抛物线与x轴的另一个交点为C．抛物线的顶点为D．若点M为抛物线上一动点（不与点B重合），使与的面积相等．则点M的坐标为__________． 【答案】，， 【解析】 【分析】先利用待定系数法求得抛物线的解析式，设点M的坐标为，再由面积相等得，得，分两种情况讨论：当时和当时，代入抛物线解析式即可求解． 【详解】解：当时，， 点， 当时，得：， 点， 把点，带入得：， 解得：， 抛物线的解析式为：， 设点M的坐标为， 与的面积相等， ， ， 当时，， 解得：，（舍去）， ， 当时，， 解得：，， ，， 综上所述：点M的坐标为：，，， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了二次函数图形问题及待定系数法求函数解析式，分类讨论思想解决问题是解题的关键． 三、解答题（本大题共5题，每题6分，共30分） 13. （1）解方程： （2）已知抛物线经过，两点，请求出抛物线的解析式． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，用待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关的方法是解题的关键 （1）把方程左边提公因式，利用因式分解法解一元二次方程； （2）把，代入解析式，建立方程组求解即可． 【详解】解：（1） 或 ，； （2）把，代入，得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． 14. 已知点在二次函数的图象上． （1）求的值． （2）若点，，都在二次函数的图象上，请将，，直接用“<”连接起来． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，比较二次函数值的大小． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据函数开口向下，得到离对称轴越远函数值越小，再求出各点到对称轴的距离，然后比较距离的大小即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵二次函数的图象开口向下， ∴二次函数对称轴为轴，离对称轴越远函数值越小， ∵点，，都在该函数图象上，， ∴． 15. 随着港珠澳大桥的顺利开通，预计大陆赴港澳旅游的人数将会从2018年的100万人增至2020年的144万人，求2018年至2020年这两年的赴港旅游人数的年平均增长率． 【答案】年平均增长率为20%． 【解析】 【分析】设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x，根据题意2019年公民出境旅游总人数为万人次，2020年公民出境旅游总人数万人次，再根据题意得方程求解． 【详解】设年平均增长率为x ， 依题意， 解得，（不合题意，舍去） 答：年平均增长率为20%． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，增长率问题，若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． 16. 如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米． （1）求水流运行轨迹的函数解析式； （2）若在距喷灌架米处有一棵米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明． 【答案】（1） （2） 水流不会碰到这棵果树， 理由如下： 当时，， ∴水流不会碰到这棵果树． 【解析】 【分析】（1）根据题意设，将点代入可得，即可求解； （2）根据题意，当时，，可得结论． 【小问1详解】 解：由题可知：抛物线的顶点为， 设水流形成的抛物线为， 将点代入可得， ∴抛物线为： ． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA，OC分别位于x轴，y轴上，经过A，C两点的抛物线变x轴于另一点D，连接AC．请你只用无刻度的直尺按要求画图． (1)在图1中的抛物线上，画出点E，使DE=AC； (2)在图2中的抛物线上，画出抛物线的顶点F． 【答案】 （1）如图1，延长CB交抛物线于点E，点E即为所求； （2）如图2， 延长CA、ED交于点P，连接CD、AE交于点Q，连接PQ交抛物线于点F，点F即为所求． 【解析】 【分析】（1）延长CB交抛物线于点E，则C、E两点的纵坐标相等，根据抛物线的对称性即可得； （2）由（1）知CE∥AD、AC=DE知四边形ADEC是等腰梯形，延长CA、ED交于点P知△PCE为等腰三角形，连接CD、AE交于点Q，连接PQ交抛物线于点F，根据等腰梯形和等腰三角形的轴对称性即可得． 【详解】略 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、等腰梯形和等腰三角形的性质，熟练掌握抛物线、等腰梯形及等腰三角形的轴对称性是解题的关键． 四．（本大题共3题，每题8分，共24分） 18. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求a的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，且，求a的值． 【答案】（1）； （2）a的值为1． 【解析】 【分析】（1）根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出a的范围即可； （2）用两根的和与两根的积表示已知等式，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出a的值． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，即， 整理得：， 解得：； 【小问2详解】 解：∵该方程的两个实数根分别为， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：，即， 解得：(舍去)或， 则a的值为1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识并灵活应用是解题的关键． 19. 课本再现 （1）某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每：两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛？ 模型变式 （2）年月日晩，江西省第十六届运动会在九江市隆重开幕，已知某个学校体育项目部的比赛所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可； （2）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可； 【详解】（1）设应该邀请支球队参加比赛， 依题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：应该邀请支球队参加比赛． （2）有支球队参加比赛， 依题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：有支球队参加比赛． 20. 2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红． （1）据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是万件，问月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． （1）设月平均增长率为x，根据题意，得出6月份的销售量8月份销售量，列出方程求解即可； （2）设售价降低y元，根据总利润=单件利润×销售量，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价降低y元， ， 解得：， 当时，， 当时，， ∵， ∴为了尽量减少库存，售价应降低20元． 五．（本大题共2题，每题9分，共18分） 21. 把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：______＝（x－_______）； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； （3）若，，其中a为任意数，试比较M与N的大小，并说明理由． 【答案】（1）25，5 （2）的最小值是 （3） M＞N．理由如下： M-N =4a2+9a+3-（3a2+11a-1） =4a2+9a+3-3a2-11a+1 =a2-2a+4 =a2-2a+1-1+4 =（a-1）2+3， ∵（a-1）2≥0， ∴（a-1）2+3＞0， ∴M-N＞0， ∴M＞N． 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式求解； （2）利用配方法求最小值即可； （3）利用作差法比较大小． 【小问1详解】 x2-10x+25=（x-5）2， 故答案为：25，5； 【小问2详解】 x2-8x+2 =x2-8x+16-16+2 =（x-4）2-14， ∵不论x取何值，（x-4）2总是非负数， 即（x-4）2≥0， ∴（x-4）2-14≥-14， ∴当x=4时，x2-8x+2有最小值，最小值是-14； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了完全平方公式，整式的加减运算，因式分解的应用，非负数的性质，利用作差法比较大小是解题的关键． 22. 如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M距地面约4米高，球落地后又一次弹起，弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． （1）求足球第一次落地之前该抛物线的解析式； （2）乙若要抢到第一落点C，他需要向前跑多少米； （3）乙若要抢到第二落点D，他需要向前跑多少米． 【答案】（1） （2）乙若要抢到第一落点C，他需要向前跑米 （3）乙若要抢到第二落点D，他需要向前跑米 【解析】 【分析】本题考查了运用顶点式及待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键； （1）由条件可以得出，设抛物线的解析式为，由待定系数法求出其解即可； （2）当时代入（1）的解析式，求出的值即可； （3）设第二次落地之前该抛物线的解析式为，将代入，求出解析式，再令，就可以求出的值，进而得出结论． 【小问1详解】 设第一次落地之前该抛物线的解析式为， 当时，即， ∴， ∴第一次落地之前该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 依题意有：令即， 解得：，（舍）， ∴乙若要抢到第一落点C，他需要向前跑米； 【小问3详解】 依题意有：设第二次落地之前该抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得，（舍）， 令，， 解得（舍），， ∴乙若要抢到第二落点D，他需要向前跑米． 六、（本大题共12分） 23. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且交y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是线段BC上的点（不与B、C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长； （3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）MN＝﹣m2+3m（0＜m＜3）；（3）存在，当m＝时，△BNC的面积最大，最大值为 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长； （3）根据题（1）（2）的结论，列出关于m的表达式，再利用函数的性质求解的最大值即可. 【详解】（1）抛物线经过点两点，代入得： ，解得： 则抛物线的解析式为； （2）由抛物线可知， 因此，设直线BC的解析式为： 代入得 解得： 则直线BC的解析式： 已知点M的横坐标为m，且轴，则； 则 故MN的长为； （3）存在点M，使的面积最大 如图，过点M作轴于点D 则 即 由二次函数的性质可知：当时，随m的增大而增大；当时，随m的增大而减小 则当时，的面积最大，最大值为. 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，以及二次函数图象的性质，较难的是题（3），求出的面积关于m的表达式是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $