精品解析：甘肃省甘谷第一中学2026-2027学年第一学期高一第一次月考数学试题

甘谷一中2026-2027学年第一学期高一级第一次月考试题 数学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，，则 A. {5，7} B. {2，4} C. {2，4，8} D. {1，3，5，6，7} 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为,所以，故选C. 考点：1.集合的交集与补集. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】运用充分条件和必要条件知识判断即可. 【详解】由,令，则，即得不到； 反之，，取，得不到. 则“”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 3. 已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用集合元素的互异性和集合间的包含关系，列出方程，即可求解. 【详解】由集合，可得，即，解得且， 因为且， 当时，显然不符合题意，舍去； 当时，解得或（舍去）， 综上可得，实数的取值集合为. 4. 在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（ ） A. 四边形是矩形 B. 四边形的对角线互相平分 C. 四边形四条边相等 D. 四边形的对角线垂直 【答案】B 【解析】 【分析】由必要条件的概念逐个判断即可. 【详解】对于A：四边形是矩形是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于C：四边形四条边相等即为菱形，是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于D:由“四边形是平行四边形”得不到四边形的对角线垂直，故四边形的对角线垂直不是“四边形是平行四边形”的必要条件，错误； 对于B：若四边形是平行四边形，则四边形的对角线互相平分，即“四边形的对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的必要条件. 故选：B． 5. 已知集合，，则（ ） A. -1 B. -3或1 C. 3 D. -3 【答案】D 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系求出的值，验证集合元素互异性即得. 【详解】由可得或. ① 当时，解得或， 若，则，与集合元素互异性矛盾， 若，则，此时，符合题意，故； ②当时，，由上分析可知不合题意. 故. 故选：D. 6. 若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围（ ） A. {或} B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定，解不等式即可求出. 【详解】根据题意可知“，使得”为真命题， 则，即， 解之得{或}，即A正确. 故选：A 7. 年月日，迎来了香港回归祖国周年，为了迎接这一历史性时刻，某商店购进一批香港回归周年纪念章，每枚的最低售价为元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出枚，每枚售价每提高元，日销售量将减少枚，为了使这批纪念章每天获得元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得出关于的不等式，再结合可得出的取值范围. 【详解】由题意，得，即,解得． 又每枚的最低售价为元，． 故选：B． 8. 下列不等式中正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式成立的条件和性质进行逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 当时，根据基本不等式的性质可得，当且仅当时取得等号， 而当时，不等式不成立，所以A错误； 对于选项B： ，因为，. 所以，即，所以B错误； 对于选项C： 当时，根据基本不等式的性质可得，当时取等号， 而当或或时，不等式不成立，所以C错误； 对于选项D： ， 当且仅当时，即时等号成立，所以D正确. 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A，因为，所以. 选项B，若，，满足，但不满足. 选项C，因为，所以，则，所以. 选项D，若，，不满足. 10. 已知关于x的不等式的解集为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二次不等式解集可知，且方程的两根分别为2，3，结合韦达定理可得之间的等量关系，分别代入各个选项即可得出结果. 【详解】解：因为的解集为， 所以，且方程的两根分别为2，3， 由韦达定理可知：，结合， 解得，所以， 所以选项A、B正确； 因为，所以选项C正确； 因为，所以选项D错误. 故选：ABC 11. 设，，，则（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最小值为 D. 最大值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】已知，故. 对选项A： ∵ ，∴ ，代入得： , 该式为关于的二次函数，开口向上，对称轴为，且, ∴ 当时，取最小值，代入得，故A正确. 对选项B： . ∵ ，∴ ， 当且仅当即，即时等号成立, 故最小值为，B正确. 对选项C： 由基本不等式得, 代入得，整理得，当且仅当，即时等号成立， 即存在最大值，当时，，无最小值，故C错误. 对选项D： 令，，两边平方得： , 由C得 ，代入得, ∴ ，当且仅当时等号成立，代入解得，满足取值范围， 故最大值为，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据并集的定义即可得解. 【详解】因为，，， 所以. 故答案为：. 13. 设全集，集合，集合，则如图阴影部分表示的集合为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据交集和补集的概念求出即可. 【详解】因，，则， 又，则， 故如图阴影部分表示的集合为. 故答案为： 14. 已知实数，满足关系：，.则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法把用与表示，再由不等式的性质得答案. 【详解】设， 则，解得，， ， 由，， 得，， 所以，即， 的取值范围为， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 若，，，求证：. 【答案】 证明：因为，所以， 又因为， 所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得， 所以， 所以， 因为，， 所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得. 又，所以， 所以 由不等式的同号可乘性可得. 【解析】 【分析】因为，所以，又，先得出，再得出，由不等式的同号可乘性即可证明. 【详解】略 16. 已知集合，且． （1）求，； （2）若集合和集合没有公共元素，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合，利用并集和交集的定义可求得集合，； （2）求出集合，由题意可得，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【小问1详解】 因为集合且，， 则，. 【小问2详解】 集合， 由题意可得，得，解得， 因此，实数的取值范围是. 17. “水立方”是2008年北京奥运会标志性建筑之一，如图为水立方平面设计图，已知水立方地下部分为钢筋混凝土结构，该结构是大小相同的左右两个矩形框架，这框架面积之和为，现地上部分要建在矩形上，已知两框架与矩形空白的宽度为，两框架之间的中缝空白的宽度为. （1）设矩形框架宽度为，求水立方占地面积的表达式（不用写出的取值范围）； （2）怎样确定矩形框架的高与宽的尺寸（单位：），使水立方占地面积最小，最小值是多少（单位：）？ 【答案】（1） （2）当矩形框架的长为，宽为时，水立方占地面积最小，为. 【解析】 【分析】（1）分别表达矩形的长宽，进而可得面积； （2）根据基本不等式求解即可. 【小问1详解】 框架面积之和为，则每个矩形框架面积为， 矩形框架宽度为，则长度为， 故水立方宽为，长为， 则. 【小问2详解】 ， 当且仅当，等号成立，此时长， 故当矩形框架的长为，宽为时，水立方占地面积最小，为. 18. 已知集合，集合 （1）若，求实数m的取值范围. （2）若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)讨论两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围； (2)由是成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围. 【小问1详解】 ①若，此时，即，此时，满足题意； ②若，此时，即，若，则满足或， 又因为，得. 综上，实数m的取值范围为. 【小问2详解】 p是q的充分不必要条件，是的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得. 19. 已知是关于的方程的两个实数根． （1）若，求的值； （2）若，求的最小值； （3）若，是两个不相等的正数，求实数的取值范围． 【答案】（1）－1． （2）3． （3）． 【解析】 【分析】（1）利用韦达定理进行求解； （2）先求出，再由基本不等式求解； （3）由进行求解． 【小问1详解】 由，可得， 因为， 所以， 解得或－7（舍去），故的值为－1． 【小问2详解】 当时，， 所以， 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3． 【小问3详解】 因为是两个不相等的正数，所以 解得，所以或， 所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘谷一中2026-2027学年第一学期高一级第一次月考试题 数学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，，则 A. {5，7} B. {2，4} C. {2，4，8} D. {1，3，5，6，7} 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（ ） A. 四边形是矩形 B. 四边形的对角线互相平分 C. 四边形四条边相等 D. 四边形的对角线垂直 5. 已知集合，，则（ ） A. -1 B. -3或1 C. 3 D. -3 6. 若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围（ ） A. {或} B. C. D. 7. 年月日，迎来了香港回归祖国周年，为了迎接这一历史性时刻，某商店购进一批香港回归周年纪念章，每枚的最低售价为元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出枚，每枚售价每提高元，日销售量将减少枚，为了使这批纪念章每天获得元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 下列不等式中正确的是（     ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的不等式的解集为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 设，，，则（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最小值为 D. 最大值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是______. 13. 设全集，集合，集合，则如图阴影部分表示的集合为__________. 14. 已知实数，满足关系：，.则的取值范围是__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 若，，，求证：. 16. 已知集合，且． （1）求，； （2）若集合和集合没有公共元素，求实数的取值范围． 17. “水立方”是2008年北京奥运会标志性建筑之一，如图为水立方平面设计图，已知水立方地下部分为钢筋混凝土结构，该结构是大小相同的左右两个矩形框架，这框架面积之和为，现地上部分要建在矩形上，已知两框架与矩形空白的宽度为，两框架之间的中缝空白的宽度为. （1）设矩形框架宽度为，求水立方占地面积的表达式（不用写出的取值范围）； （2）怎样确定矩形框架的高与宽的尺寸（单位：），使水立方占地面积最小，最小值是多少（单位：）？ 18. 已知集合，集合 （1）若，求实数m的取值范围. （2）若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 19. 已知是关于的方程的两个实数根． （1）若，求的值； （2）若，求的最小值； （3）若，是两个不相等的正数，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $