精品解析：江苏省海门中学2026-2027学年高一上学期九月学情调研数学试卷（实验班）

江苏省海门中学2026-2027学年度第一学期9月份学情调研（实验班） 高一数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ） 1. 已知为虚数单位，若复数满足： ，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设复数，其中，，为的虚部。 ∵ ， ∴ 该复数的虚部为0，即，解得， 即的虚部为。 2. “，”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，所以， 当，，当且仅当，即时取等号，所以， 则，， 选项A，能推出，不能推出，故是它的一个充分不必要条件； 选项B是它的充分必要条件，选项C、D，是既不充分也不必要条件. 3. 正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用线线平行的传递性求得异面直线与所成角，再在中利用余弦定理即可得解. 【详解】依题意，不妨设，则， 因为在正四棱柱中，， 所以四边形是平行四边形，则， 所以异面直线与所成角， 在中，，，则， 由余弦定理得. 故选：C. 4. 已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的性质，由模长求解，再根据投影向量的公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 则， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 5. 若函数在上无最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，在上第一次使得，解得， 当时，在上第二次使得，解得， 当时，函数在上无最小值，解得. 所以的取值范围为. 6. 函数的最大值为（ ）. A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，令 ， 则，于是 令，则. 由知或1. 因为，于是的最小值是，所以的最大值是. 故答案为:B 7. 已知直四棱柱 的底面是边长为6的正方形， 8，点M是棱AA₁的中点，E是棱AB上的一点，且，则过点的平面截直四棱柱 所得截面的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先作出过点D₁，M，E的平面截四棱柱的截面多边形，然后分别求截面多边形的边长，即得截面多边形的周长. 【详解】连接并延长，交的延长线于点，连接并延长，交于点， 交的延长线于点，连接，交于点，连接，，， 所以过点，，的平面截直四棱柱的截面为五边形． 因为为的中点，， 由平行线分线段成比例可知：，， 故点为中点，故，又， 故，． 因为四棱柱为直棱柱， 故， ， ，， ，所以五边形的周长为． 8. 已知定义在上的单调函数满足.若对，使成立，则n的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的单调性求出的表达式,再分别求出在上的最大值 在上的最大值,最后根据已知条件求出的最小值. 【详解】设,t为常数,则.且在上单调，由已知可知, 即即,解得且在上单调递增.所以在上的最大值为. 在上的最大值. ∵对,，，…，,使得成立,只需 ,即,即. 故选:B. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 关于复数z与其共轭复数，模，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则的最大值是3 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义及复数运算判断AB，根据复数的乘法运算判断C，根据复数的几何意义结合圆上的点到定点的距离判断D. 【详解】设，，则. 对于A：，A正确. 对于B：，B正确. 对于C：， ， 所以不一定成立，C错误. 对于D：表示复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆. 表示圆上的点到原点的距离，圆心到原点的距离为1，所以的最大值为，D正确. 10. 已知，若，则（    ） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最大值为8 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】AD选项，由基本不等式求出最值；B选项，化为，求出最小值；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】选项，由，即， 当且仅当，且，即时取等号，所以A选项正确； 选项，因为， 当且仅当时，取到最小值，所以B选项错误； C选项，因为，所以， 当且仅当，且，即，时取等号，所以C选项错误； D选项，， 当且仅当，且，即时取等号，所以选项正确. 11. 在锐角中，内角，，的对边分别是，，，已知，则下列说法正确的是（    ） A. B. 有最大值2 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，利用公式将条件化成齐次式进而化简； B选项，将代数式消元成只剩角A的三角函数，进而用辅助角公式求最值； C选项，由正弦函数值域易证； D选项，用换元法进行消元求证. 【详解】A选项，因为，所以， 故， 因为是锐角三角形，所以，故， 即，所以A选项正确； B选项， ， 由辅助角公式得，正弦函数的最大值为，所以B选项错误； C选项，因为，，所以， 设的外接圆半径为，则，即，所以C选项错误； D选项，由于，所以，，故， 要证，等价于证明， 因为， 所以，当且仅当时等号成立 ， 当且仅当时等号成立，因为该三角形为锐角三角形，所以，所以D选项正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分. ） 12. 如图，平面的一条斜线l与交于点O，是l在上的投影，是上过点O的另一条直线，若l上一点A到平面的距离为1，l与所成的角的大小为45°，l与所成的角的大小为60°，则点A到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三垂线定理即可求解为 A到直线的距离，进而根据三角形的边角关系求解长度即可. 【详解】因为是在上的投影，所以就是与平面所成的角， 由于l与所成的角的大小为45°，故， 过作于,过作于点，连接, 依题意可得：，又所以， 又因为平面， 所以平面， 因为平面，所以，故为 A到直线的距离， 在中， ,,所以， 在中，,； 故答案为： 13. 已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数同增异减， 则二次函数在上单调递减且；再结合二次函数图象的对称轴列不等式，同时保证区间内恒大于 0，联立求出的取值范围. 【详解】令，则， 由在区间上单调递增，且单调递减， 得在区间上单调递减， 因为二次函数图象开口向上，对称轴为直线，所以，所以， 因为，所以，由在区间上单调递减， 所以当，取得最小值为，则，故， 综上，实数的取值范围为. 14. 若，则＝________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知等式两侧平方相加，应用差角正弦公式化简得，从而有，代入整理得，并将化为求，即可得. 【详解】由题设，则， 两式相加得，可得， 由，则，故， 代入，则， 所以， 则， 所以. 四、解答题 15. 如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． （1）求证：平面； （2）若是线段上一动点，点是线段的中点，是否有平面？证明你的结论． 【答案】（1）证明：因为在梯形中，， 又面，面， ∴面，因为面，面面，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2）为中点时，平面． 证明：连接，，因为，分别为，的中点， 所以，因为平面，平面， 所以平面， 取的中点，连接，， 则，则，且， 所以四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面， 所以平面，，、平面， 所以平面平面， 因为是上的动点，平面，所以平面. 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理可得面，再结合线面平行的性质定理可得，从而可证平面； （2）根据线面平行的判定定理可证当为中点时，平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 为中点时，平面，证明略. 16. 已知函数，，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数解析式； （2）求在上的单调递增区间； （3）设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）三角恒等变换降幂，利用对称轴间距求周期，算出； （2）正弦函数增区间整体代换，再和定义域取交集； （3）任意性恒成立转化：，分别求其最值，解不等式求出的取值范围. 【小问1详解】 ， 相邻对称轴距离，， 即. 【小问2详解】 解不等式， 可得， 或，与求交集： 递增区间为，. 【小问3详解】 对于任意的，，都有， 等价于， ，，， 不等式转化为， ， 令，， ，开口向下，对称轴， 当时，最大值， 代入解不等式，得， 当时，最大值， 代入解不等式，得， 当时，最大值， 代入解不等式，得， 综上，. 17. 如图，在三棱柱中，平面ABC，D为AC的中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线AB与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 连接，设与相交于点，连接， ∵四边形是平行四边形，∴点为的中点. ∵为的中点，∴为的中位线， ∴， ∵平面，平面， ∴平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，设与相交于点，连接，应用中位线证明，即可证明平面； （2）以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，又，从而可求直线与平面所成角的正弦值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意知，，所以， 因为平面，平面， 所以，又， 平面， 所以平面，设的中点为，连接，则， 因为平面，所以平面， 以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴和轴， 建立空间直角坐标系. 在，所以， 则，，，. ∴，. 设平面的法向量为， 由及，得， 令，得，.故平面的一个法向量为， 又， 设直线与平面所成角为， 则. ∴直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知的三个角，，的对边分别为，，，满足． （1）求； （2）设，，点，，分别在边，和上，且为等边三角形． （i）若，求的周长； （ii）求周长的最小值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合恒等变换得即可求得答案； （2）（i）设等边边长为，则根据正弦定理，三角函数关系分别求得,，再结合，解得即可求得周长；（ii）设等边边长为，，,同（i）理，求得，，进而结合求得，再根据三角函数性质求解最值即可. 【小问1详解】 解：因为， 所以，由正弦定理边角互化得： 整理得， 因为， 所以，即 因为，在中，，所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为， 所以，， （i）设等边边长为， 在中，，故, 所以，, 因为， 所以 在中，， 因为， 所以，即，解得. 周长. (ii) 设等边边长为，，， 在中，，,， 因为，所以， 在中，，， 由正弦定理得， 因为，即， 整理得： 因为，其中， 因为，， 所以，即， 所以 所以，周长的最小值为 所以，周长最小值为 19. 已知函数，． （1）求； （2）设函数，对，，求的取值范围； （3）设函数，是否存在，使得关于的方程有且仅有四个解，，，，且满足．若存在，求；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或． （3）存在，． 理由如下： ． 中，显然，时，且单调递减； 时，且单调递减， ， 故关于中心对称， 令，方程可化为①， 方程有且仅有4个解，则方程①有两个不等正根，，且两根均大于2， 所以，解得， 四个解从小到大排列为，根据的对称性， 不妨设，， 由，可得， 因为，所以，即， 联立，化简得， ，解得： 综上，存在，． 【解析】 【分析】（1）结合指数的运算化简即可求解； （2）令，可将问题转化为．恒成立，结合二次函数的图像与性质研究即可求解； （3）令，将问题等价于方程有两个不等正根，，且均大于2，利用根与系数关系求解即可. 【小问1详解】 ，， ； 【小问2详解】 ，由（1）得， ． 令，则，． 即，令，对称轴， ①即时，最小值为，故只需或， 得或； ②即时，最小值为，故只需， 综上：或． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省海门中学2026-2027学年度第一学期9月份学情调研（实验班） 高一数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ） 1. 已知为虚数单位，若复数满足： ，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. “，”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上无最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的最大值为（ ）. A. B. 1 C. D. 7. 已知直四棱柱 的底面是边长为6的正方形， 8，点M是棱AA₁的中点，E是棱AB上的一点，且，则过点的平面截直四棱柱 所得截面的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的单调函数满足.若对，使成立，则n的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 9 D. 10 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 关于复数z与其共轭复数，模，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则的最大值是3 10. 已知，若，则（    ） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最大值为8 D. 的最小值为 11. 在锐角中，内角，，的对边分别是，，，已知，则下列说法正确的是（    ） A. B. 有最大值2 C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分. ） 12. 如图，平面的一条斜线l与交于点O，是l在上的投影，是上过点O的另一条直线，若l上一点A到平面的距离为1，l与所成的角的大小为45°，l与所成的角的大小为60°，则点A到直线的距离为______． 13. 已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为______________． 14. 若，则＝________． 四、解答题 15. 如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． （1）求证：平面； （2）若是线段上一动点，点是线段的中点，是否有平面？证明你的结论． 16. 已知函数，，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数解析式； （2）求在上的单调递增区间； （3）设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 17. 如图，在三棱柱中，平面ABC，D为AC的中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线AB与平面所成角的正弦值． 18. 已知的三个角，，的对边分别为，，，满足． （1）求； （2）设，，点，，分别在边，和上，且为等边三角形． （i）若，求的周长； （ii）求周长的最小值． 19. 已知函数，． （1）求； （2）设函数，对，，求的取值范围； （3）设函数，是否存在，使得关于的方程有且仅有四个解，，，，且满足．若存在，求；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $