专题04 一元一次方程的解法及其应用（高效培优期中专项训练）七年级数学上学期新教材沪科版

专题04 一元一次方程的解法及其应用 考点01 解一元一次方程 考点02 含参数方程（已知解求参数） 考点03 同解方程（两方程解相同） 考点04 含绝对值的一元一次方程 考点05 新定义运算 考点06 和差倍分问题 考点07 行程问题 考点08 工程问题 考点09 销售与利润问题 考点10 配套与比例分配问题 考点11 数字问题 考点12 分段计费问题 考点13 方案设计与最优选择问题 考点14 几何图形中的方程问题 考点01 解一元一次方程 1．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去括号， 移项， 合并同类项， 系数化1， （2）解： 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 系数化1， 2．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 3．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 4．（25-26七年级上·安徽宣城·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得； （2）， ， ， ， ， 解得． 5．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 6．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得； （2）解：， 移项、合并同类项，得， 解得：． 7．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ． 考点02 含参数方程（已知解求参数） 8．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）关于x的方程的一个解是，则（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】B 【详解】∵ 是方程 的解， ∴ 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选B． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的方程的解，则多项式的值是（   ） A．1011 B．1015 C．2021 D．2029 【答案】C 【详解】解：把代入方程得 ， ， ． 故选：C． 10．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）已知是关于的方程的解，则的值是（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】是方程的解， ， 即， ． 因此，的值为， 故选：A． 11．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的方程的解，则的值是______． 【答案】 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 考点03 同解方程（两方程解相同） 12．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ 方程 ， ∴ 展开得 ， ∴ 移项得 ， ∴ ， ∵ 两方程解相同， ∴ 将 代入 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故 的值为 ， 故选 C． 13．若方程和的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 移项得： 合并同类项： 系数化为得：， 将代入， 可得： 移项得： 合并同类项： 系数化为，可得：； 故选：A 14．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）关于的一元一次方程与的解相同，则的值为______． 【答案】 【详解】解：解方程，得． 将代入方程，得，解得． 故答案为： 15．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知：关于x的方程与有相同的解，则______． 【答案】 【详解】解：， ， 解得， 把代入，得，解得； 故答案为：． 16．已知关于的方程与有相同的解，求的值． 【答案】的值为 【详解】解：由， 得 由， 得 两个方程的解是相同的， ， 解得 故的值为． 考点04 含绝对值的一元一次方程 17．（25-26七年级上·安徽黄山·期中）若为有理数且，则的取值是（    ） A． B． C．或2 D． 【答案】C 【详解】解：， 或， 当时，； 当 时，， 的取值为或 2， 故选： C． 18．若，则______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 19.关于的方程（k为常数，）的解为______．（用含的代数式表示） 【答案】或 【详解】解：∵，且， ∴， 当时，方程化为， 此时解得； 验证：对于，总有，故解符合题意； 当时，方程化为， 此时解得， 验证：对于，该解不满足（当时，当时，当 时方程无解），故无解； 当时，方程化为， 此时解得， 验证：对于，总有，故解符合题意； 综上所述，方程的解为 或， 故答案为：或． 20．（24-25七年级上·安徽六安·期中）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为 （1）若，这样的数x为_______； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是_______． 【答案】 5或1 6 【详解】（1）由绝对值的几何意义知：表示在数轴上x表示的点到3的距离等于2， ∴，或， ∴或1； 故答案为：5或1； （2）当时，即表求x的点在的左侧时， 当时，即表求x的点在和5之间时， ∴， 当时，即表求x的点在5的右侧时， ∴的最大值为6， 故答案为：6． 考点05 新定义运算 21．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称为这两个方程为“致真方程”．如方程和为“致真方程”． (1)若关于的方程与方程是“致真方程”，求的值； (2)若关于的方程和是“致真方程”，求这两个方程的解． 【详解】（1）解： ； ； ∵方程与方程是“致真方程”， ∴， 解得． （2）解： ； ； ∵方程和是“致真方程”， ∴， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 则， ， 故方程的解为，方程的解为． 22．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”． （）若与是“差解方程”，则______， （）若关于的两个方程与方程是“差解方程”，则______． 【答案】 或 【详解】解：（）解方程，得；解方程，得， ∵与是“差解方程”， ∴， ∴， 故答案为：； （）解方程，得；解方程，得， ∵方程与方程是“差解方程”， ∴， 即， 解得或， 故答案为：或． 23．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）我们给出一种定义：如果两个一元一次方程的解的和为，那么我们就称这两个方程互为“漂亮方程”．例如：方程和互为“漂亮方程”． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则的值为______． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则关于的方程的解是______． 【答案】 【详解】解：（）解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程与互为“漂亮方程”， ∴， 解得， 故答案为：； （）解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程与互为“漂亮方程”， ∴， 解得， ∴方程为， 解得， 故答案为：． 24．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”．例如：方程的解为，而，则该方程为“友好方程”． (1)在方程①；②；③中，为“友好方程”的是________；（填写序号即可） (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值； (3)若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求的值． 【答案】(1)② (2) (3) 【详解】（1）解：①，解得：， 因为， 所以该方程不是“友好方程”； ②，解得：， 因为， 所以该方程是“友好方程”； ③，解得：， 因为， 所以该方程不是“友好方程”； 故答案为：② （2）解：，解得： 因为关于的一元一次方程是“友好方程”， 所以， 解得：； （3）解：因为的一元一次方程的解为， 所以， 因为， 所以， 因为一元一次方程是“友好方程”， 所以， 所以， 解得：． 考点06 和差倍分问题 25．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）安徽某中学开展校运动会，参加跳高的学生是参加立定跳远的学生的2倍少3人，已知参与这两项运动的人数共86人．设参加立定跳远的学生有人，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设参加立定跳远的学生有人，则参加跳高的学生有人， 由题意可得，， 故选：D． 26．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）妈妈买了一盒牛奶．妈妈和爸爸在早餐时喝了一半，明明喝了剩余部分的，这时还剩下，则这盒牛奶原来有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设原来牛奶量为， ∵妈妈和爸爸喝了一半， ∴剩余量为， ∵明明喝了剩余部分的， ∴明明喝了， ∴此时剩余量为， ∵剩余， ∴， ∴， 故原来牛奶量为． 故选：A． 27．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）体育课上，体育老师要求男、女各站成一队，记男生队为A队，女生队为B队． （1）设A队有人，B队有人，从A队调人到B队，则此时B队比队多______人；（结果要化简） （2）已知A队有32人，B队有28人．从A队调人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人，则的值为______． 【答案】 13 【详解】解:（1）由题意得，从A队调人到B队，则此时B队比A队多人； 故答案为：； （2）由题意得，， 解得． 故答案为：13． 考点07 行程问题 28．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是．水流的速度是，两小时后甲船比乙船多航行__________千米．(用含a的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是， 甲船顺水速度为，乙船逆水速度为， 两小时后甲船航行的路程为：， 两小时后乙船航行的路程为：， 两小时后甲船比乙船多航行：， ， 两小时后甲船比乙船多航行千米． 29．小明打算周末与同学一起徒步大蜀山，计划上午8点出发，到最远处后休息，下午5点以前必须回到出发点，如果他们去时的平均速度是，回来时的平均速度是，他们最远能到的距离为________（表示出发点到山顶的路程）．      【答案】12 【详解】解：设他们最远能到的距离为， ， 解得：， ∴他们最远能到的距离为， 故答案为：12． 30．在风速为的条件下，一架飞机顺风从甲机场飞到乙机场要用小时，它逆风飞行同一航线要用小时，求： (1)无风时这架飞机在这一航线的平均航速； (2)两机场之间的航程． 【答案】(1)无风时这架飞机在这一航线的平均航速为 (2)两机场之间的距离为 【详解】（1）解：设无风时这架飞机在这一航线的平均航速为，则顺风飞行时的速度为，逆风飞行的速度为，根据题意得， ， 解方程，得． 答：无风时这架飞机在这一航线的平均航速为； （2）根据题意得，． 答：两机场之间的距离为． 31．从甲地到乙地，汽车原需行驶6h可到达，开通高速公路后，路程不变，车速平均每小时增加了30km，只需4h即可到达． (1)若设汽车原来的车速为x km/h，则开通高速公路后的车速是 km/h，根据两地的路程不变这个等量关系可列方程为___________ (2)若设甲、乙两地的路程是y km，则汽车原来的车速是 km/h，开通高速公路后的车速是 km/h，根据两地的路程不变这个等量关系列方程求汽车原来的车速． 【答案】(1)； (2)；；60km/h 【详解】（1）解：设汽车原来的车速为x km/h，则开通高速公路后的车速是km/h； ∴方程为； 故答案为：； （2）设甲、乙两地的路程是y km，则汽车原来的车速是km/h，开通高速公路后的车速是km/h， ∴， 解得． 汽车原来的车速为 （km/h）． 故答案为：． 32．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）以下是两张不同类型火车（“次”表示动车，“次”表示高铁）的车票： (1)根据车票中的信息填空：该列动车和高铁是______（填“相”或“同”）向而行，该列动车比高铁发车______（填“早”或“晚”）． (2)已知该列动车和高铁的平均速度分别为，，两列火车的长度不计，高铁比动车早到1h，求，两地之间的距离． (3)在的条件下，求高铁出发多少小时后两车相距150km． 【答案】(1)同，早 (2) (3)或或 【详解】（1）解：该列动车和高铁是同向而行，该列动车比高铁发车早． 故答案为：同，早； （2）解：设A、B两地之间的距离为． 根据题意得， 解得． 答：，两地之间的距离为． （3）解：设高铁出发小时后两车相距， 当高铁还未追上动车时，， 解得； 当高铁追上动车后但未到达B地时，， 解得； 当高铁到达B地后，， 解得． 答：当高铁出发或或后两车相距． 考点08 工程问题 33．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）某件手工制品，甲单独做需1个小时完成，乙单独做需个小时完成．若甲先做20分钟，然后甲、乙合作完成了此手工制品，设乙做了x个小时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设乙做了x个小时，则甲一共做了小时，根据题意得： ， 故选：B． 34．一项工程，如果由甲工程队单独做需要20天完成,乙工程队单独做需要12天完成.现在由甲队单独做4天,剩下的工程由甲、乙合作完成.剩下的部分合作还需要几天完成? 【答案】6天. 【详解】设还需x天完成， 由题意得：， 解得：x=6． 答：还需6天完成． 35．信息技术课上，老师让七年级学生练习打字，要求限时40分钟打完﹣篇文章．已知小宝独立打完这篇文章需要50分钟，而小贝只需要30分钟．为了完成任务，小宝打了30分钟后，请求小贝帮助合作，他能在要求的时间打完吗？ 【答案】他能在要求的时间打完． 【详解】解：设小贝加入后打x分钟完成任务，根据题意得： （30+x）×x=1， 解得：x=7.5． ∵7.5+30=37.5＜40， 所以他能在要求的时间打完． 36．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？ 【答案】(1) (2)天 【详解】（1）解：设甲乙合作需要x天完成， 依题意：， 解得 ， 所以需要天； （2）解：设还需要y天： 依题意，， 解得， 故还需要2天． 考点09 销售与利润问题 37．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）超市里为了促销某种商品，将其价格先提高，并在此基础上执行第二件半价，某顾客购买了两件该商品，经过计算实际到手价格平均为18元/件，则该商品的原价是（   ） A．18元/件 B．19元/件 C．20元/件 D．21元/件 【答案】C 【详解】解：设该商品的原价是元/件， 由题意得，， ， ， ， 答：该商品的原价是20元/件， 故选：． 38．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）商家进一种服装，将进货单价翻一番后按7折出售，售价为a元，则这种服装的进货单价为______元． 【答案】 【详解】解：设这种服装的进货单价为元， 由题意可得：， 解得：， ∴这种服装的进货单价为元， 故答案为：． 39．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）综合应用：某商场计划购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品每件进价50元，售价80元；乙种商品每件进价70元，售价110元． (1)若全部售出后获利3600元，求甲、乙两种商品分别有多少件？ (2)在第（1）题结论的条件下，该商场开展让利促销活动，若甲种商品每件售价60元，要使得这100件商品利润率为，乙种商品每件售价多少元？（商品销售总价商品总进价（利润率） 【答案】(1)甲40件，乙60件 (2)乙种商品每件售价84元 【详解】（1）解：设甲商品件，则乙商品件， 则乙商品数量为（件） 答：甲商品40件，乙商品60件． （2）解：总进价元 总售价元 甲总售价元 乙每件售价元 答：乙种商品每件售价84元． 40．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）某品牌运动鞋原价元/双，促销方案如下： 方案一（普通优惠）：购买2双及以上时，超出2双的部分打8折． 方案二（会员优惠）：办理会员卡需付元工本费（仅首次办理需要，之后购买都享受会员价），会员价元/双． 小华发现在某个购买数量下，两种方案的总花费相同．请问小华购买了多少双运动鞋？总花费是多少元？ 【答案】两种方案总花费相同时小华买了6双运动鞋，总费用是元． 【详解】解：设小华购买了双运动鞋， 要使总花费相同，方案一要有优惠， 即， ， 解得：， ， 答：两种方案总花费相同时小华买了6双运动鞋，总费用是元． 41．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）某商场销售A，B两种品牌的营养早餐牛奶，其中A品牌牛奶的售价为50元/箱，B品牌牛奶的售价为70元/箱．某校决定在该商场购进A，B两种品牌牛奶共100．箱，恰逢商场对两种品牌牛奶的售价进行调整：A品牌牛奶每箱的售价比原售价减少了5元，B品牌牛奶每箱按原售价的八折出售．设学校购进A品牌牛奶x箱． (1)请直接在表格中填写结果： 品牌 购买价格/（元/箱） 购买量/箱 购买总价/元 A 45 B ______ ______ (2)如果该校此次购买A，B两种品牌牛奶的总费用为4940元，那么该校此次购买了多少箱A品牌牛奶和B品牌牛奶？ 【答案】(1)56； (2)该校此次购买了箱品牌牛奶和40箱品牌牛奶 【详解】（1）解：∵品牌牛奶的原售价为70元/箱，现按原售价的八折出售， ∴品牌牛奶的购买价格为（元/箱）， 品牌牛奶的购买总价为元． 在表格中填写结果如下： 品牌 购买价格/（元/箱） 购买量/箱 购买总价/元 45 （2）解：由题意得：， 解得， ∴， 答：该校此次购买了箱品牌牛奶和40箱品牌牛奶． 42．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）水果超市最近新进了一批白花玉石籽石榴，每斤进价5元，9月30日每斤售价10元，国庆黄金周10月1日起试行机动价格，价格超出前一天的部分记为正，不足前一天的部分记为负，超市记录了国庆黄金周石榴的售价变化情况和售出情况： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 售价变化（元） 售出斤数 15 30 35 40 x 30 (1)10月4日超市售出的石榴的单价是多少元？ (2)10月4日超市售出的石榴的收益如何？（收益为收入减去成本） (3)国庆黄金周水果超市出售此种石榴的收益为275元，则10月6日出售石榴多少斤？ 【答案】(1)8元 (2)105元 (3)10斤 【详解】（1）解：根据题意得：（元）， 答：10月4日超市售出的橙子的单价是8元； （2）解：根据题意得：（元）， 答：10月4日超市售出的橙子的收益为赚105元； （3）解：∵每斤进价5元，9月30日每斤售价10元， 10月1日利润为：（元）， 10月2日利润为：（元）， 10月3日利润为：（元）， 10月4日利润为：（元）， 10月5日利润为：（元）， 10月6日利润为：（元）， 10月7日利润为：（元）， ∴（元）， 解得：， 答：10月6日出售石榴10斤． 考点10 配套与比例分配问题 43．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片480个或镜框60个．2个镜片和1个镜框配套，应如何分配工人生产镜片和镜框，才能使每天生产的产品配套？设安排x名工人生产镜片，则下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：安排名工人生产镜片，那么生产镜框的工人数量为名， ∴可列方程为， 故选：A． 44．某车间有名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺栓个或螺母个，若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得分配名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母． 依题意得：． 故选：． 45．某工厂现有木料，准备制作圆桌或方桌，用部分木料制作桌面，其余木料制作桌腿． (1)已知一张圆桌由一个桌面和一条桌腿组成，木料可制作40个桌面或制作20条桌腿．要使制作出的桌面、桌腿恰好配套，则制作桌面的木料为多少? (2)已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成．如果木料可制作50个桌面或制作300条桌腿，应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套? 【答案】(1) (2)用木料制作桌面，用木料制作桌腿恰好配套 【详解】（1）设用木料制作桌面，则用立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意得： ， 解得：， 答：制作桌面的木料为． （2）设用木料制作桌面，则用立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意得： ， 解得：， ∴制作桌腿的木料为：． 答：用木料制作桌面，用木料制作桌腿恰好配套． 46.用长方形硬纸板做长方体盒子，底面为正方形． （1）每个长方形盒子有________个侧面，有________个底面； （2）长方形硬纸板以如图两种方法裁剪．方法：剪3个侧面；方法：剪2个侧面和2个底面．现有35张硬纸板，裁剪时张用方法，其余用方法． ①用含的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； ②若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 【答案】（1）4，2；（2）①侧面（x+70）个，底面（70-2x）个②21个. 【详解】（1）每个长方形盒子有4个侧面，有2个底面； 故答案为：4，2； （2）①方法剪3个侧面，方法剪个侧面和个底面 ， 共有侧面个，底面个 ②根据已知条件可得 解得 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做21个盒子． 考点11 数字问题 47．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知三个连续奇数的和为111，其中最小的奇数为（  ） A．31 B．33 C．35 D．37 【答案】C 【详解】解：设最小的奇数为n，则中间的奇数为，最大的奇数为， 由题意得：， 化简得， 解得， 故选C． 48．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现，2，，，5，，6，8填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】解：设每个三角形的三个顶点上的数字之和为x， 根据题意列方程得，， 解得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 49．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）将9个数填入幻方的九个格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等，如图（1）．将满足条件的另外9个数中的三个数填入了图（2）．     （1）图（1）中的值为________； （2）图（2）幻方中9个数的和为________． 【答案】 5 54 【详解】解：（1）根据第一横行和左下右上对角线相等得， ， ∴． 故答案为：5； （2）∵， ∴右下角的数是：， ∴中间的数是：， ∴幻方中9个数的和为：． 故答案为：54． 50．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）对于一个三位数，它的各个数位上的数字互不相等，如果它满足百位上的数字减去个位上数字的差等于十位上的数字的2倍，我们称这个三位数为“互差数”，定义一个新运算，我们把一个“互差数”的百位数字减去个位数字的差加上十位数字的和记为，例如：，因为，所以723是一个“互差数”，． （1）计算______； （2）若是一个“互差数”，且，那么的值是______． 【答案】 3 或840 【详解】解：（1）由题意知，， 故答案为：3； （2）设“互差数”的百位、十位、个位数字分别为， 依题意得，，， ∴， 解得，， ∴， ∵互不相等， ∴，或， ∴或840； 故答案为：或840． 51．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）把从1开始的连续的奇数排成如图所示的数阵，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1列、第2列、第3列、… (1)①数阵中排在第7行第1列的数是_______； ②2025在数阵中排在第_______列，数阵中排在第行第5列的数可用表示为_______ (2)按如图所示的方式，用一个“”形框框住四个数，设被框的四个数中最小的数为，是否存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)数阵中用一个“”形框框住的四个数的和记为“”，直接写出的最大值与最小值的差是_______． 【详解】（1）解：①通过观察可知，第五行最后一个数为79，则第6行第1列的数是，又通过观察可知，同一列的数依次往下加16，则第7行第1列的数是， 故答案为：97； ②数阵中的数共有：（个）， 数阵中一共有1013个数，每行有8个数，， ∴2025在数阵中排在第5列； 通过观察数阵可知：相邻两个数依次增加2，同列上下两个数依次增加16， ∴第行的第一个数为：， ∴数阵中排在第行第5列的数可用表示为：， 故答案为：； （2）解：不存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948，理由如下： 假设存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948， 依题意，可列方程：， 解得：． ∵479是第240个奇数，， ∴479位于第30行第8个数， ∵479右边的数481位于第31行第1个数， ∴假设不成立， ∴不存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948． （3）解：通过观察可知： 框住的最小值为：， 要使框住的值最大，则最后一个数2025必然在平行四边形中， 则框住的最大值为：， 则两者的差为：， 故S的最大值与最小值的差为：． 52．（25-26七年级上·安徽六安·期中）如下表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等 1 a b c 5 （1）填空： _________；           （2）若前n个格子中所填整数之和为2025，则n的最小值为________； 【答案】 2021 【详解】解：（1）由任意三个相邻格子中所填整数之和相等，得： ，解得 ，解得， 1 a b c 5 设后面的连续三个数为， 则，解得， 由，解得 故答案为：； （2）由得， 解得； 由得， 解得； 由得， 解得； ∴可知序列为1、5、周期性重复，每3个格子之和为， 设前n个格子之和： 若（为正整数），则； 若，则； 若，则， 设， 当时，，解得； 当时，，解得，k非整数，无解； 当时，，解得，； ，符合要求， 取最小n值，则n的值为， 故答案为：2021． 考点12 分段计费问题 53．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）为了鼓励居民节约用水，天长市自来水公司调整了新的自来水收费标准：用水每月不超过，按元收费，如果超过，超过部分按元收费．已知某用户某月交水费元，那么这个用户这个月用水（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ∴该用户这个月用水超过， 设这个月用水， 则， 解得：， 即该用户这个月用水． 故选：D． 54．电信公司推出两种移动电话计费方法： 方法：免收月租费，按每分钟0.5元收通话费； 方法：每月收取月租费30元，再按每分钟0.2元收通话费． 现在设通话时间是分钟． (1)请分别用含的代数式表示计费方法、的通话费用． (2)用计费方法的用户一个月累计通话150分钟所需的话费，若改用计费方法，则可通话多少分钟？ (3)当通话多少分钟时，两种计费方法产生的费用相差15元？ 【答案】(1)方法通话分钟的费用为元；方法通话分钟的费用为元 (2)改用计费方法，可通话分钟 (3)150分或50分 【详解】（1）解：由题意可得： 方法A：，方法B：； （2）方法A通话150分钟所需的话费=， 依题意得：， 解得：， 答：改用计费方法B，则可通话分钟； （3）由题意得，， 解得：或 答：当通话时间150分或50分时，两种计费方法产生的费用相差15元． 55．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过170度的部分 第2档 超过170度但不超过260度的部分 0.55 第3档 超过260度的部分 已知8月份该市某居民家用电150度，交电费75元；9月份该居民家交电费107元． (1)表中的值为______； (2)求该居民家9月份的用电量； (3)若10月份该居民家用电的平均电价为0.65元/度，求10月份的电量． 【答案】(1)0.5 (2)该居民家9月份的用电量为度 (3)10月份的电量为度 【详解】（1）解：； 故答案为：0.5； （2）， ∴该居民家9月份的用电量为：度； 答：该居民家9月份的用电量为度． （3）设10月份的电量为度，由题意，得： ， 解得：， 答：10月份的电量为度． 56．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）为鼓励人们节约用水，合肥市居民使用自来水实行阶梯式计量水价，按如下标准缴费（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 a元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 2a元 (1)当时，芳芳家月份用水量为，则该月需交水费________元；月份芳芳家交了水费元，则月份用水量为________（直接写出答案）； (2)当时，亮亮家一个月用了的水，求亮亮家这个月应缴纳的水费； (3)设某用户月用水量为（），该用户这个月应缴纳水费多少元？（用含，的式子表示） 【答案】(1)； (2)亮亮家这个月应缴纳的水费为元 (3)该用户这个月应缴纳水费元 【详解】（1）解：当，芳芳家月份用水量为时，该月需交水费为元； 设芳芳家月份用水量为， ∵，， ∴， 则由题意，得， 解得， ∴芳芳家月份用水量为． 故答案为：；　； （2）解：元， 答：亮亮家这个月应缴纳的水费为元． （3）解：户月用水量为（）， ∴该用户应缴纳的水费为元， 答：该用户这个月应缴纳水费元． 考点13 方案设计与最优选择问题 57．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买x本图书，两种方案费用相等时x的值为：（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【详解】解：设购买x本图书时方案和方案费用相等， 方案费用：元， 方案费用：元， ， ， ， ． 当时，两种方案费用相等． 故选：C． 58．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）秋高气爽之时，水果丰收之际．某水果加工厂收购了30吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获利万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在8天内全部销售或加工完毕，为此水果加工厂研制了两种方案： 方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好8天完成． (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？ (2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价（元/吨·千米） 每吨装卸费（元） 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多450元，求水果加工厂到市场的距离． 【答案】(1)方案二可使工厂所获利润最多 (2)加工厂到市场的距离为50千米 【详解】（1）解：方案一：（万元）， 方案二：设吨制成罐头，则吨进行加工包装， 则，解得：， 获利：（万元）， ， 方案二可使工厂所获利润最多． （2）解：设加工厂到市场的距离为千米， 则， 解得：， 答：加工厂到市场的距离为50千米． 59．（23-24七年级上·安徽池州·期中）池州市红星家具厂生产一种课桌和椅子课桌每张定价200元，椅子每把定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子： 方案二：课桌和椅子都按定价的80%付款． 某校计划添置100张课桌和x把椅子． (1)用含x的代数式分别表示方案一与方案二各需付款多少元？ (2)当时，通过计算说明该校选择上面的两种购买方案哪种更省钱？ 【详解】（1）方案一：， （元）， 方案二：， （元）， (2)方案二，当时， 元， 元， ∵ ∴方案二省钱，       60．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）某超市为了吸引顾客，制定了以下两种优惠方案：①甲超市：累计购买商品价格超过200元，超出的部分按原价8折优惠；②乙超市：累计购买商品价格超过100元，超出部分按原价折优惠．设顾客购物的原费用是x（）元． (1)用含x的式子分别表示出两种优惠方案实际支付的费用．（结果需化简） (2)小林准备购买300元的商品，你认为他应该选择哪种优惠方案？请说明理由． (3)当顾客购买多少元的商品时，使用两种优惠方案购物所付的费用一样？ 【详解】（1）解：①甲超市的费用：， ②乙超市的费用：； （2）当购买300元的商品，应去乙超市购买，理由如下： 当时， 甲超市的费用为：（元）， 乙超市的费用为： （元）， ∵， ∴应去乙超市购买． （3）解：， 解得：， ∴当购买500元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样． 考点14 几何图形中的方程问题 61．（25-26七年级上·安徽六安·期中）将边长为的正方形卡片和边长为的正方形卡片按如图方式叠放在一起，重叠部分为长方形．若整个图形的外围周长恰好等于重叠部分周长的3倍，则重叠部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，边长为的正方形周长：； 边长为的正方形周长：， ∴两个正方形周长和为：， 设重叠部分的周长为，则整个图形的外围周长为：， ∵整个图形的外围周长恰好等于重叠部分周长的3倍， ∴ ， 解得：． 故选：C． 62．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，一个长方形恰好能分割成6个较小的正方形，中间最小的正方形的边长为2，则该长方形的周长为（    ） A．86 B．88 C．90 D．96 【答案】D 【详解】解：如图，设正方形D，正方形E的边长为x，则正方形C的边长为，正方形B的边长为，正方形A的边长为， ∴， 解得． ∴这个长方形的长为， 宽为． ∴这个长方形的周长为． 故选：D． 63．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）小方家的住房户型呈长方形，平面图如图（单位：米），现准备铺设地面．三间卧室铺设木地板，其他区域铺设地砖． (1)求的值； (2)铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米（用含的代数式表示）？ 【答案】(1) (2)铺设地面需要木地板平方米、地砖平方米 【详解】（1）解：如图所示： 长方形的宽相等， 则， 解得； （2）解：铺设木地板面积为 ； 铺设地砖面积为 ； 答：铺设地面需要木地板平方米、地砖平方米． 64．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，矩形为“优美矩形”且图中①②③④均为正方形． (1)若最小正方形①的边长为x，则正方形②的边长为______；正方形③的边长______；为正方形④的边长为______；（用含x的代数式表示） (2)若此“优美矩形”的周长为52，求正方形④的边长． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）解：∵最小正方形①的边长为x， ∴正方形②的边长为，正方形③的边长；为正方形④的边长为； （2）解：由题意可得：，， ∴， ∴， ∴正方形④的边长为． 65.如图，长方形是由六个正方形A，B，C，D，E，F拼接而成，已知最大的正方形B的边长是21米，最小正方形A的边长是a米． (1)用含a的式子分别表示正方形D，E，F的边长； (2)求a的值； (3)现有一项沿着长方形的四条边铺设管道的工程．甲、乙两个工程队共同参与这项工程，甲队单独铺设3天后，乙队加入，两队又共同铺设了6天，这项铺设管道的工程全部完成．已知甲队每天比乙队每天少铺设4米，则甲、乙两队每天各铺设多少米？ 【答案】(1)D的边长为米，E的边长为米；F的边长为米 (2)a的值为3 (3)甲每天铺设8米，则乙每天铺设12米 【详解】（1）解：图中最大正方形的边长是21米，最小的正方形的边长是米． 则的边长为米， 的边长为米； 的边长为米； （2）， ， 解得， 故的值为3； （3）矩形的周长： （米）， 设甲每天铺设米，则乙每天铺设米，由题意得： ， 解得：， 则， 答：甲每天铺设8米，则乙每天铺设12米． 66．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，在长方形ABCD中，，点E是上的一点，且.点P从点C出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点E，设点P运动时间为. （1）当点P运动到的中点时，三角形的面积为________. （2）若三角形的面积为，则t的值为________． 【答案】 12 或5 【详解】解：（1）当点P运动到的中点时，， ； 故答案为：12． （2）如图，当点P在上，即时， 四边形是长方形， . ， ， ； 如图，当点P在上，即时， ， ， ， ， ， 解得：； 当点P在上，即时，， ， 解得：（舍去）； 综上所述，当或5时的面积会等于． 故答案为：或5． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元一次方程的解法及其应用 考点01 解一元一次方程 考点02 含参数方程（已知解求参数） 考点03 同解方程（两方程解相同） 考点04 含绝对值的一元一次方程 考点05 新定义运算 考点06 和差倍分问题 考点07 行程问题 考点08 工程问题 考点09 销售与利润问题 考点10 配套与比例分配问题 考点11 数字问题 考点12 分段计费问题 考点13 方案设计与最优选择问题 考点14 几何图形中的方程问题 考点01 解一元一次方程 1．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）解方程： (1) (2) 2．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）解下列方程： (1)； (2) 3．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）解方程： (1) (2) 4．（25-26七年级上·安徽宣城·期中）解方程： (1) (2) 5．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）解下列方程： (1)； (2)． 6．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）解方程： (1)； (2) 7．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）解方程： (1)； (2)． 考点02 含参数方程（已知解求参数） 8．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）关于x的方程的一个解是，则（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的方程的解，则多项式的值是（   ） A．1011 B．1015 C．2021 D．2029 10．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）已知是关于的方程的解，则的值是（） A．2 B．3 C．4 D．5 11．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的方程的解，则的值是______． 考点03 同解方程（两方程解相同） 12．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 13．若方程和的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）关于的一元一次方程与的解相同，则的值为______． 15．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知：关于x的方程与有相同的解，则______． 16．已知关于的方程与有相同的解，求的值． 考点04 含绝对值的一元一次方程 17．（25-26七年级上·安徽黄山·期中）若为有理数且，则的取值是（    ） A． B． C．或2 D． 18．若，则______． 19.关于的方程（k为常数，）的解为______．（用含的代数式表示） 20．（24-25七年级上·安徽六安·期中）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为 （1）若，这样的数x为_______； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是_______． 考点05 新定义运算 21．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称为这两个方程为“致真方程”．如方程和为“致真方程”． (1)若关于的方程与方程是“致真方程”，求的值； (2)若关于的方程和是“致真方程”，求这两个方程的解． 22．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”． （）若与是“差解方程”，则______， （）若关于的两个方程与方程是“差解方程”，则______． 23．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）我们给出一种定义：如果两个一元一次方程的解的和为，那么我们就称这两个方程互为“漂亮方程”．例如：方程和互为“漂亮方程”． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则的值为______． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则关于的方程的解是______． 24．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”．例如：方程的解为，而，则该方程为“友好方程”． (1)在方程①；②；③中，为“友好方程”的是________；（填写序号即可） (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值； (3)若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求的值． 考点06 和差倍分问题 25．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）安徽某中学开展校运动会，参加跳高的学生是参加立定跳远的学生的2倍少3人，已知参与这两项运动的人数共86人．设参加立定跳远的学生有人，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 26．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）妈妈买了一盒牛奶．妈妈和爸爸在早餐时喝了一半，明明喝了剩余部分的，这时还剩下，则这盒牛奶原来有（   ） A． B． C． D． 27．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）体育课上，体育老师要求男、女各站成一队，记男生队为A队，女生队为B队． （1）设A队有人，B队有人，从A队调人到B队，则此时B队比队多______人；（结果要化简） （2）已知A队有32人，B队有28人．从A队调人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人，则的值为______． 考点07 行程问题 28．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是．水流的速度是，两小时后甲船比乙船多航行__________千米．(用含a的代数式表示）． 29．小明打算周末与同学一起徒步大蜀山，计划上午8点出发，到最远处后休息，下午5点以前必须回到出发点，如果他们去时的平均速度是，回来时的平均速度是，他们最远能到的距离为________（表示出发点到山顶的路程）．      30．在风速为的条件下，一架飞机顺风从甲机场飞到乙机场要用小时，它逆风飞行同一航线要用小时，求： (1)无风时这架飞机在这一航线的平均航速； (2)两机场之间的航程． 31．从甲地到乙地，汽车原需行驶6h可到达，开通高速公路后，路程不变，车速平均每小时增加了30km，只需4h即可到达． (1)若设汽车原来的车速为x km/h，则开通高速公路后的车速是 km/h，根据两地的路程不变这个等量关系可列方程为___________ (2)若设甲、乙两地的路程是y km，则汽车原来的车速是 km/h，开通高速公路后的车速是 km/h，根据两地的路程不变这个等量关系列方程求汽车原来的车速． 32．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）以下是两张不同类型火车（“次”表示动车，“次”表示高铁）的车票： (1)根据车票中的信息填空：该列动车和高铁是______（填“相”或“同”）向而行，该列动车比高铁发车______（填“早”或“晚”）． (2)已知该列动车和高铁的平均速度分别为，，两列火车的长度不计，高铁比动车早到1h，求，两地之间的距离． (3)在的条件下，求高铁出发多少小时后两车相距150km． 