精品解析：福建龙岩市/长汀县长汀一中新城学校2026-2027学年八年级10月学情自测数学试题

长汀一中新城学校2026-2027学年第一学期第一次测试 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为，，的三根小木棒不能摆成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为，，的三根小木棒不能摆成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为，，的三根小木棒能摆成三角形，符合题意； D、∵， ∴长为，，的三根小木棒不能摆成三角形，不符合题意； 故选：C． 2. 图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，进行作答即可． 【详解】解：观察图中的两个全等三角形，对应边相等，对应角相等， 即， 故选：D． 3. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】据三角形具有稳定性．构造的三角形支架比较牢固稳定． 【详解】解：空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，由空调下方形成三角形支架， 可知这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性． 4. 如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点O作地面于点G，则，证明，得出，即可推出结果． 【详解】解：如图，过点O作地面于点G，则， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴嘉嘉离地面的高度是， 故选：D． 5. 三条公路将，，三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 6. 如图，在和中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，只需再添加的一个条件不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】添加AC＝AD，利用SAS即可得到两三角形全等；添加∠D＝∠C，利用AAS即可得到两三角形全等，添加∠CBE＝∠DBE，利用ASA即可得到两三角形全等． 【详解】解：A、添加AC＝AD，利用SAS即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意； B、添加BC＝BD，不能判定两三角形全等，故此选项符合题意； C、添加∠D＝∠C，利用AAS即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意； D、添加∠CBE＝∠DBE，利用ASA即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 7. 如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析被墨迹污染后的三角形剩余部分的特征，并结合全等三角形的判定定理来判断． 【详解】解：被墨迹污染的三角形，剩余部分保留了两个角和它们的夹边，符合全等三角形的判定条件，因此，根据可以画出一个与原三角形完全一样的三角形． 8. 如图，，点E在线段上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B的度数，进而得出∠AED的度数． 【详解】解：∵△ABC≌△AED， ∴∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD， ∴∠1=∠BAE=40°， ∴△ABE中，∠B==70°， ∴∠AED=70°， 故选：A． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 9. 如图，在中，点，，分别是线段，，的中点，若的面积是，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，连接，，，根据三角形的中线平分面积求出，同理得到，，分割法求出的面积即可． 【详解】如图，连接，，， 点，，分别是线段，，的中点， ，， ， 同理，，， ， 故选：C． 10. 如图，在和中，，，直线交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 先证明，即可证明得到，即可判断①②；设于的交点为E，在中由三角形外角的性质可得，在中由三角形外角的性质可得，则，即可判断③，无法得出，进而判断④． 【详解】解：在和中，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确，符合题意； ∴，故②正确，符合题意； 设与的交点为E， 在中由三角形外角的性质可得， 在中由三角形外角的性质可得， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 同理可得，而未知，则未知，故④不一定正确， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. △ABC的三个内角的度数之比是1：2：3，若按角分类，则△ABC是_____三角形． 【答案】直角 【解析】 【分析】已知三角形三个内角的度数之比,可以设一份为k°,根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数,从而确定三角形的形状． 【详解】解：设一份为k°,则三个内角的度数分别为k°,2k°,3k°． 则k°+2k°+3k°＝180°, 解得k°＝30°． ∴2k°＝60°,3k°＝90°, 所以这个三角形是直角三角形． 故填为：直角． 【点睛】此题主要考查三角形的内角和定理,列方程求得三角形三个内角的度数来判断是解题的关键． 12. 如图，，当点P到的距离为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等根据角平分线的性质解答． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， 故答案为：1． 13. 如图所示，由五个点组成的图形，则______度． 【答案】180 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是正确作出辅助线．连接，分别在、、中，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接， 在中，， 在中，， 得：， 在中，， ， 故答案为：180． 14. 如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示（见详解），过A和分别作于，于，利用已知条件可证明，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】解：如图所示，过A和分别作于，于，即， ∴∠DAC+∠ACD=∠ACD+∠ECB=90°， ∴， ∴， 在，中， ∵， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点A的坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴则B点的坐标是． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系与直角三角形的综合运用，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质．构造全等三角形是解题的关键． 15. 如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了中线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的三边关系的运用，解答时证明三角形全等是关键． 如图，延长到E使，连接，通过证明就可以得出，在中，由三角形的三边关系就可以得出结论． 【详解】解： 延长到E使，连接， ∵D是的中点， ∴． 在△ACD和△EBD中 ， ∴， ∴． ∵， ∴由三角形的三边关系为：， 即． ∴ 故答案为：． 16. 如图，中，平分，E为边上的点，连接，下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有___________．（填写序号即可）     【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质及邻补角的定义，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点作于点，根据角平分线的性质可得，从而证明，可得，再利用三角形外角的性质即可判断①；证明，可得，再利用等量代换即可判断②③；根据，可得，，再由，可得，即可判断④． 【详解】解：过点作于点，     ，平分， ，， 又， ， ， ， ，故①正确； ，，， ， ， ，故②正确； ， ， ， ， ，故③错误； ， ， ， 又， ， ， ， 故④错误， 故答案为：①②． 三、解答题：本题共8小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，在三角形中，，D是上一点，且，，，求：的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，垂直的定义，利用三角形的内角和定理求解角的度数是正确解答本题的关键． 本题根据垂直的知识得到，再根据三角形的内角和定理与等量变换得到，然后即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 如图，△ABC中，按要求画图： （1）画出△ABC中BC边上的中线AD； （2）画出△ABC中∠B的平分线BE． （3）画出△ABC中AB边上的高CF． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）作线段BC的垂直平分线，就可以找到BC的中点D，连接AD就是BC上的中线； （2）用作角平分线的方法画图； （3）先以C为圆心，大于AC小于BC的长度为半径画弧，再直线AB上截取线段PQ，再作线段PQ的垂直平分线，即可得到AB上的高． 【详解】解：（1）如图，以B为圆心，大于BC一半的长度为半径画弧，再以C为圆心，以同样的半径画弧，连接弧的交点，交BC于点D，D就是BC的中点，连接AD，AD就是BC边上的中线； （2）如图，以B为圆心，小于AB的长度为半径画弧，交AB于点M，交BC于点N，再分别以M和N为圆心画弧，交于点E，连接BE，就得到的平分线； （3）如图，以C为圆心，大于AC小于BC的长度为半径画弧，交AB于点P，交AB的延长线于点Q，再作线段PQ的垂直平分线，交PQ于点F，连接CF，就得到AB边上的高． 【点睛】本题考查尺规作图，解题的关键是掌握垂直平分线的作法和角平分线的作法，再灵活运用这两个基础的作图方法作出三角形其他的线段． 19. 已知如图，点B，E，C，F在同一直线上，，且，．求证：． 【答案】 证明：∵ ∴ 在与中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质及全等三角形的判定及性质是解题的关键，由得，进而证明，得． 【详解】略 20. 已知a，b，c是的三边长，，，设的周长是x． （1）求x的取值范围． （2）若x是小于9的整数，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：是等腰三角形，理由如下： ∵x是小于9的整数， 又∵， ∴或， 当时，， ∴， ∴是等腰三角形； 当时，， ∴， ∴是等腰三角形； 综上所述，是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和三角形三边关系，求出c的取值范围是解题的关键． （1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案； （2）利用等腰三角形的判定方法得出即可； 【小问1详解】 解：∵，， ∴，即， ∴，即， ∴x的取值范围是； 【小问2详解】 略 21. 如图，D是的边上一点，，交于点E，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， 在和中， ∵， ∴； （2）3 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质， （1）根据平行线得到角度关系，再根据角角边判定直接证明即可得到答案； （2）根据三角形全等对应边相等直接求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即的长是3． 22. 学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A、B两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸A、B两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B、C在一条直线上，且； ②测得； ③在的延长线上取点E，使得； ④测得的长度为30米． 请你根据以上方案求出A、B两点间的距离． 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理 ，解题的关键是熟练掌握三角形全等的方法． 证明，得出，根据，求出米． 【详解】解：，， ， ∵ ， 在与中， ， ， 又， 米． 23. 如图，在中，为，的平分线和交点，，，，垂足分别为，，， （1）与是否相等．请说明理由； （2）若的周长是30，且，求的面积． 【答案】（1） 解：，理由如下： 平分，，， ， 平分，，， ， ； （2）45 【解析】 【分析】本题考查了角平分线性质的应用． （1）根据角平分线性质求出，，即可得出结论； （2）连接，根据三角形的面积公式可得，代入计算即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∴的面积， ∵的周长是30， ∴， ， ∴的面积． 24. 已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，请直接写出，，之间的数量关系 ； （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （2） 解：，理由如下： ，， ， 又， ， ，， ， 即； （3）6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，余角的性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，求得，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）得且， ， ， ， ，， 的面积． 25. 如图1，，．以A点为顶点、为腰在第三象限作等腰． （1）求C点的坐标； （2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，为腰作等腰，过D作轴于E点，求的值； （3）如图3，已知点F坐标为，当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作，始终保持，与y轴负半轴交于点，与x轴正半轴交于点，当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，请找到m和n的等量关系并说明理由． 【答案】（1） （2）2 （3）， 理由如下： 如图3，过点分别作轴于点，轴于点，则，， ∵点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵，轴， ∴， ∴，则， 在和中，， ∴ ∴， 又∵，，点坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）过作轴于点，由“”证明，可得出，，即可求点坐标； （2）如图2，过作于点，根据坐标可得，，即，由“”可明，可得，即可得结论； （3）如图3，过点分别作轴于点，轴于点，可知，，由点坐标可得，利用平行线和角的互余关系可得，由“”证明，可得，再根据，表示出，，即可求得的值． 【小问1详解】 解：过作轴于点，如图1， ∵为等腰三角形。 ∴，， ∵，，则， ∴，， 则， 在和中，， ∴ ∴，， 则， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 如图2，过作于点， ∵，， ∴，，则，， ∴， ∵为等腰三角形。 ∴，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，图形与坐标，等腰直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线利用角的互余关系构造全等三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长汀一中新城学校2026-2027学年第一学期第一次测试 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 4. 如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（　　） A. B. C. D. 5. 三条公路将，，三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 6. 如图，在和中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，只需再添加的一个条件不可以是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，点E在线段上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点，，分别是线段，，的中点，若的面积是，则的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在和中，，，直线交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. △ABC的三个内角的度数之比是1：2：3，若按角分类，则△ABC是_____三角形． 12. 如图，，当点P到的距离为___________． 13. 如图所示，由五个点组成的图形，则______度． 14. 如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是_____． 15. 如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是________． 16. 如图，中，平分，E为边上的点，连接，下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有___________．（填写序号即可）     三、解答题：本题共8小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，在三角形中，，D是上一点，且，，，求：的度数． 18. 如图，△ABC中，按要求画图： （1）画出△ABC中BC边上的中线AD； （2）画出△ABC中∠B的平分线BE． （3）画出△ABC中AB边上的高CF． 19. 已知如图，点B，E，C，F在同一直线上，，且，．求证：． 20. 已知a，b，c是的三边长，，，设的周长是x． （1）求x的取值范围． （2）若x是小于9的整数，试判断的形状，并说明理由． 21. 如图，D是的边上一点，，交于点E，． （1）求证：． （2）若，求的长． 22. 学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A、B两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸A、B两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B、C在一条直线上，且； ②测得； ③在的延长线上取点E，使得； ④测得的长度为30米． 请你根据以上方案求出A、B两点间的距离． 23. 如图，在中，为，的平分线和交点，，，，垂足分别为，，， （1）与是否相等．请说明理由； （2）若的周长是30，且，求的面积． 24. 已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，请直接写出，，之间的数量关系 ； （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 25. 如图1，，．以A点为顶点、为腰在第三象限作等腰． （1）求C点的坐标； （2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，为腰作等腰，过D作轴于E点，求的值； （3）如图3，已知点F坐标为，当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作，始终保持，与y轴负半轴交于点，与x轴正半轴交于点，当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，请找到m和n的等量关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $