2026-2027学年北师大版九年级数学上册 期中测试卷（押题A卷）

【情境卷】2026-2027北师大版九年级上册数学期中测试卷（押题A卷） 考试范围：第1章~第3章 考试时间：90分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 注意事项： 1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。 2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。 5.正确填涂 第Ⅰ卷 选择题（共24分） 第Ⅰ卷的注释 阅卷人 一、选择题(共8题；共24分) 得分 1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）木匠师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形.其中的道理是(　　). A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 3．（3分）（2026九上·深圳开学考）中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．其示意图如图所示，菱形的对角线，则菱形边长应为（　　） A． B． C． D． 4．（3分）（2026九上·宝安开学考）一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5．（3分）（2026九上·广州期末）如图是一个被等分为8个扇形的飞镖靶，小明随机投掷一枚飞镖(假设飞镖一定落在靶上且落在每个区域的可能性相等)，则飞镖落在黑色区域的概率是 (　　). A． B． C． D． 6．（3分）（2026九上·深圳开学考）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）（2026·义乌期中）关于x的方程的两实数根为x1，x2，若则m的（　　） A．-3 B．-1 C．-3或3 D．-1或3 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 在x轴正半轴上，点B 在y轴正半轴上，以AB 为边作正方形AB-CD，点 D 的坐标为(7，3)，则点 C 的坐标为(　　) A．(7，4) B．(3，7) C．(4，3) D．(4，7) 第Ⅱ卷 非选择题（共76分） 第Ⅱ卷的注释 阅卷人 二、填空题(共5题；共15分) 得分 9．（3分）若，为一元二次方程的两个根，则的值为　 　． 10．（3分）（2025·青岛）京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等.现有4张不透明卡片，正面分别印有“生”“旦”“净”“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同.将这 4张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张，再从剩下的3张中随机抽取一张，则抽取到的两张卡片中有“生”的概率是　 　. 11．（3分）（2026八下·北京期中）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为　 　. 12．（3分）（2025九上·北京期中）已知是方程的一个实数根，则的值为　 　． 13．（3分）（2026九上·宝安开学考）数学家伯努利在1691年创立了一种名为“极坐标系”的新坐标系，如图1，在平面上取一定点O（称为极点），以O为端点向右引射线（称为极轴）构成了极坐标系．在极坐标系内，对于直线上方的任意点P，连接，设线段的长度为L，，那么点P的极坐标记为．如图2，在极坐标系内，，则点B的极坐标为．已知点，如果点C在这个极坐标系内，且四边形是菱形，那么点C的极坐标是　 　． 阅卷人 三、解答题(共7题；共61分) 得分 14．（6分）（2026九上·南山开学考）解方程： （1）（3分）； （2）（3分）． 15．（7分）（2026八下·天津期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）（3分）求证：四边形ABCD是菱形； （2）（4分）若AB＝ ，BD＝2，求OE的长． 16．（8分）（2026九上·南沙期末）电影《哪吒之魔童闹海》截至2025年3月10日，票房突破148.87亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人，D申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片．求下列事件发生的概率： （1）（3分）第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为_________； （2）（5分）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率． 17．（8分）（2025九上·英德期中）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AD=DE，AF⊥DE于F. （1）（4分）求证：AB=AF； （2）（4分）若AB=3，AD=5，求EF的长. 18．（10分）（2025九上·东莞期中）为了更好推广广东本地美食——绿豆饼，让我们一起制定销售方案吧： 主题：绿豆饼销售方案制定问题 广东本地美食绿豆饼历史悠久，为了能吸引不同口味需求的人流进店消费，某店推出“榴莲绿豆饼”，“抹茶绿豆饼”两个新品． 素材1 榴莲绿豆饼：每份21元 抹茶绿豆饼：每份19元 素材2 经统计，该店7月份“榴莲绿豆饼”销售量为500份，9月份销售量为720份；而“抹茶绿豆饼”9月份销售量为660份． 素材3 为了尽快减少库存，决定10月份对“抹茶绿豆饼”作降价促销，已知每份“抹茶绿豆饼”的成本为10元．经试验，发现该款抹茶绿豆饼每降价1元，月销售量就会增加110份． 问题解决 任务1 求该甜品店“榴莲绿豆饼”7月份到9月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店10月份“抹茶绿豆饼”的总利润达到6160元，求该抹茶绿豆饼应该降价多少元？ 19．（10分）（2025九上·新会期中）我们把关于x 的一元二次方程与 （，）称为一对“倒序方程”．如方程的“倒序方程”是． （1）（2分）写出一元二次方程的“倒序方程”； （2）（4分）分别求出一元二次方程及它的“倒序方程”的两根，并猜想的两根，与其“倒序方程”的两根，之间存在的特殊关系，并证明你的结论； （3）（4分）若关于x的方程的两根是，，利用（2）中的结论求出关于的方程的两根． 20．（12分）（2025九上·清城期中）【问题情境】 小颖在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为8的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】 （1）如图1，在正方形中，小颖在边上取点（不与、重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上，则此时线段的长是________． 【深入探究】 （2）小颖继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长． 【拓展延伸】 （3）如图2，在正方形中，小颖又在边上取点（不与、重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上，记（为的对应点）与的交点为，连接，小颖再次发现：线段与的长度之和存在最小值，请求出此时线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 【情境卷】2026-2027北师大版九年级上册数学期中测试卷（押题A卷） 考试范围：第1章~第3章 考试时间：90分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 注意事项： 1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。 2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。 5.正确填涂 第Ⅰ卷 选择题（共24分） 第Ⅰ卷的注释 阅卷人 一、选择题(共8题；共24分) 得分 1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 、是一元二次方程，故此选项合题意； 、是一元一次方程，故此选项不符合题意； 、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不合题意； 故选：． 【分析】 先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，根据这个定义对各个选项逐一判断，就能得到结果. 2．（3分）木匠师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形.其中的道理是(　　). A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 【解析】【解答】解：如图， ∵两组对边的长度分别相等，AD=BC，AB=DC ∴四边形ABCD为平行四边形， 又∵测量它们的两条对角线相等，AC=BD， ∴平行四边形ABCD为矩形， 故选：B. 【分析】根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，为此要测量两组对边是否相等，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形为矩形，所以还要测量它们的两条对角线是否相等. 3．（3分）（2026九上·深圳开学考）中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．其示意图如图所示，菱形的对角线，则菱形边长应为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴ 故答案为：A 【分析】根据菱形性质可得AC⊥BD，，再根据勾股定理即可求出答案. 4．（3分）（2026九上·宝安开学考）一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【解析】【解答】解：∵ ∴方程有两个不相等的实数根 故答案为：A 【分析】根据二次方程判别式，可得方程有两个不相等的实数根 5．（3分）（2026九上·广州期末）如图是一个被等分为8个扇形的飞镖靶，小明随机投掷一枚飞镖(假设飞镖一定落在靶上且落在每个区域的可能性相等)，则飞镖落在黑色区域的概率是 (　　). A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意可知，黑色区域的面积占总面积的一半，根据概率的定义可知：飞镖落在黑色区域的概率是． 故答案为：D． 【分析】先求出所有符合条件的图形的面积，再求出总面积，最后利用概率公式求解即可. 6．（3分）（2026九上·深圳开学考）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：设小道的宽为米， 则将阴影部分移到一起，拼成一个新矩形的长为米，宽为米， 可列方程为， 故答案为：C． 【分析】 根据平移的性质将阴影部分移到一起，拼成一个新矩形，用表示出新矩形的长与宽，再根据“种植面积为平方米”列出方程即可解答． 7．（3分）（2026·义乌期中）关于x的方程的两实数根为x1，x2，若则m的（　　） A．-3 B．-1 C．-3或3 D．-1或3 【答案】A 【解析】【解答】解：一元二次方程， a=1，b=-(2m-1)，c=m2， 由韦达定理： x1+x2=2m-1，x1x2=m2， 代入x1x2+x1+x2=2，得 m2+2m-1=2， m2+2m-3=0， (m+3)(m-1)=0， 解得m=-3或m=1． 方程有两个实数根，判别式△≥0： △=[-(2m-1)]2-4×1×m2 =4m2-4m+1-4m2 =-4m+1≥0 -4m+1≥0 ． ，舍去； ，符合条件． ∴m=-3． 故答案为：A． 【分析】先根据韦达定理写出两根和与两根积的代数式x1+x2=2m-1，x1x2=m2，代入等式x1x2+x1+x2=2，整理得到关于m的一元二次方程m2+2m-1=2，解出m=-3或m=1；再根据方程有实数根的条件，计算判别式△=-4m+1，令△≥0得到；最后检验两个解，舍去m=1，保留符合范围的m=-3． 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 在x轴正半轴上，点B 在y轴正半轴上，以AB 为边作正方形AB-CD，点 D 的坐标为(7，3)，则点 C 的坐标为(　　) A．(7，4) B．(3，7) C．(4，3) D．(4，7) 【答案】D 【解析】【解答】如图，过点 D 作 DE ⊥ x 轴于点 E，则 E(7， 0)，DE = 3。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = AD，∠BAD = 90°。 ∴ ∠OAB + ∠DAE = 90°。 又 ∵ 在 Rt△OAB 中，∠OAB + ∠OBA = 90°， ∴ ∠OBA = ∠DAE。 在 △OAB 和 △EDA 中： ∠AOB = ∠DEA = 90°， ∠OBA = ∠DAE， AB = DA， ∴ △OAB ≅ △EDA（AAS）。 ∴ OA = ED = 3，OB = EA = OE - OA = 7 - 3 = 4。 ∴ A(3， 0)，B(0， 4)。 BD 的中点坐标为。 设 C(x， y)，则 AC 的中点坐标为。 ∴。 解得 x = 4，y = 7。 ∴ C(4，7)。 故答案为：D。 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及平面直角坐标系中的坐标计算。首先由正方形性质得到 AB = AD 和 ∠BAD = 90°，再通过同角的余角相等证明 △OAB ≅ △EDA，从而求出 A、B 两点坐标。然后利用正方形对角线互相平分的性质，由 BD 中点与 AC 中点重合建立方程，即可得到结果。 第Ⅱ卷 非选择题（共76分） 第Ⅱ卷的注释 阅卷人 二、填空题(共5题；共15分) 得分 9．（3分）若，为一元二次方程的两个根，则的值为　 　． 【答案】-3 【解析】【解答】解： ， 为一元二次方程 的两个根， ， ， ， 即 的值为 ， 故答案为： 。 【分析】利用根与系数的关系可以求得 ， ，然后将所求式子变形，再代入 ， 计算即可. 10．（3分）（2025·青岛）京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等.现有4张不透明卡片，正面分别印有“生”“旦”“净”“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同.将这 4张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张，再从剩下的3张中随机抽取一张，则抽取到的两张卡片中有“生”的概率是　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：从印有“生”、“旦”、“净”、“丑”4张卡片中，先随机抽取一张，再从剩下的3张中随机抽取一张，所有可能出现的结果如下： 共有12种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片中有“生”的有6种， 所以抽取到的两张卡片中有“生”的概率为 故答案为：. 【分析】用树状图表示印有“生”、“旦”、“净”、“丑”4张卡片中，先随机抽取一张，再从剩下的3张中随机抽取一张，所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可. 11．（3分）（2026八下·北京期中）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为　 　. 【答案】2.5 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=10，BO=DO=BD， ∴OD=BD=5， ∵点P、Q是AO，AD的中点， ∴PQ是△AOD的中位线， ∴PQ=DO=2.5． 故答案为：2.5． 【分析】根据矩形性质可得AC=BD=10，BO=DO=BD，则OD=BD=5，再根据三角形中位线定理即可求出答案. 12．（3分）（2025九上·北京期中）已知是方程的一个实数根，则的值为　 　． 【答案】2025 【解析】【解答】 解：因为是方程的一个实数根，所以，移项，得． 2a2+6a+2023​ =2(a2+3a)+2023 =2×1+2023 =2+2023 =2025.​ 故答案为：． 【分析】 由是方程的根得，将所求式提取公因式转化为，代入 即可求得结果. 13．（3分）（2026九上·宝安开学考）数学家伯努利在1691年创立了一种名为“极坐标系”的新坐标系，如图1，在平面上取一定点O（称为极点），以O为端点向右引射线（称为极轴）构成了极坐标系．在极坐标系内，对于直线上方的任意点P，连接，设线段的长度为L，，那么点P的极坐标记为．如图2，在极坐标系内，，则点B的极坐标为．已知点，如果点C在这个极坐标系内，且四边形是菱形，那么点C的极坐标是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：连接AB，OC，AB与OC相交于点M ∵，B ∴OA=OB=2，∠AOB=60° ∴△OAB是等边三角形 ∴AB=OA ∵四边形OABC是菱形 ∴OC平分∠AOB，OC⊥AB， ∴ ∵ ∴ ∴点C的极坐标为 故答案为： 【分析】连接AB，OC，AB与OC相交于点M，由题意可得OA=OB=2，∠AOB=60°，根据等边三角形判定定理可得△OAB是等边三角形，则AB=OA，根据菱形性质可得OC平分∠AOB，OC⊥AB，，根据角平分线定义可得∠AOC，根据勾股定理可得OM，则，再根据点的坐标即可求出答案. 阅卷人 三、解答题(共7题；共61分) 得分 14．（6分）（2026九上·南山开学考）解方程： （1）（3分）； （2）（3分）． 【答案】（1）解：a=2，b=-5，c=-1 ∴ ∴ （2）解： (2x-3+2)(2x-3)=0 ∴2x-3+2=0或2x-3=0 解得： 【解析】【分析】（1）根据公式法解方程即可求出答案. （2）根据因式分解法解方程即可求出答案. 15．（7分）（2026八下·天津期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）（3分）求证：四边形ABCD是菱形； （2）（4分）若AB＝ ，BD＝2，求OE的长． 【答案】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠OAB＝∠DCA， ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠OAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD＝AB， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴平行四边形ABCD是菱形. （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB， ∴OE＝OA＝OC， ∵BD＝2， ∴OB＝ BD＝1， 在Rt△AOB中，AB＝ ，OB＝1， ∴OA＝ ＝2， ∴OE＝OA＝2. 【解析】【分析】（1）根据菱形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形为菱形，可求解。 （2）根据菱形的对角线垂直，可找到直角三角形，利用勾股定理求出OE的长度。 16．（8分）（2026九上·南沙期末）电影《哪吒之魔童闹海》截至2025年3月10日，票房突破148.87亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人，D申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片．求下列事件发生的概率： （1）（3分）第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为_________； （2）（5分）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率． 【答案】（1） （2）解：如图： 　 A B C D A 　 AB AC AD B BA 　 BC BD C CA CB 　 CD D DA DB DC 　 从表中可以看出，取出的2张卡片一共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的结果分别是AC和CA，有2种， ∴取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率．​​​​ 【解析】【解答】（1）解：第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率P=． 故答案为：（1）； 【分析】（1）从条件可以看出，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的结果有1种，利用概率公式列式计算即可得答案． （2）先列表，从表中发现一共有12种可能，而取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的结果只有2种，再利用概率公式列式计算即得出答案． （1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的结果有1种， ∴第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为． 故答案为：； （2）解：如图： 共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的结果有2种， ∴取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率为． 17．（8分）（2025九上·英德期中）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AD=DE，AF⊥DE于F. （1）（4分）求证：AB=AF； （2）（4分）若AB=3，AD=5，求EF的长. 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AD=BC，∠C=∠ADC=90°， ∴∠ADF+∠CDE=90°，∠CDE+∠CED=90°， ∴∠ADF=∠CED， ∵AF⊥DE于F， ∴∠AFD=90°， 在△ADF和△DEC中， ， ∴△ADF≌△DEC， ∴AF=DC， ∴AF=AB； （2）解： 由(1)可知.AF=AB=3，DE=AD=5， 由勾股定理可得： 【解析】【分析】(1)根据矩形的性质可知AB=CD， AD=BC， ∠C=∠ADC=90°，根据同角的余角相等可证∠ADF=∠CED，利用AAS可证△ADF≌△DEC，根据全等三角形对应边相等，可证结论成立； (2)根据全等三角形对应边相等可得：AF=AB=3，DE=AD=5，利用勾股定理可以求出DF=4，根据线段的和差解答即可. 18．（10分）（2025九上·东莞期中）为了更好推广广东本地美食——绿豆饼，让我们一起制定销售方案吧： 主题：绿豆饼销售方案制定问题 广东本地美食绿豆饼历史悠久，为了能吸引不同口味需求的人流进店消费，某店推出“榴莲绿豆饼”，“抹茶绿豆饼”两个新品． 素材1 榴莲绿豆饼：每份21元 抹茶绿豆饼：每份19元 素材2 经统计，该店7月份“榴莲绿豆饼”销售量为500份，9月份销售量为720份；而“抹茶绿豆饼”9月份销售量为660份． 素材3 为了尽快减少库存，决定10月份对“抹茶绿豆饼”作降价促销，已知每份“抹茶绿豆饼”的成本为10元．经试验，发现该款抹茶绿豆饼每降价1元，月销售量就会增加110份． 问题解决 任务1 求该甜品店“榴莲绿豆饼”7月份到9月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店10月份“抹茶绿豆饼”的总利润达到6160元，求该抹茶绿豆饼应该降价多少元？ 【答案】任务1：解：设月平均增长率为，根据7月份销售量和9月份销售量的关系，列出一元二次方程求解． 设该店“榴莲绿豆饼”7月份到9月份销售量的月平均增长率为， 由题意得， 解得； 即该甜品店“榴莲绿豆饼”7月份到9月份销售量的月平均增长率是20%。 任务2：解：设“抹茶绿豆饼”应该降价元，则每份的利润为元，月销售量为份， ， 解得或， 为了尽快减少库存，， 答：为了使该店10月份“抹茶绿豆饼”的总利润达到6160元，求该抹茶绿豆饼应该降价2元． 【解析】【分析】任务1，设月平均增长率为，则8月份销售量为500（1+x），月份销售量为500（1+x）2，此时列出一元二次方程，求解x即可； 任务2，结合条件得出每份的利润为元，而月销售量为份，根据“利润=每份的利润×月销售量”，列式得出方程，求出m的两个值之后，因为“尽快减少库存”，因此多降价才可以达到，故m=2. 19．（10分）（2025九上·新会期中）我们把关于x 的一元二次方程与 （，）称为一对“倒序方程”．如方程的“倒序方程”是． （1）（2分）写出一元二次方程的“倒序方程”； （2）（4分）分别求出一元二次方程及它的“倒序方程”的两根，并猜想的两根，与其“倒序方程”的两根，之间存在的特殊关系，并证明你的结论； （3）（4分）若关于x的方程的两根是，，利用（2）中的结论求出关于的方程的两根． 【答案】（1）解：一元二次方程的“倒序方程”为：； （2）解：， 解得：； ， 解得：； ∵， ∴猜想：的两根，与其“倒序方程”的两根，之间为倒数关系， 证明：的两个根为， 的两根为：， ∴， ， ∴的两根，与其“倒序方程”的两根，之间为倒数关系； （3）解：关于x的方程的两根是，，则：关于x的方程的两根是，， ∴，即：的两个根为： 或， 解得：或． 【解析】【分析】（1）根据“倒序方程”的定义即可直接得出答案； （2）先利用因式分解法解出两个方程的根，再根据根的情况完成猜想即可； （3）首先求解关于x的方程，得到它的两个根分别为和，由此可知方程满足x-3=-1或x-3=1005，最后计算即可得到方程的解。 （1）解：一元二次方程的“倒序方程”为：； （2）解： ， 解得：； ， 解得：； ∵， ∴猜想：的两根，与其“倒序方程”的两根，之间为倒数关系， 证明：的两个根为， 的两根为：， ∴， ， ∴的两根，与其“倒序方程”的两根，之间为倒数关系； （3）解：关于x的方程的两根是，， 则：关于x的方程的两根是，， ∴，即：的两个根为： 或， 解得：或． 20．（12分）（2025九上·清城期中）【问题情境】 小颖在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为8的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】 （1）如图1，在正方形中，小颖在边上取点（不与、重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上，则此时线段的长是________． 【深入探究】 （2）小颖继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长． 【拓展延伸】 （3）如图2，在正方形中，小颖又在边上取点（不与、重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上，记（为的对应点）与的交点为，连接，小颖再次发现：线段与的长度之和存在最小值，请求出此时线段的长． 【答案】解：（1）； （2）①当时，如图，作于点，延长交于点， 则四边形为矩形， ，， ， ， 又由折叠性质可得：， ，， ， 为等边三角形， ， ， ，， ， ， ，， 在中，， ； ②当时，如图：作于点，延长交于点，作于点， 则，四边形为矩形，四边形为矩形， ，，，， 由折叠可知，，， 则在中，， ， ， ， 在中，设，则， 由勾股定理，得：， 解得， ， 综上所述，线段的长为或； （3）连接，，交于点，作，则四边形为矩形，，， 由折叠可知，，，，，， ，， ， 又，， ， ， ， 作点关于的对称点，连接，连接交于点， 则，， ， 当点在上时，即点与点重合时，值最小； 如图： ，，， ， ， 为的中点， ， 设， 则， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ， ， ， ， ， ，即，，即， ，， ， ，， ， ，即， ． 【解析】【解答】解：（1）连接，如图所示： 正方形边长为， ，， ， 沿翻折得到， ，，， 是等腰直角三角形， ， ． 故答案是：． 【分析】(1)连接，如图所示：根据勾股定理可得出，，进而根据折叠的性质，可得出正方形的性质可得出，是等腰直角三角形，进而即可得出； （2）分两种情况进行讨论：①当时，；②当时， ，综上所述，线段的长为或； （3）连接，，交于点，作，首先根据AAS可证得，得到，进而得到，作点关于的对称点，连接，连接交于点，则，，得到，当点在上时，即点与点重合时，值最小，证明，得到，进而得到为的中点，设，则，在中，由勾股定理得，求出的长，进而求出的长，证明，进行求解即可． 学科网（北京）股份有限公司 $