精品解析：山东临沂第三中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

高三数学月考10月 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则（ ） A. 5 B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件求出，再利用复数的乘法可得答案. 【详解】因为，所以， 所以，即. 故选：B 2. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵，，，， ∴，， ，， 所以 . 故选：B. 3. 的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用面积公式和余弦定理进行计算可得． 【详解】由题可知， 所以， 由余弦定理， 所以． ， ． 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对式子的分子、分母同除以，转化为，代入求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C 5. 在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量加法及数乘向量运算求解即得. 【详解】依题意，，而， 所以 故选：D 6. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 7. 在中，角的对边分别为，已知角的内角平分线长为1，若，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角形面积定理结合均值不等式求解作答. 【详解】在中 ，， 因角B的内角平分线的长为1，由得：， 即，因此， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：B 8. 已知实数，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为与的交点横坐标大小问题，利用函数图象与性质判定即可. 【详解】由可化为： ， 作出与的图象如下： 由于，所以， 即先与相交，再与相交，可得， 又，所以，所以. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角函数的性质对选项逐一判断即可. 【详解】由图象得，，解得，所以的最小正周期为，故A错； ，则，将代入中得， 则，，解得，， 因为，所以，，， 所以是的对称轴，故B正确； 当时，，因为在上不单调， 所以在上不单调，故C错； 该图象向右平移个单位可得，故D正确. 故选：BD 10. 在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，下列说法中正确的有（ ） A. 若点O为△ABC的重心，则 B. 若点O为△ABC的外心，则 C. 若点O为△ABC的垂心，则 D. 若点O为△ABC的内心，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据重心性质和向量的平行四边形法则来判断；B选项，根据外心性质和向量的数量积运算法则求解即可；C选项，根据垂心性质和向量的数量积运算法则求解即可；D选项，根据三角形内心的性质及向量三点共线求系数和即可. 【详解】A选项，如图1，设BC中点为D，则，由于点O为△ABC的重心，则，所以，A选项正确； B选项，如图2，设AB中点为E，由于点O为△ABC的外心,则垂直，，B选项错误； C选项，如图3，作，垂足为，则在上，在△ABC中由余弦定理可得，在直角△ACF中，， 所以，C选项正确； D选项，如图4，设△ABC的内切圆半径为，由可得， 则，， 由，且为三角形内角，可得，， 则， 延长交于点， 则即， 则，则， 由于B、C、G三点共线，则，，D选项正确； 故选：ACD. 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上是单调递减函数 C. 的图象关于直线对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：整理可得，即可得最小正周期；对于B：求出函数导数，分析导函数的符号判断函数单调性；对于C：根据对称性定义分析判断；对于D：分析易得是函数的一个周期，进而结合导数求解值域. 【详解】对于A，因为 ， 所以的最小正周期为，故A正确； 对于B， ，， 当时，，所以， 所以，所以在上是单调递增函数，故B错误； 对于C，， 所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，因为， 所以函数为周期函数，且是函数的一个周期， 只需求出函数在上的值域，即为函数在上的值域， 由， 则， 当时，，故， 此时，函数在上单调递增， 当时，，， 此时，函数在上单调递减， 所以当时，， 又因为，则， 则函数的值域为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前项和，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用求解. 【详解】时，； 时，， 时，不满足上式，所以. 13. 已知向量的夹角为，若，且在上的投影向量为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义列式求出，进而求出. 【详解】由及在上的投影向量为，得， 则，解得，因此，即， 所以. 故答案为：. 14. 莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算将所求式子表示为，再利用三角形的几何意义求解即可. 【详解】设为的中点，为的中点，如图所示， 则 ， 在正三角形中，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以的最小值为： . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）求函数的对称轴和对称中心； （2）当，求函数的值域． 【答案】（1）函数的对称轴为，对称中心 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质运算求解； （2）采用整体替换的方法，先确定出的取值范围，然后根据正弦函数确定出最值，由此求解出的值域. 【小问1详解】 因为， 令，解得； 令，解得； 所以函数的对称轴为，对称中心. 【小问2详解】 因为，则， 当，即时，函数取到最大值； 当，即时，函数取到最小值； 所以函数的值域为. 16. 如图，在中，，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，且，其中. 求的最大值. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）1. 【解析】 【分析】(I）建立坐标系，求出向量坐标，代入数量积公式计算； (II）利用向量坐标运算，得到三角函数，根据三角函数求出最大值. 【详解】（Ⅰ） . （Ⅱ）建立如图所示的平面直角坐标系，则，. 设，， 由， 得. 所以. 所以，， ， 因为，. 所以，当，即时，的最大值为. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算，向量的坐标运算，正弦型函数的图象与性质，属于中档题． 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，． （1）求A； （2）点是边上一点，，且，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理角化边结合多项式因式分解运算从而得的等式关系，再由余弦定理得角A即可；或者利用正弦定理边化角，结合和差公式与角度关系化简从而得角A的大小； （2）根据平面向量线性运算可得两边取平方再结合余弦定理化简可得关系，从而得的值． 【小问1详解】 方法一：由和余弦定理， 可得：， 展开得， 即， 所以，即， 所以，即， 所以，则，即， 由余弦定理，， 因为，所以； 方法二：因为， 由正弦定理可知：， 所以，即， 因为，， 则有或(此情况在三角形中不能成立)， 故， 由，可得． 【小问2详解】 由，可得，即， 两边取平方：，即， 依题意，，即， 两边同时除以可得：， 或， 因，则． 18. 在中，角的对边分别为．且满足． （1）求角的大小； （2）若的面积，内切圆的半径为，求； （3）若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用和角公式及诱导公式化简，借助于同角三角函数式和特殊角的函数值即得答案； （2）由三角形面积公式得，由等面积法得出，结合余弦定理即可求得边； （3）根据等面积法，可得与的关系，再利用基本不等式求得的最小值，继而可得三角形面积最小值． 【小问1详解】 由，得， 所以， 所以，即. 因为，所以. 【小问2详解】 由题可知，化简得. 由余弦定理知，即， 所以，解得. 【小问3详解】 因为的面积为， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以，即， 所以的面积， 当且仅当时，的面积取得最小值，最小值为. 19. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； （3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. 【答案】（1） （2）证明：由（1）知， 所以 ， 即. （3） 【解析】 【分析】（1）先计算的值，再由，利用向量数量积的运算律计算即可； （2）利用向量数量积的运算律计算并化简即可得证； （3）利用（2）的公式计算，设，求出，将转化成，结合二次函数的图象即可求得的值域. 【小问1详解】 因为的“完美坐标”为，则， 又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为， 所以,， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为向量，的“完美坐标”分别为，， 由（2）得. 令，则， 因为，所以，即， 令， 因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分， 所以当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以的值域为. 【点睛】思路点睛：本题在求解与之相关的函数问题时，应按照新定义，准确写出函数解析式，对于较复杂的三角式，常常运用整体换元思想，将其转化成熟悉的函数，如二次函数、双勾函数等，利用这些函数的图象性质特征求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学月考10月 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则（ ） A. 5 B. 2 C. D. 1 2. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 7. 在中，角的对边分别为，已知角的内角平分线长为1，若，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 8. 已知实数，且满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 10. 在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，下列说法中正确的有（ ） A. 若点O为△ABC的重心，则 B. 若点O为△ABC的外心，则 C. 若点O为△ABC的垂心，则 D. 若点O为△ABC的内心，且，则 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上是单调递减函数 C. 的图象关于直线对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前项和，则数列的通项公式为__________． 13. 已知向量的夹角为，若，且在上的投影向量为，则__________. 14. 莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）求函数的对称轴和对称中心； （2）当，求函数的值域． 16. 如图，在中，，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，且，其中. 求的最大值. 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，． （1）求A； （2）点是边上一点，，且，若，求的值． 18. 在中，角的对边分别为．且满足． （1）求角的大小； （2）若的面积，内切圆的半径为，求； （3）若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 19. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； （3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $