精品解析：福建省龙岩市长汀县第四中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025－2026年度八年级数学（上）12月份阶段练习 一、选择题（共10题，每小题4分，共40分） 1. 下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 若成立，则x的取值范围是(　　) A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，，添加下列哪个条件不一定能使得的是（ ） A. B. C. D. 6. 若的运算结果中不含的一次项，则的值等于（　　） A. 2 B. 1 C. D. 7. 已知x2+kxy+16y2是一个完全平方式，则k的值是（ ） A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8 8. 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（　　） A. （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B. （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C. a（a+b）＝a2+ab D. a（a﹣b）＝a2﹣ab 9. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，速度为V，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，若存在某一时刻使与全等，则V为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 10. 重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6题，每小题4分，共24分） 11. 因式分解 _____. 12. 计算：______． 13. 一个长方形的面积是，一边长是，则它的另一边长是______． 14. 已知点和关于轴对称，则的值为______． 15. 如图，在等边三角形中，D是的中点，于点E，于点F，若，则______  16. 已知下列命题：①若，则；②若，则；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等；⑤直角三角形的两锐角互余．其中原命题与逆命题均为真命题的是_________．（只填写序号） 三、解答题（共9题，共86分） 17. 先化简，再求值： ，其中 18. （1）计算： （2）因式分解： 19. 如图，点、在线段上，，，，证明：． 20. 阅读下面的分解因式的过程： ． 利用上述分解因式的方法证明： 如果a，b，c是的三条边的长，那么． 21. 某同学在计算一个多项式A乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． （1）求这个多项式A； （2）求正确的计算结果． 22. 已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示，面积分别为和： （1）①用含m的代数式表示：__________，__________； ②用“<”“=”或“>”填空：__________； （2）若一个正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等，其面积设为． ①该正方形纸片的边长是__________（用含m的代数式表示）； ②小方同学发现与的差是定值，请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 23. 如图在平面直角坐标系中，． （1）在图中作出关于y轴对称的，并写出点、、的坐标； （2）求出的面积； （3）在x轴上确定一点P，使的周长最小，在图中作图说明，不写作法． 24. 阅读下列解答过程，然后回答问题： 已知有一个因式，求k的值． 解：设另一个因式为，则 ．即 （对任意实数x成立） 由此得： ∴ （1）已知有一个因式，则另一个因式为_______________； （2）已知有一个因式，则m的值为________________； （3）已知多项式有一个因式，求k的值． 25. 如图，是边长为9的等边三角形，P是边上的动点，由点A向点C运动（与A，C不重合），Q是延长线上的动点，与点P以相同的速度同时由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交AB于D． （1）当时，求的长； （2）过P作交AB于M． ①求证：是等边三角形； ②求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026年度八年级数学（上）12月份阶段练习 一、选择题（共10题，每小题4分，共40分） 1. 下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意， B、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意， C、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意， D、该图形是轴对称图形，故该选项符合题意， 故选：D 2. 若成立，则x的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由 可得，从而可得答案． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】本题考查零次幂的含义，掌握零指数幂底数不等于0，是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是掌握各运算法则． 根据合并同类项，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法法则逐项进行判断即可． 【详解】A．，该选项错误，不符合题意； B．，该选项错误，不符合题意； C．，该选项错误，不符合题意； D．，该选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了公因式的找法，依据“多因式中各项系数的最大公约数，字母取各项相同字母的最低次幂”找公因式，解是解答此题的依据． 【详解】解：多项式的各项公因式是. 故选：C． 5. 如图，已知，，添加下列哪个条件不一定能使得的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：， ，即， 又 添加时，可以证明，故A不符合题意； 添加时，可以证明，故B不符合题意； 添加时，可以证明，故C不符合题意； 添加时，不能证明，故D不符合题意； 故选：D． 6. 若的运算结果中不含的一次项，则的值等于（　　） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用多项式乘多项式计算，再根据运算结果中不含x的一次项得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵中不含x的一次项， ∴，解得：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解答本题的关键． 7. 已知x2+kxy+16y2是一个完全平方式，则k的值是（ ） A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8 【答案】D 【解析】 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】∵x2＋kxy＋16 y2是一个完全平方式， ∴k＝±8． 故选D． 【点睛】本题主要考查的是完全平方式，熟练掌握完全平方式的特点是解题的关键． 8. 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（　　） A. （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B. （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C. a（a+b）＝a2+ab D. a（a﹣b）＝a2﹣ab 【答案】B 【解析】 【详解】大正方形的面积=（a-b）2， 还可以表示为a2-2ab+b2， ∴（a-b）2=a2-2ab+b2． 故选B． 9. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，速度为V，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，若存在某一时刻使与全等，则V为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题（一元一次方程的应用），全等三角形的性质等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 分、两种情形，分别求出速度为V． 【详解】解：设点Q的运动速度为， 由题意得：，，， ∵， ∴当时，，， 即：，， 解得：，， 所以点Q的运动速度为； 当时，，， ∴， 解得：， ∴， 解得：， 所以点Q的运动速度为， 综上，点Q的运动速度为或， 故选：D． 10. 重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，一次函数与几何，中点坐标公式的相关知识点． 根据矩形的性质以及中点坐标公式即可求解点，点的坐标，再求出，然后代入重心坐标公式即可． 【详解】解：如图： ∵四边形是矩形，， ∴，为中点， ∵， ∴，即； ∵四边形是矩形，， ∴，为中点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即； ，， ∴，， ∴“L”形的重心坐标为． 故选：B． 二、填空题（共6题，每小题4分，共24分） 11. 因式分解 _____. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了积的乘方的逆运算，根据积的乘方的逆运算法则求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 13. 一个长方形的面积是，一边长是，则它的另一边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式是解题的关键；根据长方形面积公式，另一边长等于面积除以已知边长，即多项式除以单项式的运算，然后问题可求解． 【详解】解：另一边长为 故答案为． 14. 已知点和关于轴对称，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了关于y轴对称的点的坐标特征， 根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，求出x和y的值，然后代数求解即可． 【详解】∵点和关于轴对称， ∴， ∴． 故答案为：1． 15. 如图，在等边三角形中，D是的中点，于点E，于点F，若，则______  【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质可得，，再根据线段中点的定义可得，然后利用垂直定义可得，从而可得，最后分别在和中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， 是的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 已知下列命题：①若，则；②若，则；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等；⑤直角三角形的两锐角互余．其中原命题与逆命题均为真命题的是_________．（只填写序号） 【答案】③⑤##⑤③ 【解析】 【分析】先判断原命题的真假，再写出原命题的逆命题，然后根据不等式的性质、绝对值的意义、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定与性质对个选项进行判断． 【详解】解：①若，则， ∵当时，，此时，所以此命题为假命题；它的逆命题为若，则，∵当时，此时，此时，∴所以此逆命题为假命题； ②若，则，此命题为真命题；它的逆命题为若，则，∵当时，则或，∴此逆命题为假命题； ③等边三角形的三个内角都相等，此命题为真命题；它的逆命题为三个内角相等的三角形为等边三角形，此逆命题为真命题； ④底角相等的两个等腰三角形全等，∵底边不一定相等，∴此命题为假命题；它的逆命题为全等的两个等腰三角形的底角相等，此逆命题为真命题； ⑤直角三角形的两锐角互余，此命题为真命题；它的逆命题为两锐角互余的三角形是直角三角形，此逆命题为真命题． 故答案为：③⑤． 【点睛】本题考查了命题的真假判断，以及逆命题：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 三、解答题（共9题，共86分） 17. 先化简，再求值： ，其中 【答案】，7 【解析】 【分析】先利用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则计算各部分，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题考查整式乘法混合运算，掌握完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则是解题的关键． 18. （1）计算： （2）因式分解： 【答案】(1)；(2) 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方、合并同类项及因式分解，熟练掌握积的乘方、合并同类项及因式分解是解题的关键； （1）根据积的乘方、合并同类项可进行求解； （2）根据提公因式及平方差公式可进行因式分解． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 19. 如图，点、在线段上，，，，证明：． 【答案】 证明：∵， ∴． 又∵，， ∴()． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，先利用平行线的性质得出，然后利用证明即可. 【详解】略 20. 阅读下面的分解因式的过程： ． 利用上述分解因式的方法证明： 如果a，b，c是的三条边的长，那么． 【答案】 解： 根据三角形三边关系： ，即； ，即； 所以：． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形的三边关系以及不等式的性质，掌握因式分解是解本题的关键． 先对进行因式分解，得到，再利用三角形的三边关系判定其正负性即可． 【详解】略 21. 某同学在计算一个多项式A乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． （1）求这个多项式A； （2）求正确的计算结果． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查多项式加减法和乘法的计算，熟练掌握多项式的运算法则，正确计算是解本题的关键． （1）根据多项式的加减法计算法则得出代数式A的值； （2）根据多项式的乘法计算法则得出正确的计算结果即可． 【小问1详解】 根据题意得， ； 【小问2详解】 ． 22. 已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示，面积分别为和： （1）①用含m的代数式表示：__________，__________； ②用“<”“=”或“>”填空：__________； （2）若一个正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等，其面积设为． ①该正方形纸片的边长是__________（用含m的代数式表示）； ②小方同学发现与的差是定值，请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 【答案】（1）①；②> （2）①； ②正确，理由：， 所以与的差是定值，即小方同学的发现是正确的． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，比较基础，能够根据题意列出解题所需的代数式是解题关键． （1）①根据长方形面积公式列式计算； ②用作差法比较大小即可； （2）①求出乙长方形的周长，即可求出该正方形的边长；②列式计算与的差，可知与无关． 【小问1详解】 解：①． ② ． 因为， 所以， 所以． 故答案为①；②>． 【小问2详解】 ①长方形纸片乙的周长为． 因为正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等， 所以正方形纸片的边长为． 故答案为； ②略 23. 如图在平面直角坐标系中，． （1）在图中作出关于y轴对称的，并写出点、、的坐标； （2）求出的面积； （3）在x轴上确定一点P，使的周长最小，在图中作图说明，不写作法． 【答案】（1） 如图所示，即为所求： 点的坐标为、的坐标为、的坐标为 （2）5 （3） 如图，点P即为所求点． 【解析】 【分析】此题考查作图-轴对称变换，三角形的面积计算，轴对称的性质等知识点，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． （1）根据关于y轴对称的点的坐标特点画出，并写出各点坐标即可； （2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可； （3）作点A关于x轴的对称点，连接，则与x轴的交点即为P点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 解：的周长，最小值即为． 24. 阅读下列解答过程，然后回答问题： 已知有一个因式，求k的值． 解：设另一个因式为，则 ．即 （对任意实数x成立） 由此得： ∴ （1）已知有一个因式，则另一个因式为_______________； （2）已知有一个因式，则m的值为________________； （3）已知多项式有一个因式，求k的值． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】题目主要考查因式分解的利用，理解题意，设出因式，运用题目中的方法求解是解题关键． （1）利用题目中已知的方法求解即可； （2）利用题目中已知的方法列出二元一次方程组求解即可； （3）设另一个因式为，利用题目中已知的方法列出二元一次方程组求解即可． 【小问1详解】 解：设另一个因式为，则 ， 即（对任意实数x成立） 由此得， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 设另一个因式为，则 ， 即（对任意实数x成立） 由此得， 解得：， 故答案为：； 【小问3详解】 设另一个因式为，则 ， 即（对任意实数x成立） 由此得， 解得：， ∴k的值为4． 25. 如图，是边长为9的等边三角形，P是边上的动点，由点A向点C运动（与A，C不重合），Q是延长线上的动点，与点P以相同的速度同时由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交AB于D． （1）当时，求的长； （2）过P作交AB于M． ①求证：是等边三角形； ②求线段的长． 【答案】（1）的长为3； （2）①如图， ∵， ，， 是等边三角形， ② 【解析】 【分析】（1）设，则，，证，则，即，解方程即可； （2）①因为，且是边长为9的等边三角形，则证是等边三角形， ②因为是等边三角形得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可解决问题． 本题考查了等边三角形的性判定与质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【小问1详解】 解： 是等边三角形， ，， 设，则，， ， ， ， 即 解得：， 即的长为3； 【小问2详解】 ① 略 ②是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $