专题 5.12 二次函数 复习（六）二次函数与面积问题 讲义 - 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题 5.12 二次函数复习（六）二次函数与面积问题 【基础・综合・探究】 目录 一.复习目标 1 二.知识梳理 1 【知识点1】坐标法求常规三角形面积（基础） 2 【知识点2】铅垂高、水平宽模型（中考万能面积公式） 2 【知识点3】割补法求不规则图形面积 2 【知识点4】二次函数面积最值核心模型 2 三.题型精析 3 【一 】基础夯实 3 【题型1】坐标轴上三角形面积计算 3 【题型2】定点三角形固定面积求解 4 【二】综合提升 6 【题型3】铅垂高模型与三角形面积 6 【题型4】不规则多边形面积（割补法） 7 【三】探究拓展 9 【题型5】动点三角形面积最值问题 9 【题型6】已知面积反求动点坐标（逆向探究） 11 【四】中考链接 13 一.复习目标 1. 掌握平面直角坐标系中，定点构成三角形、四边形的基础面积算法，熟练利用坐标轴为底、高快速求解面积。 2. 吃透中考核心铅垂高、水平宽面积模型，解决任意斜三角形面积问题，摆脱画图难点。 3. 熟练运用割补法，将曲线、斜线围成的不规则图形转化为规则图形求和、求差。 4. 掌握二次函数动点面积问题，能建立面积关于动点横坐标的函数，求解面积最大值与对应动点坐标。 5. 掌握面积逆向题型：已知图形面积，反求抛物线上动点坐标，规范分类讨论。 6. 熟练应对单元测试、期末统考、中考二次函数第二问面积必考题型，建立完整面积解题体系。 二.知识梳理 【知识点1】坐标法求常规三角形面积（基础） 在二次函数图像中，若三角形顶点落在坐标轴上或边平行于坐标轴，可直接用底乘高计算： 1. 水平底：两点纵坐标相同，底长=横坐标之差的绝对值； 2. 竖直高：两点横坐标相同，高长=纵坐标之差的绝对值； 3. 面积公式：。 【要点提示】该方法只适用于直角摆放、边平行坐标轴的规则三角形，斜三角形必须使用铅垂高模型。 【知识点2】铅垂高、水平宽模型（中考万能面积公式） 任意斜三角形（三点无水平、竖直边）通用公式，中考二次函数面积大题必考模型。 设三角形三点：，其中A、B为定点，P为抛物线上动点。 水平宽：定点A、B横坐标差值的绝对值 铅垂高：动点P在AB之间，同一x下上下函数差值 三角形面积公式： 【要点提示】 1. 水平宽永远为两个定点横坐标之差，为定值； 2. 铅垂高为变量，随动点x变化，是构建面积函数的核心； 3. 无需找点到直线距离，计算简单、零易错，是中考最优解法。 【知识点3】割补法求不规则图形面积 由抛物线、直线、坐标轴围成的不规则图形，无直接面积公式，统一使用割补思想： 1. 补形法：补成矩形、梯形、大三角形，用整体面积减去多余小三角形面积； 2. 分割法：将不规则图形切割为两个或多个规则三角形、梯形，面积相加。 【要点提示】初中阶段不计算曲线面积，所有考题面积均为直线围成图形，务必分割为规则图形求解。 【知识点4】二次函数面积最值核心模型 动点P在抛物线上两定点之间运动，三角形ABP面积最大值解题套路： 1. 求出定点A、B坐标，算出固定水平宽； 2. 列出铅垂高关于x的二次函数解析式； 3. 代入面积公式，得到面积S关于x的二次函数； 4. 利用二次函数最值，求出最大面积及对应动点P坐标。 【要点提示】面积最大等价于铅垂高最大，解题可直接转化为求线段最值，简化计算。 三.题型精析 【一 】基础夯实 【题型1】坐标轴上三角形面积计算 考查核心：基础入门，考查定点坐标、底高识别，是面积题的计算基础。 【例题1】（24-25九年级上·云南昆明·开学考试）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，（点在点的右边）抛物线顶点为，求的面积；    【变式1】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，交y轴于点C． （1）求点A，B，C三点的坐标； （2）求A，B，C三点围成的三角形面积． 【变式2】（2026·贵州遵义·三模）如图在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为，若与的面积比为3：5，则值为______． 【变式3】（24-25九年级上·云南楚雄·期中）如图，已知抛物线过点，与轴交于，与x轴交于点B．点D在抛物线上，且与点C关于对称轴对称． （1）求该抛物线的函数关系式和D点坐标； （2）求的面积． 【解题归纳】 1. 先求交点坐标，确定底和高； 2. x轴上两点距离为水平底，y轴截距为竖直高； 3. 严格使用绝对值，保证边长、面积为正数。 【题型2】定点三角形固定面积求解 考查核心：巩固坐标与面积对应关系，夯实定点图形计算能力。 【例题2】（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知函数与的交点为A，B（A在B的右边）． （1）求点A、点B的坐标． （2）求的面积． 【变式1】（25-26九年级上·湖南湘潭·阶段检测）如图，直线与轴、轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线与轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接，求的面积； 【变式2】（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）如图，直线与抛物线交于，两点，点在轴上，点在轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）点是第一象限的抛物线上一点，点位于何处时四边形面积最大，求此时点的坐标以及四边形的面积的最大值． 【变式3】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为，与y轴交于点C，其顶点D的坐标为． （1）求二次函数的解析式； （2）求的面积． 【解题归纳】 1. 规则图形直接底乘高；不规则优先分解成两个或两个以上三角形； 2. 所有边长取绝对值，面积恒正； 3. 计算步骤规范，先定点、再定底高、最后算面积。 【二】综合提升 【题型3】铅垂高模型与三角形面积 考查核心：中考核心必考，解决无水平、竖直边的斜三角形面积，大题标准解法。 【例题3】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点. （1）求此抛物线的解析式和直线的解析式； （2）如图，动点P在直线上方，且在抛物线上，求出的最大面积，并指出此时点P的坐标. 【变式1】（24-25九年级上·云南昭通·期中）如图，已知抛物线（a，b，c为常数，）与x轴交于点、点两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）M是抛物线上的点且在第二象限，连接，，，求的面积取得最大值时，点M的坐标． 【变式2】（25-26九年级上·广西钦州·期末）已知抛物线的顶点为，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线BC抛物线上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标． 【变式3】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，直线与y轴、x轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为． （1）求二次函数的解析式； （2）点P为该二次函数的图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求P点的坐标； 【解题归纳】 1. 找两个定点确定水平宽（定值）； 2. 找动点上下函数差值作为铅垂高； 3. 代入公式计算，无需复杂勾股、距离公式。 【题型4】不规则多边形面积（割补法） 考查核心：考试高频，处理曲线与直线围成的四边形、五边形面积。 【例题4】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，，且交轴于另一点． （1）求点，的坐标及抛物线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； 【变式1】（25-26九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为，与轴交于点与轴交于点、，且点，，过点作平行于轴，交抛物线于点，点为抛物线上的点，且在的上方，作平行于轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）当点在何位置时，四边形的面积最大？并求出最大面积； 【变式2】（24-25九年级上·湖北荆门·阶段检测）如图，抛物线交x轴于A、B两点，与y轴交于点C．点在抛物线上． （1）求四边形的面积； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最大，若存在，试求出点P的坐标． 【变式3】（2025·陕西咸阳·一模）综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，是第一象限抛物线上的一个动点，若点的横坐标为，连接，，，． （1）求，，三点的坐标，并求直线的函数表达式； （2）当四边形的面积有最大值时，求出的值． 【解题归纳】 1. 不规则图形绝不直接计算，必须割或补； 2. 优先补矩形，整体减空白，计算失误最少； 3. 拆分图形尽量选择底边在坐标轴上的三角形，简化底高。 【三】探究拓展 【题型5】动点三角形面积最值问题 考查核心：中考解答题压轴第二问，分值最高、最核心的面积考点。 【例题5】（2022·甘肃陇南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，两点，直线交y轴于点C，点D为直线下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，分别交直线、于点E、F． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，连接，求的面积； （3）①H是y轴上一点，当四边形是矩形时，求点H的坐标； ②在①的条件下，第一象限有一动点P，满足，求周长的最小值． 【变式1】（2025·辽宁铁岭·三模）如图，是直角三角形，．点从点出发，沿方向以的速度向点运动到达点停止运动）；同时点从点出发，沿方向以的速度向点运动到达点停止运动；当其中一个动点到达终点时，则另一个动点也停止运动，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，P是边上的一个动点（不与端点A，B重合），过点P分别作于点E，于点F．当______时，四边形的面积最大，最大面积为______． 【变式3】（2026·广东佛山·一模）综合与实践：如何在不同形状的卡纸中，裁出面积尽可能大的矩形？ （1）【特例尝试】 如图1，是一张直角三角形卡纸，，，，点P是边上的动点（不与点A、B重合），过点P作一边的垂线，与一直角边相交于点M．以线段为边，在三角形卡纸内可剪出一个尽可能大的矩形．求剪出的矩形的最大面积．（先画出示意图，再解答） （2）【拓展延伸】 一块长为，宽为的矩形卡纸如图2所示，沿线段裁切后得到五边形，其中，，，再沿着曲线（以B为坐标原点的某反比例函数图象的一部分）再次裁切，剩下余料为，小明用这块余料裁出矩形，其中边在上，点Q在线段上，点P在曲线上．请你直接写出矩形面积的最大值． 【解题归纳】 1. 固定水平宽，用上下函数差表示铅垂高； 2. 构建面积二次函数，转化为区间最值问题； 3. 面积最大 ⇔ 铅垂线段最长，顶点位置即为最优动点位置。 【题型6】已知面积反求动点坐标（逆向探究） 考查核心：中考拔高题型，数形结合逆向思维，易漏解、易错。 【例题6】（2022·辽宁丹东·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上C、D两点之间的距离是 ； （3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值； （4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 【变式1】（25-26九年级下·山东淄博·期中）二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，点E是第三象限内的抛物线上的动点，过点E作轴，交x轴于点D，四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出E点坐标； （3）如图2，点P是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点Q，在x轴上有一点，连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得，若存在，请求出点H的坐标． 【变式2】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点E是抛物线的对称轴与直线的交点，点F是抛物线的顶点，求的长； （3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（请在图2中探讨） 【变式3】（25-26九年级上·浙江·单元复习）二次函数的图象交轴于点，点两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒． （1）求二次函数的表达式； （2）连接，当时，求的面积； （3）在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标． 【解题归纳】 1. 设动点坐标，列面积方程； 2. 解方程得到多组解，结合图像位置筛选有效点； 3. 抛物线上满足固定面积的点往往有2–3个，杜绝漏解。 【四】中考链接 1．（2025·四川巴中·中考真题）已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． （1）求点A、B、C三点的坐标； （2）过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； （3）在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 2．（2026·广东广州·中考真题）已知抛物线G：． （1）当，时，求抛物线G的对称轴； （2）若对于任意实数，抛物线G总经过定点． ①求和的值； ②点，在抛物线G上，且线段与轴有交点．记的面积为，求的取值范围． 3．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； （3）如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.12 二次函数复习（六）二次函数与面积问题 【基础・综合・探究】 目录 一.复习目标 1 二.知识梳理 1 【知识点1】坐标法求常规三角形面积（基础） 2 【知识点2】铅垂高、水平宽模型（中考万能面积公式） 2 【知识点3】割补法求不规则图形面积 2 【知识点4】二次函数面积最值核心模型 2 三.题型精析 3 【一 】基础夯实 3 【题型1】坐标轴上三角形面积计算 3 【题型2】定点三角形固定面积求解 7 【二】综合提升 13 【题型3】铅垂高模型与三角形面积 13 【题型4】不规则多边形面积（割补法） 19 【三】探究拓展 26 【题型5】动点三角形面积最值问题 26 【题型6】已知面积反求动点坐标（逆向探究） 34 【四】中考链接 47 一.复习目标 1. 掌握平面直角坐标系中，定点构成三角形、四边形的基础面积算法，熟练利用坐标轴为底、高快速求解面积。 2. 吃透中考核心铅垂高、水平宽面积模型，解决任意斜三角形面积问题，摆脱画图难点。 3. 熟练运用割补法，将曲线、斜线围成的不规则图形转化为规则图形求和、求差。 4. 掌握二次函数动点面积问题，能建立面积关于动点横坐标的函数，求解面积最大值与对应动点坐标。 5. 掌握面积逆向题型：已知图形面积，反求抛物线上动点坐标，规范分类讨论。 6. 熟练应对单元测试、期末统考、中考二次函数第二问面积必考题型，建立完整面积解题体系。 二.知识梳理 【知识点1】坐标法求常规三角形面积（基础） 在二次函数图像中，若三角形顶点落在坐标轴上或边平行于坐标轴，可直接用底乘高计算： 1. 水平底：两点纵坐标相同，底长=横坐标之差的绝对值； 2. 竖直高：两点横坐标相同，高长=纵坐标之差的绝对值； 3. 面积公式：。 【要点提示】该方法只适用于直角摆放、边平行坐标轴的规则三角形，斜三角形必须使用铅垂高模型。 【知识点2】铅垂高、水平宽模型（中考万能面积公式） 任意斜三角形（三点无水平、竖直边）通用公式，中考二次函数面积大题必考模型。 设三角形三点：，其中A、B为定点，P为抛物线上动点。 水平宽：定点A、B横坐标差值的绝对值 铅垂高：动点P在AB之间，同一x下上下函数差值 三角形面积公式： 【要点提示】 1. 水平宽永远为两个定点横坐标之差，为定值； 2. 铅垂高为变量，随动点x变化，是构建面积函数的核心； 3. 无需找点到直线距离，计算简单、零易错，是中考最优解法。 【知识点3】割补法求不规则图形面积 由抛物线、直线、坐标轴围成的不规则图形，无直接面积公式，统一使用割补思想： 1. 补形法：补成矩形、梯形、大三角形，用整体面积减去多余小三角形面积； 2. 分割法：将不规则图形切割为两个或多个规则三角形、梯形，面积相加。 【要点提示】初中阶段不计算曲线面积，所有考题面积均为直线围成图形，务必分割为规则图形求解。 【知识点4】二次函数面积最值核心模型 动点P在抛物线上两定点之间运动，三角形ABP面积最大值解题套路： 1. 求出定点A、B坐标，算出固定水平宽； 2. 列出铅垂高关于x的二次函数解析式； 3. 代入面积公式，得到面积S关于x的二次函数； 4. 利用二次函数最值，求出最大面积及对应动点P坐标。 【要点提示】面积最大等价于铅垂高最大，解题可直接转化为求线段最值，简化计算。 三.题型精析 【一 】基础夯实 【题型1】坐标轴上三角形面积计算 考查核心：基础入门，考查定点坐标、底高识别，是面积题的计算基础。 【例题1】（24-25九年级上·云南昆明·开学考试）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，（点在点的右边）抛物线顶点为，求的面积；    【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，先把解析式化为顶点式求出点M的坐标，再求出A、C坐标，最后根据进行求解即可． 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点M的坐标为， 在中，当时，解得或， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，交y轴于点C． （1）求点A，B，C三点的坐标； （2）求A，B，C三点围成的三角形面积． 【答案】（1），，；（2）3 【分析】（1）分别求出，时对应的y值和x值，即可得到点A，B，C的坐标； （2）根据点A，B，C的坐标结合三角形面积公式计算即可． （1）解：当时，， ∴， 当时， 解得：，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴A，B，C三点围成的三角形面积为：． 【点拨】本题考查抛物线与坐标轴的交点问题，熟知坐标轴上的点的坐标特征是解题的关键． 【变式2】（2026·贵州遵义·三模）如图在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为，若与的面积比为3：5，则值为______． 【答案】 【分析】．推导出顶点Ｄ的纵坐标，结合抛物线顶点坐标公式列式计算即可，同时要结合图形对参数进行判断． 解：∵点Ｃ为抛物线与ｙ轴的交点，令，得， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵点D为抛物线顶点，且在第四象限 ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 故答案为： 【点拨】本题考查抛物线顶点坐标的求法、与坐标轴交点坐标的求法等相关知识点，根据图象数形结合是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·云南楚雄·期中）如图，已知抛物线过点，与轴交于，与x轴交于点B．点D在抛物线上，且与点C关于对称轴对称． （1）求该抛物线的函数关系式和D点坐标； （2）求的面积． 【答案】（1），；（2）3 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，把和分别代入，解出，再结合轴对称的性质，得出，即可作答． （2）先求出点，再结合三角形的面积公式列式计算，即可作答． （1）解：∵抛物线过点，与轴交于， ∴把和分别代入， 得， 解得， ∴． 该抛物线的对称轴为 ∵点D在抛物线上，且与点C关于对称轴直线对称．且 ∴； （2）解：连接，如图： ∵抛物线过点，与x轴交于点B，且对称轴直线， ∴令则， 解得 ∵， ∴，， 则的面积． 【解题归纳】 1. 先求交点坐标，确定底和高； 2. x轴上两点距离为水平底，y轴截距为竖直高； 3. 严格使用绝对值，保证边长、面积为正数。 【题型2】定点三角形固定面积求解 考查核心：巩固坐标与面积对应关系，夯实定点图形计算能力。 【例题2】（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知函数与的交点为A，B（A在B的右边）． （1）求点A、点B的坐标． （2）求的面积． 【答案】（1）点A，B的坐标分别为；（2）3 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）将两个函数的解析式联立组成方程组，求得方程组的解就可得到交点的坐标； （2）利用求解． （1）解：由题意得：， 解得：或 即交点A，B的坐标分别为； （2）连接 直线与y轴交于点，即， ． 【变式1】（25-26九年级上·湖南湘潭·阶段检测）如图，直线与轴、轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线与轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接，求的面积； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，求一次函数与坐标轴的交点坐标，正确求出二次函数解析式是解题的关键． （1）先根据一次函数解析式求出B、C的坐标，再根据对称轴计算公式得到，再把B、C坐标代入抛物线解析式中求出解析式即可； （2）先求出点P坐标，设直线与直线交于D，则，得到，再根据进行求解即可． （1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴顶点P的坐标为， 设直线与直线交于D， 在中，当，， ∴， ∴， ∴ ． 【变式2】（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）如图，直线与抛物线交于，两点，点在轴上，点在轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）点是第一象限的抛物线上一点，点位于何处时四边形面积最大，求此时点的坐标以及四边形的面积的最大值． 【答案】（1）抛物线解析式为；（2）此时点的坐标为，四边形的面积的最大值为． 【分析】（）先由直线与轴交于点，与轴交于点，求出点，点，然后利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （）过作轴于点，交于点，设，则，则，然后由得出，再根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了一次函数与坐标轴的交点，求二次函数的解析式，二次函数的几何问题，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题是解题的关键． （1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，当时，， ∴点，点， ∵抛物线交于，两点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，过作轴于点，交于点， 设，则， ∴， 则 ， 当时，有最大，最大值为， ∴， 此时点的坐标为． 【变式3】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为，与y轴交于点C，其顶点D的坐标为． （1）求二次函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）二次函数的解析式为；（2）的面积为． 【分析】（1）根据二次函数的顶点D和函数图象过点A可以求得此二次函数的解析式； （2）根据题意可以求得点B和C的坐标，从而可以求得直线的解析式，进而求得的长度，从而可以求得的面积． （1）解：∵二次函数的图象顶点D的坐标为， 设这个二次函数的解析式为， ∵点A在此抛物线的图象上， ∴， 解得，， ∴此二次函数的解析式为：； （2）解：∵， ∴当时，，当时，或， ∴点B，点， 设过点B、C的直线得解析式为， ∴，得， ∴， 过点D作交于点E， 当时，， ∴点， ∴， ∴的面积是：． 【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点坐标，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数与二次函数的性质解答． 【解题归纳】 1. 规则图形直接底乘高；不规则优先分解成两个或两个以上三角形； 2. 所有边长取绝对值，面积恒正； 3. 计算步骤规范，先定点、再定底高、最后算面积。 【二】综合提升 【题型3】铅垂高模型与三角形面积 考查核心：中考核心必考，解决无水平、竖直边的斜三角形面积，大题标准解法。 【例题3】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点. （1）求此抛物线的解析式和直线的解析式； （2）如图，动点P在直线上方，且在抛物线上，求出的最大面积，并指出此时点P的坐标. 【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为；（2）的面积的最大值为，此时点P的坐标为 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质． （1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组，然后可求得b、c的值，于是可得到抛物线的解析式，设直线的解析式为，将点A、B的坐标代入可求得k、n的值，可得到直线的解析式； （2）过点P作轴，垂足为C，交与点D．设点P的坐标为，则，然后列出的长与a的函数关系式，利用配方法可求得的最大值，以及点P的坐标，然后依据的面积可求得的面积的最大值． （1）解：∵抛物线经过，两点， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 设直线的解析式为，将点A和点B的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图所示：过点P作轴，垂足为C，交于点D． 设点P的坐标为，则， ∴， ∴当时，有最大值，即的面积有最大值，的最大值为， ∴， ∵的面积， ∴当的最大值为时，的面积最大，最大面积为， ∴的面积的最大值为，此时点P的坐标为． 【变式1】（24-25九年级上·云南昭通·期中）如图，已知抛物线（a，b，c为常数，）与x轴交于点、点两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）M是抛物线上的点且在第二象限，连接，，，求的面积取得最大值时，点M的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴交于点，如图，设 ，则，所以，再根据三角形面积公式得到，然后利用二次函数的性质解决问题． （1）解：把、、代入得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设直线的解析式为 把分别代入得 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点作轴交于点，如图，设，则， ， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为． ， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·广西钦州·期末）已知抛物线的顶点为，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线BC抛物线上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意设函数顶点式，将点（2，-1），（0，3）代入，化成一般式即可； （2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较的纵坐标，可得DP的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案． （1）解：设抛物线解析式为， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴． ∵点在抛物线上， ∴． 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，作PD垂直于x轴交BC于点D． ∵抛物线的解析式为， ∴点B的坐标为，则OB＝3． ∵点， ∴可求得直线BC的解析式为． 设，，则，． ， 整理得． ∵， ∴当时，有最大值，则P点坐标为． 【点拨】本题是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的面积计算等，解（2）的关键是平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出DP的长． 【变式3】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，直线与y轴、x轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为． （1）求二次函数的解析式； （2）点P为该二次函数的图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求P点的坐标； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数与面积的综合问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）在中，令，，可得，将，代入即可求解； （2）过点P作轴交于点E，设点，则，根据即可建立函数关系式求解； （1）解：在中， 令，则；令，则，解得； ∴， 将，代入得： ，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：如图，过点P作轴交于点E， 设点，则 ， ∵， ∴当，即点时，有最大值，且最大值为； 【解题归纳】 1. 找两个定点确定水平宽（定值）； 2. 找动点上下函数差值作为铅垂高； 3. 代入公式计算，无需复杂勾股、距离公式。 【题型4】不规则多边形面积（割补法） 考查核心：考试高频，处理曲线与直线围成的四边形、五边形面积。 【例题4】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，，且交轴于另一点． （1）求点，的坐标及抛物线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； 【答案】（1），；；（2）最大值为18， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，求函数的最大值，三角形的面积公式，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）令，由，得A点坐标，令，由得C点坐标，将A、C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式； （2）连接，设，得到，再根据二次函数的性质求得最大值，便可得M点的坐标 （1）解：令，得， ∴， 令，由得， ∴； 把、两点代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 令，得， 解得：或， ∴； （2）解：连接，如图， 设， 则 ， ∴当时，四边形面积最大，其最大值为18， 此时M的坐标为 【变式1】（25-26九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为，与轴交于点与轴交于点、，且点，，过点作平行于轴，交抛物线于点，点为抛物线上的点，且在的上方，作平行于轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）当点在何位置时，四边形的面积最大？并求出最大面积； 【答案】（1）；（2）点时，四边形的面积最大为 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，可得，再把点，代入，即可求解； （2）先求出，可得，然后求出直线的解析式为，再设，可得，从而得到 ，即可求解． （1）解：抛物线的对称轴为， ∴， ， 抛物线解析式为， 点，， ， ， 二次函数的解析式为； （2）解：轴，点， 当时，， ，， ， ， 设直线的解析式为， 点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为； 设， ， ， ， ∴ ， 当时，四边形的面积最大， 即点时，四边形的面积最大为； 【点拨】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数最值的确定方法，解本题的关键是建立函数关系式求最值． 【变式2】（24-25九年级上·湖北荆门·阶段检测）如图，抛物线交x轴于A、B两点，与y轴交于点C．点在抛物线上． （1）求四边形的面积； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最大，若存在，试求出点P的坐标． 【答案】（1）9；（2） 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，求一次函数的解析式，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）分别求得抛物线与轴和轴的交点，从而得出的值，进一步得出结果； （2）连接，则，过当三点共线时最大，据此求出直线与对称轴的交点坐标即可得到答案，进一步得出结果． （1）解：如图，连接， 当时，， ， 由得，， ， 当时，， ， ∴ ； （2）解：如图， 抛物线的对称轴为：直线， 连接， 根据抛物线对称性可得：， 则， 故当三点共线，的值最大，最大值即为的长， 设直线的解析式为：， ， ， ， 当时，， ． 【变式3】（2025·陕西咸阳·一模）综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，是第一象限抛物线上的一个动点，若点的横坐标为，连接，，，． （1）求，，三点的坐标，并求直线的函数表达式； （2）当四边形的面积有最大值时，求出的值． 【答案】（1），，，直线的解析式为；（2）m的值为2； 【分析】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积等知识，运用了数形结合思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）分别令和即可求出，，三点的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线的函数表达式； （2）过作轴的垂线交于，设，则，根据题意表示出四边形的面积，然后利用二次函数的性质求解即可． 解：（1）令，得， 解得或， ∴，， 令，得， ∴； 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：如图，过作轴的垂线交于， 设，则， ∴四边形的面积 ， ∵， ∴当时，四边形的面积最大， ∴当四边形的面积最大时，的值为； 【解题归纳】 1. 不规则图形绝不直接计算，必须割或补； 2. 优先补矩形，整体减空白，计算失误最少； 3. 拆分图形尽量选择底边在坐标轴上的三角形，简化底高。 【三】探究拓展 【题型5】动点三角形面积最值问题 考查核心：中考解答题压轴第二问，分值最高、最核心的面积考点。 【例题5】（2022·甘肃陇南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，两点，直线交y轴于点C，点D为直线下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，分别交直线、于点E、F． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，连接，求的面积； （3）①H是y轴上一点，当四边形是矩形时，求点H的坐标； ②在①的条件下，第一象限有一动点P，满足，求周长的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据，得出，进而求得，则，根据三角形面积公式即可求解； （3）①过点作于，证明，得出，，进而直线的解析式为，由得到，，，，根据即可求解； ②勾股定理求得，要使得的周长最小，只要的值最小，当点在上时，的值最小，进而勾股定理，即可求解． （1）解：∵抛物线与坐标轴交于，两点， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵，， ，， 轴，轴， 在和中， ， 即， ， ， 当时，， ∴，即， ， ． （3）解：①如图中，过点作于， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ， ， ∵，， 设的解析式为，则 解得：， 直线的解析式为， 设，， 由得到，， ， ∴，， ， ， ， ， ∴． ②如图中，， ， 的周长， 要使得的周长最小，只要的值最小， ， 当点在上时，的值最小， ， 的周长的最小值为． 【变式1】（2025·辽宁铁岭·三模）如图，是直角三角形，．点从点出发，沿方向以的速度向点运动到达点停止运动）；同时点从点出发，沿方向以的速度向点运动到达点停止运动；当其中一个动点到达终点时，则另一个动点也停止运动，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查动点问题中三角形面积的最值求解，解题的关键是用含时间的表达式表示出的底和高，进而得出面积表达式，再根据二次函数性质求最值．先设运动时间为秒，分别表示出、的长度，再根据三角形面积公式得出面积关于的表达式，最后求该表达式的最大值． 解：点从到运动时间为秒，点从到运动时间为秒， 其中一个动点到达终点，另一个动点也停止运动， ． 已知点速度为，点速度为， 设运动时间为秒，则， ． ， ，且， 当时，有最大值，最大值为． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，P是边上的一个动点（不与端点A，B重合），过点P分别作于点E，于点F．当______时，四边形的面积最大，最大面积为______． 【答案】 6 【分析】此题主要考查了矩形的面积公式以及直角三角形30°定理，得出矩形面积与x的函数关系式是解题关键. 利用30°定理和勾股定理表示出的长，进而利用矩形面积求法以及二次函数最值求法得出即可. 解：在中，， ． ， 四边形为矩形，为直角三角形． 设，则 ． ， 当，即时，矩形的面积最大，最大面积为． 【变式3】（2026·广东佛山·一模）综合与实践：如何在不同形状的卡纸中，裁出面积尽可能大的矩形？ （1）【特例尝试】 如图1，是一张直角三角形卡纸，，，，点P是边上的动点（不与点A、B重合），过点P作一边的垂线，与一直角边相交于点M．以线段为边，在三角形卡纸内可剪出一个尽可能大的矩形．求剪出的矩形的最大面积．（先画出示意图，再解答） （2）【拓展延伸】 一块长为，宽为的矩形卡纸如图2所示，沿线段裁切后得到五边形，其中，，，再沿着曲线（以B为坐标原点的某反比例函数图象的一部分）再次裁切，剩下余料为，小明用这块余料裁出矩形，其中边在上，点Q在线段上，点P在曲线上．请你直接写出矩形面积的最大值． 【答案】（1）示意图： 剪出的矩形的最大面积是；（2）矩形面积的最大值是 【分析】（1）分情况进行讨论，作出不同情况下的示意图后利用正弦、余弦及正切的定义及勾股定理求得对应边长的值，通过设未知数将矩形面积表达式转化为二次函数，利用二次函数的最值求得结果； （2）以点B为原点建立平面直角坐标系，根据题意求得点A和点E的坐标，通过待定系数法求得直线的解析式和反比例函数的解析式，从而求得点F的坐标，设，则，通过设未知数将矩形面积表达式转化为二次函数，利用二次函数的最值求得结果，此时需注意m的取值． （1）解：如图1，过点P作，点M在上，以线段为边，作矩形， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，有最大值，最大值为； 如图2，过点P作交于点M，过点P作交于点Q， ∴四边形为矩形， ∵， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 当时，有最大值，最大值为，即． （2）解：如图，以点B为原点建立平面直角坐标系， ∵矩形卡纸的长为，宽为，，， ∴，， 设直线的解析式为， 将点A，E代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∵曲线是反比例函数的一部分， 设反比例函数的解析式为， 将点E代入得：，解得， ∴反比例函数的解析式为， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 当时，的最大值为． 【解题归纳】 1. 固定水平宽，用上下函数差表示铅垂高； 2. 构建面积二次函数，转化为区间最值问题； 3. 面积最大 ⇔ 铅垂线段最长，顶点位置即为最优动点位置。 【题型6】已知面积反求动点坐标（逆向探究） 考查核心：中考拔高题型，数形结合逆向思维，易漏解、易错。 【例题6】（2022·辽宁丹东·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上C、D两点之间的距离是 ； （3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值； （4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或，或或 【分析】（1）先由题意得出A，B的坐标，再用待定系数法求出解析式即可； （2）根据两点的距离公式即可求出的长度； （3）先设出E的坐标，然后将的面积表示出来，求出最大值即可； （4）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点Q的坐标． （1）解：∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， 将，代入解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为， 当时，，当时，， ∴，， ∴． （3）解：如图，过点作轴于点，交于点，过点作于点， 设直线BC的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线BC的解析式为， 设，且，则， ∴， ∴ ， ∵， 当时，S△BCE有最大值为． （4）解：设，， 由（1）知，由（2）可知， 如图，当为矩形的对角线时， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分，， ∴由中点坐标公式，得， 解得， ∵，， ∵，即， ∴， 解得或， ∴或， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得， ∴，， 同理， ∴， 解得， ∴， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得：， ∴，， 同理，， ∴， 解得， ∴， 综上，点Q的坐标为或，或或． 【变式1】（25-26九年级下·山东淄博·期中）二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，点E是第三象限内的抛物线上的动点，过点E作轴，交x轴于点D，四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出E点坐标； （3）如图2，点P是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点Q，在x轴上有一点，连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得，若存在，请求出点H的坐标． 【答案】（1）；（2）存在，；（3）存在，H的坐标为或 【分析】（1）把，分别代入抛物线，确定解析式即可； （2）设，则，则， 则，根据抛物线的性质解答即可． （3）取点，过点R作轴，交于点M，确定，连接并延长交对称轴直线于点，确定一个位置；过点C作轴，过点N作轴，二线交于点G，则四边形是矩形，在上取一点，使得，则，连接并延长交对称轴直线于点，确定第二个位置，解答即可． （1）解：∵二次函数经过点， ∴将代入表达式， 得， 解得， ； （2）解：对于二次函数，当时，， ， 设， 轴， ， ， ， ， ∴当时，四边形面积最大，最大值为6， 此时E点坐标为； （3）解：存在， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，将代入直线的解析式得：， 解得， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， 取点，过点R作轴，交于点M， 则， ∴， 连接并延长交对称轴直线于点， 根据题意，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点符合题意， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， 故； 过点C作轴，过点N作轴，二线交于点G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在上取一点，使得， 则， ∴， 连接并延长交对称轴直线于点， 根据题意，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点符合题意， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， 故； 综上所述，符合题意的点H坐标有，． 【变式2】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点E是抛物线的对称轴与直线的交点，点F是抛物线的顶点，求的长； （3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（请在图2中探讨） 【答案】（1）；（2）；（3）存在，，，， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据，，表示成两根式，利用待定系数法求解即可； （2）首先求出直线的解析式，进而求出点坐标，根据抛物线的解析式求出顶点坐标，两点间的距离公式求出的长即可； （3）根据，求出，进而求出点坐标即可． （1）解：∵抛物线与x轴的两个交点分别为，， ∴． ∴所求抛物线的解析式为． （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为，则， 又， ∴， 设直线BC的解析式为，把代入，得， 解得，则该直线的解析式为． 故当时，，即， ∴，即． （3）解：设点，由题意，得， ∴， ∴， 时，， ∴，， 当时，， ∴，， ∴当点P的坐标分别为，，，时，． 【变式3】（25-26九年级上·浙江·单元复习）二次函数的图象交轴于点，点两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒． （1）求二次函数的表达式； （2）连接，当时，求的面积； （3）在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）依据二次函数经过点和两点，代入到解析式中计算即可得出结果； （2）由题意可知，面积为，分别计算出和的长度即可得出结果； （3）首先，在等腰中，利用勾股定理得到点到或点的距离，然后，运用两点距离公式建立等式，计算得到点横坐标，由于点横坐标与点横坐标相等，所以将坐标代入二次函数解析式即可得到结果． （1）解：二次函数，过点，点， 点坐标代入解析式可得： ， 解得： ， 二次函数解析式为． （2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动， 当时，点坐标为， 将点和代入到直线中可得， ，， 直线． 直线， 令，代入直线可得， 同理，代入二次函数中得到， ，， 面积为． （3）设直线上存在一点，使得是以为直角的等腰直角三角形， 点和，由两点距离公式可知， ， 在等腰中，应用勾股定理可知， ， ， 利用两点距离坐标公式可知， ， ， 将可得， ， 将式代入式可得， ， 整理得： 解得：或． 点横坐标为或， 点与点横坐标相同， 点横坐标为或， 分别代入二次函数解析式可得， 或， 点的坐标为或． 【点拨】求解本题的关键是掌握勾股定理（在直角三角形中，两条直角边长平方的和等于斜边长的平方），两点距离坐标公式（例如，点和，则两点间距离为）． 【解题归纳】 1. 设动点坐标，列面积方程； 2. 解方程得到多组解，结合图像位置筛选有效点； 3. 抛物线上满足固定面积的点往往有2–3个，杜绝漏解。 【四】中考链接 1．（2025·四川巴中·中考真题）已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． （1）求点A、B、C三点的坐标； （2）过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； （3）在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）16；（3）存在， 【分析】（1）分别令，求出点和点，点的坐标即可； （2）先求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立抛物线解析式组成方程组求出点的坐标，再利用分割法来求解即可； （3）延长到点，使，过点作轴于点，连接，则与的交点即为点，易得到，进而求出点，易得到解析式，联立直线解析式组成方程组求解． （1）解：当时，， 解得； 点坐标为点坐标为； 当时，， 点坐标为． （2）解：， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：； 直线解析式：． ，设直线的解析式为：，把代入得： ； 则直线解析式为：， 联立解析式有： 解得，； 点坐标为； ． （3）解：存在． 延长到点，使，过点作轴于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 与关于对称，且为的中点， 点坐标为，， ∴的周长为：， ∴当在线段上时，的周长最小， 同（2）法可得：直线的解析式为； 联立方程组， 解得 点的坐标为； 此时，， 的周长最小值为； 在线段上存在一点，使的周长最小为． 【点拨】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点的坐标的求法，函数图象交点坐标的求法，图形面积的求法，最短路径，二元一次方程组的解法，理解二次函数的图象和性质是解答关键． 2．（2026·广东广州·中考真题）已知抛物线G：． （1）当，时，求抛物线G的对称轴； （2）若对于任意实数，抛物线G总经过定点． ①求和的值； ②点，在抛物线G上，且线段与轴有交点．记的面积为，求的取值范围． 【答案】（1）直线；（2）①，；② 【分析】（1）把， 代入解析式，再把解析式化为顶点式，即可； （2）①先把原解析式化为，再根据对于任意实数，抛物线G总经过定点，即可求解； ②点，在抛物线G上，且线段与轴有交点，求出m的取值范围，再求出直线的解析式，过点P作轴交得延长线于点Q，则点，根据，可得S关于m的函数关系式，即可求解． （1）解：当，时， ， 所以抛物线G的对称轴为直线； （2）解：①， 当时，， ∵对于任意实数，抛物线G总经过定点， ∴， ∴； ②由①得：，，， ∴抛物线的解析式为， ∵点，在抛物线G上，且线段与轴有交点， ∴， 把点，代入得： ， ， ∴，点，， 解得：， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交的延长线于点Q，则点， ∴， ∴ ∴当时，随m的增大而减小， ∵， ∴当时，取得最大值，此时S取得最大值，最大值为27， 当时，取得最小值，此时S取得最小值，最小值为， ∴S的取值范围为． 3．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； （3）如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在点P，横坐标为,， 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积的计算以及面积相等的点的存在性问题． （1）利用顶点横坐标为和公式求出参数进而得到抛物线表达式； （2）先求点A和B的坐标，确定直线方程；将直线向上平移m个单位后与抛物线联立，利用判别式求m的范围； （3）先求对称轴与直线的交点D及顶点计算；设点P坐标，利用面积公式列方程，解方程，即可求解． 解：（1）∵抛物线顶点横坐标为， ∴由顶点公式，其中即 ∴ ∴抛物线表达式为 ． （2）当时，即 解得或（舍去）， 故． 当时，故． 设直线的方程为 将点与点代入得 ∴直线的方程为． 向上平移m个单位后，直线方程为． 与抛物线联立： 整理得： 抛物线与直线有交点时，， 解得，又 ， ∴m 的取值范围为． （3）抛物线对称轴为． 直线当时，故． 顶点当故． 点． 设在抛物线上，． 如图， 情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时， 因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为， 联立抛物线方程， 解得：或， ∴点P坐标为. 情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因， ∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离， 当过点时，代入 ∴解析式为， 联立， 整理得：， 解得：， 即点的横坐标是，点的横坐标是. 综上所述，存在点横坐标为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $