精品解析：江苏省赣榆高级中学2026-2027学年高一上学期10月学情检测数学试卷

2026-2027学年第一学期10月学情检测 数学试卷 总分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，又， 所以. 2. 已知命题为真命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为命题为真命题，故恒成立， 故恒成立， 设，此函数在上单调递增，在上单调递减， 且，故在上的最小值为， 故. 3. 已知且，若，，则（ ） A. 6 B. 36 C. 72 D. 108 【答案】D 【解析】 【分析】将对数式化为指数式，根据指数运算求得正确答案. 【详解】依题意，，， 所以，所以. 4. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合集合运算以及分式不等式的运算，直接判断充分性和必要性即可. 【详解】由得，， 所以， 又，所以， 则若，可得， 若，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 5. 关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得且，即可将不等式等价转化为，求解即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以且，则， 所以不等式，即，即，等价于， 解得或， 所以不等式的解集为. 6. 已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为函数的定义域是，即，所以， 所以的定义域为， 所以函数的定义域满足，得， 所以函数的定义域为. 7. 实数满足，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将目标代数式表示为已知两个不等式中式子的幂次乘积形式，利用正数不等式的同向可乘性求解取值范围. 【详解】设，，由题意得，，设， ， 则可得方程组，解得， 即，由得，由得， 则两式相乘可得. 8. 设函数，的解集为. 现有一区间，若对于任意的正数，则的最大值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两集合交集为非空集合这个条件推导出参数约束条件，再用基本不等式等号成立条件进行判断，求最值. 【详解】由，恒有，故， 令且， 故开口向上且，故对应一元二次方程恒有两个不等实根，且在y轴两侧， 因为，即在上有解，且， 又区间关于对称，且区间长度， 只需保证，则，且，即， 所以， 令 ， ，当且仅当，即时等号成立， ， 当时，， 所以的最大值为. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.) 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与是同一个集合 B. 已知全集为，则和等价 C. 集合与集合是同一个集合 D. 已知命题；命题，则和都是真命题 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，表示空集，不含任何元素，而是一个包含了一个元素的集合， 两者不是同一个集合，故A错误； 对于B，表示的元素一定属于，表示全集中不在中的元素构成的集合， 则也表明的元素一定属于，因此，故B正确； 对于C，：自变量是的取值，，该集合是， ：函数值的取值，集合是，故C错误； 对于D，对于命题，取，发现是假命题，则是真命题； 对于命题，取时成立，则是真命题，故D正确； 10. 已知，，，则下列结论正确的是（    ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值是 D. 的最小值为3 【答案】BC 【解析】 【分析】利用均值不等式即可判断A；先平方再结合均值不等式即可判断B；先利用消元法转化成二次函数，再利用二次函数图象性质即可判断C；利用1的代换法算出最小值，再从等号取得的条件与已知条件矛盾即可判断D. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，易知，可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故B正确； 对于C，， 当时，取得最小值，故C正确． 对于D， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 与已知矛盾，所以等号不成立，故D错误. 11. 若对任意恒成立，其中，是整数，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对分类讨论，当时，由可得，由一次函数的图象知不存在；当时，由，利用数形结合的思想可得出的整数解. 【详解】当时，由可得对任意恒成立， 即对任意恒成立，此时不存在； 当时，由对任意恒成立， 可设，，作出的图象如下， 由题意可知，再由，是整数可得或或 所以的可能取值为或或 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】原式 13. 已知集合，，若，求实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】确定，然后由，分类讨论集合中元素可得解. 【详解】由已知，且， 由， （1）当，即时，由解得，不满足； （2）当时，①由，即时，则，满足； ②当，则，此时，不满足； ③当时，由知，则，解得， 综上，的取值范围是. 14. 已知 当取最大值时，的最小值为______，取得这个最小值时，__________ 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】由条件化简，结合基本不等式求其最大值，确定取最大值的条件，再结合二次函数性质求的最小值，并求得此时的，得到的值. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，当且仅当，时等号成立， 所以当，时，取最大值， 所以当取最大值时，，，， 所以， 所以，， 所以当时，取最小值. 此时，， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 命题：实数满足集合，：实数满足集合. （1）若，为真命题，求集合； （2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1），，； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用解绝对值不等式和一元二次不等式即可； （2）把充分不必要条件转化为真子集关系即可求解. 【小问1详解】 由，， ， 故， 【小问2详解】 因为是成立的充分不必要条件，所以， 即，解得，检验当时，满足， 又因为，所以 所以实数的取值范围是. 16. （1）已知，，用，分别表示和； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）12 【解析】 【详解】（1）因为，， 所以； 即. （2）由分别转化为对数式， 即， 即， 结合换底公式可得： . 17. 已知函数满足. （1）求的解析式； （2）求关于的不等式的解集； （3）若关于的不等式的解集中只有一个整数，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）应用方程组法计算得出解析式； （2）分，，得出解集即可； （3）根据解集只有一个整数计算求参数. 【小问1详解】 以代替代入，① 得，② 由2×②，得，③ 由③-①，得，所以. 【小问2详解】 由（1）得等价于. 当时，，所以该不等式的解集为； 当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式的解集为. 综上，当时，该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为. 【小问3详解】 当时，该不等式的解集为，符合题意； 当时，该不等式的解集为，则； 当时，该不等式的解集为，则. 综上，的取值范围是. 18. 荆州中学坐落于历史文化名城荆州，发轫于东汉马融绛帐讲学，历经明清龙山书院､贡院，弦歌不辍，薪火相传，文脉不绝.其近代教育始于1903年清政府创办的荆州府中学堂，临近121周年校庆，学校计划对校史馆进行修缮.现要在校史馆阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长（单位：）为. （1）已知阁楼屋顶为高，底边长的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示）. （i）要使窗户面积不小于2平方米，求x的取值范围； （ii）规定：公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ （2）一般认为，在公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积的规定下，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试从数学角度说明理由. 【答案】（1）（i）；（ii）当为米或米时，窗户面积最小为平方米 （2）采光条件变好了，理由：设分别表示原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同）， 由题意得，则. 因为，所以，即， 所以窗户和地板同时增加相等的面积，采光条件变好了. 【解析】 【分析】（1）（i）利用三角形相似可得，得出面积表达式解不等式可得结果； （ii）依题意得出不等式组即可解得结果； （2）利用作差法即可判断出采光效果是变好了. 【小问1详解】 （i）设矩形的另一边长为， 由三角形相似得且，所以， 又矩形窗户面积， 解得， 故的取值范围为. （ii）设地板面积为，解不等式组， 所以，即，解得， 故窗户面积最小为， 令，可得，解得或. 故当为米或米时，窗户面积最小，为平方米. 【小问2详解】 略 19. 已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，不等式对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在时直接检验即可，在时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）将所求方程变形为，由题意得出，且，结合韦达定理得出，再由韦达定理得出，结合不等式的基本性质可求得的取值范围； （3）令，则，依题意可得关于的方程有四个不等实根，令，则，问题转化为存在使得关于的方程有两个不同正根，利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，结合主元法可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由得恒成立， 故不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 【小问2详解】 由可得，整理得， 由题意可知，且，解得或， 由韦达定理可得，，可得，故， 所以， 因为，所以，所以， 故的取值范围是. 【小问3详解】 当时，令，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则，则问题转化为存在使得关于的方程 有两个不同正根、， 所以， 因为，则，由可得， 由可得或，故， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，可得，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期10月学情检测 数学试卷 总分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（     ） A. B. C. D. 2. 已知命题为真命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知且，若，，则（ ） A. 6 B. 36 C. 72 D. 108 4. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 7. 实数满足，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，的解集为. 现有一区间，若对于任意的正数，则的最大值为（    ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.) 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与是同一个集合 B. 已知全集为，则和等价 C. 集合与集合是同一个集合 D. 已知命题；命题，则和都是真命题 10. 已知，，，则下列结论正确的是（    ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值是 D. 的最小值为3 11. 若对任意恒成立，其中，是整数，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：________． 13. 已知集合，，若，求实数的取值范围是______. 14. 已知 当取最大值时，的最小值为______，取得这个最小值时，__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 命题：实数满足集合，：实数满足集合. （1）若，为真命题，求集合； （2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. （1）已知，，用，分别表示和； （2）已知，求的值. 17. 已知函数满足. （1）求的解析式； （2）求关于的不等式的解集； （3）若关于的不等式的解集中只有一个整数，求的取值范围. 18. 荆州中学坐落于历史文化名城荆州，发轫于东汉马融绛帐讲学，历经明清龙山书院､贡院，弦歌不辍，薪火相传，文脉不绝.其近代教育始于1903年清政府创办的荆州府中学堂，临近121周年校庆，学校计划对校史馆进行修缮.现要在校史馆阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长（单位：）为. （1）已知阁楼屋顶为高，底边长的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示）. （i）要使窗户面积不小于2平方米，求x的取值范围； （ii）规定：公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ （2）一般认为，在公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积的规定下，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试从数学角度说明理由. 19. 已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $