精品解析：山东东营市胜利第一初级中学2026—2027学年第一学期质量检测九年级数学试题

胜利第一初级中学2026—2027学年第一学期质量检测九年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 一个数的算术平方根是3，则这个数是（ ） A. B. 9 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根可直接进行求解． 【详解】解：由一个数的算术平方根是3，可得：， ∴这个数是9； 故选B． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 2. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断． 【详解】解：A、杨辉三角图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、赵爽弦图是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、割圆术示意图既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、洛书图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据积的乘方，负整数指数幂，完全平方公式，同底数幂乘法的计算法则求解即可． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了积的乘方，负整数指数幂，完全平方公式，同底数幂乘法，熟知相关计算法则是解题的关键． 4. 中华武术源远流长，如图①为某运动员比赛时的照片，把图①抽象成如图②所示的图形，伸展的手臂与水平地面平行，躯干与手臂的夹角，与大腿的夹角，小腿与水平地面的夹角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，过点作，由平行线的判定及性质，，，再由角的和差，即可求解． 【详解】解：过点作，过点作， ， ， ，，， ，， ，， ， ． 5. 数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，在下列四个式子中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式性质．根据题意逐一对选项进行计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵通过数轴可知， ∴，即A选项不对， ∴，即B选项不对， ∴，即C选项不对， ∴，即D选项正确， 故选：D． 6. 如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得，则有，然后根据圆周角的性质及三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 7. 为提升学生体质健康水平，学校开展了丰富多彩的体育活动．甲、乙两名同学进行了定点投篮练习，每人每次定点投篮5个，最近10次练习的数据如图所示．甲、乙两名同学这10次练习投中个数的平均数分别记为和，方差分别记为和．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据甲、乙的进球的统计图可计算出平均数，得出甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度大，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度大， ∴． 甲10次练习的数据分别为：， ， 乙10次练习的数据分别为：， ， ∴． 8. 内江市小青龙河绿道风光秀丽，适合市民徒步休闲．小林、小明两人在小青龙河6千米长的绿道上快走，小林的速度是小明的1.2倍，小林比小明早15分钟走完全程．设小明的速度为x千米/时，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，小明走完全程的时间为小时，小林走完全程的时间为小时，而小林比小明早15分钟走完全程，即小明走完全程的时间比小林多小时，即可建立方程． 【详解】解：设小明的速度为千米/时，则小林的速度为千米/时， 由题意得，． 9. 如图，将长方形放置于平面直角坐标系中，点与原点重合，点分别在轴和轴上，点，连接，并将沿翻折至长方形所在平面，点的对称点为点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称，勾股定理，等腰三角形的判定及性质． 设与交点为点D，过点E作轴于点F，由可得，，由长方形与折叠的性质可得，从而，设，则，，在中，根据勾股定理得，代入即可解得，根据的面积可求得，进而在中，根据勾股定理可求得，结合点E的位置可得点E的坐标． 【详解】设与交点为点D，过点E作轴于点F， ∵， ∴，， ∵在长方形中，， ∴， ∵由折叠有， ∴， ∴， 设，则，， ∵在长方形中，， ∴在中，， 即， 解得， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵或， ∴， 即， ∴， ∵轴， ∴在中，， ∴点E的坐标为． 故选：A． 10. 二次函数（，）的自变量x与函数y的部分对应值如下表： 在下列结论中：①；②；③当时，y的值随着x值的增大而增大；④，是关于x的方程（）的两个根．正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据表格中值相等的点求出二次函数对称轴，结合已知点推导，，的关系，再逐一判断每个结论． 【详解】解：由表格可知，和时值均为， 因此二次函数对称轴为， 由对称轴公式得，即． 时，代入二次函数得，即， 将代入得，即． ①，，①正确． ②由可知成立，②正确． ③，抛物线开口向上，对称轴为，时，随增大而减小，③错误． ④已知是一个根，设另一个根为，由对称轴得，解得，因此方程两根为，④正确． 综上，正确结论共3个． 二、填空题（共8小题，11-14每题3分，15-18每题4分） 11. “神威·太湖之光”是我国自主研发的超级计算机，部署于国家超级计算无锡中心，全系统合计约有1065万计算核心，该超算广泛应用于气候模拟、地震重现、生物医药等前沿科研领域，能将原本需要数年的计算任务缩短至数天完成．将1065万用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：万 ． 12. 分解因式：的结果是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 原式 ． 13. 不等式组的非负整数解的和为______． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的整数解，求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，进而确定不等式组的非负整数解，再求和即可． 【详解】解：解，得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的非负整数解为：0，1，2，3，4，5，6 ∴； 故答案为：21 14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据根的判别式即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 且， ∴且． 故答案为：且 15. 如图，点P在第二象限内，与y轴相切于点C，其中点，与轴相交于点，则点的坐标________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：如图，连接，，过点P作， ∵与y轴相切于点C， ∴轴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴． ∴． ∴点的坐标为． 16. 如图，在平行四边形中，，，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合平行四边形的性质和相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 17. 如图，在中，，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交射线于点，连接．根据以上作图，若，，则线段的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点H，设分别交于点J，K，根据勾股定理可得 ，由作法得：平分，垂直平分，再由，可得，，从而得到，进而得到，证明，可得，，从而得到，再由勾股定理可得 ，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点H，设分别交于点J，K， 在中，，，， ∴， 由作法得：平分，垂直平分， ∴， ∵，即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，在反比例函数（）的图象上，有点，，，…，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求出的纵坐标，从而可计算出的高，进而求出，从而得出的值． 【详解】解：当时，的纵坐标为2， 当时，的纵坐标为1， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， … 则； ； ； ； … ； ， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，满分62分） 19. 计算： （1）． （2）先化简：，再从中选取一个合适的整数作为a的值代入求值． 【答案】（1） 4； （2） 化简结果为，当时，值为（或当时，值为）． 【解析】 【分析】（1）分别计算零指数幂、特殊角三角函数值、绝对值、负整数指数幂，再合并计算； （2）先通分化简分式，再根据分式有意义的条件确定可选取的整数，代入求值．  【小问1详解】  解： ； 【小问2详解】 解： ∵要使分式有意义，分母不能为， ∴，，即，， 又∵，且为整数， ∴可取或， 当时，原式； 当时，原式． 20. 暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； 【小问2详解】 解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 21. 如图，在Rt中，，以为直径作交于点，取中点，连接并延长，交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）如果，，求的长． 【答案】（1） 解：连接，交于点， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ∵点在上， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，即，再结合，等边对等角得，是半径，则是的切线； （2）先证明，结合和求出的值，再利用勾股定理求出，接着证明，得到比例关系，设，将相关数值代入求解出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴是的中位线， ， ，， ， 即，， ，， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 设， 则， 即， 解得：或（舍）， ． 22. 为加快数字化城市建设，规范居民安全用电行为，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了150个，随着居民对智能充电桩需求量的增加，第三个月新建充电桩216个． （1）求这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率； （2）若市场上有A，B两种充电桩，A种充电桩的价格是每个0.5万元，B种充电桩的价格是每个0.7万元．该市决定再追加购买A，B两种充电桩共100个，且A种充电桩的个数不超过B种充电桩的个数，求本次追加购买最少花费多少钱？ 【答案】（1）这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为 （2）本次追加购买最少花费60万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）设这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，利用该市第三个月新建充电桩的数量该市第一个月新建充电桩的数量（这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率），列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设本次追加购买m个A种充电桩，则追加购买个B种充电桩，根据购买A种充电桩的个数不超过B种充电桩的个数，列出一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再设本次追加购买共花费w万元，利用总价单价数量，列出w关于m的函数关系式，然后利用一次函数的性质，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设本次追加购买m个A种充电桩，则追加购买个B种充电桩， 根据题意得：， 解得：， 设本次追加购买共花费w万元， 根据题意得：， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，最小值， 答：本次追加购买最少花费60万元． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． （1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）求出点坐标得到线段长，根据代入数据计算即可； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ， ，， 反比例函数解析式为：， ，在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数解析式为：． 【小问2详解】 解：在一次函数中，令，则， ， ； 【小问3详解】 解：根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或． 24. （1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点F．填空： ①线段，之间的数量关系为________；②的度数为______． （2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，直线和直线交于点F，请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3所示，和均为直角三角形，，，当点B在线段的延长线上时，求线段和的长度． 【答案】（1）①；②；（2）；；（3）； 【解析】 【分析】（1）①根据证明，即可得出； ②根据全等三角形的性质得出，设交于点O，根据，结合三角形内角和定理，得出即可得出结果； （2）证明，可得，，根据三角形的外角得出，，即可得结论； （3）根据勾股定理求出，根据三角函数求出，求出，证明，求出，得出． 【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵， ∴， 设交于点O， ∵， ∴， 即． 故答案为：． （2）结论：， ．理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． （3）在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理、三角函数的计算，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，特殊角的三角函数值． 25. 如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点P的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）设，过点作轴于点，根据即可求解； （3）设，分三种情况：，，即可求解． 【小问1详解】 解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． 【小问3详解】 解：设， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 当时，如图， ∵，，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 胜利第一初级中学2026—2027学年第一学期质量检测九年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 一个数的算术平方根是3，则这个数是（ ） A. B. 9 C. D. 2. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 中华武术源远流长，如图①为某运动员比赛时的照片，把图①抽象成如图②所示的图形，伸展的手臂与水平地面平行，躯干与手臂的夹角，与大腿的夹角，小腿与水平地面的夹角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，在下列四个式子中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 为提升学生体质健康水平，学校开展了丰富多彩的体育活动．甲、乙两名同学进行了定点投篮练习，每人每次定点投篮5个，最近10次练习的数据如图所示．甲、乙两名同学这10次练习投中个数的平均数分别记为和，方差分别记为和．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 内江市小青龙河绿道风光秀丽，适合市民徒步休闲．小林、小明两人在小青龙河6千米长的绿道上快走，小林的速度是小明的1.2倍，小林比小明早15分钟走完全程．设小明的速度为x千米/时，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将长方形放置于平面直角坐标系中，点与原点重合，点分别在轴和轴上，点，连接，并将沿翻折至长方形所在平面，点的对称点为点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数（，）的自变量x与函数y的部分对应值如下表： 在下列结论中：①；②；③当时，y的值随着x值的增大而增大；④，是关于x的方程（）的两个根．正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共8小题，11-14每题3分，15-18每题4分） 11. “神威·太湖之光”是我国自主研发的超级计算机，部署于国家超级计算无锡中心，全系统合计约有1065万计算核心，该超算广泛应用于气候模拟、地震重现、生物医药等前沿科研领域，能将原本需要数年的计算任务缩短至数天完成．将1065万用科学记数法表示为________． 12. 分解因式：的结果是________． 13. 不等式组的非负整数解的和为______． 14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 15. 如图，点P在第二象限内，与y轴相切于点C，其中点，与轴相交于点，则点的坐标________． 16. 如图，在平行四边形中，，，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．若，则的长为________． 17. 如图，在中，，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交射线于点，连接．根据以上作图，若，，则线段的长为____． 18. 如图，在反比例函数（）的图象上，有点，，，…，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则_____． 三、解答题（共8小题，满分62分） 19. 计算： （1）． （2）先化简：，再从中选取一个合适的整数作为a的值代入求值． 20. 暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 21. 如图，在Rt中，，以为直径作交于点，取中点，连接并延长，交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）如果，，求的长． 22. 为加快数字化城市建设，规范居民安全用电行为，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了150个，随着居民对智能充电桩需求量的增加，第三个月新建充电桩216个． （1）求这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率； （2）若市场上有A，B两种充电桩，A种充电桩的价格是每个0.5万元，B种充电桩的价格是每个0.7万元．该市决定再追加购买A，B两种充电桩共100个，且A种充电桩的个数不超过B种充电桩的个数，求本次追加购买最少花费多少钱？ 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 24. （1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点F．填空： ①线段，之间的数量关系为________；②的度数为______． （2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，直线和直线交于点F，请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3所示，和均为直角三角形，，，当点B在线段的延长线上时，求线段和的长度． 25. 如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $