5.3.2 事件之间的关系与运算知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

5.3.2 事件之间的关系与运算　知识清单 人教B版（2019）　必修第二册　第五章 事件之间的关系与运算，说到底就是集合之间的关系与运算 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习目标 ① 理解事件之间的包含关系与相等关系，会用 A ⊆ B、A = B 表示，知道 P(A) 与 P(B) 的大小关系； ② 掌握和事件（并事件）与积事件（交事件）的定义和符号，会判断 A + B、AB 各表示什么事件； ③ 理解互斥事件与对立事件的定义，会区分「互斥」与「对立」； ④ 会用互斥事件的概率加法公式与对立事件的概率和求简单的概率。 重点 各种关系的定义与符号表示；互斥事件与对立事件的区分。 难点 用集合的观点理解事件的关系与运算；把自然语言描述的事件准确翻译成符号语言。 二、从集合到事件：一个情境，五个事件 上一节留下过一句话：事件是样本空间的子集。既然是子集，事件之间的关系与运算，就可以照集合的那一套来研究。本节先用教材里的一个情境把这件事落到实处。 某班数学建模课分成 5 个小组，编号为 1、2、3、4、5，课堂上教师随机选择一个小组的成果进行展示。这个试验的样本空间可以记为 Ω = {1, 2, 3, 4, 5}，其中 1、2、3、4、5 表示小组的编号。现在从中取出五个事件，先看清楚它们各自表示什么。 事件 集合表示 自然语言 E {1} 选中第 1 组 F {1, 2} 选中第 1 组或第 2 组 G {1, 3} 选中第 1 组或第 3 组 H {1, 2, 3} 选中第 1、2、3 组中的某一组 I {4, 5} 选中第 4 组或第 5 组 盯着这张表看一会儿，至少能看出三件事：E 发生了，F 一定发生（选中 1 组，当然算选中 1 组或 2 组）；E 发生了，G 也一定发生；F、G 都发生了，H 一定发生。反过来，H 与 I 不能同时发生——选中了 1、2、3 组中的某一组，就不可能同时选中 4 组或 5 组；而且每一次展示，H 与 I 中总有一个发生。 把这三件事用集合的语言说，就是：E 是 F 的子集，F 是 H 的子集；H 与 I 没有公共元素，且两者合起来正好是 Ω。集合里的「子集」「没有公共元素」「合起来是全集」，翻译成事件的语言，依次叫作包含、互斥、对立。这一节要做的，就是把这类翻译一条一条学会。 图 1　教材情境中五个事件的关系：箭头表示包含，H 与 I 互斥且互为对立 三、包含关系：A 发生，B 一定发生 一般地，如果事件 A 发生时，事件 B 一定发生，则称「A 包含于 B」（或「B 包含 A」），记作 （或 ） 包含关系是有方向的：A ⊆ B 说的是「A 发生则 B 一定发生」，反过来 B 发生时段 A 未必发生。 符号 ⊆ 读作「包含于」。A ⊆ B 与 B ⊆ A 是两回事，只有当两者同时成立时，两个事件才相等（见下一节）。 这一个定义，可以从五个角度去理解，每个角度都是一条可用的判断依据。 理解角度 A ⊆ B 的含义 从事件发生的角度看 A 发生，B 一定发生 从样本点的角度看 A 的每一个样本点，都是 B 的样本点 从集合的角度看 A 是 B 的子集 从韦恩图的角度看 表示 A 的图形，整个落在表示 B 的图形的内部 从概率的角度看 A 发生的可能性不大于 B，即 图 2　包含关系与相等关系：左图 A 整个落在 B 内，右图两个椭圆完全重合 看一个例子。掷一枚骰子，记 A = {出现的点数为 2}，B = {出现的点数为偶数}，则 A = {2}，B = {2, 4, 6}。掷出 2 点时，点数当然是偶数，所以 A 发生则 B 一定发生，A ⊆ B 成立；同时 。但 B 发生时段 A 未必发生——掷出 4 点或 6 点也算 B 发生，此时 A 并不发生，所以 B ⊆ A 不成立。 再看一个反例。记 C = {出现的点数小于 3} = {1, 2}，D = {出现的点数为偶数} = {2, 4, 6}。C 发生（掷出 1 点或 2 点）时段 D 未必发生（掷出 1 点时 D 不发生），D 发生时段 C 也未必发生（掷出 4 点或 6 点时 C 不发生），两者互不包含。 判断 A ⊆ B 有一个最省事的办法：把两个事件的样本点都写出来，逐个看 A 的样本点是不是都在 B 里。全都在，就包含；有一个不在，就不包含。样本空间不大时，这个笨办法比任何口诀都可靠。 四、相等关系：互相包含 如果事件 A 发生时，事件 B 一定发生；而且事件 B 发生时，事件 A 也一定发生，则称「A 与 B 相等」，记作 A = B。这句话说白了就是「互相包含」： 的意思是 而且 。 相等关系的三种等价说法： ① A 发生则 B 一定发生，且 B 发生则 A 也一定发生； ② A ⊆ B 且 B ⊆ A； ③ A 与 B 含有完全相同的样本点。 既然样本点完全相同，两个事件的概率也相同：A = B 时 P(A) = P(B)。 相等不是「差不多」。两个事件只要样本点有一点差别，哪怕只差一个样本点，也不相等。反过来说，写法不同不要紧，样本点相同就是相等。比如「出现的点数是 2 的倍数」与「出现的点数能被 2 整除」，说法不一样，写出来都是 {2, 4, 6}，这两个事件相等。 五、和事件（并事件）：至少有一个发生 给定事件 A、B，由所有 A 中的样本点与 B 中的样本点组成的事件，称为 A 与 B 的和事件（或并事件），记作 A + B（或 A ∪ B）。所谓「由所有 A 中的样本点与 B 中的样本点组成」，就是两类样本点合到一起，重复的只算一次。 反映到发生与否上：A + B 发生，就是 A 与 B 中至少有一个发生。具体分开有三种情况——A 发生且 B 不发生；A 不发生且 B 发生；A 与 B 同时发生。 图 3　和事件与积事件：左图涂色部分是 A + B（至少一个发生），右图涂色部分是 AB（同时发生） 回到第二节的情境验证一下：F = {1, 2}，G = {1, 3}，两者的样本点合到一起是 {1, 2, 3}，正好是 H，所以 H = F + G。样本点 1 同时属于 F 和 G，合起来时只写一遍。 和事件的概率有三个大小关系，都可以从韦恩图上看出来： ，，。 前两条好理解：A + B 比 A 多出一块（B 有而 A 没有的部分），可能性只增不减。 第三条要小心：A 与 B 公共的那块样本点，在 A 中数过一遍、在 B 中又数过一遍，直接相加就重复了。所以 P(A) + P(B) 往往比 P(A + B) 大，多出来的正是公共部分的那一份。 什么时候刚好相等？下一节「互斥」给出答案。 六、积事件（交事件）：两个都发生 给定事件 A、B，由 A 与 B 中的公共样本点组成的事件，称为 A 与 B 的积事件（或交事件），记作 AB（或 A ∩ B）。反映到发生与否上：AB 发生，就是 A 与 B 同时发生。 同样回到第二节的情境：F = {1, 2}，G = {1, 3}，公共样本点只有 1，所以 FG = {1}，正是 E，即 E = FG。 积事件的概率只会更小：公共部分绝不会比任何一方大。 ，。 「同时发生」不等于「经常发生」。两个概率都不小的事件，积事件的概率可能很小——公共样本点本来就少。 还有一种极端情形：A 与 B 没有公共样本点，此时 AB = ∅，是一个不可能事件。这种情形太有用了，值得单起一节。 七、互斥事件：不能同时发生 给定事件 A、B，若事件 A 与 B 不能同时发生，则称 A 与 B 互斥（也叫互不相容），记作 AB = ∅（或 A ∩ B = ∅）。从集合的角度看，互斥就是两个事件没有公共样本点。 图 4　互斥事件与对立事件：左图两个椭圆分离，没有公共部分；右图两块拼满整个 Ω 有两个现成的结论，记下来能省不少事： ① 任意两个基本事件都互斥——基本事件只含一个样本点，不同的基本事件样本点不同，自然没有公共部分； ② 空集 ∅ 与任意事件互斥——∅ 不含任何样本点，谈不上公共部分。 在第二节的情境里，与 I = {4, 5} 互斥的事件一大批：E = {1}、F = {1, 2}、G = {1, 3}、H = {1, 2, 3}，它们都不含 4、5，与 I 没有公共样本点，都互斥。但其中只有 H 与 I 还额外满足「合起来是 Ω」，这个差别正是下一节要讲的「对立」。 判断互斥，只看一件事：能不能同时发生。与两个事件各自的概率大小、样本点个数都没有关系。 八、互斥事件的概率加法公式 互斥为什么值得单起一节？因为它让概率的计算变简单。A 与 B 互斥时，公共部分为空，上一节说的「重复计数」就不存在了，和事件的概率刚好等于两个概率直接相加： 。 这条式子称为互斥事件的概率加法公式。它还可以推广到多个事件：如果 、、…、 是两两互斥的事件，那么 P( + + … + ) = P() + P() + … + P()。 注意「两两互斥」四个字：拿出其中任意两个，都不能同时发生。只说「所有事件不能一起发生」是不够的。 例 1　已知某次数学考试中，李明成绩高于 90 分的概率为 0.3，不低于 60 分且不高于 90 分的概率为 0.5。求：（1）李明成绩不低于 60 分的概率；（2）李明成绩低于 60 分的概率。 解：记事件 A 为「成绩高于 90 分」，事件 B 为「不低于 60 分且不高于 90 分」。一次考试的成绩不可能既高于 90 分、又落在 60 分到 90 分之间，所以 A 与 B 互斥，且 P(A) = 0.3，P(B) = 0.5。 （1）「成绩不低于 60 分」就是「高于 90 分」与「60 分到 90 分之间」两者至少有一个发生，即 A + B。由互斥事件的概率加法公式， 。 （2）「成绩低于 60 分」与「成绩不低于 60 分」是互为对立的两个事件，概率之和为 1（下一节正式学习），所以所求概率为 1 − 0.8 = 0.2。 这个例子先用互斥求出「不低于 60 分」的概率，再用对立求出「低于 60 分」的概率，两条路都走通了。用公式之前先验证互斥，这一步不能省。 九、对立事件：有且仅有一个发生 给定样本空间 Ω 与事件 A，由 Ω 中所有不属于 A 的样本点组成的事件，称为 A 的对立事件，记作 。A 与 称作相互对立。从集合的观点看， 是 A 在 Ω 中的补集。 由定义直接得到两个关系： ，。 翻译成大白话：每次试验，A 与 中有一个发生，而且只有一个发生。这正是「对立」这个名字的由来——两件事对立到必须有一个发生，但又绝不可同时发生。 概率上，因为 A ∪ = Ω 是必然事件，P(Ω) = 1，于是 。 这条式子极常用：知道一方的概率，另一方立刻就有。求 也有笨办法——在 Ω 中把 A 的样本点统统划掉，剩下的全部样本点就是 。 例：掷一枚骰子，A = {出现的点数为奇数} = {1, 3, 5}，那么 就是 Ω 中除 1、3、5 之外的全部样本点，即 {2, 4, 6}，恰好是「出现的点数为偶数」。 一个事件的对立事件只有一个，记法固定为 。 「A 的对立事件是 B」与「B 的对立事件是 A」是一回事，两者互为对立。 十、互斥与对立：一字之差，两回事 这两个概念最容易混。一张表摆在一起，差别一目了然。 对比项 互斥事件 对立事件 发生情况 不能同时发生 有且仅有一个发生 符号表示 A ∩ B = ∅ A ∩ = ∅ 且 A ∪ = Ω 韦恩图 两个椭圆分离，各占一块 两块图形拼满整个 Ω，无缝也无重叠 个数 与 A 互斥的事件可以有多个 A 的对立事件只有一个，就是 概率关系 P(AB) = 0，且 P(A + B) = P(A) + P(B) P(A) + P() = 1 两者的关系可以概括成一句话：对立一定互斥，互斥不一定对立。互斥只要求「不能同时发生」，对立还额外要求「必有一个发生」——两块拼满 Ω 才叫对立。 用掷骰子说明最清楚。A = {1}，B = {3}：不能同时发生，互斥；但还可以掷出 2、4、5、6，出现两者都不发生的情形，所以不对立。A = {1}，B = {2, 3, 4, 5, 6}：不能同时发生，且每一次必有一个发生，既互斥又对立。 判断口诀：先看能不能同时发生——不能，才谈得上互斥；再看是不是一定有一个发生——一定，才是对立。两步都过，才算对立。 十一、混合运算与优先级 到此已经学了三种运算：求和（A + B）、求积（AB）、求对立（）。运算的结果仍是事件，所以可以接着往下算，组成混合运算。 例如 B + A，表示 B 与 A 的和。展开来读：B 是「A 不发生且 B 发生」，A 是「A 发生且 B 不发生」，合起来正是「A 与 B 中恰有一个发生」。 和数的混合运算一样，事件的混合运算也规定优先级：求积运算的优先级高于求和运算。所以 AB + 不必写成 (AB) + ()——积先算、和后算，不会读错。 例 2　设 A、B 为两个事件，试用 A、B 表示下列各事件：（1）A、B 两个事件中至少有一个发生；（2）A 发生且 B 不发生；（3）A、B 两个事件都不发生。 解：（1）「至少有一个发生」正是和事件，表示为 A + B。 （2）「B 不发生」是 ，再与 A 求积，表示为 A。注意不能写成 A + ——求和的意思变成「A 发生或者 B 不发生」，范围大得多。 （3）两个都不发生，就是 与 求积，表示为 。 例 3　设 A、B、C 表示三个随机事件，请将下列事件用 A、B、C 表示出来：（1）A 发生，B、C 不发生；（2）A、B 都发生，C 不发生；（3）三个事件都发生；（4）三个事件至少有一个发生；（5）三个事件都不发生；（6）不多于一个事件发生。 解：（1）A 发生，B、C 不发生：AB~。 （2）A、B 都发生，C 不发生：AB。 （3）三个事件都发生：ABC。 （4）三个事件至少有一个发生：A + B + C。 （5）三个事件都不发生：B~。 （6）不多于一个事件发生，包含「一个都不发生」「只有 A 发生」「只有 B 发生」「只有 C 发生」四种情形，即 B~ + AB~ + B + B。这一类翻译没有捷径，就是把每句话拆成「发生」「不发生」，再用积、和拼起来，逐句核对。 十二、典型例题 例 1　从 40 张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花，点数从 1 到 10 各 10 张）中任抽取 1 张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由。（1）「抽出红桃」与「抽出黑桃」；（2）「抽出红色牌」与「抽出黑色牌」；（3）「抽出牌的点数为 5 的倍数」与「抽出牌的点数大于 9」。 解：判断分两步——先看能不能同时发生（互斥），再看是不是必有一个发生（对立）。 （1）是互斥事件，不是对立事件。任意一张牌不可能既是红桃又是黑桃，两者不能同时发生，所以互斥；但抽出的牌还可能是方块或梅花，出现两者都不发生的情形，所以不是对立事件。 （2）既是互斥事件，又是对立事件。一张牌不可能既是红色又是黑色，不能同时发生；而扑克牌不是红色就是黑色，每一次抽取必有一个发生。两个条件都满足，互为对立。 （3）不是互斥事件，也不是对立事件。点数为 10 的牌既是 5 的倍数，又大于 9，「点数为 5 的倍数」与「点数大于 9」可以同时发生，连互斥都不是，更谈不上对立。 这个例题是「两步判断法」的标准演示：先查同时发生，再查必有一个发生。第（3）问还提醒我们，「大于 9」与「5 的倍数」听着不搭界，交在一起偏偏有 10。下结论之前，务必把两个事件的样本点都写出来看看。 例 2　一名射击运动员在一次射击中，射中 10 环、9 环、8 环、7 环、7 环以下的概率分别为 0.24、0.28、0.19、0.16、0.13。计算这名运动员在一次射击中：（1）射中 10 环或 9 环的概率；（2）至少射中 7 环的概率。 解：设「射中 10 环」「射中 9 环」「射中 8 环」「射中 7 环」「射中 7 环以下」分别为事件 A、B、C、D、E。一次射击的环数只能落在一档，这五个事件两两互斥，且 P(A) = 0.24，P(B) = 0.28，P(C) = 0.19，P(D) = 0.16，P(E) = 0.13。 （1）「射中 10 环或 9 环」就是 A + B。A 与 B 互斥，由互斥事件的概率加法公式， 。 （2）「至少射中 7 环」包含 10 环、9 环、8 环、7 环四档，即 A + B + C + D。这四个事件两两互斥，概率直接相加： 0.24 + 0.28 + 0.19 + 0.16 = 0.87。 还有一条更短的路。「至少射中 7 环」与「射中 7 环以下」互为对立，两者的概率之和为 1，所以所求概率也可以写成 。 两种算法结果相同。事件分成的档数越多，用对立事件越省事——「至少」「至多」一类的问题，往往拆成「正面一堆」与「反面一坨」，挑少的那边算。 例 3　某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学参加演讲比赛。判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件。（1）「恰有 1 名男生」与「恰有 2 名男生」；（2）「至少有 1 名男生」与「全是女生」；（3）「至少有 1 名男生」与「至少有 1 名女生」。 解：选出的 2 人只有三种成分：2 名男生、2 名女生、1 男 1 女。拿这三种成分去对照，立刻见分晓。 （1）是互斥事件，不是对立事件。选出的 2 人不可能既恰有 1 名男生又恰有 2 名男生；但还可能选出 2 名女生，两者都不发生，所以不对立。 （2）既是互斥事件，又是对立事件。「至少有 1 名男生」不成立时，选出的 2 人只能全是女生，两者不能同时发生，且每一次必有一个发生。 （3）不是互斥事件。选出 1 名男生和 1 名女生时，「至少有 1 名男生」与「至少有 1 名女生」同时成立，可以同时发生。 「至少」这个词在本题里出现了三次，每次都要现算：「至少有 1 名男生」覆盖「1 男 1 女」和「2 名男生」两种成分，「至少有 1 名女生」覆盖「1 男 1 女」和「2 名女生」两种成分。两句话一重叠，第（3）问就不互斥了。 例 4　掷一枚骰子，设 A = {出现的点数为偶数}，B = {出现的点数小于 4}。写出 A + B、AB 以及 A、B 各自的对立事件所含的样本点，并比较 P(AB)、P(A)、P(A + B) 的大小。 解：先把两个事件写清楚：A = {2, 4, 6}，B = {1, 2, 3}，Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}。 样本点合到一起（重复的只算一次）：A + B = {1, 2, 3, 4, 6}；取公共样本点：AB = {2}；在 Ω 中划掉 A 的样本点： = {1, 3, 5}；在 Ω 中划掉 B 的样本点： = {4, 5, 6}。 比较大小不必真去算概率。AB = {2} 是 A = {2, 4, 6} 的一部分，A 又是 A + B = {1, 2, 3, 4, 6} 的一部分，也就是 AB ⊆ A ⊆ A + B。包含关系直接给出概率的大小： 。 十三、易错警示 易错点 错在哪里 正确做法 把互斥当成对立 互斥只要求不能同时发生，对立还要求必有一个发生 先查同时发生，再查必有一个发生，两步都过才是对立 以为 A ⊆ B 时 P(A) > P(B) 方向弄反了，子集的概率不会更大 A ⊆ B 时 P(A) ≤ P(B)，用韦恩图一想就通 看到 A + B 就算 P(A) + P(B) 只有互斥时才相等，一般情形会重复计数 用公式前先验证 A ∩ B = ∅ 把「A、B 都不发生」写成 A A 只否定了 B，A 仍然发生 两个都不发生是 ，逐个加上划线 把「恰有一个发生」写成 A + B A + B 包含「两个都发生」的情形 恰有一个发生是 B + A 以为对立事件不止一个 对立事件由 Ω 唯一确定 由 Ω 唯一确定；互斥事件才可能有多个 样本空间写漏了，对立事件找错 是 Ω 减去 A，Ω 不全则 也不全 先写全 Ω，再划掉 A 的样本点 以为基本事件都不对立 对立与否要看具体样本空间 样本点只有两个时，两个基本事件恰好互为对立 十四、巩固练习 1. 用样本点的语言说明 A ⊆ B 的含义，并写出 P(A) 与 P(B) 的大小关系。 2. 掷一枚骰子，A = {2}，B = {2, 4, 6}。判断 A 与 B 是否满足包含关系，并说明理由。 3. 若 A ⊆ B 且 B ⊆ A，A 与 B 是什么关系？此时 P(A) 与 P(B) 有什么关系？ 4. 掷一枚骰子，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}。写出 A + B、AB 所含的样本点。 5. 若 P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，且 A 与 B 互斥，求 P(A + B)。 6. 若 P(A) = 0.6，求 P()。 7. 掷一枚骰子，判断下列各对事件是否互斥：（1）{1} 与 {3}；（2）{1, 2} 与 {2, 3}；（3）{2, 4, 6} 与 {1, 3, 5}。 8. 第 7 题中，哪些还互为对立事件？说明理由。 9. 从 40 张扑克牌中任取一张，「抽到红桃」与「抽到黑桃」是否互斥？是否对立？说明理由。 10. 设 A、B 为两个事件，用 A、B 表示下列事件：（1）A、B 至少有一个发生；（2）A、B 都发生；（3）A、B 恰有一个发生；（4）A、B 都不发生。 11. 设 A、B、C 为三个事件，用 A、B、C 表示：（1）A、B 发生而 C 不发生；（2）三个事件都发生；（3）三个事件至少有一个发生。 12. 一名运动员投篮一次，命中的概率为 0.8，求不命中的概率。 13. 已知 P(A) = 0.7，P(B) = 0.2，且 A 与 B 互斥。求 P(A + B) 与「A、B 都不发生」的概率。 14. 判断正误：「若 A 与 B 互斥，则 P(A) + P(B) = 1。」说明理由。 15. 若 P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，且 A 与 B 互斥，那么 P(A) + P(B) = 1.1。这件事可能吗？说明理由。 十五、参考答案 1. A 的每一个样本点都是 B 的样本点；P(A) ≤ P(B)。 2. 满足 A ⊆ B：{2} 中的样本点 2 是 {2, 4, 6} 的元素，且 A 发生（掷出 2 点）时 B 一定发生。 3. A 与 B 相等，即 A = B（互相包含，样本点完全相同）；P(A) = P(B)。 4. A + B = {1, 2, 3, 4}（样本点合到一起，重复的只算一次）；AB = {2, 3}（取公共样本点）。 5. A 与 B 互斥，P(A + B) = P(A) + P(B) = 0.4 + 0.3 = 0.7。 6. 与 A 互为对立，P() = 1 − P(A) = 1 − 0.6 = 0.4。 7. （1）互斥；（2）不互斥，公共样本点是 2；（3）互斥，两者没有公共样本点。 8. 只有（3）。{2, 4, 6} 与 {1, 3, 5} 拼起来正好是 Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，且不能同时发生，互为对立；（1）中两者都不发生的情形还存在（如掷出 2 点），不对立。 9. 互斥，不对立。一张牌不可能既是红桃又是黑桃，不能同时发生；但还可能是方块或梅花，两者都不发生，所以不是对立事件。 10. （1）A + B；（2）AB；（3）B + A；（4）。 11. （1）AB；（2）ABC；（3）A + B + C。 12. 命中与不命中互为对立，P(不命中) = 1 − 0.8 = 0.2。 13. P(A + B) = 0.7 + 0.2 = 0.9；「A、B 都不发生」是「A + B」的对立事件，其概率为 1 − 0.9 = 0.1。 14. 不正确。互斥只保证 P(A + B) = P(A) + P(B)，两个概率之和不一定为 1；还要两个事件拼满 Ω 才是对立事件。 15. 不可能。A 与 B 互斥时 P(A) + P(B) = P(A + B)，而 A + B 是 Ω 的子集，概率不超过 1，不可能等于 1.1。题中数据本身有误。 十六、方法归纳 要做的事 怎么做 关键提醒 判断包含关系 看 A 发生时 B 是否一定发生 逐个核对样本点是否都在 B 中 判断相等关系 两个方向都要验证 样本点完全相同才相等 判断互斥 看两个事件能不能同时发生 符号是 A ∩ B = ∅ 判断对立 先看互斥，再看是否必有一个发生 符号是 A ∪ = Ω 求对立事件 在 Ω 中划掉 A 的全部样本点 A 的对立事件只有一个 互斥时求概率 P(A + B) = P(A) + P(B) 先用 A ∩ B = ∅ 验证互斥 对立时求概率 P(A) = 1 − P() 「至少」「至多」类问题常用 翻译事件语言 「至少」用和，「都」用积，「不发生」加上划线 求积的优先级高于求和 这一节的符号全是集合符号的老朋友：⊆、=、∪、∩ 加上划线。见到新符号不要慌，先想它在集合里表示什么，再翻译成事件的发生与否。两套语言之间的翻译练熟了，这一节就通了。比如看到 A ∩ B = ∅，脑子里要同时出现两句话——「没有公共样本点」和「不能同时发生」。 还有一个常被忽略的细节：所有关系都挂在样本空间上。同一个事件，样本空间写小了、写漏了，包含、互斥、对立的判断会跟着一起错。动笔之前，先把 Ω 写完整，这是最便宜的保险。 十七、本节三句话 ① 事件的关系就是集合的关系：A ⊆ B 就是 A 的样本点全是 B 的样本点，A = B 就是两者的样本点完全相同； ② 事件的运算产生新事件：A + B 是「至少有一个发生」，AB 是「两个都发生」， 是 Ω 中 A 之外的全部样本点； ③ 互斥与对立不是一回事：对立一定互斥，互斥不一定对立；互斥时 P(A + B) = P(A) + P(B)，对立时 P(A) + P() = 1。 本节边界：本节只讨论事件之间的关系与运算的定义、符号表示，以及互斥、对立情形下最简单的概率计算。两个事件不互斥时，P(A + B) 与 P(A) + P(B) 之间还差多少，本节不作讨论；各个样本点机会均等时怎么算概率，也留待以后。 十八、课后探究任务 任务一　关系侦探 从下面的情境或你自己设计的试验中，找出至少四对关系，要求包含、相等、互斥、对立四类各至少一对，写出符号表示并说明理由。情境：盒中装有编号 1 至 8 的八个小球，任意摸出一个，观察编号。 任务二　翻译练习 把下面六句话翻译成符号语言（用 A、B、C 表示三个事件）：（1）A、B 至少有一个发生；（2）A 发生而 B、C 都不发生；（3）三个事件中恰有两个发生；（4）三个事件都不发生；（5）A、B 不同时发生；（6）不多于两个事件发生。写完后逐句读一遍，看看符号的意思和原句是否一致。 任务三　和事件的概率再探究 互斥时有 P(A + B) = P(A) + P(B)。不互斥时会怎样？下面四组数据中的 P(A + B) 都已给出，观察四列数字，试着找出 P(A + B) 与 P(A) + P(B)、P(AB) 之间的关系，再用你发现的规律预测第 5 种情形。 情形 P(A) P(B) P(AB) P(A + B) 1 0.6 0.5 0.2 0.9 2 0.3 0.4 0 0.7 3 0.5 0.5 0.1 0.9 4 0.2 0.3 0.05 0.45 5（预测） 0.7 0.6 0.4 待求 任务 优秀 合格 待改进 任务一 四类关系各至少一对，符号与理由都正确 找出三对以上，个别理由说得不完整 只找到一两对，或把互斥与对立混淆 任务二 六句全部译对，能说明每步依据 译对四句以上，「恰有两个」出错 多数译错，或把求和与求积用反 任务三 发现 P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)，并用四组数据检验、预测第 5 种情形为 0.9 看出「要减去一块」，规律表述不准确 只重复互斥情形，没有新发现 学科网（北京）股份有限公司 $