考点08 工程问题 33．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）某件手工制品，甲单独做需1个小时完成，乙单独做需个小时完成．若甲先做20分钟，然后甲、乙合作完成了此手工制品，设乙做了x个小时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 34．一项工程，如果由甲工程队单独做需要20天完成,乙工程队单独做需要12天完成.现在由甲队单独做4天,剩下的工程由甲、乙合作完成.剩下的部分合作还需要几天完成? 35．信息技术课上，老师让七年级学生练习打字，要求限时40分钟打完﹣篇文章．已知小宝独立打完这篇文章需要50分钟，而小贝只需要30分钟．为了完成任务，小宝打了30分钟后，请求小贝帮助合作，他能在要求的时间打完吗？ 36．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？ 考点09 销售与利润问题 37．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）超市里为了促销某种商品，将其价格先提高，并在此基础上执行第二件半价，某顾客购买了两件该商品，经过计算实际到手价格平均为18元/件，则该商品的原价是（   ） A．18元/件 B．19元/件 C．20元/件 D．21元/件 38．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）商家进一种服装，将进货单价翻一番后按7折出售，售价为a元，则这种服装的进货单价为______元． 39．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）综合应用：某商场计划购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品每件进价50元，售价80元；乙种商品每件进价70元，售价110元． (1)若全部售出后获利3600元，求甲、乙两种商品分别有多少件？ (2)在第（1）题结论的条件下，该商场开展让利促销活动，若甲种商品每件售价60元，要使得这100件商品利润率为，乙种商品每件售价多少元？（商品销售总价商品总进价（利润率） 40．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）某品牌运动鞋原价元/双，促销方案如下： 方案一（普通优惠）：购买2双及以上时，超出2双的部分打8折． 方案二（会员优惠）：办理会员卡需付元工本费（仅首次办理需要，之后购买都享受会员价），会员价元/双． 小华发现在某个购买数量下，两种方案的总花费相同．请问小华购买了多少双运动鞋？总花费是多少元？ 41．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）某商场销售A，B两种品牌的营养早餐牛奶，其中A品牌牛奶的售价为50元/箱，B品牌牛奶的售价为70元/箱．某校决定在该商场购进A，B两种品牌牛奶共100．箱，恰逢商场对两种品牌牛奶的售价进行调整：A品牌牛奶每箱的售价比原售价减少了5元，B品牌牛奶每箱按原售价的八折出售．设学校购进A品牌牛奶x箱． (1)请直接在表格中填写结果： 品牌 购买价格/（元/箱） 购买量/箱 购买总价/元 A 45 B ______ ______ (2)如果该校此次购买A，B两种品牌牛奶的总费用为4940元，那么该校此次购买了多少箱A品牌牛奶和B品牌牛奶？ 42．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）水果超市最近新进了一批白花玉石籽石榴，每斤进价5元，9月30日每斤售价10元，国庆黄金周10月1日起试行机动价格，价格超出前一天的部分记为正，不足前一天的部分记为负，超市记录了国庆黄金周石榴的售价变化情况和售出情况： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 售价变化（元） 售出斤数 15 30 35 40 x 30 (1)10月4日超市售出的石榴的单价是多少元？ (2)10月4日超市售出的石榴的收益如何？（收益为收入减去成本） (3)国庆黄金周水果超市出售此种石榴的收益为275元，则10月6日出售石榴多少斤？ 考点10 配套与比例分配问题 43．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片480个或镜框60个．2个镜片和1个镜框配套，应如何分配工人生产镜片和镜框，才能使每天生产的产品配套？设安排x名工人生产镜片，则下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 44．某车间有名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺栓个或螺母个，若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（      ） A． B． C． D． 45．某工厂现有木料，准备制作圆桌或方桌，用部分木料制作桌面，其余木料制作桌腿． (1)已知一张圆桌由一个桌面和一条桌腿组成，木料可制作40个桌面或制作20条桌腿．要使制作出的桌面、桌腿恰好配套，则制作桌面的木料为多少? (2)已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成．如果木料可制作50个桌面或制作300条桌腿，应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套? 46.用长方形硬纸板做长方体盒子，底面为正方形． （1）每个长方形盒子有________个侧面，有________个底面； （2）长方形硬纸板以如图两种方法裁剪．方法：剪3个侧面；方法：剪2个侧面和2个底面．现有35张硬纸板，裁剪时张用方法，其余用方法． ①用含的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； ②若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 考点11 数字问题 47．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知三个连续奇数的和为111，其中最小的奇数为（  ） A．31 B．33 C．35 D．37 48．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现，2，，，5，，6，8填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中的值为（    ） A． B． C．0 D．1 49．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）将9个数填入幻方的九个格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等，如图（1）．将满足条件的另外9个数中的三个数填入了图（2）．     （1）图（1）中的值为________； （2）图（2）幻方中9个数的和为________． 50．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）对于一个三位数，它的各个数位上的数字互不相等，如果它满足百位上的数字减去个位上数字的差等于十位上的数字的2倍，我们称这个三位数为“互差数”，定义一个新运算，我们把一个“互差数”的百位数字减去个位数字的差加上十位数字的和记为，例如：，因为，所以723是一个“互差数”，． （1）计算______； （2）若是一个“互差数”，且，那么的值是______． 51．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）把从1开始的连续的奇数排成如图所示的数阵，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1列、第2列、第3列、… (1)①数阵中排在第7行第1列的数是_______； ②2025在数阵中排在第_______列，数阵中排在第行第5列的数可用表示为_______ (2)按如图所示的方式，用一个“”形框框住四个数，设被框的四个数中最小的数为，是否存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)数阵中用一个“”形框框住的四个数的和记为“”，直接写出的最大值与最小值的差是_______． 52．（25-26七年级上·安徽六安·期中）如下表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等 1 a b c 5 （1）填空： _________；           （2）若前n个格子中所填整数之和为2025，则n的最小值为________； 考点12 分段计费问题 53．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）为了鼓励居民节约用水，天长市自来水公司调整了新的自来水收费标准：用水每月不超过，按元收费，如果超过，超过部分按元收费．已知某用户某月交水费元，那么这个用户这个月用水（    ） A． B． C． D． 54．电信公司推出两种移动电话计费方法： 方法：免收月租费，按每分钟0.5元收通话费； 方法：每月收取月租费30元，再按每分钟0.2元收通话费． 现在设通话时间是分钟． (1)请分别用含的代数式表示计费方法、的通话费用． (2)用计费方法的用户一个月累计通话150分钟所需的话费，若改用计费方法，则可通话多少分钟？ (3)当通话多少分钟时，两种计费方法产生的费用相差15元？ 55．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过170度的部分 第2档 超过170度但不超过260度的部分 0.55 第3档 超过260度的部分 已知8月份该市某居民家用电150度，交电费75元；9月份该居民家交电费107元． (1)表中的值为______； (2)求该居民家9月份的用电量； (3)若10月份该居民家用电的平均电价为0.65元/度，求10月份的电量． 56．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）为鼓励人们节约用水，合肥市居民使用自来水实行阶梯式计量水价，按如下标准缴费（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 a元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 2a元 (1)当时，芳芳家月份用水量为，则该月需交水费________元；月份芳芳家交了水费元，则月份用水量为________（直接写出答案）； (2)当时，亮亮家一个月用了的水，求亮亮家这个月应缴纳的水费； (3)设某用户月用水量为（），该用户这个月应缴纳水费多少元？（用含，的式子表示） 考点13 方案设计与最优选择问题 57．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买x本图书，两种方案费用相等时x的值为：（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 58．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）秋高气爽之时，水果丰收之际．某水果加工厂收购了30吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获利万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在8天内全部销售或加工完毕，为此水果加工厂研制了两种方案： 方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好8天完成． (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？ (2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价（元/吨·千米） 每吨装卸费（元） 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多450元，求水果加工厂到市场的距离． 59．（23-24七年级上·安徽池州·期中）池州市红星家具厂生产一种课桌和椅子课桌每张定价200元，椅子每把定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子： 方案二：课桌和椅子都按定价的80%付款． 某校计划添置100张课桌和x把椅子． (1)用含x的代数式分别表示方案一与方案二各需付款多少元？ (2)当时，通过计算说明该校选择上面的两种购买方案哪种更省钱？ 60．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）某超市为了吸引顾客，制定了以下两种优惠方案：①甲超市：累计购买商品价格超过200元，超出的部分按原价8折优惠；②乙超市：累计购买商品价格超过100元，超出部分按原价折优惠．设顾客购物的原费用是x（）元． (1)用含x的式子分别表示出两种优惠方案实际支付的费用．（结果需化简） (2)小林准备购买300元的商品，你认为他应该选择哪种优惠方案？请说明理由． (3)当顾客购买多少元的商品时，使用两种优惠方案购物所付的费用一样？ 考点14 几何图形中的方程问题 61．（25-26七年级上·安徽六安·期中）将边长为的正方形卡片和边长为的正方形卡片按如图方式叠放在一起，重叠部分为长方形．若整个图形的外围周长恰好等于重叠部分周长的3倍，则重叠部分的周长为（    ） A． B． C． D． 62．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，一个长方形恰好能分割成6个较小的正方形，中间最小的正方形的边长为2，则该长方形的周长为（    ） A．86 B．88 C．90 D．96 63．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）小方家的住房户型呈长方形，平面图如图（单位：米），现准备铺设地面．三间卧室铺设木地板，其他区域铺设地砖． (1)求的值； (2)铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米（用含的代数式表示）？ 64．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，矩形为“优美矩形”且图中①②③④均为正方形． (1)若最小正方形①的边长为x，则正方形②的边长为______；正方形③的边长______；为正方形④的边长为______；（用含x的代数式表示） (2)若此“优美矩形”的周长为52，求正方形④的边长． 65.如图，长方形是由六个正方形A，B，C，D，E，F拼接而成，已知最大的正方形B的边长是21米，最小正方形A的边长是a米． (1)用含a的式子分别表示正方形D，E，F的边长； (2)求a的值； (3)现有一项沿着长方形的四条边铺设管道的工程．甲、乙两个工程队共同参与这项工程，甲队单独铺设3天后，乙队加入，两队又共同铺设了6天，这项铺设管道的工程全部完成．已知甲队每天比乙队每天少铺设4米，则甲、乙两队每天各铺设多少米？ 66．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，在长方形ABCD中，，点E是上的一点，且.点P从点C出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点E，设点P运动时间为. （1）当点P运动到的中点时，三角形的面积为________. （2）若三角形的面积为，则t的值为________． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $