专题03 整式加减及其综合应用（高效培优期中专项训练）七年级数学上学期新教材沪科版

专题03 整式加减及其综合应用 考点01 去括号“变号不全”陷阱 考点02 系数与次数混淆（π 陷阱、带分数陷阱） 考点03 “几次几项式”次数找错 考点04 化简求值“代入漏括号” 考点05 升幂/降幂排列时“丢符号、漏项” 考点06 “与字母 x 无关 / 不含某类项”问题 考点07 整体代入思想（不求单值，直接代整体） 考点08 图形面积/周长列式与化简 考点09 新定义运算题 考点10 数字规律探究 考点11 图形规律探究 考点12 实际应用：方案比较/阶梯收费 考点13 实际应用：整除问题 考点01 去括号“变号不全”陷阱 1．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）化简：． 2．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）计算下列各题： (1)； (2)． 3．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）计算： (1) (2) 4．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）化简： (1)； (2)． 考点02 系数与次数混淆（π 陷阱、带分数陷阱） 5．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）的系数和次数分别是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）单项式的系数和次数分别是（   ） A．，6 B．，6 C．，7 D．，8 7．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）在多项式中，次数最高项的系数是（  ） A．4 B． C．3 D． 8．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）单项式的系数是________，次数是________． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知多项式的项数为，次数是，求的值． 考点03 “几次几项式”次数找错 10．（23-24七年级上·安徽六安·期中） (为非负整数)为三次三项式，则_____． 11．（23-24七年级上·安徽·期中）多项式是___________次_______项式． 12．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）下列多项式分别是几次几项式？ (1) (2) (3) 13．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）已知多项式． (1)若该多项式不含有3次项，求a的值并写出常数项． (2)若该多项式是关于x的三次二项式，求a的值并写出最高次项． 考点04 化简求值“代入漏括号” 14．（26-27七年级上·安徽·期中）先化简，再求值：，其中，． 15．（26-27七年级上·安徽·期中）先化简，再求值：，其中，． 16．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）先化简，再求值：，其中 17．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）先化简，再求值：，其中，． 18．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）先化简，再求值：其中，． 19．（25-26七年级上·安徽六安·期中）求值：，其中，，． 考点05 升幂/降幂排列时“丢符号、漏项” 20．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）多项式按降幂排列，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）多项式按字母的升幂排列为______． 23．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）把多项式按字母a的降幂排列为______． 24．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知多项式． (1)将该多项式按y降幂排列． (2)若，求的值． 考点06 “与字母 x 无关 / 不含某类项”问题 25．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）若关于、的多项式与的差不含三次项，则的值（    ） A．4 B． C．3 D．5 26．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）若关于x的多项式合并后不含二次项，则m的值为______． 27．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知，，（m，n为常数） （1）化简：______． （2）若（1）中化简的式子的值与a无关，则______． 28．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）某同学做一道题：“已知两个多项式A和B，计算”，他误将看成，求得的结果为，已知 (1)求多项式A； (2)请你求出的正确答案． 29．（25-26七年级上·安徽亳州·期中）若关于，的多项式的值与字母的取值无关． (1)求的值； (2)有这样一道题：“当，时，求多项式的值．”小红说题目给的条件“，”是多余的，她的说法有道理吗？ 30．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）已知代数式． (1)求； (2)若单项式与单项式是同类项，求的值； (3)当m取何值时，的值与n无关． 31．（23-24七年级上·安徽蚌埠·期中）【知识学习】 学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)【理解应用】若关于的多项式的值与的取值无关，求值； (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (3)【能力提升】有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系．    32.我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”（图1），它是中国重要的文化遗产．数出“洛书”中实心点或空心点的个数，按顺序将它们填入的方格中，就得到了如图2所示的一个“三阶幻方”． 【探究发现】 在三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻方和”，最中间的数称为“中心数”，探究发现，幻方和是中心数的3倍．例如，在图2的三阶幻方中，幻方和是中心数5的3倍． 【尝试运用】 （1）在图3所示的三阶幻方中，幻方和为 ，a＝ ； （2）在图4所示的三阶幻方中，若，，，求D所表示的代数式； 【深入思考】 （3）在图5所示的三阶幻方中，若，，（k为常数），且幻方和与a的取值无关，直接写出k的值及该幻方和． 考点07 整体代入思想（不求单值，直接代整体） 33．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）阅读材料：我们知道，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果为________； （2）已知，，求的值； 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 34．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）有这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少?” 爱动脑筋的小安同学解题过程如下： 原式． 小安同学把作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法． 请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）若，则 ； （2）若，求的值； 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 35．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如表所示是老师安排的作业题． 代数式的值为9，则代数式的值为______． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若代数式的值为5，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为9，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求的值． 36．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）【阅读材料】 我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【尝试应用】 （1）把看成一个整体，合并的结果是_____． （2）已知，求的值． 【拓展探索】 （3）已知，求的值． 37．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）有这样一道题：“如果代数式的值为－6，那么代数式的值是多少？”．受动脑筋的李同学解题过程如下： 原式 ． 李同学把作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求代数式的值； 【拓展应用】 （3）已知，求代数式的值． 38．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）阅读材料，解答问题： 【材料】有这样一道题“已知代数式的值为，求代数式的值．” 小明同学是这样解答的：．我们把看成一个整体，把式子代入，得原式． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知，则_____； （2）已知，，求代数式的值； 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 39．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要，例如：已知，，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题： （1）若，则 ； （2）若代数式的值为10，求代数式的值． （3）当时，的值为9，当时，求代数式的值． 【拓展探索】 （4）把一个大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，已知，请观察图形，求图②中的阴影部分面积． 考点08 图形面积/周长列式与化简 40．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）为改善居住环境，计划修建一个“芜小园”，其平面图（单位：m）如图所示． (1)用含m，n的代数式表示该广场的面积S； (2)若m，n满足，求该广场的面积S．若某款地砖的价格为35.4元/，铺设地砖的人工费为45.2元/，则为该广场铺满这款地砖一共要花费多少？ 41．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知某长方形窗户上的装饰物（阴影部分）如图所示（单位：米），它是由半径均为b米的两个四分之一圆组成． (1)这个长方形窗户的面积可表示为______平方米，窗户上的装饰物所占面积可表示为______平方米；（用含π、a、b的式子来表示） (2)当，时，求这个窗户上能射进阳光部分（空白部分）的面积．（取3.14，结果精确到0.01） 42．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）如图是用相同材料做成的A，B两种造型的长方形窗框，已知窗框的宽度都是，高度都是． (1)制作这两种造型的窗框各一个，共需要多少米的材料? (2)若一位用户需要A型的窗框6个，B型的窗框3个，且这种材料每米的价格为元，求这位用户共需要花多少元钱．（接缝处忽略不计） 43．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）如图，某公园中间有一块长为16米、宽为12米的绿地，在绿地中央修建一个长方形喷泉水池，喷泉水池的周围修建等宽的小路，路宽为米． (1)喷泉水池的长为______米，宽为______米；（用含的代数式表示） (2)用含的代数式表示喷泉水池的周长，并求出当时，喷泉水池的周长． 44．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图是某居民小区的一块长为a米，宽为米的长方形空地，为了美化环境， 准备在这个长方形空地的四个顶点处各修建一个半径为b 米的扇形休息区，阴影部分种植草坪，草坪外围用篱笆围起来． (1)求阴影部分的面积 S 及阴影部分的周长C；（用含有a ，b ，π的式子表示 S 与C） (2)已知种植草坪的费用为每平方米50元，围建篱笆的费用为每米 20 元．当 ，π 取 3 时，求种植草坪与围建篱笆的费用总和． 45．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）如图是某种窗户的形状，其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部分每个小正方形的边长为米，求： (1)窗户的面积； (2)窗框用料实线部分的总长度； (3)当时，若窗户上安装的是玻璃，玻璃每平方米元，窗框料每米元，窗框厚度不计那么生产这种窗户的总费用是多少？全部用含的代数式表示） 46．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）一扇窗户（如图①）的所有窗框（包含内部框架和外部框架）为铝合金材料，其下部是边长相同的四个小正方形，上部是半圆形，已知下部小正方形的边长是米，窗户（包括上部和下部）全部安装透明玻璃，现在按照如图②的方式，在阴影部分的位置上全部安装窗帘，图②中窗帘下部分是两个直径为米的半圆形，没有窗帘的部分阳光可以照射进来．（注：取近似值3） 材料名称 铝合金 窗帘 透明玻璃 报价 100元/米 40元/平方米 90元/平方米 (1)一扇这样的窗户一共需要铝合金材料________米（用含的代数式表示）． (2)求可以照进阳光的部分的面积（用含的代数式表示）． (3)某公司需要制作20扇这样的窗户，并按照图②的方式安装窗帘，厂家报价如表，当时，该公司的总花费为多少元？ 47．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，有这样一道题“如果代数式的值为那么代数式的值是多少？”，爱动脑筋的薛同学解题过程如下： 原式 薛同学把作为一个整体求解，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）已知，求的值； 【拓展提高】 （2）已知，，求代数式的值； 【知识迁移】 （3）如图，大长方形的长为m，宽为n，将6个完全相同的小长方形如图所示放置不重叠无缝隙，若，请求出图中阴影部分的周长． 考点09 新定义运算题 48.一个四位正整数，将它的个位数字与千位数字交换位置，十位数字与百位数字交换位置，所得的新数恰好与原数相同，我们把这样的四位正整数称为“对称数”，如，，都是“对称数”． (1)请再写出两个“对称数”：______； (2)任意一个“对称数”减去其各位数字之和，所得的结果都是的倍数，请用含字母的式子说明其中的道理； (3)若将一个“对称数”减去其各位数字之和，所得的结果是的倍数，直接写出满足条件的所有“对称数”． 49．（25-26七年级上·安徽·期中）【阅读理解】 关于x的整式，当x分别取一组相反数a和时，若式子的值相等，则称之为“偶代数式”；若式子 的值互为相反数，则称之为“奇代数式”．例如，， 所 以是“偶代数式”， ， 所 以是“奇代数式”．如果式子为“偶代数式”，那么x 取任意一组相反数，式子的值相等；反之，如果式子为“奇代数式”，那么式子的值互为相反数． 【初步探究】 （1）以下算式中，是“偶代数式”的有 ，是 “奇代数式”的有 ； （将正确选项的序号填写在横线上） ①；②；③ （2）对于整式，当x分别取2与时，求整式的值分别是多少； 【深入思考】 （3）根据（2）的探究结果思考，对于整式，当x 分别取，，，，0，1，2，3，4时，求这九个整式的值之和． 50．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）阅读材料，并回答下列问题． 对称式：一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫做对称式．例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式；而代数式中字母交换位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． (1)下列四个代数式中，是对称式的是_____（填序号）； ①；②；③；④． (2)写出一个只含有字母，的二次对称式（要求代数式中至少包含加法、乘法运算）； (3)已知，求，并判断所得结果是否为对称式． 考点10 数字规律探究 51．（25-26七年级上·安徽六安·期中）观察下面的图形和对应的等式，设第1个图中“○”数为，第2个图中“○”数为，第3个图中“○”数为，…，第个图中“○”数为，根据你发现的规律解答问题． (1)填空：____________（填具体数字）；____________（用含的式子表示）． (2)因为，，，…，根据上述规律，______（用幂的形式表示）． 52．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）将连续的偶数2，4，6，，排列成如下的数阵表，再用十字框框出5个数如图 (1)十字框框出5个数的和与框子正中间的数20有什么关系？ (2)若将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用a的代数式表示十字框框住的5个数字之和为______； (3)十字框框住的5个数之和能等于吗？能等于吗？能等于吗？若能，分别写出十字框框住的5个数，并填入框图中；若不能，请说明理由． 53．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）“数学规律探究”是解决实际问题的重要工具，某班级在开展“数字等式的奥秘”实践活动时，发现了一组有趣的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 请根据以上实践素材，完成下列探究任务： (1)【独立思考】请根据你发现的规律直接写出第5个等式__________； (2)【实践探究】请根据你发现的规律计算：； (3)【问题拓展】求的值． 54．（25-26七年级上·安徽六安·期中）观察下列等式，并探索规律： (1)请回答： (2)请回答： （为正整数）； (3)请用上述规律计算：． 55．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）观察下列式子的规律： 第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子： 请根据上述规律回答下列问题： (1)第6个式子为_________； (2)试找出规律，用含的代数式表示第个式子； (3)当时，求前6个式子的和． 56．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）观察下列各式： ， ， ，…… (1)请写出第4个式子______． (2)若n为正整数，试猜想______． (3)试利用（2）中猜想的结论求的值． 考点11 图形规律探究 57．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）如图所示，改变棋子的摆放方式，解答下列问题． (1)观察图①和图②，棋子分别被直线和折线隔开摆放成4层，按照图中规律继续摆下去，第n层有______个棋子； (2)数图中棋子的总个数可以有多种不同的方法：如：前2层棋子的总个数为或，因此可以得到，同样，前3层棋子的总个数为，前4层棋子的总个数为，… 根据上述规律，前n层棋子的总个数用含n的代数式可以表示为______； (3)运用（2）中发现的规律，计算：． 58．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）如图是由边长相同的灰、白方块拼成的图形． (1)第5个图形灰色方块共有______个，白色方块共有______个； (2)第100个图形白色方块共有______个； (3)第n个图形（）白色方块的总数______（用含n的式子表示）． 59．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）【观察思考】 【规律发现】 如图所示的图案都是由正八边形构成的图案，正八边形的每个顶点上都有“”或“”． 第1个图案中“”有个；“”有个； 第2个图案中“”有个；“”有个； 第3个图案中“”有个；“”有个； 第4个图案中“”有个；“”有个；． （1）第99个图案中“”有______个；“”有______个； （2）第个图案中“”有______个，“”有______个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （3）在第2025个图案中，求“”的个数比“”的个数少多少． 60．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）观察下列每个图形与其对应的等式之间的关系： 根据图形及其等式的关系，解决下列问题： (1)第5个图形所对应的等式为： ； (2)第个图形所对应的等式为： ； (3)归纳上述规律，完成下列填空：设 ，则 ，所以 ． 61．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）【阅读理解】 教材第82页《数学拓展》栏目“归纳推理”内容大致如下： 用一些相同的小正方形，排成如下的一些大正方形图案，如图． （1）把每个图中一边上的小正方形个数和有阴影的小正方形的个数填入表中： 图号（n） 1 2 3 4 … k … 一边上小正方形个数（n） 1 2 3 ① … ② … 阴影小正方形个数（） 1 3 5 ③ … ④ … （2）第1个图中小正方形只有1个，且有阴影，记作． 把第1个图并入第2个图，这时第2个图中阴影小正方形数就是前面两个图中阴影小正方形数的和：．我们把这个和记作， 即． 把第1，2两个图中的阴影部分一起并入第3个图，这时第3个图中的阴影小正方形数就是前面三个图中阴影小正方形数的和，记作， 即． 如此操作，请仔细观察图后，归纳并猜想结果，并填空： ⑤______， …… ⑥______． 【类比研究】 （3）这种根据某类事物的部分对象具有的某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理，运用归纳推理我们可以得到： （ⅰ）平面内25条直线最多有⑦______个交点； （ⅱ）n条直线最多有⑧______个交点． 【迁移应用】 运用上面方法解答下面问题： （4）由1，3，5，7，9，11，13，……组成的三角形数阵如图所示，从第1到第20行第20个数的和是多少？ 考点12 实际应用：方案比较/阶梯收费 62．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）为了能有效地使用电力资源，国家电网鼓励居民实行峰谷用电，某居民家庭在峰时段(上午8：00—晚上21：00)用电的价格是每度元，谷时段(晚上21：00—次日晨8：00)用电的价格是每度元．若某居民户某月用电度，其中峰时段用电度． (1)请用含的代数式表示该居民户这个月应缴纳的电费； (2)利用上述代数式计算当时，应缴纳电费是多少元? 63．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）某中学计划在网上购买足球和跳绳供学生体育锻炼．在查阅天猫网店后发现足球每个定价150元，跳绳每条定价30元．已知该学校要购买足球80个，跳绳m条（）．现有甲乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案，甲网店：买一个足球送一条跳绳，乙网店：足球和跳绳都按定价的90%付款． (1)若在甲网店购买，需付款________元（用含m的代数式表示并写成最简形式）；若在乙网店购买，需付款________元（用含m的代数式表示并写成最简形式）； (2)当时，请通过计算说明学校在哪家网店购买较为合算． 64．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）某农户2024年承包荒山若干亩，投资7800元改造后，种果树2000棵；今年水果总产量为36000千克，此水果在市场上每千克售a元，在果园每千克售b元（）.若该农户将水果拉到市场出售平均每天出售1000千克，需8人帮忙，每人每天付工资100元，农用车运费及其他各项税费平均每天300元； (1)用a，b分别表示农户在水果市场或在果园中这两种方式出售完全部水果的纯收入？（纯收入=总收入-总支出） (2)若，且k是整数，若两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，试讨论当k为何值时，选择哪种出售方式较好． 65．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，一扇窗户，所有窗框为铝合金材料，其下部是边长相同的四个小正方形，上部是半圆形，已知下部小正方形的边长是米，窗户半圆部分和四个正方形部分安装玻璃． (1)一扇这样的窗户一共需要铝合金_______米（用含的代数式表示），一扇这样窗户需要玻璃一共_______平方米（用含的代数式表示，铝合金窗框宽度忽略不计） (2)某公司需要购进10扇窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如下报价：（本小题中取3） 铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米） 甲厂商 200 90元/平方米 乙厂商 220 80元/平方米，每购1平方米玻璃送米铝合金 当时，请通过计算说明公司在哪家厂商购买窗户划算？ 66．（25-26七年级上·安徽六安·期中）为发展校园篮球运动，某城区四所学校决定联合购买一批篮球运动装备，市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球服和篮球，已知每套篮球服元，每个篮球元，经洽谈，甲商场的优惠方案是：每购买套篮球服，送一个篮球；乙商场的优惠方案是：若购买篮球服满套（含套），则购买篮球打五折． (1)若该城区四校联合购买套篮球服和个篮球：则到甲商场购买所花的费用为 元，到乙商场购买所花的费用为 元； (2)若该城区四校联合购买套篮球服和（）个篮球，请用含的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买所花的费用． (3)在（2）的条件下，当时，在哪家商场购买篮球服和篮球更优惠？ 67．（25-26七年级上·安徽六安·期中）小方家的住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米）． 活动方案 木地板价格 地砖价格 总安装费 A 8折 8.5折 2000元 B 9折 8.5折 免收 现准备铺设地面，三间卧室铺设木地板，其他区域铺设地砖． (1)求a的值； (2)铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米？（用含x 的代数式表示） (3)按市场价格，木地板单价为320元/平方米，地砖单价为200元/平方米．装修公司有A，B两种活动方案，如表所示：已知：，则小方家应选择哪种活动方案，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）较低？ 68．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）某野生动物园门票价格为50元/张，并推出了两种购票方案，且两种方案不能同时使用． 方案一 方案二 当团购门票数不超过30张时，无优惠；当团购门票数超过30张时，超过的部分每张优惠10元． 爱心捐款认养小动物，每捐款200元，则所购门票每张优惠1元（例如：捐款400元，则每张门票优惠2元）；且捐款额必须为200的整数倍，最多捐款5000元． 设某旅游团一次性购买门票x张（且x为正整数）， (1)如果选择方案一，求该旅游团购买门票的费用； (2)如果选择方案二，该旅游团爱心捐款m个200元（m为正整数）． ①若该旅游团需要购买35张门票且整个旅游团爱心捐款2000元，则该旅游团一共需要花费的总费用（包含捐款费和门票费）为 元； ②该旅游团一共需要花费的总费用为 元；（用含m，x的代数式表示） ③当时，无论x取什么值，都存在一个正整数m，使选择方案二的总费用始终比选择方案一的费用多某个常数，求出m及这个常数分别是多少． 69．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）“双十一”期间，某电商城销售一种平板电脑和智能手写笔，平板电脑每台定价3000元，智能手写笔每支定价800元．商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台平板电脑送一支智能手写笔； 方案二：平板电脑和智能手写笔都按定价的付款． 现某客户要到该实场购买平板电脑6台，智能手写笔x支． (1)若该客户按方案一购买，能付款_______元（用含x的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款_______元．（用含x的代数式表示） (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ (3)当时，如果两种方案可以同时使用，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 70．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）某学校为了准备中考体育考试，在某体育用品专卖店购买200根跳绳与若干个排球．已知该体育用品专卖店每根跳绳的定价为120元，每个排球的定价为60元，并有以下两种批发套餐： 套餐一：买一根跳绳，赠送一个排球； 套餐二：跳绳与排球都打八折出售． (1)若该学校购买200根跳绳与200个排球，请通过计算比较哪种套餐更省钱； (2)若该学校购买200根跳绳与a个排球（），请用含a的式子表示出两种套餐所需要的费用；当时，通过计算比较出两种套餐中最省钱的套餐； (3)在（2）的条件下，该学校计划购买200根跳绳与400个排球，该体育用品专卖店允许将套餐组合购买，请你设计最省钱的购买方案，并说明理由 考点13 实际应用：整除问题 71．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知两个一次式分别是和． (1)求与的和； (2)当m和n为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 72．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“皖韵数”．例如三位数352，因为，所以它是“皖韵数”．设一个“皖韵数”的百位、十位、个位数字分别为x，y，z． (1)写出x与y，z之间的等量关系式：________； (2)若一个三位数是“皖韵数”，求m的值； (3)请判断任意一个“皖韵数”是否都能被11整除？并说明理由． 73．（24-25七年级上·安徽六安·期中）在小学我们就知道，如果一个整数的各个数位上的数字的和能被3整除，那么这个整数也能被3整除．如： 3285的各个数位上的数字的和能被3整除，所以3285能被3整除； 463的各个数位上的数字的和不能被3整除，所以463不能被3整除． 设一个三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为， (1)用代数式表示这个三位数是_______________________； (2)若能被3整除，试说明这个三位数也能被3整除． (3)任意三个连续整数的和都能被3整除吗？为什么？ 74．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一个三位数，百位上的数字为 a，十位上的数字为 b，个位上的数字为 c，这个三 位数可以用代数式表示为 ．接下来我们探究能被 9 整除的三位数的数的特征． (1)【举例说明】请写出两个能被 9 整除的三位数 、 ； (2)【一般探究】由特例，提出猜想：如果 能被 9 整除，那么这个三位数能被 9 整 除．  请在下列括号内填空，补全下面的推理过程： ① 因为能被 9 整除，并且①式是 9 的倍数，也能被 9 整除，所以它们的和一定能被 9 整除，因此猜想成立． (3)【类比推广】继续探索能被 9 整除的多位数的数的特征，写出你发现的规律．（不需要说明理由） 75．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）阅读材料： 一个三位自然数若满足百位数字与个位数字的和等于十位数字，则称这个三位数为“欢喜数”，如572的百位数字5与个位数字2的和等于十位数字7，所以572是“欢喜数”． 解答问题 (1)最小的“欢喜数”是________，最大的“欢喜数”是________； (2)若某“欢喜数”的百位数字为a，十位数字为b，试说明这个“欢喜数”是11的倍数； (3)若“欢喜数”m为奇数，且十位数字比个位数字大n（n为大于4而小于7的整数），且m能被3整除，请直接写出所有符合条件的“欢喜数”m． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式加减及其综合应用 考点01 去括号“变号不全”陷阱 考点02 系数与次数混淆（π 陷阱、带分数陷阱） 考点03 “几次几项式”次数找错 考点04 化简求值“代入漏括号” 考点05 升幂/降幂排列时“丢符号、漏项” 考点06 “与字母 x 无关 / 不含某类项”问题 考点07 整体代入思想（不求单值，直接代整体） 考点08 图形面积/周长列式与化简 考点09 新定义运算题 考点10 数字规律探究 考点11 图形规律探究 考点12 实际应用：方案比较/阶梯收费 考点13 实际应用：整除问题 考点01 去括号“变号不全”陷阱 1．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）化简：． 【答案】． 【详解】解： ． 2．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）计算下列各题： (1)； (2)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）计算： (1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）化简： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解：          ． 考点02 系数与次数混淆（π 陷阱、带分数陷阱） 5．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）的系数和次数分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题可知单项式的系数为，次数为； 故选：D． 6．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）单项式的系数和次数分别是（   ） A．，6 B．，6 C．，7 D．，8 【答案】B 【详解】解： ∵ 系数为常数部分，即 ， 次数为字母指数之和： 指数2， 指数3， 指数1， ∴ 次数 ． 因此，选项B正确． 故选：B 7．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）在多项式中，次数最高项的系数是（  ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：多项式各项及其次数： ：次数为，系数为； ：次数为，系数为； ：次数为，系数为； ：次数为，系数为； 因此，次数最高项为，系数为， 故选：A． 8．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）单项式的系数是________，次数是________． 【答案】 / 3 【详解】解：单项式的系数是，次数是3． 故答案为：，3． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知多项式的项数为，次数是，求的值． 【答案】 【详解】解：∵多项式次数是六次， ∴中的次数之和为六，即， 解得：， ∵多项式有四项，且项数为， ∴， ∴． 考点03 “几次几项式”次数找错 10．（23-24七年级上·安徽六安·期中） (为非负整数)为三次三项式，则_____． 【答案】2 【详解】解：∵ (为非负整数)为三次三项式， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 11．（23-24七年级上·安徽·期中）多项式是___________次_______项式． 【答案】 五 四 【详解】解：多项式是五次四项式． 故答案为：五，四． 12．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）下列多项式分别是几次几项式？ (1) (2) (3) 【详解】（1）解：，共有两项，最高次数是1，所以是一次二项式； （2）解：，共有三项，最高次数是5，所以是五次三项式； （3）解：，共有四项，最高次数是3，所以是三次四项式． 13．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）已知多项式． (1)若该多项式不含有3次项，求a的值并写出常数项． (2)若该多项式是关于x的三次二项式，求a的值并写出最高次项． 【详解】（1）解：由题意可知，， 所以， 常数项为； （2）解：由题意可知，， 所以， 最高次项为． 考点04 化简求值“代入漏括号” 14．（26-27七年级上·安徽·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；10 【详解】解：原式． 当，时，原式． 15．（26-27七年级上·安徽·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式， 当，时，原式． 16．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【详解】解：原式 ， ， ，， ，， 原式． 17．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ，                   当，时， 原式． 18．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）先化简，再求值：其中，． 【答案】 ， 【详解】解： ， 当，时，原式 19．（25-26七年级上·安徽六安·期中）求值：，其中，，． 【答案】，6 【详解】解： ， 当，，时， 原式 ． 考点05 升幂/降幂排列时“丢符号、漏项” 20．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）多项式按降幂排列，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：依题意，多项式按降幂排列，得， 故选：C 21．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：多项式按的降幂排列正确的是， 故选：C． 22．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）多项式按字母的升幂排列为______． 【答案】 【详解】解：多项式中， 项中的次数为0， 项中的次数为1， 项中的次数为2， 项中的次数为3， 按字母的升幂排列（次数从低到高），结果为：． 故答案为：． 23．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）把多项式按字母a的降幂排列为______． 【答案】 【详解】解：多项式的各项中，a的指数分别为：中指数为 3，中指数为2，中指数为1，中指数为0， ∴按a的指数降幂排列为． 故答案为：． 24．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知多项式． (1)将该多项式按y降幂排列． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：按y的降幂排列， （2）解：∵，， ∴ ． 考点06 “与字母 x 无关 / 不含某类项”问题 25．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）若关于、的多项式与的差不含三次项，则的值（    ） A．4 B． C．3 D．5 【答案】A 【详解】解：∵ ∵ 差不含三次项， ∴ ∴ 故选： A 26．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）若关于x的多项式合并后不含二次项，则m的值为______． 【答案】 【详解】解：， 合并同类项得：． ∵多项式合并后不含二次项， ∴二次项系数， 解得． 故答案为：． 27．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知，，（m，n为常数） （1）化简：______． （2）若（1）中化简的式子的值与a无关，则______． 【答案】 【详解】解：（1） ． 故答案为：； （2）因为的值与无关， 所以，， 解得，， ∴． 28．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）某同学做一道题：“已知两个多项式A和B，计算”，他误将看成，求得的结果为，已知 (1)求多项式A； (2)请你求出的正确答案． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意可得，，， 所以 ， 即多项式A为； （2）解：由（1）知：， 因为， 所以 ， 即的正确答案是 29．（25-26七年级上·安徽亳州·期中）若关于，的多项式的值与字母的取值无关． (1)求的值； (2)有这样一道题：“当，时，求多项式的值．”小红说题目给的条件“，”是多余的，她的说法有道理吗？ 【详解】（1）解：， ∵其值与字母的取值无关， ， 解得：； (2)小红的说法有道理，理由如下： ， ∵结果不含，， 故条件“，”是多余的． 30．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）已知代数式． (1)求； (2)若单项式与单项式是同类项，求的值； (3)当m取何值时，的值与n无关． 【答案】(1) (2)50 (3)当时，的值与无关 【详解】（1）解： ； （2）解：∵单项式与单项式是同类项， ， ； （3）解：， ∵的值与无关， ∴， ∴， 即当时，的值与无关． 31．（23-24七年级上·安徽蚌埠·期中）【知识学习】 学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)【理解应用】若关于的多项式的值与的取值无关，求值； (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (3)【能力提升】有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系．    【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：依题意： 因为， ∵关于的多项式的值与的取值无关， ∴， ∴． （2）解：依题意， ∵， ∴ ， ∵的值与的取值无关， 所以， 则． （3）解：依题意，由图形可知：，， ∴， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴． 即． 32.我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”（图1），它是中国重要的文化遗产．数出“洛书”中实心点或空心点的个数，按顺序将它们填入的方格中，就得到了如图2所示的一个“三阶幻方”． 【探究发现】 在三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻方和”，最中间的数称为“中心数”，探究发现，幻方和是中心数的3倍．例如，在图2的三阶幻方中，幻方和是中心数5的3倍． 【尝试运用】 （1）在图3所示的三阶幻方中，幻方和为 ，a＝ ； （2）在图4所示的三阶幻方中，若，，，求D所表示的代数式； 【深入思考】 （3）在图5所示的三阶幻方中，若，，（k为常数），且幻方和与a的取值无关，直接写出k的值及该幻方和． 【答案】（1），；（2）；（3），幻方和为 【详解】解：（1）根据题意，幻方和是中心数的3倍，即幻方和为， ， ， 故答案为：，； （2）幻方和为， 中心数为， 如图所示，设右下角的数为， ，即 ， ； （3）设幻方和为，则中心数为， 如图所示，设、， ，， 根据题意，， ，， 根据题意，， 又， ，即， ， 幻方和与a的取值无关， ； ， 解得， 则k的值为，该幻方和． 考点07 整体代入思想（不求单值，直接代整体） 33．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）阅读材料：我们知道，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果为________； （2）已知，，求的值； 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）60；（3）10 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴ ； （3）解：∵，，， ∴ ． 34．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）有这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少?” 爱动脑筋的小安同学解题过程如下： 原式． 小安同学把作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法． 请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）若，则 ； （2）若，求的值； 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 【答案】（1）2026；（2）19；（3）11 【详解】解：（1）∵， ∴原式， 故答案为：2026． （2）∵， ∴原式 ． （3） ． 当，时， 原式． 35．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如表所示是老师安排的作业题． 代数式的值为9，则代数式的值为______． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若代数式的值为5，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为9，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求的值． 【答案】（1）（2）0（3） 【详解】解：（1）， ， ； （2）当时，， ， 当时，； （3）， 已知， 代入得． 36．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）【阅读材料】 我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【尝试应用】 （1）把看成一个整体，合并的结果是_____． （2）已知，求的值． 【拓展探索】 （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）7． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）解：因为， 所以 ； （3）解：因为，，， 所以 ． 37．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）有这样一道题：“如果代数式的值为－6，那么代数式的值是多少？”．受动脑筋的李同学解题过程如下： 原式 ． 李同学把作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求代数式的值； 【拓展应用】 （3）已知，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 38．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）阅读材料，解答问题： 【材料】有这样一道题“已知代数式的值为，求代数式的值．” 小明同学是这样解答的：．我们把看成一个整体，把式子代入，得原式． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知，则_____； （2）已知，，求代数式的值； 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）22；（3）； 【详解】解：（1）当时，， 故答案为； （2） 将，代入上面的式子，得 ； （3） ， 将，代入上面的式子，得 ． 39．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要，例如：已知，，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题： （1）若，则 ； （2）若代数式的值为10，求代数式的值． （3）当时，的值为9，当时，求代数式的值． 【拓展探索】 （4）把一个大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，已知，请观察图形，求图②中的阴影部分面积． 【答案】（1）9；（2）；（3）6；（4）128 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）由题意得， ∴， ∴ ； ∴代数式的值为； （3）∵当时，的值为9， ∴， ∴， ∴当时，， ∴ ； （4）设大正方形边长为x，四个相同的小正方形边长为y，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴图②中的阴影部分面积为128． 考点08 图形面积/周长列式与化简 40．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）为改善居住环境，计划修建一个“芜小园”，其平面图（单位：m）如图所示． (1)用含m，n的代数式表示该广场的面积S； (2)若m，n满足，求该广场的面积S．若某款地砖的价格为35.4元/，铺设地砖的人工费为45.2元/，则为该广场铺满这款地砖一共要花费多少？ 【答案】(1) (2)33852元． 【详解】（1）解：根据题意得： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， （元） 答：为该广场铺满这款地砖一共要花费元． 41．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知某长方形窗户上的装饰物（阴影部分）如图所示（单位：米），它是由半径均为b米的两个四分之一圆组成． (1)这个长方形窗户的面积可表示为______平方米，窗户上的装饰物所占面积可表示为______平方米；（用含π、a、b的式子来表示） (2)当，时，求这个窗户上能射进阳光部分（空白部分）的面积．（取3.14，结果精确到0.01） 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：观察图形可知，这个长方形窗户的面积可表示为：， 装饰物所占的面积可表示为：， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴这个窗户上能射进阳光部分的面积为： ． 42．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）如图是用相同材料做成的A，B两种造型的长方形窗框，已知窗框的宽度都是，高度都是． (1)制作这两种造型的窗框各一个，共需要多少米的材料? (2)若一位用户需要A型的窗框6个，B型的窗框3个，且这种材料每米的价格为元，求这位用户共需要花多少元钱．（接缝处忽略不计） 【答案】(1) (2)元 【详解】（1）解：根据题意得，制作A种造型的窗框一个，需要材料， 制作B种造型的窗框一个，需要材料， ∴． ∴制作这两种造型的窗框各一个，共需要的材料． （2）解：共需材料的长度为：． ∵这种材料每米的价格为元， ∴这位用户共需要花的钱数为元． 43．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）如图，某公园中间有一块长为16米、宽为12米的绿地，在绿地中央修建一个长方形喷泉水池，喷泉水池的周围修建等宽的小路，路宽为米． (1)喷泉水池的长为______米，宽为______米；（用含的代数式表示） (2)用含的代数式表示喷泉水池的周长，并求出当时，喷泉水池的周长． 【答案】(1)， (2)米，米 【详解】（1）解：∵长为16米、宽为12米的绿地，喷泉水池的周围修建等宽的小路，路宽为米． ∴ 即喷泉水池的长为米，宽为米； （2）解：由（1）得喷泉水池的长为米，宽为米； 则喷泉水池的周长（米）， ∵， ∴（米）， 即喷泉水池的周长为米． 44．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图是某居民小区的一块长为a米，宽为米的长方形空地，为了美化环境， 准备在这个长方形空地的四个顶点处各修建一个半径为b 米的扇形休息区，阴影部分种植草坪，草坪外围用篱笆围起来． (1)求阴影部分的面积 S 及阴影部分的周长C；（用含有a ，b ，π的式子表示 S 与C） (2)已知种植草坪的费用为每平方米50元，围建篱笆的费用为每米 20 元．当 ，π 取 3 时，求种植草坪与围建篱笆的费用总和． 【答案】(1)；， (2)种植草坪与围建篱笆的费用总和为920元 【详解】（1）解：， ， 即；； （2）当米，米，取3时， 总费用为： （元）， 即铺设草坪共需920元． 45．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）如图是某种窗户的形状，其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部分每个小正方形的边长为米，求： (1)窗户的面积； (2)窗框用料实线部分的总长度； (3)当时，若窗户上安装的是玻璃，玻璃每平方米元，窗框料每米元，窗框厚度不计那么生产这种窗户的总费用是多少？全部用含的代数式表示） 【答案】(1)平方米； (2)米； (3)元 【详解】（1）解：四个小正方形的面积为平方米， 上面半圆的面积为平方米， 窗户的面积为平方米． 答：窗户的面积为平方米； （2）解：由图可得： 窗框的总长度是：米， 答：窗框的总长度是米； （3）解：∵， ∴根据可知，费用为： 元． 答：制作这种窗户需要的费用是元． 46．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）一扇窗户（如图①）的所有窗框（包含内部框架和外部框架）为铝合金材料，其下部是边长相同的四个小正方形，上部是半圆形，已知下部小正方形的边长是米，窗户（包括上部和下部）全部安装透明玻璃，现在按照如图②的方式，在阴影部分的位置上全部安装窗帘，图②中窗帘下部分是两个直径为米的半圆形，没有窗帘的部分阳光可以照射进来．（注：取近似值3） 材料名称 铝合金 窗帘 透明玻璃 报价 100元/米 40元/平方米 90元/平方米 (1)一扇这样的窗户一共需要铝合金材料________米（用含的代数式表示）． (2)求可以照进阳光的部分的面积（用含的代数式表示）． (3)某公司需要制作20扇这样的窗户，并按照图②的方式安装窗帘，厂家报价如表，当时，该公司的总花费为多少元？ 【答案】(1) (2)平方米 (3)47700元 【详解】（1）解：根据题意得： 一扇这样窗户一共需要铝合金：（米）， 一扇这样窗户一共需要铝合金米， 故答案为：； （2）解：根据题意得： 照进阳光的面积是（平方米）， 照进阳光的面积是平方米； （3）解：当时， 20扇这样的窗户一共需要铝合金：（米）， 20扇这样的窗户一共需要窗帘（平方米）， 20扇这样的窗户一共需要玻璃（平方米）， 该公司总花费为：（元）， 该公司总花费为47700元． 47．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，有这样一道题“如果代数式的值为那么代数式的值是多少？”，爱动脑筋的薛同学解题过程如下： 原式 薛同学把作为一个整体求解，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）已知，求的值； 【拓展提高】 （2）已知，，求代数式的值； 【知识迁移】 （3）如图，大长方形的长为m，宽为n，将6个完全相同的小长方形如图所示放置不重叠无缝隙，若，请求出图中阴影部分的周长． 【答案】（1）7；（2）；（3）8 【详解】解：（1）对变形： ， ； （2），， ，， ； （3）设小长方形的长为x，宽为y，则，且， 阴影部分的周长为： 将，整体代入： 即阴影部分的周长为 考点09 新定义运算题 48.一个四位正整数，将它的个位数字与千位数字交换位置，十位数字与百位数字交换位置，所得的新数恰好与原数相同，我们把这样的四位正整数称为“对称数”，如，，都是“对称数”． (1)请再写出两个“对称数”：______； (2)任意一个“对称数”减去其各位数字之和，所得的结果都是的倍数，请用含字母的式子说明其中的道理； (3)若将一个“对称数”减去其各位数字之和，所得的结果是的倍数，直接写出满足条件的所有“对称数”． 【详解】（1）解：根据题意可知“对称数”的个位数和千位数相等，十位数和百位数相等，则有对称数：，， 故答案为：，（答案不唯一）； （2）由（1）可设一个对称数为，其中为个位和千位，为十位百位， 其各个数位数字之和为， ， 任意一个“对称数”减去其各位数字之和，所得的结果都是的倍数； （3）由（2）可知一个“对称数”减去其各位数字之和为， 若它是的倍数，设倍数为， 则可写作， 当，，；，，， 由于是的倍，而不是的倍数， 且， 取均满足条件， 所有符合条件的“对称数”为，，，，，，，，． 49．（25-26七年级上·安徽·期中）【阅读理解】 关于x的整式，当x分别取一组相反数a和时，若式子的值相等，则称之为“偶代数式”；若式子 的值互为相反数，则称之为“奇代数式”．例如，， 所 以是“偶代数式”， ， 所 以是“奇代数式”．如果式子为“偶代数式”，那么x 取任意一组相反数，式子的值相等；反之，如果式子为“奇代数式”，那么式子的值互为相反数． 【初步探究】 （1）以下算式中，是“偶代数式”的有 ，是 “奇代数式”的有 ； （将正确选项的序号填写在横线上） ①；②；③ （2）对于整式，当x分别取2与时，求整式的值分别是多少； 【深入思考】 （3）根据（2）的探究结果思考，对于整式，当x 分别取，，，，0，1，2，3，4时，求这九个整式的值之和． 【答案】（1）①③，②（2）时，整式值为；时，整式值为6（3）60 【详解】解：（1）解：∵，，， ∴“偶代数式”有①③；“奇代数式”有②， 故答案为：①③；②； （2） 解：当时，原式， ∴整式值为； 当时，原式， ∴整式值为6； （3）解：∵、、、是“奇代数式”， ∴分别取，，，，，，，，时，它们的和为， 而是“偶代数式”， ∴分别取，，，，，，，，时 九个整式的值之和是： ， ∴这九个整式的值之和是60． 50．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）阅读材料，并回答下列问题． 对称式：一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫做对称式．例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式；而代数式中字母交换位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． (1)下列四个代数式中，是对称式的是_____（填序号）； ①；②；③；④． (2)写出一个只含有字母，的二次对称式（要求代数式中至少包含加法、乘法运算）； (3)已知，求，并判断所得结果是否为对称式． 【答案】(1)①③； (2)（答案不唯一）； (3)，是对称式． 【详解】（1）解：∵， ∴是对称式； ∵， ∴不是对称式； ∵， ∴是对称式； ∵， ∴不是对称式； ∴对称式有①③； （2）解：∵， ∴是对称式； （3）解：，， 交换，的位置，得到， ， ∴结果是对称式． 考点10 数字规律探究 51．（25-26七年级上·安徽六安·期中）观察下面的图形和对应的等式，设第1个图中“○”数为，第2个图中“○”数为，第3个图中“○”数为，…，第个图中“○”数为，根据你发现的规律解答问题． (1)填空：____________（填具体数字）；____________（用含的式子表示）． (2)因为，，，…，根据上述规律，______（用幂的形式表示）． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：由图可知：，； （2）解：∵，，，…， ∴ 52．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）将连续的偶数2，4，6，，排列成如下的数阵表，再用十字框框出5个数如图 (1)十字框框出5个数的和与框子正中间的数20有什么关系？ (2)若将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用a的代数式表示十字框框住的5个数字之和为______； (3)十字框框住的5个数之和能等于吗？能等于吗？能等于吗？若能，分别写出十字框框住的5个数，并填入框图中；若不能，请说明理由． 【详解】（1）解：因为，且， 所以十字框框出5个数的和是框子正中间的数20的5倍． （2）当中间数为时， 十字框中其余的数为，，，， 则， 所以十字框框住的5个数字之和为 故答案为． (3)所框5个数的和能是， 理由如下： 因为，且，余2， 则数在第2列， 所以所框的5个数为：，，，，． 如图所示，所框5个数的和不能是，理由如下： 因为，但是不是偶数， 所以所框的5个数的和不能等于；所框5个数的和不能是，理由如下： 因为，且，， 则数在第6列，所以它的右边没有数了，因此所框的5个数的和不能等于． 53．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）“数学规律探究”是解决实际问题的重要工具，某班级在开展“数字等式的奥秘”实践活动时，发现了一组有趣的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 请根据以上实践素材，完成下列探究任务： (1)【独立思考】请根据你发现的规律直接写出第5个等式__________； (2)【实践探究】请根据你发现的规律计算：； (3)【问题拓展】求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴ ∴ ． 54．（25-26七年级上·安徽六安·期中）观察下列等式，并探索规律： (1)请回答： (2)请回答： （为正整数）； (3)请用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ， ， ， ， ∴， 故答案为：； （3）解： ． 55．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）观察下列式子的规律： 第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子： 请根据上述规律回答下列问题： (1)第6个式子为_________； (2)试找出规律，用含的代数式表示第个式子； (3)当时，求前6个式子的和． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由题意，第6个式子为； （2）观察可知：对于第个式子，含部分的系数为的次数为，常数项为，所以第个式子可表示为； （3）当时，前6个式子分别为：， ，，，， ∴． 56．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）观察下列各式： ， ， ，…… (1)请写出第4个式子______． (2)若n为正整数，试猜想______． (3)试利用（2）中猜想的结论求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： 由题意得，第4个式子为； （2）解：第1个式子为， 第2个式子为， 第3个式子为， ……， 以此类推，第n个式子为， ∴ （3）解： ． 考点11 图形规律探究 57．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）如图所示，改变棋子的摆放方式，解答下列问题． (1)观察图①和图②，棋子分别被直线和折线隔开摆放成4层，按照图中规律继续摆下去，第n层有______个棋子； (2)数图中棋子的总个数可以有多种不同的方法：如：前2层棋子的总个数为或，因此可以得到，同样，前3层棋子的总个数为，前4层棋子的总个数为，… 根据上述规律，前n层棋子的总个数用含n的代数式可以表示为______； (3)运用（2）中发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：根据题意得：第一层有1个棋子， 第二层有个棋子， 第三层有个棋子， 第四层有个棋子， 第五层有个棋子， 第六层有个棋子， ……， 由此发现，第n层有个棋子， 故答案为：； （2）解：∵前2层棋子的个数和为或， 因此可以得到， ∵前3层棋子的个数和为，前4层棋子的个数和为，… ∴前n层棋子的个数和， 即前n层棋子的个数和用含n的代数式可以表示为． 故答案为：； （3）解：当时，，当时，， ∴ ． 58．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）如图是由边长相同的灰、白方块拼成的图形． (1)第5个图形灰色方块共有______个，白色方块共有______个； (2)第100个图形白色方块共有______个； (3)第n个图形（）白色方块的总数______（用含n的式子表示）． 【答案】(1)25；16 (2)301 (3) 【详解】（1）解：第1个图形灰色方块共有个，白色方块共有个； 第2个图形灰色方块共有个，白色方块共有个； 第3个图形灰色方块共有个，白色方块共有个； ……， 第5个图形灰色方块共有个，白色方块共有个； 故答案为：25；16； （2）解：由（1）得：第100个图形白色方块共有个； 故答案为：301； （3）解：根据题意得：第n个图形（）白色方块的总数为个． 故答案为：． 59．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）【观察思考】 【规律发现】 如图所示的图案都是由正八边形构成的图案，正八边形的每个顶点上都有“”或“”． 第1个图案中“”有个；“”有个； 第2个图案中“”有个；“”有个； 第3个图案中“”有个；“”有个； 第4个图案中“”有个；“”有个；． （1）第99个图案中“”有______个；“”有______个； （2）第个图案中“”有______个，“”有______个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （3）在第2025个图案中，求“”的个数比“”的个数少多少． 【答案】（1）99；99；（2）；；（3）2024 【详解】解：（1）第99个图案中“”有个；“”有个； 故答案为：99；99； （2）第个图案中“”有个，“”有个，即个； 故答案为：；； （3）， 当时，， 即在第2025个图案中，求“”的个数比“”的个数少2024个． 60．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）观察下列每个图形与其对应的等式之间的关系： 根据图形及其等式的关系，解决下列问题： (1)第5个图形所对应的等式为： ； (2)第个图形所对应的等式为： ； (3)归纳上述规律，完成下列填空：设 ，则 ，所以 ． 【答案】(1) (2) (3)2026，2025，2024，2023，2026，2026 【详解】（1）解：由题意得第5个图形所对应的等式为； （2）解：第1个图形所对应的等式为； 第2个图形所对应的等式为； 第3个图形所对应的等式为； 第4个图形所对应的等式为； ……， 以此类推可知，第n个图形所对应的等式为； （3）解：由（2）可知： ， ∴ ∴ ． 61．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）【阅读理解】 教材第82页《数学拓展》栏目“归纳推理”内容大致如下： 用一些相同的小正方形，排成如下的一些大正方形图案，如图． （1）把每个图中一边上的小正方形个数和有阴影的小正方形的个数填入表中： 图号（n） 1 2 3 4 … k … 一边上小正方形个数（n） 1 2 3 ① … ② … 阴影小正方形个数（） 1 3 5 ③ … ④ … （2）第1个图中小正方形只有1个，且有阴影，记作． 把第1个图并入第2个图，这时第2个图中阴影小正方形数就是前面两个图中阴影小正方形数的和：．我们把这个和记作， 即． 把第1，2两个图中的阴影部分一起并入第3个图，这时第3个图中的阴影小正方形数就是前面三个图中阴影小正方形数的和，记作， 即． 如此操作，请仔细观察图后，归纳并猜想结果，并填空： ⑤______， …… ⑥______． 【类比研究】 （3）这种根据某类事物的部分对象具有的某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理，运用归纳推理我们可以得到： （ⅰ）平面内25条直线最多有⑦______个交点； （ⅱ）n条直线最多有⑧______个交点． 【迁移应用】 运用上面方法解答下面问题： （4）由1，3，5，7，9，11，13，……组成的三角形数阵如图所示，从第1到第20行第20个数的和是多少？ 【答案】（1）①4，②，③7，④；（2）；；（3）300，；（4） 【详解】解：（1）填写表格如图： 图号（n） 1 2 3 4 … k … 一边上小正方形个数（n） 1 2 3 ①4 … ② … 阴影小正方形个数（） 1 3 5 ③7 … ④ … 故答案为：①4，②，③7，④； （2）∵， ， ， ， ⑤， ， ⑥． 故答案为：⑤；⑥； （3）∵平面内2条直线最多有1个交点， 平面内3条直线最多有个交点， 平面内4条直线最多有个交点， 平面内5条直线最多有个交点， ， ∴平面内25条直线最多有⑦个交点； （ⅱ）根据（ⅰ）中规律可得平面内n条直线最多有⑧个交点． 故答案为：⑦300；⑧． （4）根据图象可得：第一行有1个数，和为； 第二行有2个数，前两行的和为； 第三行有3个数，前三行的和为； 第四行有4个数，前四行的和为； ， ∴第n行有n个数，前n行的和为； 故第20行有20个数， 故从第1到第20行的和是． 考点12 实际应用：方案比较/阶梯收费 62．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）为了能有效地使用电力资源，国家电网鼓励居民实行峰谷用电，某居民家庭在峰时段(上午8：00—晚上21：00)用电的价格是每度元，谷时段(晚上21：00—次日晨8：00)用电的价格是每度元．若某居民户某月用电度，其中峰时段用电度． (1)请用含的代数式表示该居民户这个月应缴纳的电费； (2)利用上述代数式计算当时，应缴纳电费是多少元? 【答案】(1)该居民用户这个月应缴纳电费元 (2)应缴纳电费是元 【详解】（1）元， 答：该居民用户这个月应缴纳电费元； （2）解：当时，（元）， 答：应缴纳电费是56元． 63．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）某中学计划在网上购买足球和跳绳供学生体育锻炼．在查阅天猫网店后发现足球每个定价150元，跳绳每条定价30元．已知该学校要购买足球80个，跳绳m条（）．现有甲乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案，甲网店：买一个足球送一条跳绳，乙网店：足球和跳绳都按定价的90%付款． (1)若在甲网店购买，需付款________元（用含m的代数式表示并写成最简形式）；若在乙网店购买，需付款________元（用含m的代数式表示并写成最简形式）； (2)当时，请通过计算说明学校在哪家网店购买较为合算． 【详解】（1）解：在甲网店购买，需付款元； 在乙网店购买，需付款元． 故答案为：，． （2）解：当时， 在甲网店购买，需付款元； 在乙网店购买，需付款元． ∵， ∴在甲网店购买较为合算． 64．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）某农户2024年承包荒山若干亩，投资7800元改造后，种果树2000棵；今年水果总产量为36000千克，此水果在市场上每千克售a元，在果园每千克售b元（）.若该农户将水果拉到市场出售平均每天出售1000千克，需8人帮忙，每人每天付工资100元，农用车运费及其他各项税费平均每天300元； (1)用a，b分别表示农户在水果市场或在果园中这两种方式出售完全部水果的纯收入？（纯收入=总收入-总支出） (2)若，且k是整数，若两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，试讨论当k为何值时，选择哪种出售方式较好． 【答案】(1)农户在果园中出售完全部水果的纯收入为元，在水果市场出售完全部水果的纯收入为元 (2)当时，选择果园出售方式较好；当时，选择水果市场出售方式较好 【详解】（1）解：设农户在果园中出售完全部水果的纯收入为：元， 在水果市场出售完全部水果的纯收入为：元． （2）解：∵且k是整数， ∴或2， 当时，则， 由（1）知：果园内纯收入：元， 市场内纯收入：元， ∵， ∴选择果园出售方式较好； 当时，则， 果园内纯收：元， 市场内纯收入：元， ∵， ∴选择水果市场出售方式较好． 65．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，一扇窗户，所有窗框为铝合金材料，其下部是边长相同的四个小正方形，上部是半圆形，已知下部小正方形的边长是米，窗户半圆部分和四个正方形部分安装玻璃． (1)一扇这样的窗户一共需要铝合金_______米（用含的代数式表示），一扇这样窗户需要玻璃一共_______平方米（用含的代数式表示，铝合金窗框宽度忽略不计） (2)某公司需要购进10扇窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如下报价：（本小题中取3） 铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米） 甲厂商 200 90元/平方米 乙厂商 220 80元/平方米，每购1平方米玻璃送米铝合金 当时，请通过计算说明公司在哪家厂商购买窗户划算？ 【答案】(1)； (2)公司在甲厂商购买窗户划算 【详解】（1）解：米， 即一共需要铝合金的长度为米； 需要玻璃一共平方米； 故答案为：； （2）解： 甲厂商购买窗户所需费用：元， 当时，甲厂商购买窗户所需费用为元； 乙厂商购买窗户所需费用：元 当时，乙厂商购买窗户所需费用：元， 因为， 所以公司在甲厂商购买窗户划算． 66．（25-26七年级上·安徽六安·期中）为发展校园篮球运动，某城区四所学校决定联合购买一批篮球运动装备，市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球服和篮球，已知每套篮球服元，每个篮球元，经洽谈，甲商场的优惠方案是：每购买套篮球服，送一个篮球；乙商场的优惠方案是：若购买篮球服满套（含套），则购买篮球打五折． (1)若该城区四校联合购买套篮球服和个篮球：则到甲商场购买所花的费用为 元，到乙商场购买所花的费用为 元； (2)若该城区四校联合购买套篮球服和（）个篮球，请用含的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买所花的费用． (3)在（2）的条件下，当时，在哪家商场购买篮球服和篮球更优惠？ 【答案】(1)； (2)到甲商场购买所花的费用为： 元，到乙商场购买所花的费用为： 元 (3)到甲商场购买篮球服和篮球更优惠 【详解】（1）解：甲商场的优惠方案是：每购买套篮球服，送一个篮球， 则需要买（次）套篮球服,送个篮球，还需要再购买两个篮球即可； 到甲商场购买所花的费用为：（元）， 乙商场的优惠方案是：若购买篮球服满套，则购买篮球打五折， 到乙商场购买所花的费用为：（元） （2）到甲商场购买所花的费用为：元； 到乙商场购买所花的费用为：元； （3）当时，到甲商场购买所花的费用为： （元） 到乙商场购买所花的费用为： （元） ， 到甲商场购买篮球服和篮球更优惠． 67．（25-26七年级上·安徽六安·期中）小方家的住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米）． 活动方案 木地板价格 地砖价格 总安装费 A 8折 8.5折 2000元 B 9折 8.5折 免收 现准备铺设地面，三间卧室铺设木地板，其他区域铺设地砖． (1)求a的值； (2)铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米？（用含x 的代数式表示） (3)按市场价格，木地板单价为320元/平方米，地砖单价为200元/平方米．装修公司有A，B两种活动方案，如表所示：已知：，则小方家应选择哪种活动方案，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）较低？ 【答案】(1)3 (2)铺设地面需要木地板：平方米；铺设地面需要地砖：平方米 (3)小方家应选择优惠方案B，使铺设地面的总费用（含材料费及安装费）较低 【详解】（1）解：根据题意，可得， 解得； （2）解：铺设地面需要木地板： 平方米， 铺设地面需要地砖： 平方米； （3）解：当时， 铺设地面需要木地板：（平方米）， 铺设地面需要地砖：（平方米）， 优惠方案A所需的费用为（元）， 优惠方案B所需的费用为：（元）。 ∵， ∴小方家应选择优惠方案B，使铺设地面的总费用(含材料费及安装费)较低． 68．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）某野生动物园门票价格为50元/张，并推出了两种购票方案，且两种方案不能同时使用． 方案一 方案二 当团购门票数不超过30张时，无优惠；当团购门票数超过30张时，超过的部分每张优惠10元． 爱心捐款认养小动物，每捐款200元，则所购门票每张优惠1元（例如：捐款400元，则每张门票优惠2元）；且捐款额必须为200的整数倍，最多捐款5000元． 设某旅游团一次性购买门票x张（且x为正整数）， (1)如果选择方案一，求该旅游团购买门票的费用； (2)如果选择方案二，该旅游团爱心捐款m个200元（m为正整数）． ①若该旅游团需要购买35张门票且整个旅游团爱心捐款2000元，则该旅游团一共需要花费的总费用（包含捐款费和门票费）为 元； ②该旅游团一共需要花费的总费用为 元；（用含m，x的代数式表示） ③当时，无论x取什么值，都存在一个正整数m，使选择方案二的总费用始终比选择方案一的费用多某个常数，求出m及这个常数分别是多少． 【答案】(1)元 (2)①；②；③的值是10，固定值是元 【详解】（1）解：方案一，当时，该旅游团购买门票的费用购买门票的费用为元． 答：该旅游团购买门票的费用票的费用为元． （2）解：①由题意得：爱心捐款2000元所购门票每张优惠10元， 一共需要花费的总费用为元， ②由题意得：爱心捐款 个 200 元（即捐款额 元），则每张门票优惠 元（每张门票价格为 元）． 一共需要花费的总费用为元， 故答案为：． ②当时，方案一购买门票的费用为元， 则 ， ∵当时，无论取什么值，都存在一个正整数，使选择方案二的总费用始终比选择方案一的费用多某个固定值， ∴， ∴， 此时固定值为（元）， 答：的值是，固定值是元． 69．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）“双十一”期间，某电商城销售一种平板电脑和智能手写笔，平板电脑每台定价3000元，智能手写笔每支定价800元．商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台平板电脑送一支智能手写笔； 方案二：平板电脑和智能手写笔都按定价的付款． 现某客户要到该实场购买平板电脑6台，智能手写笔x支． (1)若该客户按方案一购买，能付款_______元（用含x的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款_______元．（用含x的代数式表示） (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ (3)当时，如果两种方案可以同时使用，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 【答案】(1)； (2)按方案一购买较为合算； (3)先买6台平板电脑，送6支智能手写笔，再按方案二购买4支智能手写笔，需付费元． 【详解】（1）解：∵方案一：买一台平板电脑送一支智能手写笔， ∴按方案一购买，需付款：元； ∵方案二：平板电脑和智能手写笔都按定价的付款， ∴按方案二购买，需付款：元． 故答案为：；； （2）解：当时，方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴此时按方案一购买较为合算； （3）解：先买6台平板电脑，送6支智能手写笔，再按方案二购买4支智能手写笔， （元）， ， 答：先买6台平板电脑，送6支智能手写笔，再按方案二购买4支智能手写笔，需付费元． 70．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）某学校为了准备中考体育考试，在某体育用品专卖店购买200根跳绳与若干个排球．已知该体育用品专卖店每根跳绳的定价为120元，每个排球的定价为60元，并有以下两种批发套餐： 套餐一：买一根跳绳，赠送一个排球； 套餐二：跳绳与排球都打八折出售． (1)若该学校购买200根跳绳与200个排球，请通过计算比较哪种套餐更省钱； (2)若该学校购买200根跳绳与a个排球（），请用含a的式子表示出两种套餐所需要的费用；当时，通过计算比较出两种套餐中最省钱的套餐； (3)在（2）的条件下，该学校计划购买200根跳绳与400个排球，该体育用品专卖店允许将套餐组合购买，请你设计最省钱的购买方案，并说明理由 【详解】（1）解：套餐一：（元）． 套餐二：（元）． ∵． ∴套餐一更省钱． （2）当时， 套餐一：． 套餐二：． 当时， 套餐一：． 套餐二：． ∵． ∴按套餐一购买最省钱． （3）最佳购买方案是：先套餐一购买200根跳绳，同时赠送200个排球，再按套餐二购买200个排球． 理由如下： （元） ∵． ∴该种方案最省钱． 考点13 实际应用：整除问题 71．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知两个一次式分别是和． (1)求与的和； (2)当m和n为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 【详解】（1）解： ； (2)解：能被6整除，理由如下： ， 为正整数， 是正整数， 能被6整除， 即减去的差能被6整除． 72．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“皖韵数”．例如三位数352，因为，所以它是“皖韵数”．设一个“皖韵数”的百位、十位、个位数字分别为x，y，z． (1)写出x与y，z之间的等量关系式：________； (2)若一个三位数是“皖韵数”，求m的值； (3)请判断任意一个“皖韵数”是否都能被11整除？并说明理由． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：由题意，， ∴； 解：都能被11整除，理由如下： ∵， ∴ ； 故任意一个“皖韵数”都能被11整除． 73．（24-25七年级上·安徽六安·期中）在小学我们就知道，如果一个整数的各个数位上的数字的和能被3整除，那么这个整数也能被3整除．如： 3285的各个数位上的数字的和能被3整除，所以3285能被3整除； 463的各个数位上的数字的和不能被3整除，所以463不能被3整除． 设一个三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为， (1)用代数式表示这个三位数是_______________________； (2)若能被3整除，试说明这个三位数也能被3整除． (3)任意三个连续整数的和都能被3整除吗？为什么？ 【详解】（1）解：设一个三位数的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， 则该三位数是：， 故答案为：； (2)解：∵ ， 又∵能被3整除， ∴这个三位数也能被3整除． (3)解：能，理由如下： 设三个连续整数分别为，，（为整数），它们的和为 ， 因为为整数，所以能被3整除． 即任意三个连续整数的和都能被3整除． 74．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一个三位数，百位上的数字为 a，十位上的数字为 b，个位上的数字为 c，这个三 位数可以用代数式表示为 ．接下来我们探究能被 9 整除的三位数的数的特征． (1)【举例说明】请写出两个能被 9 整除的三位数 、 ； (2)【一般探究】由特例，提出猜想：如果 能被 9 整除，那么这个三位数能被 9 整 除．  请在下列括号内填空，补全下面的推理过程： ① 因为能被 9 整除，并且①式是 9 的倍数，也能被 9 整除，所以它们的和一定能被 9 整除，因此猜想成立． (3)【类比推广】继续探索能被 9 整除的多位数的数的特征，写出你发现的规律．（不需要说明理由） 【详解】（1）解：能被 9 整除的三位数为：，； (2) ① 因为能被 9 整除，并且是 9 的倍数，也能被 9 整除， 所以它们的和一定能被 9 整除，因此猜想成立． （3）解：由（2）可得：一个多位数，各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个多位数一定能被9整除． 75．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）阅读材料： 一个三位自然数若满足百位数字与个位数字的和等于十位数字，则称这个三位数为“欢喜数”，如572的百位数字5与个位数字2的和等于十位数字7，所以572是“欢喜数”． 解答问题 (1)最小的“欢喜数”是________，最大的“欢喜数”是________； (2)若某“欢喜数”的百位数字为a，十位数字为b，试说明这个“欢喜数”是11的倍数； (3)若“欢喜数”m为奇数，且十位数字比个位数字大n（n为大于4而小于7的整数），且m能被3整除，请直接写出所有符合条件的“欢喜数”m． 【详解】（1）解：由“欢喜数”的定义可知最小的“欢喜数”是110，最大的“欢喜数”是990； (2)解：∵这个“欢喜数”的百位数字为a，十位数字为b， ∴该“欢喜数”个位数字为， ∴， ∴这个“欢喜数”是11的倍数； （3）解：∵十位数字比个位数字大n， ∴该“欢喜数”的百位数字为n． ∵该“欢喜数”m为奇数， ∴该“欢喜数”的个位数字为奇数． ∵n为大于4而小于7的整数， ∴该“欢喜数”的个位数字小于等于4，或6， ∴该“欢喜数”的个位数字为1或3． 分类讨论：当①该“欢喜数”的个位数字为1时，当时，此时十位数字为6，该“欢喜数”为561，能被3整除，符合题意； 当时，此时十位数字为7，该“欢喜数”为671，不能被3整除，不符合题意； ②该“欢喜数”的个位数字为3时，当时，此时十位数字为8，该“欢喜数”为583，不能被3整除，不符合题意； 当时，此时十位数字为9，该“欢喜数”为693，能被3整除，符合题意． 综上可知，符合条件的“欢喜数”m为561或693． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $