精品解析： 辽宁省大连市沙河口区第五十一中学2024-2025学年 九年级上学期 10月月考数学试卷

2024－2025学年度第一学期阶段性随堂练习 九年级数学 注意事项 1．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三大题，23小题，满分120分．考试时间120分钟． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．利用二次函数的一般形式为：是常数，，进而判断得出即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故本选项不正确； B、是一次函数，不是二次函数，故本选项不正确； C、符合二次函数的定义，故本选项正确； D、的右边不是整式，因此不是二次函数，故本选项不正确． 故选：C． 2. 二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一判断图象即可．本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与二次函数的系数的关系是解题的关键． 【详解】解：的图象是一条过原点，开口向下的抛物线， 故选：D． 3. 抛物线 的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为 求解即可； 【详解】解：二次函数的顶点式 的顶点坐标为 所以抛物线 的顶点坐标为 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式的特点；熟知二次函数顶点式的顶点坐标是解题的关键． 4. 把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，即可求解． 【详解】解：把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式是， 故选：C． 5. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，关于a、c的符号判断正确的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据开口方向可得a的符号，根据抛物线与y轴的交点可得c的符号． 【详解】解：由图象可知：抛物线开口向下， 故， 又∵交y轴于正半轴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握抛物线的开口向上，；对称轴在y轴左侧，a，b同号；抛物线与y轴的交点即为c的值． 6. 把二次函数y=x2﹣4x+3化成y=a（x+h）2+k的形式是（　　　） A. y=（x+2）2+1 B. y=（x+2）2+7 C. y=（x﹣2）2﹣1 D. y=（x+2）2﹣7 【答案】C 【解析】 【分析】用配方法化成顶点式即可． 【详解】解：y=x2﹣4x+3， y=x2﹣4x+4-4+3， y=（x-2）2﹣1， 故选：C． 【点睛】本题考查了用配方法把二次函数化成顶点式，解题关键是熟练运用配方法化顶点式，注意配方法的步骤． 7. 若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握其性质特征是解决此题的关键． 先求出抛物线的对称轴，即可根据二次函数的对称性解答． 【详解】解：二次函数， 开口向上，对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点为， 当时，随的增大而增大， ， 故选：． 8. 下表示用计算器探索函数时所得的数值： 则方程的一个解的取值范围为（ ） A. 0<x<0.25 B. 0.25<x<0.5 C. 0.5<x<0.75 D. 0.75<x<1 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式找出对称轴，即可知何时y随x的增大而增大，本题易解． 【详解】∵二次函数中，a=1>0， ∴抛物线开口方向向上， ∵对称轴 ∴时y随x的增大而增大， ∵当x=0.5时，y=−0.25<0，当x=0.75时，y=1.31>0， ∴方程的一个正根：0.5<x<0.75， 故选C. 【点睛】解答此题的关键是求出对称轴,然后由图象解答,锻炼了学生数形结合的思想方法. 9. 把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是根据实际问题列二次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 要求长方形的面积，需求出长方形相邻两边的长度，根据长方形的周长公式可计算出长方形另一边的长为；接下来，根据长方形的面积公式即可得到与的函数关系式． 【详解】解：设这个长方形的一边长为，周长是， 另一边长是， 与的函数关系式为：． 选项、、都不正确，选项正确． 故选：． 10. 对二次函数的性质描述正确的是（ ） A. 函数图象开口朝下 B. 当时，随的增大而减小 C. 该函数图象与轴的交点位于轴负半轴 D. 该函数图象的对称轴在轴左侧 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟悉二次函数对称轴、顶点、与轴（轴）交点是解决此类题的关键． ，可判断其开口方向向上，对称轴为直线，时随的增大而减小，令，得，抛物线与轴交于点，分别判断即可． 【详解】解：．，开口向上，故不符合题意； ．因开口向上，对称轴为直线，时随的增大而减小，故不符合题意； ．当时，，即与轴交点为在轴正半轴，故不符合题意； ．对称轴为直线，在轴左侧，故符合题意； 故选：． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数的最大值为 ___________． 【答案】8 【解析】 【分析】把函数化为顶点式求出对称轴，根据二次函数的性质即可求出函数的最大值． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线对称轴为直线，且离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴在时，当时，函数值最大，最大值为8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟知二次函数的性质是解题的关键． 12. 抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的对称性求解即可得到答案． 【详解】解：抛物线其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握抛物线与x轴的两个交点关于抛物线对称轴对称． 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为___________ 【答案】##8米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．根据实心球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可． 【详解】解：由题意可知，将代入， ， 解得（舍去）或， 故答案为：． 15. 如图，菱形的边长为，点在轴的负半轴上，抛物线过点．若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，过点作轴交轴于点，求出点的坐标，代入即可求解，求出点的坐标是解题的关键． 【详解】过点作轴交轴于点， ∵菱形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 把代入， ∴， ∴， 故答案为： 三、解答题（本大题含8道小题，共75分） 16. 已知二次函数的图象经过和． （1）求该抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 【答案】（1） （2）顶点坐标为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法列方程求解即可． （2）把一般式通过配方转化为顶点式即可． 【小问1详解】 解：把和代入， 得：，解得：， ∴此抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ∵， ∴此抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及用配方法求顶点式，熟练掌握待定系数法与配方法是解题关键． 17. 二次函数的解析式为． （1）求证：无论取何值，抛物线总与轴有交点； （2）当时， ①求抛物线与轴的两个交点的坐标； ②当函数值大于0时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） 证明：令，则， ∵，，， ∴， ∴方程有实数根， ∴无论取何值，抛物线总与轴有交点； （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）证明抛物线总与轴有交点，即证明判别式始终大于等于0，将、、代入其中计算解得，所以证明成立； （2）①求抛物线与轴的两个交点的坐标，即可先求，再解得的两个值，进而得到两个交点坐标； ②当函数值大于0时，已求得抛物线与轴的两个交点的坐标，根据开口方向向下，由图像可得的取值范围为． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 ①当时， 令，则， ∵，，， ∴， ∴，， ∴抛物线与轴的两个交点的坐标分别为、； ②当时 令，则 解得，， 要求函数值大于，即求，此时，抛物线开口向下， ∴，的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式等知识点，把二次函数交点问题转化为解一元二次方程问题是解题的关键． 18. 如图，掷实心球是大连市中考体育加试中的一个项目．一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时实心球被掷得最高，此时实心球离地面3.6米，设实心球行进的路线是如图所示的一段抛物线． （1）求实心球行进的高度（米）与行进的水平距离（米）之间的函数关系式； （2）如果实心球考试优秀成绩为9.6米，那么这名男生在这次考试中成绩是否能达到优秀？请说明理由． 【答案】（1） （2）这名男生在这次考试中成绩是10米，能达到优秀 【解析】 【分析】（1）设抛物线顶点式表达式，代入坐标求解． （2）当时，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 由抛物线顶点是，设抛物线解析式为：， 把点代入得，∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 当时，， 解得，（舍去），， 即这名男生在这次考试中成绩是10米，能达到优秀． 【点睛】此题考查了二次函数，解题的关键是结合图像利用抛物线顶点式求表达式． 19. 如图，抛物线与轴交于A，对称轴是直线，直线经过点A且与抛物线交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）若是位于直线上方的抛物线上的一个动点，连接，，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法列方程即可． （2）过点作轴，交于，利用水平宽×铅锤高解题，即可． 【小问1详解】 解：∵直线经过点， ∴令，则， ∴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：，解得：，， ∴， 过点作轴，交于， 设，则， ∴， ∴的面积， 当时，的面积最大，且最大值是 【点睛】本题主要考查待定系数法解二次函数解析式及通过水平宽铅锤高求三角形面积，能够表示出三角形面积并用顶点式求最值是解题关键． 20. 某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）（13≤x≤18）， （2）销售单价定为18元时，该超市每天销售这种商品所获利润最大，最大利润是700元 【解析】 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式是（13≤x≤18），根据坐标（14，220），（16，180）代入求值即可； （2）根据利润=单价利润×销售量，再根据二次函数的性质计算求值即可； 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式是（13≤x≤18），由图象可知， 当时，；当时，， ∴， 解得， ∴y与x之间的函数关系式是（13≤x≤18）， 【小问2详解】 设每天所获利润为w元， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当x＜19时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值， （元）， 答：销售单价定为18元时，该超市每天销售这种商品所获利润最大，最大利润是700元； 【点睛】本题考查了一次函数解析式，二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 21. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）当时，设抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为，若为等边三角形，求的值； （3）过（其中）且垂直轴的直线与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意值，线段的长都不小于1，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1）直线 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，等边三角形的性质，勾股定理，掌握二次函数图象与性质是解题的关键． （1）化为顶点式，即可求得对称轴； （2）根据题意，画出图形，当时，，求得，则，由（1）可知，顶点C的坐标为．根据为等边三角形，得到，在中，由勾股定理得，则，继而可求解； （3）分两种情况考虑，根据对称性求得的横坐标，确定的值，即的纵坐标，分①当时，②当时画出图形，结合图象列出不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：依照题意，画出图形，如图1所示． 当时，，即， 解得：． ∴， 设对称轴交x轴于，则， ∵为等边三角形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 由（1）知顶点为， ∴； 【小问3详解】 解：分两种情况考虑，如图2所示： ①当时，， ∴ ， 解得：； ②当时，， ∴， 解得： 综上，或． 22. 【发现问题】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到目的地，只能按直角拐弯的方式行走．我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间的“折线距离”：． （1）①已知点，则______； ②函数的图象如图1，是图象上一点，若，则点的坐标为______； （2）如图2，菱形顶点的坐标是，，．小明发现：菱形的边上会有两个点分别到原点的距离相等．若点在菱形的边上且，指出点在菱形的那条边上，并求出它的坐标． 【拓展运用】 （3）函数和函数的图象如图3，是函数图象上一点，是函数图象上一点，当和分别取到最小值时，求的值． 【答案】（1）①；②；（2）当在上，；（3） 【解析】 【分析】（1）①代入定义中的公式求； ②设出函数的图象上点的坐标，通过建立方程求解； （2）先由定义求出，根据菱形的性质求得点的坐标，用待定系数法求出的函数解析式，再设点在上坐标为，根据列方程求解，同理可判断了点不在其他三边上； （3）先配方得，可得当时，最小，此时点坐标为，设点，由得，分类讨论求得最小时的值，再求的值． 【详解】解：（1）①； ②∵点在函数上，设， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴点． （2），， 设解析式为，，代入 当在上，设 同理可证点E不可能在上， ， 点不能在点右侧， （3）解：设 ， 当时，最小， 设 ， 当时， 当时，最小值为 当时， 当时，最小值为， ∴当时，最小， ∴． 【点睛】本题在新定义下考查了求一次函数的解析式和配方法，二次函数的最值，关键是由拆线距离的定义来构造方程． 23. 如图1，在中，，点是边上一点，，将沿翻折至，与交于点． （1）①通过测量，猜想并验证和的数量关系； ②求证：； （2）如图2，过作交于点，若，，连接，求的长． （3）如图3，若，求的长． 【答案】（1）①； ②由①得， ． （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）①设，由折叠可得，，； ②在△中，，得． （2）由（1）可得为等腰直角△，易证，又∵，，可得，可证，设，则，，在中由勾股定理可求出，在中，由勾股定理求出的长． （3）过点作，取的中点，连接，可证得，设，可得，，在中，，求出的值即可． 【小问1详解】 解：① 设， ②略 【小问2详解】 ， ， ∴， 设，，，， 在中， 在中，， （舍）， ∴， ， ∴，， ， ， ∵ ． 【小问3详解】 过作，取中点，连接， ∵， ∴， ∵点是的中点，点是的中点 ∴是的中位线 ∴， ∴ 设，， 在中， ，， ∵， ∴， 解得， ． 【点睛】本题主要考查了轴对称和全等三角形的判定以及勾股定理，关键是找出图形中的全等三角形并证明，灵活运用设参和勾股定理求线段的长是常用的方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期阶段性随堂练习 九年级数学 注意事项 1．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三大题，23小题，满分120分．考试时间120分钟． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线 的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，关于a、c的符号判断正确的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 把二次函数y=x2﹣4x+3化成y=a（x+h）2+k的形式是（　　　） A. y=（x+2）2+1 B. y=（x+2）2+7 C. y=（x﹣2）2﹣1 D. y=（x+2）2﹣7 7. 若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 8. 下表示用计算器探索函数时所得的数值： 则方程的一个解的取值范围为（ ） A. 0<x<0.25 B. 0.25<x<0.5 C. 0.5<x<0.75 D. 0.75<x<1 9. 把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 10. 对二次函数的性质描述正确的是（ ） A. 函数图象开口朝下 B. 当时，随的增大而减小 C. 该函数图象与轴的交点位于轴负半轴 D. 该函数图象的对称轴在轴左侧 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数的最大值为 ___________． 12. 抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______． 14. 如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为___________ 15. 如图，菱形的边长为，点在轴的负半轴上，抛物线过点．若，则_____． 三、解答题（本大题含8道小题，共75分） 16. 已知二次函数的图象经过和． （1）求该抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 17. 二次函数的解析式为． （1）求证：无论取何值，抛物线总与轴有交点； （2）当时， ①求抛物线与轴的两个交点的坐标； ②当函数值大于0时，请直接写出的取值范围． 18. 如图，掷实心球是大连市中考体育加试中的一个项目．一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时实心球被掷得最高，此时实心球离地面3.6米，设实心球行进的路线是如图所示的一段抛物线． （1）求实心球行进的高度（米）与行进的水平距离（米）之间的函数关系式； （2）如果实心球考试优秀成绩为9.6米，那么这名男生在这次考试中成绩是否能达到优秀？请说明理由． 19. 如图，抛物线与轴交于A，对称轴是直线，直线经过点A且与抛物线交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）若是位于直线上方的抛物线上的一个动点，连接，，求的面积的最大值． 20. 某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？ 21. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）当时，设抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为，若为等边三角形，求的值； （3）过（其中）且垂直轴的直线与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意值，线段的长都不小于1，结合函数图象，直接写出的取值范围． 22. 【发现问题】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到目的地，只能按直角拐弯的方式行走．我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间的“折线距离”：． （1）①已知点，则______； ②函数的图象如图1，是图象上一点，若，则点的坐标为______； （2）如图2，菱形顶点的坐标是，，．小明发现：菱形的边上会有两个点分别到原点的距离相等．若点在菱形的边上且，指出点在菱形的那条边上，并求出它的坐标． 【拓展运用】 （3）函数和函数的图象如图3，是函数图象上一点，是函数图象上一点，当和分别取到最小值时，求的值． 23. 如图1，在中，，点是边上一点，，将沿翻折至，与交于点． （1）①通过测量，猜想并验证和的数量关系； ②求证：； （2）如图2，过作交于点，若，，连接，求的长． （3）如图3，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $