专题01 期中真题百炼通关120题40大易错题型（期中专项训练）九年级数学上学期新教材苏科版

专题01 期中真题百炼通关（120题40大易错题型） 易错·固本强基 题型1 一元二次方程的相关概念 题型2 解一元二次方程 题型3 配方法应用 题型4 根的判别式 题型5 根据一元二次方程根的情况求参数 题型6 一元二次方程根与系数的关系 题型7 一元二次方程的实际应用 题型8 反比例函数的相关概念 题型9 画反比例函数的图象 题型10 反比例函数的增减性 题型11 反比例函数的k值意义 题型12 反比例函数与一次函数的关系 题型13 反比例函数的实际问题 题型14 圆的基本概念 题型15 确定圆的条件 题型16 垂径定理 题型17 圆周角 题型18 圆的内接四边形 题型19 切线的性质与判定 题型20 切线长定理 题型21 扇形的弧长与面积、圆锥的侧面积 题型22 平均数 题型23 中位数与众数 题型24 四分位数和箱线图 题型25 方差与离差平方和 题型26 概率的计算 题型27 二次函数的相关概念 题型28 二次函数的图象 题型29 二次函数的性质 题型30 二次函数图象与各项系数符号 题型31 二次函数图象的平移 题型32 待定系数法求二次函数解析式 题型33 二次函数的实际应用 题型34 二次函数与方程、不等式的关系 题型35 比例线段 题型36 黄金分割 题型37 图形的位似 题型38 相似三角形的判定 题型39 相似三角形的性质 题型40 相似三角形的应用 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 易错·固本强基 题型1 一元二次方程的相关概念（共3小题） 【易错】忽略二次项系数不为 0；未化成一般式，误判未知数最高次数。 1．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义列方程和不等式，进而即可求解． 【详解】解：根据题意， 可得， 解得． 2．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）已知m为方程的一个根，求_________． 【答案】 【分析】根据方程根的定义得到，对所求多项式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：∵为方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 3．（26-27九年级上·江苏·单元测试）若等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况进行讨论，即当腰长为，当底边长为，进而求解即可． 【详解】解：当腰长为时，将代入，得， 解得， 此时，原方程为，即， 解得，， 则三角形三边为，，， ∵， ∴符合题意； 当底边长为时，方程有两个相等的根， ∴， 解得， 此时，原方程为，即， 解得， 则三角形三边为，，， ∵， ∴符合题意； 综上，的值为或，故只有B符合． 题型2 解一元二次方程（共3小题） 【易错】两边同除含未知数式子丢根；开平方漏负根，计算符号出错。 4．（26-27九年级上·江苏南京·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）对方程因式分解，令每个因式等于，求出方程两根； （2）移项后变形，提取公因式因式分解，再令各因式为求解． 【详解】（1）解：， 可得， 则或， 解得，． （2）解：， 可得， 则，即， 则或， 解得，． 5．（26-27九年级上·江苏镇江·期中）解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 或 解得，； （3）解： ，， 解得，． 6．（26-27九年级上·江苏南京·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2) (3)， (4) 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）将该方程整理得，再利用配方法解该方程即可； （3）将该方程整理得，再利用因式分解法解该方程即可； （4）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型3 配方法应用（共3小题） 【易错】配方时只加一边常数；二次项系数未化为 1 就直接配方。 7．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）若是关于x的方程的一个解，则的最大值为（     ） A．0 B．8 C．16 D．24 【答案】C 【分析】将方程的解代入原方程，建立m与n的数量关系，再转化为二次式配方求最值即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴将代入原方程得， ， 将代入得， ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 8．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．若关于的方程是“邻根方程”，令，则的最大值是___________． 【答案】1 【分析】利用公式法解方程得到或，根据“邻根方程”的定义得到，则可推出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵关于的方程是“邻根方程”， ∴关于的方程有两个实数根， 解方程得或， 由“邻根方程”的定义可得， ∴， ∴， ∴，即， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴t的最大值为． 9．（26-27九年级上·江苏镇江·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如，因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以．所以当时，即x=-2时，的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)求的最小值； (2)已知，则 ； (3)已知有理数x、y满足，求的最小值． 【答案】(1)当时，的最小值为． (2)． (3)的最小值为． 【分析】（1）先对二次三项式配方，利用完全平方式的非负性求最小值即可； （2）将等式左边分组配方为两个完全平方式的和，结合非负数的性质求解x、y的值，最后再求即可； （3）先用含x的代数式表示y，代入后配方，利用完全平方式的非负性求最小值． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴当时，取得最小值0， ∴ ，即的最小值为． （2）解：， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值0， ∴ ，即的最小值为． 题型4 根的判别式（共3小题） 【易错】未化为一般式就求 Δ；Δ≥0、Δ>0 概念混淆，忽视二次项系数。 10．（26-27九年级上·云南曲靖·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，该方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为3，求k的值及方程的另一个根． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ∵， ∴． ∴无论k取何值，该方程总有实数根． (2)k的值为3，方程的另一个根为2 【分析】（1）求出判别式的符号即可得出结论； （2）把代入方程，求出的值，再解方程即可. 【详解】（1）略 （2）解：把代入方程，得， 解得， ∴方程为， ∴， 解得或， ∴方程的另一个根为2. 11．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：这个方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根，求方程的另一个根以及的值． 【答案】(1)证明：∵ 方程是一元二次方程 ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 这个方程总有两个不相等的实数根． (2)的值为， 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式求解即可； （2）把代入原方程，解方程求得m的值，利用直接开平方法，求方程的另一个根． 【详解】（1）证明：略． （2）解：把代入原方程，得， 解得； 故原方程变形为， 解得， 故． 12．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】结合已知确定根的判别式的符号，即可作出判断． 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 题型5 根据一元二次方程根的情况求参数（共3小题） 【易错】只看 Δ，漏掉二次项系数≠0；解出参数不检验取舍。 13．（26-27九年级上·江苏徐州·期中）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 14．（26-27九年级上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象在第一、三象限，且关于x的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是_________． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象位置得出的初步范围，再结合一元二次方程有实数根的条件得到的完整取值范围，找出所有符合条件的整数求和即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴，解得， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数不能为，且根的判别式大于等于 即，得， ， 解得， 综上可得的取值范围是，且， ∴满足条件的整数为， 所有满足条件的整数的值之和为． 15．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有实数根； (2)若关于的方程的一个根比另一个根大1，求的值． 【答案】(1) 证明：对于二次方程， 判别式 ， 整理： 由于对于所有实数 m 成立， 即对于所有实数 m 成立， 因此方程总有实数根． (2)1或3 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式； （1）求出一元二次方程的判别式，得到判别式，即可证出结论； （2）设方程的两个根为和 ，且 ，结合韦达定理得到，解出 或 ．代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的两个根为和 ，且 ． 由韦达定理： 根之和：， 根之积：． ∵： ∴， ． 由 解得： 代入根之积方程： 整理得： 解得： 或 ． 当 时，，则 ． 当 时，，则 ． 题型6 一元二次方程根与系数的关系（共3小题） 【易错】使用韦达定理前不验证 Δ；符号记错，忽略方程有实根前提。 16．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）设是一元二次方程的两个根，则___________． 【答案】 【分析】已知一元二次方程的两个根，求两根之和，直接利用根与系数的关系计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个根， ∴． 17．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为_________． 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系列关于的方程，求出的可能值，再结合方程有两个实数根，利用判别式验证，舍去不符合要求的解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴根据根与系数的关系可得． 又∵， ∴， 解得或． ∵方程有两个实数根， ∴判别式， ∵． 当时，，不符合有两个实数根的要求，舍去． 当时，，符合要求． ∴的值为． 18．（26-27九年级上·江苏连云港·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根和． (1)求k的取值范围； (2)如果，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个不相等实数根的条件，利用判别式列不等式求解k的取值范围． （2）利用根与系数的关系将已知等式变形，代入求解k后结合（1）的范围取舍． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴． ∵，，， ∴， ， ， 解得． （2）解：由根与系数的关系，得，． ∵，， ∴， 代入得， ， ， ， 解得，， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴． 题型7 一元二次方程的实际应用（共3小题） 【易错】解出根不结合实际取舍；设未知数不带单位，等量关系列错。 19．（26-27九年级上·江苏徐州·期中）中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒75元，连续两次降价后每盒48元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率． (2)若每盒盈利10元，每天可售出500盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每盒涨价1元，日销售量将减少20盒，现该商场要保证每天盈利6000元，且要顾客得到最大实惠，那么每盒应涨价多少元？ 【答案】(1) (2)涨价5元 【分析】（1）设每次下降的百分率为x，根据“原价每盒75元，连续两次降价后每盒48元，若每次下降的百分率相同．”列出方程即可； （2）设每盒涨价y元，根据“要保证每天盈利6000元，”列出方程即可． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x， 根据题意，得． 解得（舍）． 答：每次下降的百分率为． （2）解：设每盒涨价y元， 根据题意，得， 解得， 因为要顾客得到最大实惠， 所以符合题意． 答：涨价5元． 20．（26-27九年级上·江苏徐州·期中）如图，利用一面墙（墙长），用总长度的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形菜园，且中间共留两个的小门，设栅栏长为． (1) _____________ （用含的代数式表示）； (2)若矩形菜园面积为，求栅栏的长． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）设栅栏的长为米，根据栅栏的全长结合中间共留个米的小门，即可用含的代数式表示出的长； （2）根据矩形菜园面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：栅栏的长为米． 21．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）某商店经销一批小商品，每件商品的成本为8元．据市场分析，销售单价定为10元时，每天能售出200件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件．设涨价x元．据此规律，请回答： (1)商店日销售量减少______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）； (2)针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)； (2)销售单价应定为元 【分析】（1）涨价为元，销售单价每涨元，每天的销售量就减少件，可得出销量减少了，每件的盈利为元． （2）根据总利润=单件利润×销量，列方程进行求解即可． 【详解】（1）解：涨价为元，商店日销售量减少件，每件商品盈利元， （2）解：由题意可得， ， 解得：， 因为要让顾客得到实惠，， ∴定价为：元． 答：销售单价应定为元． 题型8 反比例函数的相关概念（共3小题） 【易错】忽略k≠0；分不清反比例函数形式，误认自变量次数。 22．（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）若函数是反比例函数，则的值为______________． 【答案】2 【分析】根据反比例函数的定义，得到指数为且系数不为，列出方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，且， ∴且 ∴． 23．（2026·陕西西安·模拟预测）点在反比例函数的图象上，点关于轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为________． 【答案】 【分析】设点关于轴对称的点为点，由对称性可得点的坐标为，将点坐标代入对应的解析式可得，，结合，求出的值． 【详解】解：设点关于轴对称的点为点， ∴点的坐标为， 将点代入，得， 将点代入，得， ∵， ∴， 解得． 24．（2026·陕西咸阳·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，且）的图象经过点、，若，则k的值为______． 【答案】 【分析】利用点在反比例函数图象上的性质，用表示出和，再结合列一元一次方程求解即可，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，， ∴，， 整理得，， ∵， ∴代入得， 合并同类项得， 解得． 题型9 画反比例函数的图象（共3小题） 【易错】忘记双曲线不与坐标轴相交；只画一支，遗漏另一分支。 25．（26-27九年级上·全国·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)画出这个反比例函数的图象． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解反比例函数表达式，将已知点A的坐标代入函数式求出参数k即可得到结果； （2）按照列表、描点、连线的步骤画反比例函数图象，该函数，图象分布在第二、四象限． 【详解】（1）解：已知反比例函数的图象经过点， 将代入，得， 解得， 因此这个反比例函数的表达式为； （2）解：列表： x 1 2 5 y 2 5 10 描点，连线，得到反比例函数的图象，图略． 26．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）已知是的反比例函数 (1)观察表格，该函数的表达式为_______________； (2)补全表格并描点，画出该反比例函数的图象； (3)当时，利用函数图象直接写出函数的最大值为___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】第问利用表格中一组、的值求出反比例函数解析式； 第问根据解析式计算缺失函数值，描点绘制双曲线； 第问利用反比例函数的增减性，在指定区间内求函数最大值．时，在每个象限内，随的增大而增大． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为 取表格中，代入： 解得． ∴函数表达式为 （2）解：当时， ； 当时， ； 表格略； 作图略； （3）解：反比例函数中，在每个象限内，随的增大而增大． 自变量范围位于第二象限，当时，取得最大值：， ∴函数的最大值为． 27．（2026·河南平顶山·三模） 如图为一次函数的图象，它与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数的表达式． (2)在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并直接写出当时，的取值范围． (3)连接， ，求出的面积． 【答案】(1) (2)如图即为所求： 由图可知，当时，或 (3) 【分析】（1）将点代入一次函数解析式求出点坐标，再代入反比例函数解析式计算值，即可得到反比例函数表达式； （2）对反比例函数取对应值列表，在坐标系中描点、平滑连线得到图象；结合两函数交点横坐标，以交点和原点为分界，根据一次函数图象位于反比例函数图象下方即可确定当时的取值范围； （3）先求出一次函数与轴的交点坐标，将拆分为以该交点到原点的线段为公共底的两个三角形，分别以、纵坐标的绝对值为高计算面积，求和即可得到的面积． 【详解】（1）解：把点代入，得， ∴， 把点代入，得，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：函数， 在平面直角坐标系中，依次描出表格中对应的点： 、、、、、、、， 用平滑的曲线分别连接第二象限内的个点、第四象限内的个点，即可得到反比例函数的图象； 一次函数与反比例函数的交点为、，当时，即一次函数图象位于反比例函数图象下方时，的取值范围是：或； （3）解：如图，设一次函数与轴交于点， 令，则，解得， ∴， 又、， ∴． 题型10 反比例函数的增减性（共3小题） 【易错】跨区间比较函数值；忽略 “在每个象限内” 这一前提条件。 28．（26-27九年级上·福建福州·期中）反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的增减性推出，进而求解，即可解题． 【详解】解：反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小， ， 解得． 29．（26-27九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据“反比例函数的图像在每个象限内，y随x的增大而增大”可得，结合该反比例函数的图像经过点可得，进一步求解即可获得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图像在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴， 又∵该反比例函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴． 30．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）已知反比例函数． (1)如果这个函数图象经过点，求的值； (2)如果这个函数图象在它所处的象限内，函数随的增大而减小，求的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征。 ()运用了“反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标之积等于反比例函数的比例系数”这一坐标特征，将已知点代入函数解析式求解； ()依据“反比例函数为常数，(为常数，)，当时，在图象所在的每一象限内，随的增大而减小；当时，在图象所在的每一象限内，随的增大而增大”这一反比例函数的性质，通过分析函数的增减性确定的取值范围，进而求出k的范围． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象经过点， ∴， 解得； （2）∵这个函数图象在它所处的象限内，函数随的增大而减小， ∴， 解得． 题型11 反比例函数的k值意义（共3小题） 【易错】面积计算忘记|k|；图形位置混淆 k 正负，漏绝对值 31．（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，正方形的边长为，其中它的中心与原点重合，轴，轴，反比例函数与的图像均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据两反比例函数的解析式确定出两函数图像之间的关系，再根据正方形的中心与原点重合，可知图中四个小正方形全等，即反比例函数的图像与两坐标轴所围成的图形全等，故阴影部分的面积即为两个小正方形即大正方形面积的一半． 【详解】解：对于反比例函数与，由两函数的解析式可知，两函数的图像关于x轴对称， ∵正方形的中心与原点重合， ∴四个小正方形全等， ∴反比例函数的图像与两坐标轴所围成的图形全等， ∴阴影部分的面积. 32．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，点在轴负半轴上，连接，若，且的面积为6，则___________． 【答案】 【分析】过点作，连接，根据等腰直角三角形的性质及得出为中点，从而得到，设点，利用中点性质表示出点和点的坐标，进而表示出和，最后根据面积和差关系列方程求解 ． 【详解】解：过点作，交轴于点，连接， 等腰直角，， ， 则点是的中点 ， ， 设点， ， ， 点是的中点，， 点 ， 轴，点在轴负半轴上 ， 点 ， ， ， ， 点在上，且在反比例函数图象上， 点的横坐标为，纵坐标为 ， ， ， ， ， 解得． 33．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，已知直线与双曲线交于，两点，且点的横坐标为4． (1)求的值； (2)若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积； (3)直接写出的解集． 【答案】(1)8 (2)15 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题： （1）先求出点A的坐标，再把出点A的坐标代入，即可求解； （2）先求出点C的坐标，分别过点C，A作轴于点E，轴于点F，则，然后根据，解答即可； （3）先求出点B的坐标，再直接观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴点， 把点代入得： ； （2）解：由（1）得：反比例函数的解析式为， ∵双曲线上一点的纵坐标为8， ∴当时，， ∴点， 如图，分别过点C，A作轴于点E，轴于点F，则， ∴， ∴ ； （3）解：∵直线与双曲线交于，两点，， ∴点， 观察图象得：当或时，双曲线位于直线的上方， ∴的解集为或， 即的解集为或． 题型12 反比例函数与一次函数的关系（共3小题） 【易错】求交点漏联立方程；比较函数值大小不分区间讨论。 34．（26-27九年级上·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把，代入求，n，确定点A，B的坐标，再利用待定系数法，确定直线的表达式即可； （2）根据数形结合思想，解答即可； （3）根据题意，得，根据三角形的面积计算即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，两点，， ，， 解得， 根据题意，的解析式为， 根据题意，得， 解得， 的解析式为． （2）解：不等式即， 观察图象得：此时或． （3）解：根据题意，与y轴的交点为， ，， ． 35．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点,． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)求的面积； 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先利用交点求出反比例函数解析式，再得到点坐标，代入求解一次函数解析式； （2）求面积采用分割法，找到直线与轴交点，拆成两个小三角形面积相加． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、， ， ， ∴反比例函数解析式为， 一次函数的图象过、， ，解得， 一次函数解析式为． （2）解：如图，设直线与轴的交点为点， 在函数中，当时，， ，即， ． 36．（26-27九年级上·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集为 ． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据点A的坐标求出反比例函数的表达式，进而求出点B的坐标，再求出一次函数的表达式即可； （2）根据函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入反比例函数的表达式得， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 在中，当时，， ∴； 把点A和点B的坐标代入一次函数的表达式得， ∴， ∴一次函数的表达式为 （2）解：由函数图象可知关于x的不等式的解集为或． 题型13 反比例函数的实际问题（共3小题） 37．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）某垃圾清运公司承担了约的建筑垃圾的运送工作． (1)求每小时运送的垃圾质量关于完成任务所需的时间的函数表达式； (2)该公司调来了若干辆运输车，平均每小时共运送垃圾不超过，至少需要多长时间完成运送工作？ 【答案】(1) (2)至少需要完成运送工作 【分析】（1）由每小时运送的垃圾质量和总量列出函数关系即可； （2）结合（1）的解析式结合函数性质解答. 【详解】（1）解：由题意可得：每小时运送的垃圾质量关于完成任务所需的时间的函数表达式为：； （2）解：令，则， 解得， 根据反比例函数的性质，当时， 随 的增大而减小， 因此平均每小时共运送垃圾不超过时，至少需要完成运送工作. 38．（2026·河南洛阳·三模）儿童游乐场有一个大游泳池，打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水；打开2个进水管，需要12小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t（）． (1)求t与x之间的函数关系式； (2)要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？ (3)已知一个进水管的注水速度为，则此游泳池的容积是多少？若要注入的水，需要同时打开6个进水管多长时间？ 【答案】(1) (2)12个 (3)此游泳池的容积是，注入的水需要同时打开6个进水管3.2小时 【分析】（1）由图象知，t是x的反比例函数，当时，，设，进而求解即可； （2）将代入反比例函数关系式求解即可； （3）根据“打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水”及“一个进水管的注水速度为”可知此游泳池的容积；用注入量除以6个进水管的总效率即可． 【详解】（1）解：由图象知，t是x的反比例函数，当时，， 设， ， 解得：， ； （2）解：当时，， 解得． ∴需要同时打开12个进水管； （3）解：∵， ∴此游泳池的容积是． ． 答：此游泳池的容积是，注入的水需要同时打开6个进水管3.2小时． 39．（2026·河南洛阳·三模）如图是某饮水机通电开机后，水温与开机时间（分）之间的关系图象，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例，当水温降至时，饮水机又自动开始加热……，重复上述过程． (1)当时，求水温关于开机时间（分）的一次函数解析式． (2)求的值． (3)上午（水温），饮水机开机通电后到中午，水温共有几次达到? 【答案】(1) (2) (3)水温共有次达到 【分析】本题考查一次函数、反比例函数的实际应用与周期规律探究，熟练运用待定系数法求函数解析式、结合周期计算次数是解答本题的关键． （1）利用一次函数待定系数法，代入图像已知两点坐标、，求解，确定时的一次函数解析式； （2）水温下降阶段为反比例函数变化，先用定点求出反比例函数表达式，再代入，算出对应的自变量数值即为t； （3）先算出单次循环周期时长，再计算到的总时长，通过除法求周期个数与剩余时间，结合周期规律统计水温达到的总次数． 【详解】（1）解：由图象可知，当时间时，；当时间时，， 当时，设， 将、分别代入， 得， 解得， 所以温度关于开机时间（分）的函数关系式为； （2）解：由图象知当时，在水温下降过程中，水温是关于开机时间（分）的反比例函数， 设， 把点代入，得 解得， ， 当时，， 解得， ∴； （3）解：结合图象，可知每分钟图象重复出现一次，到经历分钟， ， 共经历了个周期余分钟， 所以水温共有次达到． 题型14 圆的基本概念（共3小题） 【易错】混淆弦、直径、弧概念；等弧前提是在同圆或等圆之中。 40．（26-27九年级上·江苏徐州·期中）下列说法中，不正确的是（     ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．经过圆内一定点可以作无数条弦 【答案】B 【详解】解：选项A、过圆心的弦是圆的直径，这是直径的定义，A正确； 选项B、在同一个圆中，当弦为直径时，所对的两条弧相等，且都为半圆，其他情况下一条弦所对的两条弧，是一条优弧和一条劣弧，两条弧不相等，因此同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，B错误； 选项C、根据圆的周长公式半径，周长相等的圆，半径也相等，为等圆，C正确； 选项D、经过圆内一定点可以作无数条弦，D正确． 41．（26-27九年级上·浙江宁波·期中）下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】需关注各圆相关结论的适用前提，结合定义判断说法的正确性． 【详解】解：①直径是经过圆心的弦，故①正确； ②平分弦的直径垂直于弦的前提是被平分的弦不是直径，该说法缺少此前提，故②错误； ③圆的对称轴是直径所在的直线，直径是线段，不是对称轴，故③错误； ④相等的圆心角所对的弧相等的前提是在同圆或等圆中，该说法缺少此前提，故④错误； 综上，正确的说法共个． 42．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）下列命题中，不正确的是________ ①圆心角相等，所对的弧相等  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的弧是等弧 ④等弧所对的圆周角相等  ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆周角相等． 【答案】①②③ 【详解】解：①只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，本命题缺少前提条件，故①不正确； ②平分非直径的弦的直径垂直于弦，若被平分的弦是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，本命题缺少限制条件，故②不正确； ③能够完全重合的弧才是等弧，长度相等的弧不一定能完全重合，故③不正确； ④等弧可以完全重合，必在同圆或等圆中，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，故④正确； ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，故⑤正确． 综上所述，不正确的是①②③． 题型15 确定圆的条件（共3小题） 【易错】三点共线也认为可作圆；误将 “两点” 确定一个圆。 43．（26-27九年级上·江苏连云港·期中）如图，顶点都在网格格点上，则外接圆的圆心坐标为______． 【答案】 【分析】根据网格结构，作出边、的垂直平分线，交点P即为所求的外接圆的圆心，然后写出点P的坐标即可． 【详解】解：∵三角形的外接圆圆心为三角形三条边的垂直平分线的交点， 作出边、的垂直平分线，如图所示，点P即为外接圆的圆心，坐标为． 44．（2026·河南南阳·一模）如图，以点为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在量角器上对应的刻度为，可知，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，所以点是外接圆的圆心，可得，所以可知点、、、四点共圆，根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接、， 点在量角器上对应的刻度为， ， 由图可知点是的中点， 点是外接圆的圆心， ， 点、、、四点共圆， ． 45．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图是小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度直尺在给定网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图1，将绕点O逆时针旋转得，画出； (2)如图2，请用尺规画出这个圆的圆心． 【答案】(1) 如图，即为所作； (2) 如图，点即为这个圆的圆心． 【分析】（1）分别取格点，，，使，顺次连接即可； （2）取弦，分别作它们的垂直平分线，交于点，则点为这个圆的圆心． 【详解】（1）略 （2）略 题型16 垂径定理（共3小题） 【易错】忽略直径垂直弦才平分弦；平分弦时，弦不能是直径。 46．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的半径，是的弦，且于点．若，则半径的长是__________． 【答案】10 【分析】根据垂径定理求出的长，设半径为，表示出的长，在中利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：，， ， 设的半径为，则， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． 47．（2026·广东汕头·三模）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为 ，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为 ， 48．（2026·安徽合肥·三模）如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C． (1)求证：D是的中点； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接． ∵是的弦，半径， ∴D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即D为的中点； (2)的半径为． 【分析】（1）连接，根据垂径定理推出，根据直角三角形的性质及等腰三角形的判定推出，等量代换即可得解； （2）连接，根据垂径定理推出，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理，据此求解即可． 【详解】（1）证明：略； （2）解：如图，连接． ∵半径，垂足为H，， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 即的半径为． 题型17 圆周角（共3小题） 【易错】同弧圆周角相等前提是同圆；直径所对圆周角易错漏。 49．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）如图，线段是的直径，弦，，求和的度数． 【答案】，的度数是 【详解】解：连接，设与交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴根据圆周角定理可得， ∵线段是的直径，弦， ∴， ∵的度数等于， ∴的度数为． 50．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形内接于为的延长线上的一点．若，则的度数是___________． 【答案】 【详解】解：∵四边形内接于且， ∴， ∴， 又∵为的延长线上的一点． ∴． 51．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，是圆O的一条弦，是圆O直径，，垂足为E． (1)若，求的度数； (2)若，，求圆O的半径长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由垂径定理得到，则，再由圆周角定理可得答案； （2）设圆O的半径为r，则，，由垂径定理可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵是圆O的一条弦，是圆O直径，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设圆O的半径为r，则，， ∵是圆O的一条弦，是圆O直径，， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴圆O的半径为． 题型18 圆的内接四边形（共3小题） 【易错】记错对角互补性质；外角等于内对角容易写反。 52．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知四边形内接于，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为四边形内接于，所以根据圆内接四边形对角互补的性质，可求出的度数．因为是对应的圆心角，是对应的圆周角，所以根据圆周角定理，可得到与的数量关系，进而求出的大小． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴ ∴ 53．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，为直径，为上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．若点与圆心不重合，，则的度数为________． 【答案】/36度 【分析】设上点D的对应点为点E，连接，则得，；由是直径及圆内接四边形的性质可得的度数，从而求得结果． 【详解】解：设上点D的对应点为点E，连接，如图， 由折叠性质得：，； ∴， ∵是直径， ∴； ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 54．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，四边形是半圆的内接四边形，是圆的直径，．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】连接，用圆内接四边形对角互补求，等弧所对的圆周角相等，直径所对圆周角为直角，直角三角形中两个锐角互余求． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是半圆的内接四边形， ． ， ． 是圆的直径， ， ． 题型19 切线的性质与判定（共3小题） 【易错】判定切线忘连半径证垂直；性质使用忽略垂直关系。 55．（2025·吉林·模拟预测）如图，内接于圆，为圆的直径，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数是___________ 【答案】/29度 【分析】本题主要考查圆的切线性质及圆周角定理．连接，由切线的性质可得，再利用余角的性质可得，然后根据圆周角定理即可求得． 【详解】解：如图，连接， ∵过点的切线交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 56．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的弦，是的直径，过点的切线交的延长线于点，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质等，连接，可得，得到，又由等腰三角形的性质可得，即可由三角形外角性质得，最后根据直角三角形两锐角互余即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵为的切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 57．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的直径，为的切线，与相交于点E，，交的延长线于点F，． (1)求的度数； (2)若，求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据为的切线，则，由，则，根据圆周角定理可得，又，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质，代入数据求解． 【详解】（1）解： 如图，连接OD， 为的切线， ， ， ， ， ， ． （2），， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ，即的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，相似三角形的性质与判定等知识，正确做出辅助线是解题关键． 题型20 切线长定理（共3小题） 【易错】混淆切线、切线长概念；多条切线线段找错相等线段。 58．（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 【答案】 【分析】根据切线长定理，，，，根据即可得出，进而得出，即可得答案． 【详解】解：∵四边形与分别相切于点，，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． 59．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了切线长定理，关键是把的周长转化为；根据切线长定理得，由此得的周长为，从而可求得结果． 【详解】解：∵是的切线， ∴； ∵过点C的切线分别交于点D、E， ∴； ∵的周长20， ∴， ∴， 即， ∴． 60．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知，． (1)在图中，用尺规作出的内切圆的圆心（保留痕迹，不必写作法）； (2)画出与边，，的切点、、，连接，，若则___________； (3)若，则所作内切圆半径___________． 【答案】(1) 如图，点O即为的内切圆圆心， (2) (3)2 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，作图-复杂作图，关键是掌握三角形的内心是三角形角平分线的交点． （1）分别作和的平分线，它们相交于点O，则点O为内切圆圆心； （2）过点O作于F，然后以点O为圆心，为半径作圆；连接、，根据切线长定理得出，，从而可求出； （3）由三角形的面积等于其内切圆的半径与周长积的一半，即可求得的内切圆的半径． 【详解】（1）略 （2）解：连接，， 由切线长定理得，， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：； （3）解：设内切圆的半径为r， ∵在中，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：2． 题型21 扇形的弧长与面积、圆锥的侧面积（共3小题） 【易错】扇形公式记混；圆锥母线、底面半径概念混淆。 61．（2026·江苏宿迁·二模）如图，是的内接三角形，，设的半径为2，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据圆周角定理求出，再由弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ， ， ∵的半径为2， 的长． 62．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D，E分别在，上，点C在上．若，，则图中阴影部分面积的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求扇形面积，求其他不规则图形的面积，利用菱形的性质求线段长，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据菱形的性质，利用同底等高的两个三角形面积相等将阴影部分的面积转化为扇形面积． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 63．（25-26九年级上·云南昆明·期末）圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，圆锥状聚伞花序尖塔形，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．如图是按照其形状制作的圆锥绣球模型，其底面周长为，高度为，则此圆锥的侧面积为______（结果保留）    【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，牢记公式是解题的关键．根据底面周长求得底面半径，然后利用勾股定理求出母线长，最后利用圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：底面周长为， ，解得， 高度为， 母线长为， 此圆锥的侧面积为． 故答案为：． 题型22 平均数（共3小题） 【易错】加权平均数漏权重；计算算术平均数时数据个数数错。 64．（2026·江苏泰州·三模）某花店有单位为10元、18元、25元三种价格的花卉，如图是该花店某月三种花卉销售量情况的扇形统计图，根据该统计图可算得该花店销售花卉的平均单价为_______元． 【答案】17 【分析】根据加权平均数的计算方法，进行求解即可． 【详解】解：该花店销售花卉的平均单价为： （元）． 65．（25-26九年级下·江苏苏州·期中）某班级学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面按2：3：2：2：1确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示，则他期末操行得分为_____分． 【答案】9 【分析】根据加权平均数的计算方法即可解答本题． 【详解】解：由题意可得， （分）， 答：他期末操行得分为9分． 66．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．进入决赛的前两名选手需要确定名次(不能并列)，他们的成绩如下(单位：分)． 选手 内容 能力 效果 甲 乙 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩，能否以此确定两人的名次？ (2)如果把内容、能力、效果的成绩按计算，请你确定两人的名次． 【答案】(1)甲的平均成绩为分，乙的平均成绩为分，不能确定两人的名次； (2)甲为第一名，乙为第二名． 【分析】本题考查算术平均数与加权平均数的计算及实际应用．关键是掌握算术平均数和加权平均数的计算公式，理解不同权重对结果的影响． 解题思路：根据算术平均数的计算公式，分别求出甲、乙两名选手的平均成绩，若平均成绩相等则无法确定名次； 解题思路：根据加权平均数的计算公式，按照的权重分别计算甲、乙的加权平均成绩，比较成绩大小确定名次． 【详解】（1）解：甲的平均成绩为(分)； 乙的平均成绩为(分)； ∵甲、乙两名选手的平均成绩相同， ∴不能以此确定两人的名次； （2）解：根据题意，权重总和为， 甲的加权平均成绩为(分)； 乙的加权平均成绩为(分)； ∵， ∴甲为第一名，乙为第二名． 题型23 中位数与众数（共3小题） 【易错】求中位数不排序；众数可多个，误认为众数唯一。 67．（2026·江苏无锡·模拟预测）一组数据4，2，x，6，3的平均数是4，则这组数据的中位数是 _____． 【答案】4 【详解】解：由题意得，， 解得， 将4，2，5，6，3从小到大排列为2，3，4，5，6，处在中间位置的一个数是4，因此中位数是4． 68．（25-26八年级下·福建福州·期末）在一次中学生运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如图所示，则这些运动员成绩的众数和中位数分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．根据众数和中位数的定义分别进行解答即可． 【详解】解：由图可知出现次数最多，有4次，所以众数为； 按从小到大排列，这15个数据最中间的数据是第8个，即1.65，所以中位数为1.65． 69．（2026·江苏连云港·二模）某校德育处开展专项安全教育活动前，在全校范围内随机抽取了40名学生进行安全知识测试，测试结果如表1所示（每题1分，共10道题），专项安全教育活动后，再次在全校范围内随机抽取40名学生进行测试，根据测试数据制作了如图1、图2所示的统计图（尚不完整）．设定8分及以上为合格，分析两次测试结果得到表2． 分数/分 2 5 6 7 8 9 人数/人 4 6 8 8 12 2 表1 平均数/分 众数/分 中位数/分 合格率 第一次 6.4 a 7 第二次 b 8 9 c 表2 请根据图表中的信息，解答下列问题： (1)将图2中的统计图补充完整； (2)填空： ， ， ； (3)若全校学生以1200人计算，估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数． 【答案】(1)补全统计图如下： (2)8，8.55， (3)估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数大约为1050人 【分析】（1）用样本容量40乘可得8分人数，进而得出7分人数，补全条形图； （2）分别根据众数、加权平均数以及合格率的定义可得a、b、c的值； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【详解】（1）解：8分人数为：（人），故7分人数为：（人）， 补全统计图略； （2）解：由题意可知，众数， 平均数； 合格率； （3）解：（人）， 答：估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数大约为1050人． 题型24 四分位数和箱线图（共3小题） 【易错】求四分位数排序出错；分不清极值、四分位点含义。 70．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）某校“魅力篮球节”活动中，有8位同学各投篮10次，进球次数（单位：次）分别为6，5，4，7，6，10，9，8．则这8位同学投篮进球次数的上四分位数为（   ） A．5.5次 B．6次 C．8.5次 D．9次 【答案】C 【分析】本题考查上四分位数的计算，需先将数据从小到大排序，再取上半部分数据的中位数． 【详解】解：∵数据从小到大排序为4，5，6，6，7，8，9，10，共8个数据， ∴上半部分数据为7，8，9，10， ∵上半部分数据有4个， ∴上四分位数为第2和第3个数据的平均值，即（次）， 故选：C． 71．（25-26八年级下·全国·周测）小伟参加如奕围棋学生社团年度校园挑战赛，共进行了场比赛．积分统计小组根据小伟这场比赛的得分作了如图统计图，下列说法正确的是（   ） A．比赛最高得分是分 B．比赛得分的中位数是分 C．比赛得分数据集中在分之间 D．比赛得分的上四分位数是分 【答案】C 【分析】本题主要考查了箱线图，解决本题的关键是根据箱线图中的各部分表示的意义逐项判断． 【详解】解：A选项：由箱线图可知，比赛的最高得分是分，故A选项错误； B选项：由箱线图可知，比赛得分的中位数是分，故B选项错误； C选项：由箱线图可知，得分的上四分位数是，下四分位数是，比赛得分数据集中在分之间，故C选项正确； D选项：由箱线图可知，比赛得分的下四分位数是，故D选项错误． 故选：C． 72．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在某次射击训练中，队员甲、乙、丙都进行了12次射击，射击成绩（单位：环）信息统计如下： 信息一：如图1，队员甲的12次射击成绩的统计图； 信息二：队员乙的12次射击成绩的平均数为8环，方差为2.5； 信息三：如图2，根据队员甲和队员乙的12次射击成绩绘制的箱线图； 信息四：队员丙的12次射击成绩记录整理为：6，6，6，7，7，7，8，8，9，9，9，10 (1)计算队员甲的12次射击成绩的平均数和方差； (2)求队员丙的12次射击成绩的四分位数，，，并在图2中绘制相应的箱线图； (3)根据上述信息，请你评价这次训练中甲、乙、丙三个队员的射击情况． 【答案】(1)队员甲的12次射击成绩的平均数为环；方差为 (2)，，， 如图2，箱线图即为所求： (3)甲的成绩比较集中且稳定，乙和丙成绩比较分散（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平均数，方差，四分位数的计算和箱线图的绘制与解读，通过这些工具可以直观地分析数据的分布特征． （1）根据平均数和方差的定义计算即可； （2）先计算出四分位数，，，根据四分位数绘制箱线图即可； （2）计算求出队员丙的方差，再根据箱线图，方差即可解答． 【详解】（1）解：队员甲的12次射击成绩的平均数为：（环）； 方差为； （2）解：根据题意，队员丙的12次射击成绩的四分位数，，， （3）解：队员丙的12次射击成绩的平均数为：（环）， 方差为； ∵队员乙的12次射击成绩的平均数为8环，方差为；队员甲的12次射击成绩的平均数为8环，方差为；且，， ∴甲的成绩比较集中且稳定，乙和丙成绩比较分散（答案不唯一）． 题型25 方差与离差平方和（共3小题） 73．（26-27九年级上·江苏南通·期中）若把数据6，7，8，8，8，8，7，10，9分成6，7，7，8和8，8，8，9，10两组，则它们的组内离差平方和为______． 【答案】 【分析】根据组内离差平方和的定义，分别计算两组的离差平方和，再求和得到结果． 【详解】解：第一组数据为，，，， 计算第一组平均值：， 第一组离差平方和：； 第二组数据为，，，，， 计算第二组平均值：， 第二组离差平方和：； 总组内离差平方和为：． 74．（2026·江苏连云港·二模）超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）方差为，该顾客选购的鸡蛋的质量方差为，则_____（填＞、=、＜）． 【答案】＞ 【分析】根据方差的意义，方差表示数据波动的大小，原有鸡蛋大小不一，波动更大，选购的鸡蛋大小均匀，波动更小，即可比较两者方差的大小． 【详解】解：由题意可知，货架上原有鸡蛋大小不一，数据波动程度更大，顾客选购的鸡蛋大小均匀，数据波动程度更小，根据方差的意义，波动越大方差越大，波动越小方差越小，因此． 75．（25-26八年级下·江苏南通·期末）在学校举办的“劳动与科技”实践周中，八年级（1）班的同学负责照料两块草莓试验田．其中甲组地块采用“智能水肥一体化”技术种植，乙组地块采用“传统土壤”方式种植．为了评估两种种植方式的效果，成熟期时，同学们从甲、乙两地块中各随机采摘了10颗草莓进行甜度检测（单位：Brix，数值越大越甜）． 【数据收集】 甲组（智能水肥）：11，13，13，12，14，13，12，，14（部分数据被污染） 乙组（传统土壤）：10，16，12，14，11，13，13，16，13，12 【数据整理】同学们对数据进行了初步整理，并绘制了统计表和箱线图． 甲、乙两组草莓甜度统计分析表 组别 平均数 众数 中位数 方差 甲 13 13 a 1.2 乙 13 b 13 3.4 【问题解答】 (1)直接写出表格中a和b的值：_________，_________； (2)由乙组数据求出乙组草莓甜度的第一四分位数_________，第三四分位数_________； (3)如果高端超市收购草莓的标准是“甜度稳定且品质均匀”，你会向农户推荐哪种种植方式．请说明理由． 【答案】(1)13，13 (2)12，14 (3)推荐采用“智能水肥一体化”技术（甲组）． 理由： 甲乙两组数据平均数、众数、中位数都相同，但甲组的方差小于乙组的方差，方差越小说明数据波动越小，甜度更稳定、品质更均匀，符合高端超市的收购标准． 【分析】（1）根据题意可得甲组数据中被污染的两个数据和为28，由箱线图可得，甲组数据最大值为15，可得两个数据为13，15，将数据从小到大排列后，即可求得中位数，根据乙组数据中出现次数最多的是13，即可得众数； （2）根据四分位数的定义即可求解； （3）根据对甲乙两组数据的平均数、众数、中位数、方差进行比较，即可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，甲组数据中被污染的两个数据和为， 由箱线图可得，甲组数据最大值为15， ∴被污染的两个数据中有一个为15， ∴这两个数据为13，15， ∴将数据从小到大排列后，第5个和第6个数据均为13， ∴中位数， ∵乙组数据中出现次数最多的是13， ∴众数． （2）解法一：∵乙组数据从小到大排列为10,11,12,12,13,13,13,14,16,16， 第一四分位数为前5个数据的中位数， ∴第一四分位数为， 第三四分位数为后5个数据的中位数， ∴第三四分位数为； 解法二∵乙组数据从小到大排列为， ∵， ∴第一四分位数为第3个数：， ∵， ∴第一四分位数为第8个数：． （3）略 题型26 概率的计算（共3小题） 76．（2026·江苏淮安·中考真题）小明计划假期来淮安品尝美食，他打算从个特色菜（A．软兜长鱼；B．盱眙龙虾；C．钦工肉圆；D．开洋蒲菜；E．平桥豆腐）中随机选择． (1)若小明从这个特色菜中随机选择个，则选中“软兜长鱼”的概率为__________． (2)小明先从A，B，C中随机选择个菜，再从D，E中随机选择个菜．请用画树状图或列表的方法，求小明恰好选中B，D两个菜品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率计算即可； （2）画树状图，由树状图可知，共有种等可能的情况，其中同时选中B、D的情况有种，所以小明恰好选中B，D两个菜品的概率为． 【详解】（1）解：个特色菜每个被选中的机会相同， 选中“软兜长鱼”的概率为； （2）解：画树状图，如下图所示： 由树状图可知，共有种等可能的情况，其中同时选中B、D的情况有种， 小明恰好选中B，D两个菜品的概率为． 77．（2026·江苏盐城·中考真题）小明和他的同学利用设计了一款小程序，界面如图所示，由4个色块A，B，C，D和1个“运行”按钮构成． (1)若小明点击一次“运行”按钮，则色块A发亮的概率是__________． (2)若小明点击两次“运行”按钮，用列表或画树状图的方法求两次都是色块A发亮的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）先根据题意画出树状图，再结合树状图求概率即可． 【详解】（1）解：小明点击一次“运行”按钮，有四种等可能结果，其中色块A发亮的情况只有1种，故色块A发亮的概率是． （2）解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知：共有16种等可能结果，其中两次都是色块A发亮的情况只有1种，故两次都是色块A发亮的概率是． 78．（2026·江苏常州·中考真题）中央广播电视总台马年春晚的主题为“骐骥驰骋，势不可挡”，“骐骥驰骋”出自《离骚》，以“骐骥”喻千里马，象征开拓进取、驰而不息的民族精神．小亮设计了一个拼字游戏：将“马”“其”“冀”分别写在3张相同的卡片上，将卡片的背面朝上并洗匀． (1)任意抽取1张卡片，抽到“马”的概率为__________． (2)先任意抽取1张卡片，不放回，再从余下的2张卡片中任意抽取1张．求抽取的2张卡片可以拼成“骐”字的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可． （2）先列表或画树状图得出所有等可能的结果，再找出符合条件的结果，最后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，任意抽取1张卡片，共有3种等可能性结果，抽到每张卡片的可能性是相同的， 抽到“马”的概率为． （2）解：画树状图如图所示，由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中可以拼成“骐”字的结果有2种， 抽取的2张卡片可以拼成“骐”字的概率为． 题型27 二次函数的相关概念（共3小题） 79．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）函数是关于x的二次函数，则m的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查的是二次函数的概念，掌握二次函数的概念是解题的关键．由二次函数的定义可知且然后可求得m的取值． 【详解】解：函数是关于x的二次函数， 且， 解得， 故答案为：． 80．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（　　） A． B．0 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项次数为2且系数不为零，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴，， ∴，， 解得， 故选：D． 81．（25-26九年级上·山东德州·期中）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． （2）解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 题型28 二次函数的图象（共3小题） 【易错】画图漏顶点、对称轴；开口方向由 a 正负判断易看错。 82．（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知二次函数的解析式 (1)在直角坐标系中画出它的图象； (2)观察图象可知时，的取值范围是 ； (3)当时，观察图象直接写出函数值的取值范围． 【答案】(1) 画出抛物线，如图所示． (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据列表，描点，连线即可作图； （2）根据函数图象，得出当时，的取值范围即可； （3）根据函数的增减性以及最值，结合函数图象求出两个端点时的函数值即可求解． 【详解】（1）解：列表如下： … 0 1 3 … … 0 6 … （2）解：根据函数图象可知，当时，的取值范围是； （3）解：由图象可知顶点坐标为， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 当时，， 综上，当时，的取值范围为． 83．（24-25九年级上·江苏南京·期中）对于抛物线． (1)将抛物线的解析式化为顶点式； (2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线； x … … y … … (3)结合图象，当时，x的取值范围______． 【答案】(1) (2) 解：列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 函数图象如图所示： (3) 【分析】本题主要考查了二次函数一般式转化为顶点式，画二次函数图象，根据函数图象求不等式的解集，解题的关键是熟练掌握描点法画函数图象的方法． （1）根据配方法，将抛物线的一般式化为顶点式即可； （2）先列表，然后再描点，最后连线画出函数图象即可； （3）由函数图象得出当时，，从而得出不等式的解集． 【详解】（1）解：． （2）略 （3）解：根据函数图象可知：当时，， ∴不等式的解集为． 84．（24-25九年级上·江西南昌·期中）已知二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 5 … (1)画出函数图象； (2)当______时，随的增大而减小； (3)当时，的取值范围为______ 【答案】(1) 解：画出图形如图所示． (2) (3) 【分析】（1）据表格数据，描点、连线，画出函数图象，即可作答； （2）根据图象即可求得； （3）根据表格数据，结合图象即可求解． 本题考查了二次函数的图象和性质以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：根据给定点的坐标画出函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，数形结合． 【详解】（1）略 （2）解：观察函数图象可知：当时，随的增大而减小； 故答案为：； （3）解：当时，的取值范围为． 故答案为：． 题型29 二次函数的性质（共3小题） 【易错】增减性不分对称轴左右；最值不分开口向上向下 85．（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知一次函数与二次函数的图象相交于点、，且二次函数与轴相交于点． (1)求的值和二次函数的解析式； (2)当时，求的取值范围； (3)请直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)当或时，． 【分析】（1）把点坐标代入一次函数式中，即可求得的值；利用待定系数法即可求得二次函数解析式； （2）依据题意，结合（1）将二次函数化成顶点式，再根据二次函数的增减性和自变量范围,求对应函数值的范围； （3）已知一次函数与二次函数的交点坐标，再结合函数图象即可写出自变量的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数与二次函数的图象相交于点、， ∴把点的坐标代入得：，解得：； ∴把点，点的坐标代入二次函数得： ，解得：， ∴二次函数解析式为． （2）∵由（1）可得函数解析式为， ∴化为顶点式：， ∴二次函数开口向上，对称轴为，有最小值为． ∵， ∴当时，；当时，；当时，， ∴当时，． （3）∵，从图形上看是一次函数的图象位于二次函数图象的下方， ∴结合图象观察得，当或时，一次函数的图象位于二次函数图象的下方， ∴当或时，． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质，求二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 86．（25-26九年级上·江苏南通·期中）在二次函数中． (1)若它的图象过点，则的值为多少？ (2)当，的最小值为，求出的值； (3)如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识，注意分类讨论． （1）把点代入二次函数式中，即可求解； （2）根据抛物线的对称轴的位置分与两种情况考虑，结合二次函数的图象与性质即可求解； （3）根据A、C两点的坐标知，A、C关于抛物线的对称轴对称，可求得，且点A在抛物线对称轴的左边，点C在抛物线对称轴的右边，分与两种情况即可求解． 【详解】（1）解：把点代入二次函数式中，得：， 解得：； （2）解：，则抛物线的对称轴为直线， 当时，当，则函数值随自变量的增大而减小，函数在取得最小值， ∴， 解得：， 但， 故不符合题意； 当时，当，函数在顶点处取得最小值， ∴， 解得：， ∵， ∴； 综上所述，； （3）解：根据A、C两点的坐标知，A、C关于抛物线的对称轴对称， 则，且点A在抛物线对称轴的左侧，点C在抛物线对称轴的右侧， ∵当时，， ∴抛物线与y轴的交点为，此点关于抛物线对称轴的对称点为， 当时，A、B两点在抛物线对称轴的左侧， ∴， 即， 解得：； 当时，C、B两点在抛物线对称轴的右侧， ∴， 即， 解得：； 综上，或． 87．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）已知二次函数（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； (2)当时，y的最小值为；当时，y的最小值为3，求二次函数的表达式； (3)点，，在二次函数的图象上，当时，结合函数图象，求m的取值范围． 【答案】(1) 证明：令，则． ∴，． ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根． ∴不论m为何值，该函数图象与x轴有两个不同的公共点． (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键． （1）令，可得出x的两个解，且两个解不相等即可得出结论； （2）先求出对称轴为，开口向上，再得出，根据题意得出y的最小值为3时，，得出，求解即可得出答案； （3）分别求出，，，利用，得出关于m的不等式，求出m的值即可． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴对称轴为，开口向上， ∵当时，y的最小值为， ∴二次函数的顶点，即， ∴， ∵当时，y的最小值为3， ∴y的最小值为3时，， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去） ∴ ∴二次函数的表达式为； （3）解：由题意可知，， ， ， ∵， ∴，即， ∵， ∴m，，，的负数有奇数个，且， 当负数有1个时，且， ∴； 当负数有3个时，且， ∴， ∴m的取值范围为：或． 题型30 二次函数图象与各项系数符号（共3小题） 88．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）二次函数 的图象如图所示，对于下列说法：①，②，③，其中正确的个数有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质与解析式的系数的关系．关键是熟悉各项系数与抛物线的各性质的联系． ①由开口方向及对称轴的位置可判断b的符号，根据抛物线与y轴的交点位置可判断c的符号；②由抛物线与x轴的交点个数可判断的符号；③观察当时，对应的函数值，可判断的符号． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，，对称轴， ∴， 故，正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点，∴，正确． ③当时，函数值，即，正确； 正确的有3个， 故选：D． 89．（2026·江苏扬州·二模）老师给出了二次函数的部分对应值如下表，同学们讨论得出了下列结论：①抛物线的对称轴为直线；②是方程的一个根；③当时，；④若，是该抛物线上的两点，则．其中正确的是________． x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 【答案】①②③ 【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：①由表格可知：抛物线的对称轴为直线，故此选项正确； ②当时，，则是方程的一个根，故此选项正确； ③由表格可得：抛物线开口向上，由对称得：抛物线与x轴的另一个交点为，所以当时，，故此选项正确； ④抛物线开口向上，当时，y随x的增大而增大，若，是该抛物线上的两点，分两种情况：当A与B在对称轴左侧时，则，当A与B在对称轴右侧时，则，故此选项不正确； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 90．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示是二次函数图像的一部分，图像过点，二次函数图像对称轴为直线，给出五个结论：①；②；③；④方程的根为，；⑤当时，随着的增大而增大．其中正确结论有________________ 【答案】①④⑤ 【分析】根据抛物线的开口方向得，对称轴在y轴右侧，得，抛物线与y轴的正半轴相交，得，故①正确；当时，，故②错误；当时，，故③错误；根据对称轴为，与x轴交于点可得与x轴的另一个交点，故④正确；由抛物线的对称性，得⑤正确． 【详解】∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∵抛物线与y轴的正半轴相交， ∴， ∴，故①正确； 当时，，故②错误； 当时，，故③错误； ∵对称轴为，与x轴交于点， ∴与x轴的另一个交点，故④正确； 由图像得时，y随着x的增大而增大，故⑤正确； 故答案为：①④⑤． 【点睛】本题考查了二次函数图像与二次函数系数之间的关系，是二次函数的综合题型，是一道数形结合题，要熟悉二次函数的性质，观察图形，得出正确结论． 题型31 二次函数图象的平移（共3小题） 【易错】平移口诀记反；顶点式平移只看 x，忘记括号。 91．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）将抛物线的解析式向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是______ ． 【答案】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规律，即可求出平移后抛物线的解析式． 【详解】解：原抛物线解析式为 将抛物线向上平移3个单位长度，根据平移规律“上加下减”，可得： 再将得到的抛物线向右平移1个单位长度，根据平移规律“左加右减”，可得： ． 92．（24-25九年级上·江苏南京·期中）把二次函数的图象向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位长度后，所得的抛物线的顶点坐标为．求b，c的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，考虑平移后的顶点坐标，逆推出原抛物线的顶点坐标，即可求出解析式． 把平移后的抛物线顶点向上平移1个单位长度，再沿轴向右平移5个单位长度后得到原抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式写出原抛物线相应的函数表达式． 【详解】解：把点向上平移1个单位长度，再沿轴向右平移5个单位长度后所得对应点的坐标为， 即二次函数图象的顶点坐标为， 所以原抛物线相应的函数表达式为，即． ∴． 93．（2024·江苏常州·二模）已知二次函数． (1)若该二次函数的最大值为，求m的值； (2)若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图像与x轴有2个交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数图像的平移问题： （1）把抛物线解析式化为顶点式得到当时，二次函数有最大值，则，解之即可； （2）求出平移后的解析式为，根据题意结合二次函数图像的性质可得平移后的抛物线顶点一定在x轴上方，则． 【详解】（1）解：∵二次函数解析式为， ∴当时，二次函数有最大值， ∵该二次函数的最大值为， ∴， ∴； （2）解：把二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数解析式为， ∵平移后的抛物线解析式与x轴有2个交点，且抛物线开口向下， ∴平移后的抛物线顶点一定在x轴上方， ∴． 题型32 待定系数法求二次函数解析式（共3小题） 94．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知抛物线经过点，，，求抛物线的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式﹒设抛物线解析式为，即可得到，解方程组即可求解﹒ 【详解】解：设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点，，， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为﹒ 95．（24-25九年级上·黑龙江七台河·期末）已知抛物线（是常数，）． (1)若此抛物线的图象经过点和，求此抛物线的解析式； (2)若，当时，函数随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的性质； （1）将和代入函数表达式即可； （2）根据解析式得出抛物线的对称轴为直线，进而根据二次函数性质即可求解． 【详解】（1）解：将和代入函数中， 得： ， 解得 ， 故函数表达式为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线 ∵当时，函数随x的增大而增大 ∴，且 ∴a的取值范围为 96．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，点和都在二次函数，（是常数）的图象上． (1)若，求该二次函数的表达式； (2)若，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由点和都在二次函数（是常数）的图象上，从而，，结合，求出a，b，即可判断得解； （2）依据题意，当时，二次函数为，从而，结合，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，点和都在二次函数（是常数）的图象上， ， 又， ， 二次函数为． （2）由题意，当时，二次函数为， ， 又， ， ． 题型33 二次函数的实际应用（共3小题） 97．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）某公司自主设计了一款成本为100元的保暖衬衣，并投放市场进行试销售，当售价为每件160元时，每月可销售200件．为了吸引更多买家，该公司采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降低1元，则每月可多销售5件，设该保暖衬衣的售价单价为元，每月销售量为件． (1)求出与之间的函数关系式； (2)设该店每月获得的利润为元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ (3)该店店主决定每月从利润中捐出780元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于11000元，请直接写出该保暖衬衣销售单价的取值范围． 【答案】(1) (2)当销售单价为150元时，每月获得的利润最大，最大利润是12500元 (3) 【分析】对于（1），根据销售量等于原销售量加上每月增加的销售量可得关系式； 对于（2），总利润等于单件利润乘以销售量列出二次函数，再讨论极值； 对于（3），先表示出每月的利润，再根据不等关系得出不等式，然后求出一元二次方程的解，最后根据二次函数图象的性质求出解集即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得． ∵， ∴抛物线开口向下，二次函数有最大值， 即当时，． 所以当销售单价为150元时，每月获得的利润最大，最大利润是12500元； （3）解：． 根据题意可知． 当， 解得． ∵抛物线开口向下， ∴的解集是． 【点睛】本题主要考查了求一次函数的关系式，求二次函数关系式，二次函数图象的性质，根据等量关系得出函数关系式是解题的关键． 98．（2025·陕西榆林·三模）乡村振兴关键在产业．近年来，某县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普罗旺斯西红柿、草莓等，让大棚产业照亮农业转型升级致富路，实现村民稳定增收．如图2，某农户的大棚截面上半部分可近似看作抛物线，下半部分可看作矩形，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为7米，米，棚宽米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了加固棚顶，现需在上方的抛物线部分加装一根横梁（点P、Q均在抛物线上），且，若横梁与地面的距离是米，则横梁的长度是多少米？ 【答案】(1) (2)横梁PQ的长度是9米 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，已知函数值求自变量， 对于（1），根据矩形的性质及已知条件得顶点E的坐标，可设抛物线的函数表达式为，再将点代入函数表达式可得答案； 对于（2），令，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，米， ∴点（米）. 根据题意得，顶点E的坐标为， ∴可设抛物线的函数表达式为：， 把点代入函数表达式可得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：由题意知，点P的纵坐标为， 当时，， 解得，， ∴， ∴横梁的长度是9米． 99．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一喷水管，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系（单位长度为），点A在轴上，水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． (1)求喷水管高． (2)身高为的小明站在距离喷水管的地方，他会被水喷到吗？ 【答案】(1) (2)不会 【分析】（1）当时，代入求解即可； （2）令，得出y值，与身高比较即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点A的坐标为， ∴喷水管高高． （2）对于， 令，则， ∴小明不会被水喷到． 【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，求出相应的函数值比较是解题关键． 题型34 二次函数与方程、不等式的关系（共3小题） 【易错】分不清交点横坐标；解不等式不会看图确定取值范围。 100．（26-27九年级上·江苏南京·期中）已知关于x的方程（m为常数）． (1)求证：不论m取何值，该方程总有实数解； (2)解不等式：． 【答案】(1)证明：①当时，原方程可化为=0，解得x1， ②当时，为一元二次方程， 则判别式， ∴该方程总有两个实数根， 综上，不论m取何值，该方程总有实数解． (2) 当时，或， 当时，， 当时，， 当时，无解， 当时，． 【分析】（1）注意分类讨论，分为和来讨论，证明方程总有实数解． （2）将二次式因式分解，求出两根，根据两根的大小关系来分类讨论． 【详解】（1）略． （2）解：①当时，原不等式可化为，解得， ②当时， ∵， ∴令，解得、， 1）当时，，且此时抛物线开口朝上， ∴不等式的解集为或， 2）当时，抛物线开口朝下， 1）当时，即时，原不等式的解集为， 2）当时，即时，原不等式的解集为， 3）当时，即时，原不等式无解， 综上，不等式的解集为： 当时，或， 当时，， 当时，， 当时，无解， 当时，． 101．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)求抛物线与坐标轴的交点坐标； (3)将二次函数的图象向左平移个单位后恰好经过坐标原点，求m的值． 【答案】(1)（或） (2)与轴交点坐标为、，与轴交点坐标为 (3)的值为或 【分析】（1）设二次函数顶点式，代入点坐标求参数． （2）分别令、求方程的解，得坐标轴交点坐标． （3）由平移规律得平移后解析式，代入原点列方程求． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， ∵函数图象过点， ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）令，得， ∴抛物线与轴的交点坐标为； 令，得， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为、． （3）将二次函数图象向左平移个单位后，所得函数解析式为， ∵平移后的图象经过坐标原点， ∴把代入解析式得， 解得，， ∵， ∴的值为或． 102．（26-27九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数． (1)求该二次函数的图像与坐标轴的交点坐标和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图像；（五点法） (3)当时，结合函数图像，直接写出的取值范围． 【答案】(1)与 轴交点，；与 轴交点；顶点坐标 (2) (3) 【分析】（1）求与 轴交点，令 解方程得到、；求与 轴交点，令 得到；配方转化为顶点式，得到顶点坐标． （2）五点法取顶点以及左右对称的四个点，算出对应 值，在坐标系描出这五个点，再用平滑曲线连接，画出抛物线． （3）在范围内，抛物线顶点处 最小为；趋近 4 时 趋近 3， 不能等于 4，所以 小于 3，得到 的取值范围． 【详解】（1）解：，令，即， 解得， 当时， 求顶点坐标：， ， 即顶点坐标． 答：与轴交点坐标为：、；与 轴交点为，顶点坐标． （2）略． （3）解：当时（低点）， 当时， 所以的取值范围为， 答：． 题型35 比例线段（共3小题） 【易错】比例线段顺序不可调换；等积式转化比例式出错 103．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）（1）已知，求的值． （2）已知线段是线段，的比例中项线段，若，，求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查比例的基本性质，比例中项的定义，掌握比例中项的数量关系是解题关键． （1）根据，用表示，再代入中进行计算； （2）根据比例中项的定义，列式，将、代入算出． 【详解】（1）解：， ， ． 答：． （2）解：由条件可知， ， ，， ， ， 又， 线段的长为． 答：． 104．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知线段a，b，c满足，且．求a，b，c的值． 【答案】，， 【分析】本题考查比例线段，熟练掌握比例的性质是解题关键． 设，依次表示出b和c，解方程求出k的值后，计算出a，b，c的值． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 化简得，，即， ∴，，． 105．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）已知线段、、满足，且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长； (3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查知识点比例的性质、比例中项的定义、成比例线段的性质等相关知识点．解题关键在于利用设法将等比形式转化为用表示、、，再结合已知条件求出的值，进而得到、、的值；根据比例中项和成比例线段的性质列出方程求解． （1）设，用分别表示出、、，代入，求出的值，从而得到、、的值． （2）根据比例中项的定义得到，将（1）中求得的、的值代入，求出的值，注意线段长度不能为负． （3）根据成比例线段的性质得到，将、、的值代入，求出的值． 【详解】（1）解：设，则，，． ∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， 把，代入可得： ， ∵线段长度不能为负， ∴； （3）解：∵四条线段、、、为成比例线段， ∴， 把，，代入可得： ， 解得． 题型36 黄金分割（共3小题） 【易错】分不清较长、较短线段；一条线段两个黄金分割点。 106．（26-27九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知点是线段的黄金分割点，，且，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，，且， ∴． 107．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点，若，则长为_________．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割的定义，解一元二次方程，根据黄金分割定义得，设，则，即，整理得，然后解方程并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据黄金分割定义得， 设，则， ∴，整理得， 解得：，（舍去）， ∴， 故选：． 108．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“苏”．已知一条分割线的端点A、B分别在习字格的边、上，且，“苏”字的笔画“丨”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】 【分析】因为且正方形中，所以四边形是平行四边形，因此，可得到的长度．因为C是的黄金分割点且，所以根据黄金分割的定义，与的比值为黄金比，可先求出的长度．因为，所以代入和的长度即可计算出的长． 【详解】解：，， 四边形是矩形， ． C是的黄金分割点且， ． 代入，得． ． 题型37 图形的位似（共3小题） 【易错】位似必相似，相似不一定位似；位似中心位置漏分类。 109．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在轴右侧，以O为位似中心，画出，使它与的相似比为； (2)根据（1）的作图，内一点的对应点的坐标是______． (3)与轴交点点的坐标是______． 【答案】(1) 如图所示，即为所求： (2) (3) 【分析】本题考查位似变换作图，熟练掌握位似图形是解题的关键． （1）根据位似中心和位似比得到的各顶点坐标，顺次连接得到； （2）通过相似比得到点的对应点的坐标即可； （3）利用待定系数法得到直线的解析式，再求点的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，与的相似比为， 则内一点的对应点的坐标是， 故答案为：； （3）解：设直线的解析式为， 将点和代入得， ， 解得， 则直线的解析式为， 令得：， 解得， 因此，与轴交点点的坐标是， 故答案为：． 110．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为，，， (1)是__________三角形； (2)以点为位似中心，在点的下方画出，使与位似，且位似比为． (3)若内部有一点，直接写出经过（2）中位似变换后的对应点的坐标__________； 【答案】(1)等腰直角 (2) 如图所示： (3) 【分析】本题考查了画位似图形，位似图形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据勾股定理与网格，得，以及勾股逆定理得，即可作答． （2）结合位似图形的性质进行作图即可； （3）根据位似图形的性质得出，对应点到位似中心的距离等于相似比，即，然后代入，进行运算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∵ ∴是等腰直角三角形； （2）略 （3）解：由（2）得以点为位似中心，在点的下方画出，使与位似，且位似比为，内部有一点，经过（2）中位似变换后的对应点， ∴ ∵， ∴ 则 ∴经过（2）中位似变换后的对应点的坐标为 111．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，在平面直角坐标系中， (1)画出一个以点为位似中心的图形，使与的位似比为2∶1； (2)在第三象限内，以原点为位似中心，画出，使与的位似比为1∶1； (3)与的周长比为_____． 【答案】(1) 即为所求； (2) 如图，即为所求； (3) 【分析】本题考查了位似图形的画法与位似图形的性质，解题的关键是掌握位似图形的作图方法及相似图形的周长比与位似比的关系． （1）以点为位似中心，按位似比确定的位置并画图； （2）以原点为位似中心，在第三象限按位似比确定的位置并画图； （3）利用位似图形的周长比等于位似比计算比值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵与的位似比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 故答案为：． 题型38 相似三角形的判定（共3小题） 112．（2026·广东广州·二模）如图，在中，点为边上一点，连接，已知，，．求证：． 【答案】证明：，，， ， 又， ． 【分析】根据两边成比例切夹角相等证明相似即可． 【详解】略 113．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在锐角三角形中，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵，且， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理1和2． （1）根据两角对应相等，两三角形相似即可证明； （2）由得到，再由夹角相等，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 114．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，的平分线为，交于点E． (1)求证： (2)若，求的值 【答案】(1) 证明：∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】本题重点考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，相似三角形的面积比等于相似比的平方，本题中熟练掌握相似三角形的判定与性质以及常用结论是解题的关键． （1）根据可以得到，同时根据角平分线的性质和平行线的性质得到，进而得到，即完成求证． （2）先令，根据三角形相似以及，可以推导得到，然后利用角平分线上的点到线段两边距离相等推到得到的值，利用得到的值，最后得到的值，即完成求解． 【详解】（1）略 （2）解：设， 由已知条件可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴和在和边上的高相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：的值为． 题型39 相似三角形的性质（共3小题） 【易错】面积比等于相似比平方；周长比等于相似比易混淆。 115．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，为上一点，连接交于点，． (1)求的值； (2)当时，求的长度． 【答案】(1) (2)15 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例，即可得出结论； （2）利用得到，再利用对应边成比例，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 116．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在中，D为上一点，E为上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ， ，， ， ， ； (2) 【分析】对于本题重点，掌握相似三角形的判定定理1，以及相似三角形的对应边成比例的性质． （1）根据两角对应相等，两三角形相似证明即可； （2）根据得到，然后求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在（1）中已证明， ， ，，， ， ． 117．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2)8 【分析】本题考查了等边对等角，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，则，再结合，故，最后结合两组角对应相等的三角形是相似三角形，即可作答． （2）根据相似三角形的性质列式，再代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， 题型40 相似三角形的应用（共3小题） 118．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）某数学小组为了测量云龙山上宝塔的高度，利用休息时间进行了实地测量：如图2，首先把长为2米的标杆垂直立于地面上的点处，当塔尖、标杆顶端与地面上的点在同一直线上时，米；再将标杆沿方向平移11米至点处（即米，米），当塔尖、标杆顶端与地面上的点在同一直线上时，米，已知，，，点、、、、在同一水平直线上，请你帮助这个数学小组求出云龙山上宝塔的高度． 【答案】云龙山塔的高度是24米． 【分析】本题考查了相似三角形的应用．先证明，，利用其性质可得，，即可得，，求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ 又∵，， ∴，， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴云龙山塔的高度是24米． 119．（25-26九年级上·江苏南通·期中）【学科融合】如图1，在光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小军想出了一个测量建筑物高度的方法：在地面上点处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后向后退去，直至站在点处恰好看到建筑物的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图）．设小军的眼睛距地面，、的长分别为、，求这座建筑物的高度． 【答案】这座建筑物的高度为． 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用．证，得，进而求出的长即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， 即， 解得：， 答：这座建筑物的高度为． 120．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在路灯下，甲的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯M在线段上．    (1)请你确定路灯M所在的位置，并画出表示乙在灯光下形成的影子线段． (2)如果灯距离地面，乙的身高，乙与灯杆的距离，请求出乙影子的长度． 【答案】(1) 如图所示：路灯,即为所求； (2)1米 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质，解题的关键是： （1）连接进而延长交于点，再连接并延长交于点，得出进而得出答案； （2）证明，根据相似三角形的性质得出答案． 【详解】（1）略 （2）， ， ， 灯距离地面，乙的身高，乙与灯杆的距离， ， 解得： ∴乙影子的长度为． $ 专题01 期中真题百炼通关（120题40大易错题型） 易错·固本强基 题型1 一元二次方程的相关概念 题型2 解一元二次方程 题型3 配方法应用 题型4 根的判别式 题型5 根据一元二次方程根的情况求参数 题型6 一元二次方程根与系数的关系 题型7 一元二次方程的实际应用 题型8 反比例函数的相关概念 题型9 画反比例函数的图象 题型10 反比例函数的增减性 题型11 反比例函数的k值意义 题型12 反比例函数与一次函数的关系 题型13 反比例函数的实际问题 题型14 圆的基本概念 题型15 确定圆的条件 题型16 垂径定理 题型17 圆周角 题型18 圆的内接四边形 题型19 切线的性质与判定 题型20 切线长定理 题型21 扇形的弧长与面积、圆锥的侧面积 题型22 平均数 题型23 中位数与众数 题型24 四分位数和箱线图 题型25 方差与离差平方和 题型26 概率的计算 题型27 二次函数的相关概念 题型28 二次函数的图象 题型29 二次函数的性质 题型30 二次函数图象与各项系数符号 题型31 二次函数图象的平移 题型32 待定系数法求二次函数解析式 题型33 二次函数的实际应用 题型34 二次函数与方程、不等式的关系 题型35 比例线段 题型36 黄金分割 题型37 图形的位似 题型38 相似三角形的判定 题型39 相似三角形的性质 题型40 相似三角形的应用 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 易错·固本强基 题型1 一元二次方程的相关概念（共3小题） 【易错】忽略二次项系数不为 0；未化成一般式，误判未知数最高次数。 1．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为______． 2．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）已知m为方程的一个根，求_________． 3．（26-27九年级上·江苏·单元测试）若等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 题型2 解一元二次方程（共3小题） 【易错】两边同除含未知数式子丢根；开平方漏负根，计算符号出错。 4．（26-27九年级上·江苏南京·期中）解方程： (1)； (2)． 5．（26-27九年级上·江苏镇江·期中）解下列方程： (1) (2) (3) 6．（26-27九年级上·江苏南京·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型3 配方法应用（共3小题） 【易错】配方时只加一边常数；二次项系数未化为 1 就直接配方。 7．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）若是关于x的方程的一个解，则的最大值为（     ） A．0 B．8 C．16 D．24 8．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．若关于的方程是“邻根方程”，令，则的最大值是___________． 9．（26-27九年级上·江苏镇江·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如，因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以．所以当时，即x=-2时，的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)求的最小值； (2)已知，则 ； (3)已知有理数x、y满足，求的最小值． 题型4 根的判别式（共3小题） 【易错】未化为一般式就求 Δ；Δ≥0、Δ>0 概念混淆，忽视二次项系数。 10．（26-27九年级上·云南曲靖·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，该方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为3，求k的值及方程的另一个根． 11．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：这个方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根，求方程的另一个根以及的值． 12．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 题型5 根据一元二次方程根的情况求参数（共3小题） 【易错】只看 Δ，漏掉二次项系数≠0；解出参数不检验取舍。 13．（26-27九年级上·江苏徐州·期中）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 14．（26-27九年级上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象在第一、三象限，且关于x的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是_________． 15．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有实数根； (2)若关于的方程的一个根比另一个根大1，求的值． 题型6 一元二次方程根与系数的关系（共3小题） 【易错】使用韦达定理前不验证 Δ；符号记错，忽略方程有实根前提。 16．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）设是一元二次方程的两个根，则___________． 17．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为_________． 18．（26-27九年级上·江苏连云港·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根和． (1)求k的取值范围； (2)如果，求k的值． 题型7 一元二次方程的实际应用（共3小题） 【易错】解出根不结合实际取舍；设未知数不带单位，等量关系列错。 19．（26-27九年级上·江苏徐州·期中）中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒75元，连续两次降价后每盒48元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率． (2)若每盒盈利10元，每天可售出500盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每盒涨价1元，日销售量将减少20盒，现该商场要保证每天盈利6000元，且要顾客得到最大实惠，那么每盒应涨价多少元？ 20．（26-27九年级上·江苏徐州·期中）如图，利用一面墙（墙长），用总长度的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形菜园，且中间共留两个的小门，设栅栏长为． (1) _____________ （用含的代数式表示）； (2)若矩形菜园面积为，求栅栏的长． 21．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）某商店经销一批小商品，每件商品的成本为8元．据市场分析，销售单价定为10元时，每天能售出200件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件．设涨价x元．据此规律，请回答： (1)商店日销售量减少______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）； (2)针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？ 题型8 反比例函数的相关概念（共3小题） 【易错】忽略k≠0；分不清反比例函数形式，误认自变量次数。 22．（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）若函数是反比例函数，则的值为______________． 23．（2026·陕西西安·模拟预测）点在反比例函数的图象上，点关于轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为________． 24．（2026·陕西咸阳·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，且）的图象经过点、，若，则k的值为______． 题型9 画反比例函数的图象（共3小题） 【易错】忘记双曲线不与坐标轴相交；只画一支，遗漏另一分支。 25．（26-27九年级上·全国·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)画出这个反比例函数的图象． 26．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）已知是的反比例函数 (1)观察表格，该函数的表达式为_______________； (2)补全表格并描点，画出该反比例函数的图象； (3)当时，利用函数图象直接写出函数的最大值为___________． 27．（2026·河南平顶山·三模） 如图为一次函数的图象，它与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数的表达式． (2)在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并直接写出当时，的取值范围． (3)连接， ，求出的面积． 题型10 反比例函数的增减性（共3小题） 【易错】跨区间比较函数值；忽略 “在每个象限内” 这一前提条件。 28．（26-27九年级上·福建福州·期中）反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 29．（26-27九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是__________． 30．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）已知反比例函数． (1)如果这个函数图象经过点，求的值； (2)如果这个函数图象在它所处的象限内，函数随的增大而减小，求的范围． 题型11 反比例函数的k值意义（共3小题） 【易错】面积计算忘记|k|；图形位置混淆 k 正负，漏绝对值 31．（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，正方形的边长为，其中它的中心与原点重合，轴，轴，反比例函数与的图像均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 32．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，点在轴负半轴上，连接，若，且的面积为6，则___________． 33．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，已知直线与双曲线交于，两点，且点的横坐标为4． (1)求的值； (2)若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积； (3)直接写出的解集． 题型12 反比例函数与一次函数的关系（共3小题） 【易错】求交点漏联立方程；比较函数值大小不分区间讨论。 34．（26-27九年级上·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 35．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点,． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)求的面积； 36．（26-27九年级上·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集为 ． 题型13 反比例函数的实际问题（共3小题） 37．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）某垃圾清运公司承担了约的建筑垃圾的运送工作． (1)求每小时运送的垃圾质量关于完成任务所需的时间的函数表达式； (2)该公司调来了若干辆运输车，平均每小时共运送垃圾不超过，至少需要多长时间完成运送工作？ 38．（2026·河南洛阳·三模）儿童游乐场有一个大游泳池，打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水；打开2个进水管，需要12小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t（）． (1)求t与x之间的函数关系式； (2)要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？ (3)已知一个进水管的注水速度为，则此游泳池的容积是多少？若要注入的水，需要同时打开6个进水管多长时间？ 39．（2026·河南洛阳·三模）如图是某饮水机通电开机后，水温与开机时间（分）之间的关系图象，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例，当水温降至时，饮水机又自动开始加热……，重复上述过程． (1)当时，求水温关于开机时间（分）的一次函数解析式． (2)求的值． (3)上午（水温），饮水机开机通电后到中午，水温共有几次达到? 题型14 圆的基本概念（共3小题） 【易错】混淆弦、直径、弧概念；等弧前提是在同圆或等圆之中。 40．（26-27九年级上·江苏徐州·期中）下列说法中，不正确的是（     ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．经过圆内一定点可以作无数条弦 41．（26-27九年级上·浙江宁波·期中）下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 42．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）下列命题中，不正确的是________ ①圆心角相等，所对的弧相等  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的弧是等弧 ④等弧所对的圆周角相等  ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆周角相等． 题型15 确定圆的条件（共3小题） 【易错】三点共线也认为可作圆；误将 “两点” 确定一个圆。 43．（26-27九年级上·江苏连云港·期中）如图，顶点都在网格格点上，则外接圆的圆心坐标为______． 44．（2026·河南南阳·一模）如图，以点为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么的度数为（   ） A． B． C． D． 45．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图是小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度直尺在给定网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图1，将绕点O逆时针旋转得，画出； (2)如图2，请用尺规画出这个圆的圆心． 题型16 垂径定理（共3小题） 【易错】忽略直径垂直弦才平分弦；平分弦时，弦不能是直径。 46．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的半径，是的弦，且于点．若，则半径的长是__________． 47．（2026·广东汕头·三模）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 48．（2026·安徽合肥·三模）如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C． (1)求证：D是的中点； (2)若，，求的半径． 题型17 圆周角（共3小题） 【易错】同弧圆周角相等前提是同圆；直径所对圆周角易错漏。 49．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）如图，线段是的直径，弦，，求和的度数． 50．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形内接于为的延长线上的一点．若，则的度数是___________． 51．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，是圆O的一条弦，是圆O直径，，垂足为E． (1)若，求的度数； (2)若，，求圆O的半径长． 题型18 圆的内接四边形（共3小题） 【易错】记错对角互补性质；外角等于内对角容易写反。 52．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知四边形内接于，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 53．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，为直径，为上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．若点与圆心不重合，，则的度数为________． 54．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，四边形是半圆的内接四边形，是圆的直径，．若，则的度数为________． 题型19 切线的性质与判定（共3小题） 【易错】判定切线忘连半径证垂直；性质使用忽略垂直关系。 55．（2025·吉林·模拟预测）如图，内接于圆，为圆的直径，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数是___________ 56．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的弦，是的直径，过点的切线交的延长线于点，若，求的度数． 57．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的直径，为的切线，与相交于点E，，交的延长线于点F，． (1)求的度数； (2)若，求的半径． 题型20 切线长定理（共3小题） 【易错】混淆切线、切线长概念；多条切线线段找错相等线段。 58．（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 59．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 60．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知，． (1)在图中，用尺规作出的内切圆的圆心（保留痕迹，不必写作法）； (2)画出与边，，的切点、、，连接，，若则___________； (3)若，则所作内切圆半径___________． 题型21 扇形的弧长与面积、圆锥的侧面积（共3小题） 【易错】扇形公式记混；圆锥母线、底面半径概念混淆。 61．（2026·江苏宿迁·二模）如图，是的内接三角形，，设的半径为2，则的长度为（     ） A． B． C． D． 62．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D，E分别在，上，点C在上．若，，则图中阴影部分面积的和为（　　） A． B． C． D． 63．（25-26九年级上·云南昆明·期末）圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，圆锥状聚伞花序尖塔形，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．如图是按照其形状制作的圆锥绣球模型，其底面周长为，高度为，则此圆锥的侧面积为______（结果保留）    题型22 平均数（共3小题） 【易错】加权平均数漏权重；计算算术平均数时数据个数数错。 64．（2026·江苏泰州·三模）某花店有单位为10元、18元、25元三种价格的花卉，如图是该花店某月三种花卉销售量情况的扇形统计图，根据该统计图可算得该花店销售花卉的平均单价为_______元． 65．（25-26九年级下·江苏苏州·期中）某班级学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面按2：3：2：2：1确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示，则他期末操行得分为_____分． 66．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．进入决赛的前两名选手需要确定名次(不能并列)，他们的成绩如下(单位：分)． 选手 内容 能力 效果 甲 乙 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩，能否以此确定两人的名次？ (2)如果把内容、能力、效果的成绩按计算，请你确定两人的名次． 题型23 中位数与众数（共3小题） 【易错】求中位数不排序；众数可多个，误认为众数唯一。 67．（2026·江苏无锡·模拟预测）一组数据4，2，x，6，3的平均数是4，则这组数据的中位数是 _____． 68．（25-26八年级下·福建福州·期末）在一次中学生运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如图所示，则这些运动员成绩的众数和中位数分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 69．（2026·江苏连云港·二模）某校德育处开展专项安全教育活动前，在全校范围内随机抽取了40名学生进行安全知识测试，测试结果如表1所示（每题1分，共10道题），专项安全教育活动后，再次在全校范围内随机抽取40名学生进行测试，根据测试数据制作了如图1、图2所示的统计图（尚不完整）．设定8分及以上为合格，分析两次测试结果得到表2． 分数/分 2 5 6 7 8 9 人数/人 4 6 8 8 12 2 表1 平均数/分 众数/分 中位数/分 合格率 第一次 6.4 a 7 第二次 b 8 9 c 表2 请根据图表中的信息，解答下列问题： (1)将图2中的统计图补充完整； (2)填空： ， ， ； (3)若全校学生以1200人计算，估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数． 题型24 四分位数和箱线图（共3小题） 【易错】求四分位数排序出错；分不清极值、四分位点含义。 70．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）某校“魅力篮球节”活动中，有8位同学各投篮10次，进球次数（单位：次）分别为6，5，4，7，6，10，9，8．则这8位同学投篮进球次数的上四分位数为（   ） A．5.5次 B．6次 C．8.5次 D．9次 71．（25-26八年级下·全国·周测）小伟参加如奕围棋学生社团年度校园挑战赛，共进行了场比赛．积分统计小组根据小伟这场比赛的得分作了如图统计图，下列说法正确的是（   ） A．比赛最高得分是分 B．比赛得分的中位数是分 C．比赛得分数据集中在分之间 D．比赛得分的上四分位数是分 72．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在某次射击训练中，队员甲、乙、丙都进行了12次射击，射击成绩（单位：环）信息统计如下： 信息一：如图1，队员甲的12次射击成绩的统计图； 信息二：队员乙的12次射击成绩的平均数为8环，方差为2.5； 信息三：如图2，根据队员甲和队员乙的12次射击成绩绘制的箱线图； 信息四：队员丙的12次射击成绩记录整理为：6，6，6，7，7，7，8，8，9，9，9，10 (1)计算队员甲的12次射击成绩的平均数和方差； (2)求队员丙的12次射击成绩的四分位数，，，并在图2中绘制相应的箱线图； (3)根据上述信息，请你评价这次训练中甲、乙、丙三个队员的射击情况． 题型25 方差与离差平方和（共3小题） 73．（26-27九年级上·江苏南通·期中）若把数据6，7，8，8，8，8，7，10，9分成6，7，7，8和8，8，8，9，10两组，则它们的组内离差平方和为______． 74．（2026·江苏连云港·二模）超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）方差为，该顾客选购的鸡蛋的质量方差为，则_____（填＞、=、＜）． 75．（25-26八年级下·江苏南通·期末）在学校举办的“劳动与科技”实践周中，八年级（1）班的同学负责照料两块草莓试验田．其中甲组地块采用“智能水肥一体化”技术种植，乙组地块采用“传统土壤”方式种植．为了评估两种种植方式的效果，成熟期时，同学们从甲、乙两地块中各随机采摘了10颗草莓进行甜度检测（单位：Brix，数值越大越甜）． 【数据收集】 甲组（智能水肥）：11，13，13，12，14，13，12，，14（部分数据被污染） 乙组（传统土壤）：10，16，12，14，11，13，13，16，13，12 【数据整理】同学们对数据进行了初步整理，并绘制了统计表和箱线图． 甲、乙两组草莓甜度统计分析表 组别 平均数 众数 中位数 方差 甲 13 13 a 1.2 乙 13 b 13 3.4 【问题解答】 (1)直接写出表格中a和b的值：_________，_________； (2)由乙组数据求出乙组草莓甜度的第一四分位数_________，第三四分位数_________； (3)如果高端超市收购草莓的标准是“甜度稳定且品质均匀”，你会向农户推荐哪种种植方式．请说明理由． 题型26 概率的计算（共3小题） 76．（2026·江苏淮安·中考真题）小明计划假期来淮安品尝美食，他打算从个特色菜（A．软兜长鱼；B．盱眙龙虾；C．钦工肉圆；D．开洋蒲菜；E．平桥豆腐）中随机选择． (1)若小明从这个特色菜中随机选择个，则选中“软兜长鱼”的概率为__________． (2)小明先从A，B，C中随机选择个菜，再从D，E中随机选择个菜．请用画树状图或列表的方法，求小明恰好选中B，D两个菜品的概率． 77．（2026·江苏盐城·中考真题）小明和他的同学利用设计了一款小程序，界面如图所示，由4个色块A，B，C，D和1个“运行”按钮构成． (1)若小明点击一次“运行”按钮，则色块A发亮的概率是__________． (2)若小明点击两次“运行”按钮，用列表或画树状图的方法求两次都是色块A发亮的概率． 78．（2026·江苏常州·中考真题）中央广播电视总台马年春晚的主题为“骐骥驰骋，势不可挡”，“骐骥驰骋”出自《离骚》，以“骐骥”喻千里马，象征开拓进取、驰而不息的民族精神．小亮设计了一个拼字游戏：将“马”“其”“冀”分别写在3张相同的卡片上，将卡片的背面朝上并洗匀． (1)任意抽取1张卡片，抽到“马”的概率为__________． (2)先任意抽取1张卡片，不放回，再从余下的2张卡片中任意抽取1张．求抽取的2张卡片可以拼成“骐”字的概率． 题型27 二次函数的相关概念（共3小题） 79．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）函数是关于x的二次函数，则m的值为______． 80．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（　　） A． B．0 C． D．3 81．（25-26九年级上·山东德州·期中）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 题型28 二次函数的图象（共3小题） 【易错】画图漏顶点、对称轴；开口方向由 a 正负判断易看错。 82．（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知二次函数的解析式 (1)在直角坐标系中画出它的图象； (2)观察图象可知时，的取值范围是 ； (3)当时，观察图象直接写出函数值的取值范围． 83．（24-25九年级上·江苏南京·期中）对于抛物线． (1)将抛物线的解析式化为顶点式； (2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线； x … … y … … (3)结合图象，当时，x的取值范围______． 84．（24-25九年级上·江西南昌·期中）已知二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 5 … (1)画出函数图象； (2)当______时，随的增大而减小； (3)当时，的取值范围为______ 题型29 二次函数的性质（共3小题） 【易错】增减性不分对称轴左右；最值不分开口向上向下 85．（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知一次函数与二次函数的图象相交于点、，且二次函数与轴相交于点． (1)求的值和二次函数的解析式； (2)当时，求的取值范围； (3)请直接写出当时，自变量的取值范围． 86．（25-26九年级上·江苏南通·期中）在二次函数中． (1)若它的图象过点，则的值为多少？ (2)当，的最小值为，求出的值； (3)如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围． 87．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）已知二次函数（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； (2)当时，y的最小值为；当时，y的最小值为3，求二次函数的表达式； (3)点，，在二次函数的图象上，当时，结合函数图象，求m的取值范围． 题型30 二次函数图象与各项系数符号（共3小题） 88．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）二次函数 的图象如图所示，对于下列说法：①，②，③，其中正确的个数有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 89．（2026·江苏扬州·二模）老师给出了二次函数的部分对应值如下表，同学们讨论得出了下列结论：①抛物线的对称轴为直线；②是方程的一个根；③当时，；④若，是该抛物线上的两点，则．其中正确的是________． x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 90．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示是二次函数图像的一部分，图像过点，二次函数图像对称轴为直线，给出五个结论：①；②；③；④方程的根为，；⑤当时，随着的增大而增大．其中正确结论有________________ 题型31 二次函数图象的平移（共3小题） 【易错】平移口诀记反；顶点式平移只看 x，忘记括号。 91．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）将抛物线的解析式向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是______ ． 92．（24-25九年级上·江苏南京·期中）把二次函数的图象向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位长度后，所得的抛物线的顶点坐标为．求b，c的值． 93．（2024·江苏常州·二模）已知二次函数． (1)若该二次函数的最大值为，求m的值； (2)若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图像与x轴有2个交点，求m的取值范围． 题型32 待定系数法求二次函数解析式（共3小题） 94．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知抛物线经过点，，，求抛物线的表达式． 95．（24-25九年级上·黑龙江七台河·期末）已知抛物线（是常数，）． (1)若此抛物线的图象经过点和，求此抛物线的解析式； (2)若，当时，函数随的增大而增大，求的取值范围． 96．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，点和都在二次函数，（是常数）的图象上． (1)若，求该二次函数的表达式； (2)若，求b的取值范围． 题型33 二次函数的实际应用（共3小题） 97．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）某公司自主设计了一款成本为100元的保暖衬衣，并投放市场进行试销售，当售价为每件160元时，每月可销售200件．为了吸引更多买家，该公司采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降低1元，则每月可多销售5件，设该保暖衬衣的售价单价为元，每月销售量为件． (1)求出与之间的函数关系式； (2)设该店每月获得的利润为元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ (3)该店店主决定每月从利润中捐出780元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于11000元，请直接写出该保暖衬衣销售单价的取值范围． 98．（2025·陕西榆林·三模）乡村振兴关键在产业．近年来，某县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普罗旺斯西红柿、草莓等，让大棚产业照亮农业转型升级致富路，实现村民稳定增收．如图2，某农户的大棚截面上半部分可近似看作抛物线，下半部分可看作矩形，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为7米，米，棚宽米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了加固棚顶，现需在上方的抛物线部分加装一根横梁（点P、Q均在抛物线上），且，若横梁与地面的距离是米，则横梁的长度是多少米？ 99．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一喷水管，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系（单位长度为），点A在轴上，水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． (1)求喷水管高． (2)身高为的小明站在距离喷水管的地方，他会被水喷到吗？ 题型34 二次函数与方程、不等式的关系（共3小题） 【易错】分不清交点横坐标；解不等式不会看图确定取值范围。 100．（26-27九年级上·江苏南京·期中）已知关于x的方程（m为常数）． (1)求证：不论m取何值，该方程总有实数解； (2)解不等式：． 101．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)求抛物线与坐标轴的交点坐标； (3)将二次函数的图象向左平移个单位后恰好经过坐标原点，求m的值． 102．（26-27九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数． (1)求该二次函数的图像与坐标轴的交点坐标和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图像；（五点法） (3)当时，结合函数图像，直接写出的取值范围． 题型35 比例线段（共3小题） 【易错】比例线段顺序不可调换；等积式转化比例式出错 103．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）（1）已知，求的值． （2）已知线段是线段，的比例中项线段，若，，求的值． 104．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知线段a，b，c满足，且．求a，b，c的值． 105．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）已知线段、、满足，且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长； (3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 题型36 黄金分割（共3小题） 【易错】分不清较长、较短线段；一条线段两个黄金分割点。 106．（26-27九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知点是线段的黄金分割点，，且，则的长为（     ） A． B． C． D． 107．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点，若，则长为_________．（   ） A． B． C． D． 108．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“苏”．已知一条分割线的端点A、B分别在习字格的边、上，且，“苏”字的笔画“丨”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 题型37 图形的位似（共3小题） 【易错】位似必相似，相似不一定位似；位似中心位置漏分类。 109．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在轴右侧，以O为位似中心，画出，使它与的相似比为； (2)根据（1）的作图，内一点的对应点的坐标是______． (3)与轴交点点的坐标是______． 110．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为，，， (1)是__________三角形； (2)以点为位似中心，在点的下方画出，使与位似，且位似比为． (3)若内部有一点，直接写出经过（2）中位似变换后的对应点的坐标__________； 111．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，在平面直角坐标系中， (1)画出一个以点为位似中心的图形，使与的位似比为2∶1； (2)在第三象限内，以原点为位似中心，画出，使与的位似比为1∶1； (3)与的周长比为_____． 题型38 相似三角形的判定（共3小题） 112．（2026·广东广州·二模）如图，在中，点为边上一点，连接，已知，，．求证：． 113．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在锐角三角形中，． (1)求证：； (2)求证：． 114．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，的平分线为，交于点E． (1)求证： (2)若，求的值 题型39 相似三角形的性质（共3小题） 【易错】面积比等于相似比平方；周长比等于相似比易混淆。 115．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，为上一点，连接交于点，． (1)求的值； (2)当时，求的长度． 116．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在中，D为上一点，E为上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 117．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型40 相似三角形的应用（共3小题） 118．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）某数学小组为了测量云龙山上宝塔的高度，利用休息时间进行了实地测量：如图2，首先把长为2米的标杆垂直立于地面上的点处，当塔尖、标杆顶端与地面上的点在同一直线上时，米；再将标杆沿方向平移11米至点处（即米，米），当塔尖、标杆顶端与地面上的点在同一直线上时，米，已知，，，点、、、、在同一水平直线上，请你帮助这个数学小组求出云龙山上宝塔的高度． 119．（25-26九年级上·江苏南通·期中）【学科融合】如图1，在光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小军想出了一个测量建筑物高度的方法：在地面上点处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后向后退去，直至站在点处恰好看到建筑物的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图）．设小军的眼睛距地面，、的长分别为、，求这座建筑物的高度． 120．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在路灯下，甲的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯M在线段上．    (1)请你确定路灯M所在的位置，并画出表示乙在灯光下形成的影子线段． (2)如果灯距离地面，乙的身高，乙与灯杆的距离，请求出乙影子的长度． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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