精品解析：江苏南京市浦口区南京江北新区实验初级中学2026-2027学年第一学期 九年级月考数学卷（10月）

2026～2027学年第一学期南京浦口实验学校学情调研 九年级数学（10月） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是（　　） A. （x﹣1）2=4 B. （x+1）2=4 C. （x﹣1）2=16 D. （x+1）2=16 3. 如图，已知A为反比例函数（<0）的图像上一点，过点A作AB⊥轴，垂足为B.若△OAB的面积为2，则k的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 4 D. -4 4. 已知双曲线过点(3，)、(1，)、(-2，)，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上．） 7. 反比例函数的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是__________． 8. 中，弦的长恰等于半径，则弦对圆心角是________度． 9. 点是线段的黄金分割点，，则______． 10. 关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_______． 11. 已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 12. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降到128元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得_______________． 13. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流从6A增加到10A时，电阻小了______． 14. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5 cm，BC＝12 cm，则Rt△ABC其外接圆半径为________cm． 15. 如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面宽，则水深是___________． 16. 如图，是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点，若C为劣弧的中点，，则的最小值是__________． 三、解答题（本大题共8小题，共68分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2） （3） 18. 如图，在中，于于E，求证：． 19. 已知关于x的方程(x－m)2－(x－m)＝0． （1）求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根互为倒数，求m的值． 20. 已知一根铁丝的长度为． （1）将它围成一个面积为的矩形，求矩形的长与宽； （2）这根铁丝能围成面积为的矩形吗？通过计算说明理由． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出：当时，的取值范围是_________； （3）过点作直线，交反比例函数图象于点C，连结，则的面积为_________． 22. 如图，已知． （1）尺规作图：作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若的半径为10，点到BC的距离为6，求BC的长． 23. 某种进价为40元的服装，售价为84元时，平均每天可以销售20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件．若每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ 24. 阅读理解： 材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”. 材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为，，则有，． 问题解决： （1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ； （2）若，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”； （3）若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年第一学期南京浦口实验学校学情调研 九年级数学（10月） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、不是整式方程，不符合题意； C、未说明，不一定是二次方程，不符合题意； D、含两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 2. 用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是（　　） A. （x﹣1）2=4 B. （x+1）2=4 C. （x﹣1）2=16 D. （x+1）2=16 【答案】A 【解析】 【详解】移项，得：x2－2x＝3，配方，得：x2－2x＋1＝3＋1，即(x－1)2＝4. 3. 如图，已知A为反比例函数（<0）的图像上一点，过点A作AB⊥轴，垂足为B.若△OAB的面积为2，则k的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 4 D. -4 【答案】D 【解析】 【分析】设A点坐标为(m，n)，则有AB=-m，OB=n，继而根据三角形的面积公式以及反比例函数图象上点的坐标特征即可求得答案. 【详解】设A点坐标为(m，n)，则有AB=-m，OB=n， ∵S△ABO==2， ∴， ∴mn=-4， 又∵点A在反比例函数(<0)的图象上， ∴n=， ∴k=mn=-4， 故选D. 【点睛】本题考查了反比例函数(k≠0)图象上点的坐标特征以及k的几何意义，熟练掌握相关内容是解题的关键. 4. 已知双曲线过点(3，)、(1，)、(-2，)，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵ ∴当x＞0时，y随x的增大，且y＜0；当x＜0时，y随x的增大，且y＞0； ∵0＜1＜3，-2＜0 ∴y2＜y1＜0，y3＞0 ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的增减性，掌握数形结合思想成为解答本题的关键． 5. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外心，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；根据三角形的外心可分别作出线段的垂直平分线，它们的交点即为三角形的外心，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：的外心坐标是； 故选B． 6. 如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出反比例函数解析式，设出点C坐标，得到点B纵坐标，利用相似三角形性质，用表示求出OA，再利用平行四边形的面积是构造方程求即可． 【详解】解：如图，分别过点D、B作DE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F，延长BC交y轴于点H ∵四边形是平行四边形 ∴易得CH=AF ∵点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点 ∴ 即反比例函数解析式为 ∴设点C坐标为 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，点B坐标为 ∵平行四边形的面积是 ∴ 解得（舍去） ∴点B坐标为 故应选：B 【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合问题，涉及到相似三角形的性质、反比例函数的性质，解答关键是根据题意构造方程求解． 二、填空题（每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上．） 7. 反比例函数的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，当图象在每一象限内y随x增大而增大时，比例系数小于0，据此列出不等式求解k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一象限内，随的增大而增大， ∴， 解得． 8. 中，弦的长恰等于半径，则弦对圆心角是________度． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，以及等边三角形的判定和性质． 先画图，由等边三角形的判定和性质求得弦所对的圆心角． 【详解】解：如图，， 为等边三角形， ， 故答案为：60． 9. 点是线段的黄金分割点，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，由于点C是线段的黄金分割点，根据黄金分割的定义得到，然后把代入计算即可． 【详解】解：点C是线段的黄金分割点， ， ， 故答案为： 10. 关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_______． 【答案】k＜2且k≠1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k－1≠0且∆=（－2）2－4（k－1）＞0， 解得：k＜2且k≠1． 故答案为：k＜2且k≠1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式＝b2﹣4ac：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当＝0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根． 11. 已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，得到a、b的值为1，，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ∴a、b的值为1，， ∴， 故答案为：． 12. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降到128元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得_______________． 【答案】168（1﹣x）2=128 【解析】 【详解】试题分析：由题意可得方程为168（1-x）2=128； 考点：一元二次方程的应用 13. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流从6A增加到10A时，电阻小了______． 【答案】2.4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意得到反比例函数解析式是解题的关键. 根据题意，由待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质进行计算即可得到答案． 【详解】解：设， 把代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， 当电流I从增加到时，电阻R减小了 故答案为2.4． 14. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5 cm，BC＝12 cm，则Rt△ABC其外接圆半径为________cm． 【答案】6.5． 【解析】 【分析】根据直角三角形的外接圆直径就是直角三角形的斜边长,所以根据勾股定理只要得到斜边长度即可得出外接圆半径 【详解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，∴AB=， ∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴AB是其外接圆的直径，∴其外接圆半径为：AB=6.5． 故答案为6.5． 【点睛】本题考查了三角形外接圆的有关知识，对于三角形的外接圆,要熟练掌握以下结论: (1)锐角三角形的外接圆圆心在三角形内部; (2)直角三角形的外接圆圆心在斜边的中点处; (3)钝角三角形的外接圆圆心在三角形外部. 15. 如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面宽，则水深是___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接 ，先由垂径定理可得 长，再由勾股定理得 长，从而求出 长． 【详解】解：如图，连接， 则 ， ， 在 中， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 16. 如图，是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点，若C为劣弧的中点，，则的最小值是__________． 【答案】18 【解析】 【分析】由垂径定理和弧的中点性质推出，利用轴对称的性质将的最小值转化为两点间的距离，计算即可得出结果． 【详解】解：∵是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点， ∴，， ∵C为劣弧的中点， ∴， ∴， 如图，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点作于，延长交于点，连接， ∴，， ∴点与点关于对称， ∴， ∴， ∴点、、三点共线， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴、、三点共线时，有最小值，的最小值为点与点重合时，即最小值为， 即为的中点，时，的最小值为． 三、解答题（本大题共8小题，共68分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2） （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得，． 18. 如图，在中，于于E，求证：． 【答案】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相等的弧对的圆心角相等，全等三角形的判定与性质；由相等的弧对的圆心角相等，得，进而可证明，即可证明结论． 【详解】略 19. 已知关于x的方程(x－m)2－(x－m)＝0． （1）求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根互为倒数，求m的值． 【答案】（1）证明：整理原方程，得x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0. ∵b2－4ac＝4m2＋4m＋1－4m2－4m＝1＞0， ∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）m1＝，m2＝． 【解析】 【分析】（1）整理方程，由根的判别式列式求解即可；（2）整理方程，由根与系数关系求解即可． 【详解】（1） 略 （2）解：∵方程x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0的两个根互为倒数， ∴x1x2＝1，即x1x2=m2＋m=1 解得m1＝，m2＝． 【点睛】本题考查了根的判别式与一元二次方程根的情况的关系，根与系数的关系，利用这些关系列出对应式子求解是解决本题的关键． 20. 已知一根铁丝的长度为． （1）将它围成一个面积为的矩形，求矩形的长与宽； （2）这根铁丝能围成面积为的矩形吗？通过计算说明理由． 【答案】（1）与宽 （2）不能围成面积为的矩形， 理由如下： 设矩形的长为，则宽为，根据题意得： ， 即， 因为， 所以原方程无解， 即不能围成面积为的矩形． 【解析】 【分析】（1）设矩形的长为，则宽为，根据矩形公式，列出方程，即可求解； （2）设矩形的长为，则宽为，根据矩形公式，列出方程，利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【小问1详解】 解：设矩形的长为，则宽为，根据题意得： ， 即， 解得：， 所以或4， 答：矩形的长与宽； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出：当时，的取值范围是_________； （3）过点作直线，交反比例函数图象于点C，连结，则的面积为_________． 【答案】（1）； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）根据函数图象即可求解； （）如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，求出点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点坐标，根据计算即可求解； 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数表达式为， 把代入得，， ∴， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：由图象可得，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象下方； ∴当时，的取值范围为或； 【小问3详解】 解：如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点， 当时，， ∴， ∴， ∵点关于原点对称， ∴， ∴，， ∴ ， 即的面积为． 22. 如图，已知． （1）尺规作图：作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若的半径为10，点到BC的距离为6，求BC的长． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）16 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，垂径定理，勾股定理三角形的外接圆与外心等知识， （1）作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心，然后以点O为圆心，以为半径画圆即可； （2）作于利用勾股定理求出，再利用垂径定理可得，求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于． 在中，，， ， ， ， ． 23. 某种进价为40元的服装，售价为84元时，平均每天可以销售20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件．若每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ 【答案】每件应降价4元 【解析】 【分析】设每件降价x元，根据“每天要盈利1600元”列出方程，求解即可． 【详解】解：设每件降价x元，根据题意，得 ， 解得，（不合题意，舍去） 答：每件应降价4元． 24. 阅读理解： 材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”. 材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为，，则有，． 问题解决： （1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ； （2）若，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”； （3）若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值． 【答案】（1），2，3（答案不唯一）； （2）证明：∵，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根， ∴，， ∴， ∵是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解， ∴，∴， ∴=， ∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”； （3）m=﹣4或﹣2或2． 【解析】 【分析】（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，然后再求出，只要满足=即可； （3）先求出三点的纵坐标y1，y2，y3，然后由“和谐三数组”可得y1，y2，y3之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果． 【详解】解：（1）∵， ∴，2，3是“和谐三数组”； 故答案为：，2，3（答案不唯一）； （2） 略 （3）∵A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”， ∴或或， 即或或， 解得：m=﹣4或﹣2或2． 【点睛】本题是新定义试题，主要考查了一元二次方程根与系数的关系、反比例函数图象上点的坐标特征和对新知“和谐三数组”的理解与运用，正确理解题意、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系与反比例函数的图象与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $