精品解析：甘肃兰州西北中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷

兰州西北中学2026－2027学年度第一学期月考高一数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 下列命题中正确的是（ ） A. 与表示同一个集合 B. 集合和表示同一个集合 C. 由组成的集合可表示为 D. 接近于的所有实数可以构成集合 2. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 3. 命题，的否定是 A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若R，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 设集合，集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若是实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列关系正确的是（ ） A. ∈R B. 2⊆Q C. D. N⊆Z 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若正实数，满足，则 B. 若，则的最小值为3 C. 若正实数，满足，则的最大值为 D. 若正数，满足，且，则，均为定值 11. 定义：如果关于的一元二次方程有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“和谐方程”．下列命题正确的是（ ） A. 方程是“和谐方程” B. 若关于的方程是“和谐方程”，则 C. 若关于的方程是“和谐方程”，方程的根为和 D. 若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是“和谐方程” 三、填空题 12. 若集合中只有一个元素，则______． 13. 为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有2人三项工作都参加了．这支测绘队有____________人. 14. 若关于x的不等式ax－b>0的解集为(－∞，1)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)>0的解集为________． 四、解答题 15. 已知集合或，， （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 16. 解下列问题： （1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，求函数的最大值； （3）若正数，满足，求的最小值． 17. 已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． （1）求实数的取值范围； （2）命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 18. 如图，矩形的对角线经过矩形的顶点，且． （1）设，矩形的面积为，请写出关于的关系式，并说明理由； （2）求矩形面积的最小值． 19. 已知关于的不等式 的解集为． （1）求实数，的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州西北中学2026－2027学年度第一学期月考高一数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 下列命题中正确的是（ ） A. 与表示同一个集合 B. 集合和表示同一个集合 C. 由组成的集合可表示为 D. 接近于的所有实数可以构成集合 【答案】C 【解析】 【分析】选项A. 是不含有任何元素的集合，中的元素为，故这两个集合不表示同一个集合；选项B. 集合中的元素是两个数，中的元素是一个点，故这两个集合不表示同一个集合；选项C.求出的解，从而得到方程的解组成的集合；选项D.根据集合的确定性判断. 【详解】选项A. 是不含有任何元素的集合，中的元素为，故这两个集合不表示同一个集合，故选项A错误； 选项B. 集合中的元素是两个数，中的元素是一个点，故这两个集合不表示同一个集合，故选项B错误； 选项C.的解或，则此方程的解组成的集合可表示为，故选项C正确； 选项D. 接近于的所有实数，不具有确定性，故不可以构成集合. 故选：C. 2. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义求出，再结合集合子集个数的结论即可求解． 【详解】因为，，所以，所以的子集个数为． 故选：B． 3. 命题，的否定是 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为特称命题“∃x∈M，￢p（x）”． 【详解】命题，的否定是，． 故选D． 【点睛】本题考查全称命题的否定形式,注意要否定结论. 4. 若R，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】A.，不成立；B.作差法判断结论；C. ，可得到；D．时，不成立. 【详解】对于A，当时，不成立，A错误 对于B，，， ， ，，即，B正确 对于C，，所以若，则，C错误 对于D，当时，，D错误 故选：B 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 6. 设集合，集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】若，则，解得， 因此当时，的取值范围为 7. 若是实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】等价于或. ，必要性成立； 推不出，例如，满足，不满足，故充分性不成立. 故“”是“”的必要不充分条件 8. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 二、多选题 9. 下列关系正确的是（ ） A. ∈R B. 2⊆Q C. D. N⊆Z 【答案】ACD 【解析】 【详解】是实数，所以∈R，A项正确； 元素和集合的关系不能用⊆表示，B项错误； 空集是任何集合的子集，C项正确； 自然数都是整数，所以自然数集是整数集的子集，D项正确. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若正实数，满足，则 B. 若，则的最小值为3 C. 若正实数，满足，则的最大值为 D. 若正数，满足，且，则，均为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】使用基本不等式求解. 【详解】由得，当且仅当时取等号，选项A正确； 令，，则，当且仅当， 即时取等号，因为，故的最小值不是3，选项B错误； 由，得，则， 当时，取最大值为，选项C正确； 因为正数，满足，则， 当且仅当，即①时取等号， 因为，所以，即， 又因为，所以②， 由①②得，，即，均为定值，选项D正确. 11. 定义：如果关于的一元二次方程有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“和谐方程”．下列命题正确的是（ ） A. 方程是“和谐方程” B. 若关于的方程是“和谐方程”，则 C. 若关于的方程是“和谐方程”，方程的根为和 D. 若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是“和谐方程” 【答案】AD 【解析】 【分析】根据“和谐方程”的定义，逐一分析选项. 【详解】对于A．，解得，所以是“和谐方程”，A正确； 对于B，若关于的方程是“和谐方程”， 不妨设实数解为，且，则， 解得，B错误； 对于C，若关于的方程是“和谐方程”， 不妨设实数解为，且，则，解得， 由，得， 则， 令，解得或，C错误； 对于D，点在反比例函数的图象上，则， 代入方程， 可得，解得，， 则，所以方程是“和谐方程”，D正确． 故选：AD． 三、填空题 12. 若集合中只有一个元素，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为方程有两个相等实根，利用构造方程求得结果. 【详解】中只有一个元素 有两个相等实根 ，解得： 本题正确结果： 【点睛】本题考查根据集合中元素的个数求解参数值的问题，关键是能够将问题转化为一元二次方程实根个数的问题，利用判别式来进行求解. 13. 为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有2人三项工作都参加了．这支测绘队有____________人. 【答案】 44 【解析】 【分析】利用三集合容斥原理的计数公式，代入已知的各集合元素个数、两两交集元素个数、三者交集元素个数，即可计算得到总人数. 【详解】设集合，，， 根据三集合容斥原理，测绘队总人数为三个集合的并集的元素个数， 对应公式为：   由题意得：，，，，，，， 代入公式计算：   因此这支测绘队共有44人. 14. 若关于x的不等式ax－b>0的解集为(－∞，1)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)>0的解集为________． 【答案】(－1,2) 【解析】 【详解】由题意可得a＝b<0，故(ax＋b)(x－2)>0等价于(x＋1)(x－2)<0，解得－1<x<2，故所求不等式的解集为(－1,2)． 四、解答题 15. 已知集合或，， （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 代入求出集合，先求在全集下的补集，再与集合取交集得到结果； (2) 由转化为，分和两类讨论，列出对应不等式组求解的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 或 或或（也可写为） 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，解得； 当时，或解得或 所以实数的范围是. 16. 解下列问题： （1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，求函数的最大值； （3）若正数，满足，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式可得，进而求得的最大值． （2）先将函数解析式整理成基本不等式的形式，然后利用基本不等式求得函数的最大值. （3）将方程变形为代入可得，然后利用基本不等式求解． 【小问1详解】 因为，，所以 解得，当且仅当，即时取等号， 故的最大值为； 【小问2详解】 因为，则，， 故 ， 当且仅当，即时取等号，故函数的最大值为． 【小问3详解】 由，且，可得， 所以， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为； 17. 已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． （1）求实数的取值范围； （2）命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【小问1详解】 因为命题为真命题，所以，解得 所以实数的取值范围是． 【小问2详解】 令，， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，解得， 综上所述，存在符合条件的实数，且实数的取值范围是． 18. 如图，矩形的对角线经过矩形的顶点，且． （1）设，矩形的面积为，请写出关于的关系式，并说明理由； （2）求矩形面积的最小值． 【答案】（1），理由如下： 方法一：根据相似的性质可得， 所以，解得， 所以. 方法二：根据相似的性质可得，则，得， 所以. （2）240 【解析】 【分析】（1）方法一：根据相似的性质可得，由此可求，结合矩形面积公式求， 方法二：根据相似的性质可得，由此可求，结合矩形面积公式求， （2）由（1）可得，利用基本不等式求其最小值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，当且仅当，即时，等号成立， 故矩形面积的最小值为240. 19. 已知关于的不等式 的解集为． （1）求实数，的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据和2是方程的两根，利用韦达定理可求的值. （2）对的取值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式解不等式. （3）问题转化为，恒成立，再求，的最大值即可. 【小问1详解】 由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. 【小问2详解】 因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. 【小问3详解】 因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得. 即所求的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $