5.2 数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟 知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

5.2 数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟　知识清单 人教B版（2019）　必修第二册　第五章 连续编号的总体，怎样数出「一共有多少」 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习目标 ① 能说清什么样的总体才能用编号样本估计总数，认准「连续编号」这个前提； ② 掌握三种估计方法：最大值估计、平均值估计、间距估计，并能写出算式； ③ 能算出估计值，并说明它偏大还是偏小、大概偏多少； ④ 会用随机数在表格软件里模拟，从重复多次的结果中比较方法的优劣。 重点 三种估计方法的算式与计算；用重复模拟的结果判断一种方法「平均准不准、单次稳不稳」。 难点 平均值估计里为什么是 2x̄ − 1 而不是 2x̄；间距估计里为什么把最后一段按平均段长顶替；模拟结果该看哪几个数字。 二、从「虎式坦克」说起：一个真实的历史谜题 先看一件真事。第二次世界大战期间，德国生产了一种编号连续的坦克：造出来的第一辆编号为 1，第二辆为 2，依此类推，一直编到 n。盟军想知道德国究竟造了多少辆，可是 n 是对方的军事秘密，没有账本可查，也不可能派人去数。 盟军手上只有一样东西：战场上缴获的坦克，每辆车上都刻着编号。这些缴获来的编号，正好构成一个编号样本。于是问题变成了：只知道若干个连续编号中的一部分，能不能倒推回去，得到最大的那个编号 n？当时有两套班子各自给答案，一套靠情报人员打探，一套靠统计学者算，结果如下表。 时间 统计学方法给出的估计 情报部门给出的估计 实际生产数量 1940 年 6 月 169 1000 122 1941 年 6 月 244 1550 271 1942 年 8 月 327 1550 342 三次较量，统计学方法都把误差压在了几十辆之内，而情报部门的估计高出了实际数量的三到五倍。这件事说明：只要样本取得随机，几个编号里就藏着总体的规模信息，关键在于用什么办法把这条信息「读」出来。 这一节要做的，就是把上面这套办法讲清楚，并且学会用计算机模拟去检验它。需要提醒的是，现实中的缴获并不会那么「干净」：有的坦克被击毁后编号看不清，有的编号可能重复上报。本节只讨论理想情形——样本中的编号都是真实、准确、互不相同的。 三、什么样的问题才能这样估：三个前提 编号样本能估总数，靠的是编号本身的规律。所以不是随便什么问题都能套用，必须同时满足下面三个前提，缺一个结论就不可靠。 前提 具体要求 不满足时会怎样 编号连续 总体中每个个体都有一个编号，从 1 开始一个挨一个排到 n，中间不断号、不重号 中间缺号，编号就与「第几个」脱节，算出的段长失去意义 总数未知 n 正是要估计的对象，手头没有现成的数目可查 既然能查到准确数，再用样本去估就是多此一举 抽样随机 样本是从全部编号中等可能地抽出来的，不能凭方便挑选 只抄同一楼层、同一时段的编号，样本会挤在一处，估出来必然偏 举几个符合前提的例子：全校学生的学号（从 1 编到 n）、仓库里货物的箱号、一本书的页码、一场考试的准考证号、一批产品的出厂序号。它们都是「有头有尾、不跳号」的一串整数，而总数恰好是我们想知道又不容易直接得到的。 反过来，车牌号、手机号、身份证号虽然也是一串数字，但既不从 1 开始，也不连续，就不能拿来估总数。判断一道题能不能用本节的方法，第一步就是看编号连不连续。 四、统一记号：把问题变成一个式子 把具体情境里的东西换成字母，问题就清爽了。 ① 总体：编号为 1, 2, …, n 的全部个体，n 未知，它就是总数。 ② 样本：抽到的 m 个编号，从小到大排好，记作 < < … < ，m 是样本容量。 ③ 目标：只用这 m 个数，给出 n 的一个估计值。 三种方法，说到底都在用同一个念头：样本里的某种「位置关系」，与总体里的对应关系差不多。差的只是挑哪一种关系来对照。 方法 依靠的「接近」 估计式 最大值估计 样本最大编号 与总体最大编号 n 接近 n ≈ 平均值估计 样本平均数 x̄ 与总体平均数接近 n ≈ 2x̄ − 1 间距估计 相邻编号之间的间隔大致一样长 写成 n ≈ × (m + 1) ÷ m 表中第三行的估计式，下面的第七节会把它推一遍。三行都写成「≈」而不是「=」，因为无论哪种方法，得到的都只是近似值——这一点必须从一开始就记住。 五、方法一：最大值估计 最朴素的想法：既然样本里的编号都不超过 n，那么样本最大编号 一定不超过 n。把 直接当作 n 的估计，就得到 这个估计永远不会高估。理由很干脆： 是从 1 到 n 当中抽出来的一个数，它当然不会比 n 还大。所以最大值估计给出的是一条「底线」——总数至少这么多。 代价是它几乎总是偏小。要让它恰好等于 n，必须抽到编号为 n 的那一个个体，而 m 个样本里正好含 n 的可能性很小。更一般地看：m 个编号把 0 到 n 这一段切成 m + 1 段，样本最大编号平均只落在第 m 段与第 m + 1 段的交界处，也就是大约 n 的 m ÷ (m + 1)。 m = 10 时，500 × 10 ÷ 11 ≈ 454.5，也就是说真值 500 的总体，最大值估计平均只能报到 455 上下，系统性偏低约一成。这个推算在第十一节会得到模拟的印证。 偏小不等于没用。当样本容量很小、或者只求一个「至少有多少」的保守结论时，最大值估计简单、稳妥、绝不会说大话，仍然值得用。 六、方法二：平均值估计 换个角度：不看最大值，看平均数。编号 1, 2, …, n 这 n 个数的平均数是 如果抽样随机，样本平均数 x̄ 应该与这个总体平均数相差不大，于是 两边同乘 2、再减 1，得到 为什么是减 1 而不是乘 2 就完事？因为编号是从 1 开始的，平均数正好落在最中间那个编号上：n 是偶数时，中间是 n ÷ 2 与 n ÷ 2 + 1 两个数，平均起来是 (n + 1) ÷ 2；n 是奇数时中间那个正好是 (n + 1) ÷ 2。两种情形都得到 (n + 1) ÷ 2，所以反解回来要减 1。若编号改成从 0 开始编到 n，总体平均数就是 n ÷ 2，那时就不必减 1 了。 由于 n 是整数，2x̄ − 1 一般带小数，规范的做法是取「不小于 2x̄ − 1 的最小整数」，也就是向上取整。这个细则在答题时要写出来。 例：某样本的平均数 x̄ = 491.42，则 2 × 491.42 − 1 = 981.84，取不小于它的最小整数，得估计值 982。 这里不能随手四舍五入：若算得 981.2，四舍五入是 981，向上取整是 982，两者就差了一个。按定义统一向上取整，才不会因人而异。 平均值估计的好处是没有系统性偏向：它可能偏大，也可能偏小，反复抽样的平均结果会落在真值附近。坏处是单次波动大，样本容量小的时候甚至可能算出比样本最大编号还小的数，这种明显不合理的估计应当舍弃，改用其他方法。 七、方法三：间距估计 第三种方法盯住的是「间隔」。把 m 个样本编号从小到大画在同一条数轴上，连同两个端点 0 和 n，整条线段被切成 m + 1 段。如果编号是均匀铺开的，这 m + 1 段的长度应当差不多。 图 1　m 个编号把 0 到 n 切成 m + 1 段：前 m 段的总长就是样本最大编号 从图 1 可以看出关键的一步：前 m 段是从 0 量到 的，它们的长度加起来正好等于 ，这一段是能算的；最后一段从 量到 n，右端点 n 未知，所以算不出来。既然各段大致等长，就用前 m 段的平均长度去顶替最后一段： 其中 ÷ m 就是前 m 段的平均长度。把图 1 里的数代进去：平均段长 431 ÷ 10 = 43.1，于是 n ≈ 431 + 43.1 = 474。 这个法子相当于替样本最大编号「补上」一截。补的那一截是 m 段的平均长度，而不是随便猜一个数，所以间距估计通常比最大值估计更靠近真值。但要看清它用的假设是「均匀铺开」：如果总体编号中间有大片空号，或者抽样把某一段整个漏掉了，平均段长就会失真，估计也跟着偏。 还有一个细节：m 越大， ÷ m 越稳定，最后一段被顶替得越准；m 很小时，一段的长度本身就靠不住，估计的波动会很明显。这又回到了那个老结论——样本容量要够。 八、三种方法放在一起比：8 个学号的小例 某班学生按 1 到 80 编学号（这个总数我们事后才知道，抽样时是不知道的）。随机抄下 8 个学号：7, 18, 25, 34, 41, 53, 60, 72。分别用三种方法估计全班人数。 方法 算式 估计值 与真值 80 相比 最大值估计 取样本最大编号 72 72 少 8 平均值估计 平均数 38.75，2 × 38.75 − 1 = 76.5 77 少 3 间距估计 72 × 9 ÷ 8 = 81 81 多 1 这一次间距估计最接近，最大值估计偏低最多。但换成另一组样本，排名完全可能颠倒——单看一次抽样，说明不了哪种方法更好。要比较方法的优劣，得让每种方法在同样的条件下反复做很多次，看它们的平均表现和波动幅度。这正是下一步要做的模拟。 九、完整案例：50 个考号 某校美术专业报名人数逐年增加。考生的准考证号从 0001 起连续编排，但学校没有公布报名总数。一位考生随机询问了 50 位考生，记下他们的考号如下（四位数，前导 0 一并写出）。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0400 0904 0747 0090 0636 0714 0017 0432 0403 0276 0986 0804 0697 0419 0735 0278 0358 0434 0946 0123 0647 0349 0105 0186 0079 0434 0960 0543 0495 0974 0219 0380 0397 0283 0504 0140 0518 0966 0559 0910 0658 0442 0694 0065 0757 0702 0498 0156 0225 0327 50 个考号中最大的是 0986，也就是 986。把它们加起来得 24571，平均数 24571 ÷ 50 = 491.42。按三种方法分别算： 方法 算式 估计值 与真值 1000 相比 最大值估计 最大考号 986 986 少 14 平均值估计 2 × 491.42 − 1 = 981.84，向上取整 982 少 18 间距估计 986 × 51 ÷ 50 = 1005.72，取整 1006 多 6 （报名总数事后查得为 1000，这里只用来核对估计的准确程度，抽样当时是不知道的。） 三个估计值落在 982 到 1006 之间，真值 1000 正好被夹在中间。所以实践中更负责的报法是：报考人数大约 1000 人，在 982 到 1006 之间——给出一个范围，比硬报一个数更实在。三种方法互相印证，也正是它们最重要的用法。 十、模拟验证：先把「真值」捏在自己手里 前面两次试验都有同一个尴尬：真值是我们事后才知道的。既然抽样的时候不知道 n，又凭什么判断哪种方法更准？模拟正是为了解开这个死结——模拟时由我们自己设定总数 N，于是「标准答案」就在手里，可以拿每一种估计去和它比。 具体做法分五步，如图 2。 图 2　模拟验证的五个步骤：设总数、抽样本、算估计、重复多次、看平均与波动 落到操作上，表格软件里就能完成：先在 A 列填好 1 到 500 的编号；再生成一列随机数，按随机数排序后取前 10 个编号，就是一组随机样本；然后按三种方法各算一个估计值；把一个过程重复 1000 次；最后统计这 1000 个估计值的平均、最小和最大。手算 1000 次显然做不到，用计算机只要几秒钟——这就是模拟必须借助计算机的原因。 模拟的三条纪律： ① 每一轮都要重新抽，不能反复用同一组样本，否则几百次其实是同一次； ② 比较三种方法时，必须让它们用同一组样本算，条件不同就没有可比性； ③ 重复次数要够多。只做十几次，结果本身还在大幅晃动，看不出规律。 十一、模拟结果怎么看：先看偏差方向 设总数 N = 500，每次抽 10 个编号，重复 1000 次，把每种方法的 1000 个估计值求平均，结果如下。 方法 1000 次的平均 与真值 500 相比 单次最低至最高 最大值估计 454.6 少 45.4 234 至 500 平均值估计 501.5 多 1.5 223 至 773 间距估计 500.1 多 0.1 257 至 550 图 3　1000 次模拟中三种估计值的平均：最大值估计系统性偏低，另两种几乎落在真值上 这张图与这张表说的其实是同一件事，但要分两个层次读。 第一层看「平均」。最大值估计的平均是 454.6，比 500 少了 45.4，而且这不是偶然——前面算过，m = 10 时它的平均大致只到 500 × 10 ÷ 11 ≈ 454.5，与实际模拟的 454.6 几乎一样。这说明最大值估计的偏差是结构性的：无论抽多少次，它总往小处偏。平均值估计与间距估计则分别只差 1.5 和 0.1，平均下来几乎不偏。 第二层看「单次」。平均值估计的单次结果从 223 到 773，跨度极大；最大值估计则被死死压在 500 以内，最高也只到 500。后一个现象有明确的原因：样本里的编号都来自 1 到 500，最大的那个自然不可能超过 500，所以最大值估计永远不会高估——它是三条路里唯一能保证「不夸大」的。 于是可以给三种方法各贴一个标签：最大值估计「稳而不准」，平均值估计与间距估计「准而不稳」。要下限、要保守，用前者；要接近真值，用后两者，但必须接受单次结果的起伏。 十二、样本容量 m 的作用：让起伏变小 「不稳」能不能改？能。把每次抽的个数 m 加大，再看平均值估计的 1000 次结果。 样本容量 m 90% 的估计值所在范围 这个范围的跨度 5 287 至 708 421 10 361 至 654 293 20 396 至 600 204 50 435 至 559 124 图 4　样本容量 m 越大，平均值估计的 90% 结果越集中，跨度从 421 缩到 124 表和图都指向同一个事实：m 从 5 增到 50，只扩大 10 倍，跨度却从 421 缩到 124，剩下原来的三成左右。粗略地说，估计值的波动幅度与 1 ÷ 大致同比例缩小，而 1 ÷ ≈ 0.32，与 124 ÷ 421 ≈ 0.29 很接近。这条规律说明：想让估计稳一倍，样本容量得增加到四倍，靠加大样本换取精度，代价是越来越贵的。 不过容量再大，也补不上抽样方式的漏洞。假如只在教学楼一楼抄编号，样本就挤在编号的前一段，再怎么增加人数也仍然偏；这种偏向不会因样本容量增大而自动消失，只能靠改进抽样方式来消除。这是 5.1.1 就强调过的老道理，在这里又显了一次。 十三、典型例题 例 1　某校高一年级学生的校牌编号是连续的四位数，从 0001 编起。随机抄下 12 个编号：0032, 0107, 0189, 0215, 0263, 0318, 0374, 0402, 0456, 0511, 0568, 0603。 （1）用最大值估计求总人数；（2）用平均值估计求总人数；（3）若实际人数为 700，评价这两个估计。 解：（1）样本最大编号是 603，故估计总人数为 603。 （2）12 个编号之和为 4038，平均数为 4038 ÷ 12 = 336.5。于是 2 × 336.5 − 1 = 672，取不小于它的最小整数，估计总人数为 672。 （3）与真值 700 相比，603 少了 97，偏低约 13.9%；672 少了 28，偏低 4%。最大值估计偏低的原因很明显：样本里最大的编号才 603，离 700 还差近一百，说明这次抽样没有碰到编号靠后的学生。平均值估计则把整串编号的位置信息都用上了，所以更接近。 例 2　德军生产坦克时从 1 开始连续编号。盟军把缴获坦克的编号记录下来，算得平均编号为 675.5。据此估计德国共造坦克约（　　）辆。 A. 1050　　B. 1350　　C. 1650　　D. 1950 解：由 n ≈ 2x̄ − 1 得 n ≈ 2 × 675.5 − 1 = 1350，故选 B。注意不能只乘 2 得 1351 就交卷——减 1 是因为编号从 1 起算；本题选项之间的间隔有 300 辆，差 1 不影响选择，但解答题里这一步必须写出来。 例 3　某仓库的货物箱号连续编排。随机抽到 6 个箱号：105, 218, 356, 402, 517, 589。用三种方法分别估计总箱数，并与实际总数 700 比较。 解：最大值估计取最大箱号，得 589。 平均值估计先求平均数：(105 + 218 + 356 + 402 + 517 + 589) ÷ 6 = 2187 ÷ 6 = 364.5，于是 2 × 364.5 − 1 = 728，估计总箱数为 728。 间距估计为 589 × 7 ÷ 6 = 687.17，取整得 687。 与实际 700 相比：589 少 111，728 多 28，687 少 13。间距估计最接近，平均值估计次之，最大值估计偏低最多——这与第十一节的模拟结论一致，最大值估计天生往小处偏。若把三个结果一起报出去，说「总箱数在 589 到 728 之间，很可能接近 690」，就比单报一个数可靠得多。 例 4　某次模拟设总数 N = 800，每次抽 12 个编号，重复 200 次，三种方法的平均估计值分别为 738.6、799.4、800.7，单次结果的范围分别为 402 至 800、318 至 1210、448 至 968。 （1）哪种方法的平均偏差最小？（2）最大值估计的单次范围上端正好是 800，为什么？（3）若只允许抽一次样，怎样报结果才稳妥？ 解：（1）与 800 相比，738.6 差 61.4，799.4 差 0.6，800.7 差 0.7。平均值估计的平均偏差最小，间距估计与之几乎持平，最大值估计的偏差大了一个数量级。 （2）样本里的编号都来自 1 到 800，最大的那个不可能超过 800，所以 200 次里估计值的上限恰好顶到 800，一次也没有越过。这正是最大值估计「绝不夸大」的体现。 （3）把三种方法都算一遍，报出它们围成的区间（本例可报 740 至 970），并说明该区间是以平均值估计与间距估计为主的——这两种方法没有系统性偏向，而最大值估计的结果只宜当作下限使用。只报一个数，会让别人误以为估计是精确的。 十四、易错警示 常见错误 错在哪里 正确做法 把最大编号直接当总数 没说明这是偏小的下限估计 注明「总数不小于此值」 平均值估计写成 n ≈ 2x̄ 漏掉了编号从 1 起算的减 1 写 n ≈ 2x̄ − 1 并说明取整 取整时随手四舍五入 与「不小于…的最小整数」不符 统一向上取整，答题写明 算出比最大编号还小也照抄 不合理，是平均数偏小所致 舍弃，改用间距或最大值估计 编号从 0 开始仍用 2x̄ − 1 此时平均数是 n ÷ 2，不减 1 先看编号起点再决定减不减 间距估计写成 × m ÷ (m + 1) 方向反了，比最大编号还小 应为 × (m + 1) ÷ m 只在自己班级、同一楼层抄 样本不随机，容量补不上 分散到不同区域、不同时段 以为模拟通过就每次都准 模拟只检验平均表现 同时看平均偏差与单次波动 十五、巩固练习 1. 什么叫连续编号总体？举两个生活中的例子。 2. 用样本最大编号估计总数，这个估计会不会超过真值？为什么？ 3. 说明最大值估计为什么几乎总是偏小。 4. 证明：若总体编号为 1, 2, …, n，则 n ≈ 2x̄ − 1。 5. 样本编号为 3, 9, 14, 20, 26，分别用三种方法估计总数。 6. 样本编号为 12, 25, 31, 44, 58, 67, 73，分别用三种方法估计总数。 7. 判断：样本容量越大，估计值一般越接近真值。 8. 判断：平均值估计的结果一定不小于样本最大编号。 9. 推导间距估计的公式 n ≈ × (m + 1) ÷ m。 10. 某批零件的编号连续，抽得平均编号为 500，估计这批零件的总数。 11. 样本容量 m = 8，最大编号 240，平均数 118，分别用三种方法估计总数。 12. 在编号样本估计总数这件事上，模拟能起什么作用？ 13. 为什么模拟一定要借助计算机？ 14. 某次估计得到 350，实际总数是 400，求绝对误差与相对误差（用百分数表示）。 15. 由编号样本估计总数的活动记录表，要填哪六个栏目？ 十六、参考答案 1. 总体中每个个体都有编号，从 1 开始一个挨一个排到 n，中间不断号、不重号，这样的总体叫连续编号总体。例：全校学生的学号、仓库货物的箱号。 2. 不会。样本编号都取自 1 到 n，故 ≤ n 恒成立。 3. 因为只有样本恰好含编号 n 时才取到等号，而 m 个样本正好含 n 的可能性很小；平均来看 只到 n 的 m ÷ (m + 1)。 4. 编号 1 到 n 的平均数是 (n + 1) ÷ 2，用 x̄ 近似它得 x̄ ≈ (n + 1) ÷ 2，两边乘 2 减 1 即得。 5. 平均数 14.4，故最大值估计 26，平均值估计取不小于 27.8 的最小整数 28，间距估计 26 × 6 ÷ 5 = 31.2，取 31。 6. 平均数 310 ÷ 7 ≈ 44.29，故最大值估计 73，平均值估计 88，间距估计 73 × 8 ÷ 7 ≈ 83.43，取 83。 7. 对（但前提是抽样本身随机，否则容量再大也救不了偏向）。 8. 错。平均数偏小时 2x̄ − 1 可能小于 ，这种结果应舍弃。 9. m 个编号把 0 到 n 切成 m + 1 段，前 m 段总长为 ，平均段长 ÷ m，用它顶替最后一段，得 n ≈ + ÷ m，整理即 × (m + 1) ÷ m。 10. 2 × 500 − 1 = 999，估计约 999 个。 11. 最大值估计 240；平均值估计 2 × 118 − 1 = 235；间距估计 240 × 9 ÷ 8 = 270。 12. 模拟可以预先设定真值，从而把每种方法的平均偏差与单次波动量出来，用来比较方法的优劣、观察样本容量的影响。 13. 因为模拟要重复几百次甚至上千次抽样，每次还要算三种估计，手算根本做不完，只有计算机能在极短时间内完成。 14. 绝对误差 400 − 350 = 50；相对误差 50 ÷ 400 = 12.5%。 15. 成员与分工、待估计总数的实例、获取的编号样本、估计方法与计算过程、模拟与验证、活动总结。 十七、方法归纳与活动记录 要解决的问题 用什么方法 关键一句 估计总数，要稳妥的下限 最大值估计 取 ，绝不夸大 估计总数，求接近真值 平均值估计 n ≈ 2x̄ − 1，向上取整 估计总数，样本含大片空号时慎用 间距估计 补上一段平均间隔 判断哪种方法更好 重复模拟 比平均偏差，也比单次波动 让估计更稳 加大样本容量 波动大致按 1 ÷ 缩小 让估计不偏 改进抽样方式 容量补不上抽样的漏洞 报结果时更负责 三种方法交叉印证 报区间，不硬报一个数 把过程记录下来 活动记录表 六项栏目，缺一不可 本节是探究活动，最终要交的是一张活动记录表。六个栏目分别是： 序号 栏目 要写什么 1 成员与分工 谁收集编号、谁负责计算、谁负责模拟 2 待估计总数的实例 对象是什么？编号为什么算连续 3 获取的编号样本 把样本编号全部列出，并说明怎样抽样 4 估计方法与计算 三种方法各算一遍，写出算式与取整 5 模拟与验证 用什么软件、设的 N 与 m、重复次数、结果 6 活动总结 哪种方法更好？误差多少？下次怎样改 十八、本节三句话 ① 连续编号的总体，可以只凭若干个编号去估总数：最大值估计取 ，平均值估计用 2x̄ − 1，间距估计用 × (m + 1) ÷ m。 ② 三种方法各有所短：最大值估计稳而不准（永不夸大、系统性偏低），平均值估计与间距估计准而不稳（平均几乎不偏、单次起伏很大）。 ③ 模拟的价值在于把真值事先定住，让「平均偏差」和「单次波动」这两件事都能被量出来；加大样本容量能压小波动，但补不上抽样的漏洞。 本节边界：本节只讨论连续编号、编号准确无重复的理想情形，并且只用平均数、最大值、间隔这三种最朴素的信息去估。至于怎样用数量刻画一个估计的可靠程度、以及更讲究的抽样与估计方案，留到后续学习，本节不作要求。 十九、课后探究任务 本节是探究活动课，光看懂三种方法还不够，要自己动手做一遍。下面三项任选一项完成，把过程如实填进活动记录表；有条件的分组各做一项，课堂交流时互相挑毛病。 任务一　校园里的连续编号 选一类身边有连续编号的对象——学号、图书条码、宿舍床位号、储物柜号都行，先确认它的编号确实从 1 起、不跳号、不重号，再随机取 10 至 20 个编号，用三种方法各估一次总数，并把三个结果与真值对照。抽样时务必分散到不同楼层、不同时段，只在一个地方抄会引入偏向。 任务二　班级模拟实验 在表格软件里设 N = 300，每次抽 8 个编号，重复 500 次，分别记下三种方法的平均值与单次最低、最高，画出对比图。做完再改 m = 20 重跑一次，比较两次的波动范围，验证「容量越大越稳」。为了结果可复现，重跑前应固定随机数种子，否则每次数字都不一样。 任务三　找一个不能套用的例子 找一个编号不连续的真实例子——作废的发票号、跳号的考勤卡、按地区分段的车架号都可以，说明为什么不能直接把本节公式套上去，并想一想：如果一定要估，需要对编号先做怎样的整理或修正。这一项练的是判断力，比算出数字更重要。 评价要点 合格的样子 抽样 说清抽了哪些编号、怎样保证随机，而不是只说「随机抽取」 算式 三种方法都写算式，取整方向写明，不跳步 模拟 记录 N、m、重复次数与结果，重复次数不少于 300 结论 敢说哪种方法更好，并拿出平均偏差与波动幅度作证据 学科网（北京）股份有限公司 $