山东省青岛第五十八中学2026-2027学年高三上学期0月阶段性调研测试数学试题

绝密★启用前 2027届青岛五十八中高三阶段性调研测试 数学试题评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．A 2．A 3．D 4．C 5．B 6．C 7．B 8．D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．ACD 10．AD 11．ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题 15．（13分） （1）[方法一]：【通性通法】焦点弦的弦长公式的应用 由题意得，设直线的方程为． 设，，由得． ，故． 所以． 由题设知，解得（舍去）或．因此的方程为． [方法二]：弦长公式的应用 由题意得，设直线的方程为． 设，，则由得，． ，由，解得（舍去）或．因此直线的方程为． [方法三]：【最优解】焦点弦的弦长公式的应用 设直线的倾斜角为，则焦点弦，解得，即．因为斜率，所以． 而抛物线焦点为，故直线的方程为． [方法四]：直线参数方程中的弦长公式应用 由题意知，可设直线的参数方程为（为参数）． 代入整理得，． 设两根为，，则，． 由，解得． 因为，所以，因此直线的参数方程为 故直线的普通方程为． [方法五]：【最优解】极坐标方程的应用 以点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，此时抛物线的极坐标方程为． 设，，由题意得，解得， 即． 所以直线的方程为． （2）[方法一]：【最优解】利用圆的几何性质求方程 由（1）得的中点坐标为，所以的垂直平分线方程为，即． 设所求圆的圆心坐标为，则 解得或， 因此所求圆的方程为或． [方法二]：硬算求解 由题意可知，抛物线的准线为，所求圆与准线相切． 设圆心为，则所求圆的半径为． 由得，． 所以， 解得或， 所以，所求圆的方程为或． 16．（15分） （1）[方法一]：【最优解】判定定理 由题设知，平面平面，交线为． 因为，平面． 所以平面，因平面，则． 又因为上异于，的点，且为直径，所以． 又，，平面，所以平面． 又平面，故平面平面． [方法二]：判定定理 由题设知，平面平面，交线为． 因为，平面，所以平面， 而平面，所以， 因为为上异于，的点，且为直径，所以． 又，，平面，所以平面， 而平面，故平面平面． [方法三]：空间向量法 因正方形所在平面与半圆弧所在平面垂直， 故可以点为原点，，所在直线分别为，轴， 过点且垂直于平面竖直向上方向为轴建立空间直角坐标系如图2． 则，，，，设， 则，，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 设平面的一个法向量为， 则，故可取 因为点在以为圆心，半径为1的圆上， 所以，即， 而，所以平面平面． （2）[方法一]：【通性通法】向量法 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 当三棱锥体积最大时，为的中点． 由题设得，，，，， ，，， 设是平面的法向量，则 即，可取． 是平面的一个法向量， 因此，则， 所以面与面所成二面角的正弦值是． [方法二]：几何法（作平行线找公共棱） 如图3，当点与圆心连线时，三棱锥体积最大． 过点作，，，易证为所求二面角的平面角． 在中，，即面与面所成二面角的正弦值是． [方法三]：【最优解】面积射影法 设平面与平面所成二面角的平面角为． 由题可得在平面上的射影图形正好是． 取和的中点分别为和，则可得，， 所以由射影面积公式有， 所以，即面与面所成二面角的正弦值是． [方法四]：定义法 如图4，可知平面与平面的交线过点，可以证明，． 分别取，的中点，，联结，，，可证得直线平面， 于是平面，所以，，故是面与面所成二面角的平面角． 在中，，，，则， 所以，即面与面所成二面角的正弦值为． 17．（15分） （1）由已知，，，两式相减得到，． 又由得到，故对所有都成立． 所以，数列是首项为1，公比为的等比数列． 从而． 由，，成等差数列，可得，即，则， 由已知，，故． 所以． （2）证明：由（1）可知，． 所以双曲线的离心率． 由解得． 因为，所以． 于是， 故． 18．（17分） （1）由，得． 所以，． 由题设知，，． 所以，． 所以． 因为是整数，所以，． （2）由（1）知，． 记，则，． 令，即，得． 因为，所以不是的极值点． ①当时，，单调递增． 因为，，所以存在，使得，且是在内的唯一零点． 当时，， 当时，，所以是在内的唯一极值点． ②当时，，单调递减且，所以1是在内的唯一零点． 当时，，当时，，所以1是在内的唯一极值点． 综上可知，函数的极值点个数是2． （3）直线：过点． ①在区间上，由（2）知，当时，．所以当时，当时，与没有交点． ②在区间上，令，则．由（2）知，在上单调递增． 当时，， 故在上单调递减，且，， 所以存在使得，且是在上的唯一零点，即当 时，与只有1个交点． 当时，，． 所以存在使得，且是在内的唯一零点． 又因为在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，于是． 由于，，所以存在使得，且是在上的唯一零点，即当时，与只有1个交点． 综上可知，直线与曲线恰有1个交点． 19．（17分） （1） （2）（ⅰ）因为甲社区中男生和女生都认识，因此． （ⅱ）当时，， ， 所以， ， ， 因为 ， 两边同乘以，得． （ⅲ）当时，考虑乙社区中的女生，有以下两种情况： ①当女生被选中时，其余队共有种不同的选法， 可在余下个男生中任选一人，有种选法， 因此由乘法计数原理可知，共有种选法； ②当女生没被选中时，此时从，，…，中选出个女生，从，，…，中选出个男生组队，共有种选法； 所以当时，， 当时，由前述分析可得， 由（ⅱ）可知满足相同的递推公式， 因为，，， 所以和有相同的递推关系和初始值， 所以对任意和，，…，，均有． 所以， 设乙社区中各选个男生和个女生，男、女组成个队，共有种情况，且， 因此，满足组队要求的概率 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2027届青岛五十八中高三阶段性调研测试 数学 2026.10 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． A． B． C． D． 2．已知集合，则中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D．4 3．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 4．已知在中，，，，则 A． B． C． D． 5．已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，侧棱长为，则其体积为 A．108 B．112 C．120 D．124 6．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为 A．13 B．12 C．9 D．6 7．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则 A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 8．设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，则 A． B． C． D． 10．若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质．下列函数中具有性质的为 A． B． C． D． 11．在如图的数表中，每行从左到右的四个数成等比数列，每列从上到下的四个数成等比数列，且所有公比均不为1或．若数表中有四个数为1，有四个数为2，则 A．数表中每行恰有一个数为1 B．数表中共有6个不同的数 C．数表中所有数的乘积为256 D．符合条件的数表共有4个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，．若，则________． 13．已知，，则________． 14．在正三棱锥中，，，点在内部运动（包括边界），点到棱，，的距离分别记为，，，且，则点运动路径的长度为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 设抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 16．（15分） 如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点． （1）证明：平面平面； （2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值． 17．（15分） 已知数列的首项为1，为数列的前项和，，其中，． （1）若，，成等差数列，求数列的通项公式； （2）设双曲线的离心率为，且，证明：． 18．（17分） 设函数（是整数）．已知曲线在点处的切线方程为． （1）求，的值； （2）求的极值点个数； （3）求直线：与曲线的交点个数． 19．（17分） 甲社区有个女生和个男生，且每个女生都认识所有男生；乙社区有个女生，，…，和个男生，，…，，其中女生认识男生，但不认识其他男生．现从甲社区和乙社区分别选出队选手参加社区比赛，每队选手均为2人． （1）若，，求所有参赛队伍的参赛选手性别相同的概率； （2）若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的队的不同的选法种数为和． （ⅰ）求； （ⅱ）证明：当时，； （ⅲ）若乙社区将选出的个男生和个女生按男、女搭配随机组队，求组队结果满足参赛要求的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $