精品解析：江苏省奔牛高级中学2026-2027学年高一第一学期第一次学情调研数学试题

2026级高一第一学期第一次学情调研 数学试卷 2026年10月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. “，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ，或 D. ，且 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，若关于的不等式的解集恰有3个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则集合M的子集的个数是（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 7. 当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 用表示非空集合A中的元素个数，定义．已知集合，，若，则实数a的取值不可能是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 下列说法正确的是（ ） A. 的一个必要条件是 B. 若集合中只有一个元素，则 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 已知集合， 则满足条件的集合N的个数为4 11. 已知a，b均为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为______. 13. 已知：；：．若是的必要条件，则实数的取值范围是________ 14. 对任意，，记，并称为集合，的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的有_____ ①．若，且，则 ②．若，且，则 ③．若，且，则 ④．对任意，，都有⊕⊕ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，，，. （1）求，的值及A，； （2）求. 16. 解决下列问题 （1）.已知，，求的取值范围； （2）.已知，，求的取值范围； （3）.已知，比较与的大小. 17. 如图，居民社区要建一个休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的成轴对称的“”形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在两个相同的矩形和上铺花岗岩地坪，造价为210元；在两个三角形和上铺草坪，造价为40元.设总造价为（单位：元），长为（单位：）. （1）设长为（单位：），写出关于的函数解析式； （2）当为何值时，最小？并求出这个最小值. 18. 已知关于的不等式 的解集为. （1）若，求的取值范围； （2）若存在两个不相等负实数，使得，求实数的取值范围； （3）若恰有三个整数、、在集合中，求的取值范围. 19. 已知下列不等式：（i）；（ii）；（iii）． （1）若，求这三个不等式的解集的交集． （2）若，解（ⅲ）这个不等式； （3）存在使不等式（i）和（ii）同时成立中的，且这些使不等式（ⅲ）不成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级高一第一学期第一次学情调研 数学试卷 2026年10月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. “，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ，或 D. ，且 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可判断. 【详解】“，”的否定是“，或”. 故选：C. 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】ABD选项，可通过不等式性质进行判断；C选项，可举出反例. 【详解】A选项，，故，两边同除以得，A错误； B选项，两边同加上得，B错误； C选项，不妨设，满足，但，C错误； D选项，两边同乘以得，D正确. 故选：D 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案． 【详解】充分性，因为可得到或， 若或时，可得，所以是的充分条件； 必要性，若，当时，满足，但， 故不是的必要条件， 故选：A 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解分式不等式得到，再利用集合的运算得到. 【详解】由题意得集合.所以. 故选：D. 5. 设，若关于的不等式的解集恰有3个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解一元二次不等式的解集，再利用题意即可得参数范围. 【详解】不等式，因式分解得：， 因为，所以不等式的解集为， 又因为解集恰有3个整数，所以， 解得， 故选：B. 6. 已知，则集合M的子集的个数是（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】由，可得为的正约数，又，求出子集的个数即可. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以集合，所以集合的子集个数为个． 故选：B． 7. 当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可. 【详解】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A 8. 用表示非空集合A中的元素个数，定义．已知集合，，若，则实数a的取值不可能是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的新定义，由判断或3，结合集合的元素组成分类讨论求解并验证，求得实数a的所有可能的值即可. 【详解】根据题意，已知，则， 又由，可知或3，即方程有1个根或3个根； 由，可得或， 若，可得或， 当时，，，符合题意； 当时，对应的根为0和，此时有两类情况： ①有两等根且根不为0和，由，解得， 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，符合题意. ②当是的根时，解得； 若，则，，符合题意； 若，则， ，符合题意. 综上，可得a可取的值为0，，． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AD 【解析】 【详解】 选项A：是的非空真子集，存在元素同时属于和， 例如满足且，故A正确； 选项B：对任意，都满足，必然满足， 即所有都属于，不存在且的情况，故B错误； 选项C：中存在大于2的元素，例如且， 因此“对所有，”不成立，故C错误； 选项D：对任意，可推出，因此恒成立，故D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 的一个必要条件是 B. 若集合中只有一个元素，则 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 已知集合， 则满足条件的集合N的个数为4 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，举例时不成立，进而由充分条件和必要条件的定义得不是的充分条件，也不是的必要条件；对于B，按和两种情况去探究方程的解即可；对于C，先由一元二次方程有一正一负根得，该不等式组的解即为方程有一正一负根的充要条件；对于D，先由得，再由结合子集个数公式即可得解. 【详解】对于A，当时，满足，但不成立， 所以不是的充分条件，不是的必要条件，故A错误； 对于B，当时，方程的解为， 此时集合中只有一个元素，满足题意， 当时，为一元二次方程， 则由集合中只有一个元素得，故， 所以符合题意的有两个，或，故B错误； 对于C，一元二次方程有一正一负根， 则， 所以“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，故C正确； 对于D，因为，所以， 又，故集合N的个数为个，故D正确. 故选：CD. 11. 已知a，b均为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用基本不等式即可解得； 对于B，结合代换即可用基本不等式解决； 对于C，消元变为给定范围内二次函数最值问题； 对于D，结合代换即可用基本不等式解决. 【详解】对于A， 因为a，b均为正实数，且， 所以， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B， ， 当且仅当即时，等号成立，故B错误； 对于C， ， 当时，的最小值为，故C正确； 对于D， ， 当且仅当即时，等号成立，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，∴，∴，∴解集为. 故答案为：． 13. 已知：；：．若是的必要条件，则实数的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【详解】 设集合，， 若是的必要条件，则，， 因此有  ，解得； 故实数的取值范围为 . 14. 对任意，，记，并称为集合，的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的有_____ ①．若，且，则 ②．若，且，则 ③．若，且，则 ④．对任意，，都有⊕⊕ 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据集合新定义，结合集合的交集、并集、补集之间的元素关系逐项判断即可． 【详解】对于①，因为⊕，所以，，故，故①错误； 对于②，，且⊕，则，， 即与是相同的，所以，故②正确； 对于③，，且⊕，则，， 故，且中元素不能出现在中，故，故③正确； 对于④，⊕ ， 其中， ， 故⊕ ，，， 而⊕，，故⊕⊕，故④正确． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，，，. （1）求，的值及A，； （2）求. 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】（1）利用交集的结果可求得，的值，再计算集合A，即可； （2）根据（1）的结果结合交、并集合运算即可. 【小问1详解】 由题意可得，，则， 则或，即， 或，即， 则，满足题意. 综上所述，，，，； 【小问2详解】 由可知，. 16. 解决下列问题 （1）.已知，，求的取值范围； （2）.已知，，求的取值范围； （3）.已知，比较与的大小. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由不等式性质可解决问题； （2）由待定系数法结合不等式性质可得答案； （3）由作差法结合条件可比较大小. 【小问1详解】 因，，则， 则； 【小问2详解】 设. 则.， 则； 【小问3详解】 因，则， 则 17. 如图，居民社区要建一个休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的成轴对称的“”形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在两个相同的矩形和上铺花岗岩地坪，造价为210元；在两个三角形和上铺草坪，造价为40元.设总造价为（单位：元），长为（单位：）. （1）设长为（单位：），写出关于的函数解析式； （2）当为何值时，最小？并求出这个最小值. 【答案】（1） （2）， 元. 【解析】 【分析】（1）由题意得，求出即可； （2）根据题意表示出每一部分的面积，再乘以相应的每平方米的造价，然后相加可得，化简后利用基本不等式可求出其最小值. 【小问1详解】 由题意得， 解得， 由于，得， 所以； 【小问2详解】 由题意得， 所以， ， 当且仅当，即时取“ 所以当时，最小，且元. 18. 已知关于的不等式 的解集为. （1）若，求的取值范围； （2）若存在两个不相等负实数，使得，求实数的取值范围； （3）若恰有三个整数、、在集合中，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）；(3) 【解析】 【分析】（1）根据解集，分为和进行讨论，分别得到的范围，得到答案；（2）根据解集，可得，根据为两个不相等负实数，得到，根据韦达定理，得到的不等式，解出的范围，得到答案；（3）根据解集中恰有个整数，得到，设并判断出满足题意，根据对称性得到也满足，则要求时，，从而得到关于的不等式，解出的范围，得到答案. 【详解】（1）不等式，其解集 ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，则，即 解得 综上所述： （2）因为不等式的解集为， 且为两个不相等负实数， 可得，即 解得 综上可得，. （3）解集中恰有个整数，可得 设，开口向下，对称轴为， 可得， 可知解集中的三个整数一定有和， 根据二次函数的对称性得到，还有一个整数一定为， 此时已满足解集中恰有三个整数，则要求 ，即 解得 【点睛】本题考查不等式恒成立，根据二次不等式的解集求参数范围，二次函数图像与性质，根的分布，属于中档题. 19. 已知下列不等式：（i）；（ii）；（iii）． （1）若，求这三个不等式的解集的交集． （2）若，解（ⅲ）这个不等式； （3）存在使不等式（i）和（ii）同时成立中的，且这些使不等式（ⅲ）不成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. （3）存在，且实数的取值范围是 【解析】 【分析】（1）当时，解出三个不等式，利用交集的定义可得出三个不等式解集的交集； （2）将所求不等式变形为，分、、三种情况讨论，利用一次不等式或二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （3）设不等式、、的解集分别为、、，求出集合，考虑时实数的取值范围，可得出当时，实数的取值范围，然后分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 设不等式、、的解集分别为、、， 当时，， 由可得，解得， 即， （iii）中的不等式即为，即，即， 解得或，即， 所以，. 【小问2详解】 （iii）中的不等式即为， 即， 当时，原不等式即为，解得； 当时，，解原不等式可得； 当时，因为，即， 解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 【小问3详解】 设不等式、、的解集分别为、、， 解不等式，可得，解得， 则，且， 下面考虑当时，实数的取值范围， 则或，解得或， 所以，当时，， 因为满足不等式，则， 即，所以，或，解得或， 所以，或， 当时，，此时，， 由题意可得，所以，，可得， 解得或，此时，； 当时，，此时，或， 由题意可得，则，该不等式组无解. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问的关键在于分析出以及，由此列出关于实数的不等式进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $