精品解析：山东省滨州市邹平市长山镇初级中学2025-2026学年九年级上学期第一次考试数学试卷

2025-2026第一学期第一次单元检测 一、选择题（3＇×10=30＇） 1. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（　　） A. 2 B. C. D. 2或0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，把代入一元二次方程可得，又根据可得，进而求解，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 2. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 3. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解题思路为利用一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项方程的值，根据与的大小关系判断根的情况 ．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式及根据判断根的情况是解题的关键． 【详解】解：选项A： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项B： ，，， ，有两个相等的实数根，不符合题意； 选项C： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项D： ，，， ，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 4. 一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有x人，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是设这个小组有x个人，则每个人发出去条祝福信息，根据全组共发送306条信息，列方程即可． 【详解】解：设这个小组有x个人， 由题意得，． 故选C． 5. 在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达到，每轮传播人，列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设每轮传播中平均一人传播了x人，根据经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达，列出一元二次方程即可． 【详解】解：设每轮传播中平均一人传播了x人， 根据题意得：， 即：． 故选：D． 6. 对于抛物线，下列判断不正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据解析式，可判定抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，解答即可． 本题考查了抛物线的性质，熟练掌握解题方法是解题的关键． 【详解】解：∵中， ∴抛物线开口向下， 为顶点， 对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大． 故A，B，D正确，C错误， 故选：C． 7. 将二次函数的图象向上平移个单位长度，向右平移个单位长度得到的图象对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将二次函数的一般式化为顶点式，然后利用二次函数图象平移的规律：左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：∵二次函数， 又∵二次函数的图象向上平移个单位长度，向右平移个单位， ∴平移后的图象对应的解析式为：． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移．解题的关键是掌握图象平移的规律：左加右减，上加下减． 8. 如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角各剪去1个边长相等的小正方形，然后将纸板沿虚线折起，做成1个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去的小正方形的边长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由剪去小正方形的边长可得出该无盖纸盒的底面长为，宽为．根据该无盖纸盒的底面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设剪去的小正方形的边长为， 该无盖纸盒的底面长为，宽为． 依题意得：． 故选：D． 9. 已知二次函数的自变量与因变量的几组对应值如下表： … … … … 下列说法正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 图象经过第一、二、三象限 C. 图象的对称轴是直线 D. 当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．先将，，代入抛物线解析式求出解析式，利用二次函数的性质即可判断选项A、D、C，画出草图即可判断选项B． 【详解】解：将，，代入抛物线解析式， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， 故选项A错误，选项C正确； ∵对称轴为直线，开口向上， ∴当时，的值随值的增大而增大；当时，的值随值的增大而减小， 故选项D错误； 根据题意画出草图如图： 故图象过第一、二、四象限， 故选项B错误； 故选：C． 10. 函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象，先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，即可得出答案，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线与y轴交于点， A、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，符合题意； B、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，不符合题意； C、由可得，则，故抛物线开口向下，即对称轴，不符合题意； D、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，不符合题意； 故选：A． 二、填空题（3＇×5=15＇） 11. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是______． 【答案】 且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，方程有实数根可得根的判别式，列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ∴，解得； 方程有实数根， ∴， 化简得； 解得； 综上，实数的取值范围为且． 12. 已知一元二次方程的一个根为，则另一个根______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于，代入已知根即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为． 由根与系数的关系，得． 因为，所以， 解得． 故答案为：2． 13. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，先求解抛物线的对称轴，再根据抛物线的开口方向，进一步求解即可. 【详解】解：∵的图象开口向上，对称轴是直线， 而，，，， ∴. 故答案为：． 14. 定义新运算：例如：，．若，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 15. 若二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是_____． ①图象与轴的交点为，；②；③；④；⑤当时，随的增大而减小 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一判断即可，熟练掌握知识点及运用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴另一个交点为，故①不符合题意， ∵， ∴， ∴，故②符合题意； ∵抛物线开口方向向下， ∴， ∴，故③符合题意； 当时，根据图象可知，，故④符合题意； 当时，根据图象可知，随的增大而减小，故⑤不符合题意； 故答案为：②③④． 三、解答题（共8个大题） 16. 用适当的方法解方程 （1） （2） （3） 【答案】（1）， （2）， （3），. 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法是解题的关键. （1）先求解，再利用公式法求解即可. （2）将原方程变形为，再利用因式分解法，即可解得答案． （3）利用直接开平方法求解即可. 【小问1详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：，. 【小问3详解】 解：∵， ∴或， 解得：，. 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 18. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）当时，则图象对应的函数值的取值范围是_____． 【答案】（1） （2）二次函数图象的顶点坐标为， 画出函数图象，如图， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，画二次函数的图象． （1）利用待定系数法解答，即可求解. （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，再画图即可. （3）根据二次函数的性质以及当时，图象对应的函数最小值为，最大值为，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入，得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为. 【小问2详解】 解：∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， 【小问3详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，则图象对应的函数值的取值范围是. 19. 新高考采用“”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21． （1）这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ （2）学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽为米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽． 【答案】（1）4个 （2）6米 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）设这种水果黄瓜每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是21，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． （2）设种植田的宽为米，则长为米，根据题意列一元二次方程组，解方程组，再根据对求出的根进行取舍． 【小问1详解】 解：设这种水果黄瓜每个支干长出x个小分支， 由题意得：， 解得，（舍）， 即这种水果黄瓜每个支干长出4个小分支； 【小问2详解】 解：设种植田的宽为米，则长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 综上可知，该种植田的宽为6米． 20. 如图（1），一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图（2）是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离），当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为12m时，达到最大高度7m，草坡上距离O的水平距离为18m的点A处有一棵高2.6米的小树，小树垂直水平地面且点A到水平地面的距离为3m. （1）求抛物线的解析式； （2）请判断水流能否浇灌到小树后面的草地？并说明理由. 【答案】（1） （2） 解：当时，， 水流不能浇灌到小树后面的草地． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用： （1）由顶点设抛物线的解析式为，将点的坐标代入求解即可； （2）根据解析式求得当时，的值即可作出判断． 【小问1详解】 解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点分别从，两点同时出发，那么的面积随出发时间变化而变化． （1）写出关于的函数解析式及的取值范围． （2）当运动时间为何值时，的面积能否达到？若能，求出值；若不能请说明理由． （3）当运动时间为何值时，的面积能否达到？若能，求出值；若不能请说明理由． 【答案】（1）， （2）经过1秒或5秒，的面积为 （3）的面积不能达到 【解析】 【分析】本题考查了动点问题，一元二次方程的解法，三角形的面积等知识，根据动点的运动速度表示各线段的长是解题的关键． （1）根据路程速度时间，可得、的长，从而得出的面积. （2）由（1）得，列方程为，解一元二次方程即可． （3）由（1）得，列方程为： ，解一元二次方程即可. 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， S关于的函数解析式为：； 的取值范围是：． 【小问2详解】 解：设经过秒，的面积为． ∴即， 解得： 答：经过1秒或5秒，的面积为． 【小问3详解】 解：设经过秒，的面积为． ∴即， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能达到． 22. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1） （2）该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，列方程，求解即可； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物售价为元时，月销售利润达元． 23. 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）是抛物线上轴上方的一个动点，当的面积为时，求点的坐标； （3）点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把点的坐标代入抛物线中可得的值，从而可得抛物线的解析式； （2）根据的面积为列方程可得点的坐标； （3）求解抛物线的对称轴为直线，可得，当共线时，最小，即，求解直线为，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：把点的坐标代入抛物线中得： ， 抛物线的解析式为：. 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， . 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 当共线时，最小，即， 当时，， ∴， ∵， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时，， ∴. 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查的是二次函数综合运用，涉及待定系数法，三角形的面积，轴对称的性质，一元二次方程的解法，轴对称的性质等知识，掌握以上基础知识是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026第一学期第一次单元检测 一、选择题（3＇×10=30＇） 1. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（　　） A. 2 B. C. D. 2或0 2. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有x人，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 5. 在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达到，每轮传播人，列出的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 对于抛物线，下列判断不正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时，y随x的增大而增大 7. 将二次函数的图象向上平移个单位长度，向右平移个单位长度得到的图象对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角各剪去1个边长相等的小正方形，然后将纸板沿虚线折起，做成1个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去的小正方形的边长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的自变量与因变量的几组对应值如下表： … … … … 下列说法正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 图象经过第一、二、三象限 C. 图象的对称轴是直线 D. 当时，的值随值的增大而增大 10. 函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（3＇×5=15＇） 11. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是______． 12. 已知一元二次方程的一个根为，则另一个根______． 13. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是__________． 14. 定义新运算：例如：，．若，则的值为______． 15. 若二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是_____． ①图象与轴的交点为，；②；③；④；⑤当时，随的增大而减小 三、解答题（共8个大题） 16. 用适当的方法解方程 （1） （2） （3） 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 18. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）当时，则图象对应的函数值的取值范围是_____． 19. 新高考采用“”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21． （1）这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ （2）学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽为米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽． 20. 如图（1），一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图（2）是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离），当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为12m时，达到最大高度7m，草坡上距离O的水平距离为18m的点A处有一棵高2.6米的小树，小树垂直水平地面且点A到水平地面的距离为3m. （1）求抛物线的解析式； （2）请判断水流能否浇灌到小树后面的草地？并说明理由. 21. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点分别从，两点同时出发，那么的面积随出发时间变化而变化． （1）写出关于的函数解析式及的取值范围． （2）当运动时间为何值时，的面积能否达到？若能，求出值；若不能请说明理由． （3）当运动时间为何值时，的面积能否达到？若能，求出值；若不能请说明理由． 22. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 23. 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）是抛物线上轴上方的一个动点，当的面积为时，求点的坐标； （3）点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $